Tag der Mathematik 2018

Tag der Mathematik 08 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mathematische Hürden Aufgaben mit en und Punkteverteilung

Tag der Mathematik 08 Hinweise für Korrektoren Generell gilt: Zielführende Zwischenschritte geben Punkte, auch wenn das Ergebnis falsch ist oder fehlt. Die zu vergebenden Punkte sind neben den entsprechenden Stellen der am Rand angegeben. Zusätzliche oder genauere aufgabenspezifische Bepunktungshinweise sind kursiv gedruckt. Hinweis zu den Hürdenaufgaben: Bei den Hürden müssen die Zwischenschritte nicht erkennbar sein, nur das Ergebnis zählt. Falls zielführende Zwischenschritte ohne Endergebnis angegeben sind, kann man sie mit oder Punkten bewerten. In der Regel ist es allerdings kaum möglich Teilpunkte zu vergeben, da selten Zwischenschritte angegeben werden. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Aufgabe G Stein Für reelle Zahlen ist die Relation... ist kleiner als... transitiv, d.h. aus a < b und b < c folgt a < c. Das Spiel Stein-Papier-Schere ist ein Beispiel für eine nicht transitive Relation. In der Abbildung bedeutet der Pfeil... schlägt.... Statt einen 6-seitigen Spielwürfel zu werfen, kann man auch einen -seitigen Tetraeder werfen. a) Untersuchen Sie, ob bei den folgenden drei Tetraeder-Würfeln die Relation... schlägt... bzw.... ist stärker als... transitiv ist. Papier Schere A 6 B C Wählen Sie dazu jeweils zwei Würfel aus und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p, mit der einer der Würfel gewinnt. b) Welcher Tetraeder-Würfel ist der stärkste, wenn alle drei gleichzeitig geworfen werden? a) An den Baumdiagrammen stehen die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die daneben stehenden Würfel gewinnen. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit A und B 6 B 6 6 B P(A gewinnt) = 9 6 9 6 A 6 6 B B und C 8 B 8 C P(B gewinnt) = 8 = 0 6 6 8 B 8 B A und C 8 C 8 C P(C gewinnt) = 8 = 0 6 8 A 8 C Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Beim paarweisen Vergleich gibt es keinen stärksten Tetraeder-Würfel. 9 6 A 0 6 In der Abbildung stehen an den Pfeilen die Gewinnwahrscheinlichkeiten. B 0 6 C b) Neben den Baumdiagrammen stehen die Gewinnwahrscheinlichkeiten der daneben stehenden Würfel. A, B und C B C 6 B B 9 A 9 C 6 B B P(A gewinnt) = 9 P(B gewinnt) = + + + + = P(C gewinnt) = + 9 = Also ist C der stärkste Tetraeder-Würfel. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Aufgabe G a) Ein Viereck hat Diagonalen, ein Fünfeck und ein Sechseck 9. Sei d(n) die Anzahl der Diagonalen in einem n-eck, also d() =, d() = und d(6) = 9. Für welches n gilt d(n) = 0? b) In einem Viereck gibt es nur einen Diagonalenschnittpunkt, beim Fünfeck sind es und beim Sechseck sind es maximal, wenn nicht Diagonalen durch einen Punkt gehen. In diesem Fall müsste dieser Schnittpunkt -fach gezählt werden. Sei s(n) die maximale Anzahl von Diagonalenschnittpunkten in einem konvexen n-eck, also s() =, s() = und s(6) =. Für welches n-eck gilt s(n) = 0? a). : Nimmt man zu einem n-eck einen weiteren Punkt hinzu, so erhält man weitere n + Diagonalen, denn von den neuen n Verbindungsstrecken sind die zusätzlichen Seiten des (n + )-Ecks und eine Seite des n-ecks wird zur Diagonalen. Also gilt d(n + ) = d(n) + (n ). Aus der Tabelle n 6 7 8 9 0 6 d(n) 9 0 7 6 77 90 0 folgt n = 6.. : Von jedem Punkt eines n-ecks gehen n Diagonalen aus, also gibt es (n ) n Diagonalen, da jede Diagonale doppelt gezählt wird. Aus folgt (n ) n = 0 0 = n n 08 = (n 6)(n + ). Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Also ist n = 6.. : Zu n Punkten gibt es ( n ) Verbindungsstrecken; davon sind n die Seiten des n-ecks. Aus ( ) n n = 0 folgt n(n ) n = 0 und somit 0 = n n 08 = (n 6)(n + ). Also ist d(6) = 0. b). : Nimmt man zu einem n-eck einen weiteren Punkt P dazu, so erhält man ( ) n weitere Schnittpunkte, denn zu beliebigen Punkten des n-ecks ergibt sich mit P ein weiterer Diagonalenschnittpunkt. Also gilt s(n + ) = s(n) + ( n ). Aus der Tabelle n 6 7 8 9 0 ( n ) 0 0 6 8 s(n) 70 6 0 folgt s(0) = 0.. : Es gibt ( n ) Diagonalenschnittpunkte, denn beliebige Punkte eines n-ecks ergeben einen Schnittpunkt und zu jedem Schnittpunkt gehören genau Eckpunkte. Aus n(n )(n )(n ) = 0 folgt n(n )(n )(n ) = 0 = 7 0 = 0 9 8 7. Also hat ein 0-Eck 0 Diagonalenschnittpunkte. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Aufgabe G In einem Koordinatensystem sei S die Menge aller Punkte (x y) für die gilt x + x + + y =. a) Zeigen Sie, dass S symmetrisch zu den Koordinatenachsen ist. b) Bestimmen Sie S im. Quadranten, und zwar in den Intervallen (i) 0 x (ii) x (iii) x >. c) Welche geometrische Figur bilden alle Punkte von S im Koordinatensystem? a) Ersetzt man (x y) durch ( x y), (x y) bzw. ( x y), so erhält man dieselbe Gleichung, denn es gilt x + x + = x + x +. b) Sei y 0. (i) Aus 0 x (ii) Für folgt (x ) + (x + ) + y =, also y =. x gilt (x ) + (x + ) + y =, also x + y =. (iii) Für x > gilt x + y =, also y = ( x) < 0, im Widerspruch zu y 0, d.h. für x > gibt es keine Punkte in S. x c) S ist ein regelmäßiges Sechseck mit Seitenlänge. y ( ) Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe G mit Aufgabe G y Berechnen Sie die Fläche des größten Kreises, der zwischen die beiden Glockenkurven y = ±e x passt. Hinweis: Die Ableitung von y = e ax ist y = ax e ax. y = e x x y = e x Seien r der Kreisradius und P der Punkt, in dem sich Kreis und Kurve berühren. y.: P(x e x ) Der Radius r ist der kleinste Abstand von (0 0) zur r Kurve. Mit r ist auch r minimal. x Aus r = x + e x und der Ableitung (r ) = x xe x = 0 folgt e x =, also ln x = 0 und somit x = ln = ln. Für den maximalen Radius r gilt also r = ln + und π(ln + ) ist die gesuchte Kreisfläche.. : Die Tangente in P(x e x ) mit der Steigung xe x ist senkrecht zur Strecke OP mit der Steigung e x. Also gilt x e x x ( x) e x =. Hieraus folgt e x =, also x = ln = ln. Somit ist der maximale Radius r = x + e x = ln + und π(ln + ) die Kreisfläche. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe E mit Aufgabe E Ein Glasfaserkabel soll von einer Anschlussstelle A zu einem Haus H verlegt werden. Die Verlegung unter der Straße kostet 0e/m, unter der Wiese 0e/m. 6m x 8m Wiese H Straße a) Wie teuer ist die Verlegung A (i) nur unter der Straße, d.h. direkt von A nach H? (ii) 6m unter der Straße und 8m unter der Wiese? b) Wie muss x gewählt werden (siehe Abb.), damit die Kosten K (x) möglichst gering sind? a) (i) 6 + 8 0 = 00 (e). (ii) 6 0 + 8 0 = 80 (e). b) Die Kosten sind K (x) = x + 6 0 + (8 x) 0. Aus K (x) = 0x x + 6 0 = 0 folgt x = x + 6 und somit x = 6 = ( ). Wegen ( ) { x K (x) = 0 x + 6 < 0, für x <, > 0, für x >, liegt bei x =, ein Minimum vor. Die minimalen Kosten sind K (,) = 0 (e). Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe E mit Aufgabe E Untersuchen Sie, ob folgende Terme rational oder irrational sind: a) r = ( + 6) + Hinweis: (a + b) = a + b + ab(a + b) b) s = + 0 + 0 a) Wegen r = ( + 6 + 6 ) + = ( 8 + ) + = 6 ( + ) + = 6 ist r = rational. b) Seien a := + 0 und b := 0. Dann ist s = a + b + ab(a + b) ( = + ) ( 0 + ) 0 ( + + ) ( 0 ) 0 s = 0 + s = 0 + s. Also ist 0 = s s 0 = (s )(s + s + 0). Die Gleichung s + s + 0 = 0 hat keine reelle, also ist s = und damit rational. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe E mit Aufgabe E D a) Über den vier Seiten eines Quadrates (Seitenlänge ) werden nach außen gleichseitige Dreiecke errichtet. A C Berechnen Sie die Fläche des Vierecks ABCD. b) Zwei Halbkreise mit Radius und ein Halbkreis mit Radius, begrenzen das in der Abbildung gefärbte Gebiet. B Berechnen Sie dessen Fläche. a) Da das Viereck ABCD gleichlange Seiten und gleichlange Diagonalen hat, ist es ein Quadrat. Die Diagonalen AC und BD haben die Länge Also ist die gesuchte Fläche + + = +. ( + ) ( = 6 + ). b) Das Gebiet, das zu beiden Halbkreisen gehört, enthält ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge und Fläche. Also ist die Fläche des gemeinsamen Gebiets 6 π Somit ist die gefärbte Fläche π ( ) π + π = π. = π. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe E mit Aufgabe E Eine gute Fee hatte eine Tochter namens Libussa. Diese war nicht nur sehr klug, sondern auch wunderschön, so dass sie viele Freier hatte, die um ihre Hand anhielten. Unter den vielen Freiern kamen vier in die engere Wahl, doch sie mussten noch einen Test bestehen. Den klügsten Freier wollte sie dann zum Gemahl nehmen. Libussa stellte folgende Aufgabe: Hier in meinem Korb befinden sich Nüsse. Der Erste von euch erhält zwei Drittel der Nüsse und eine mehr. Der Zweite erhält von den verbliebenen Nüssen die Hälfte und eine weitere Nuss. Der Dritte erhält von den verbliebenen Nüssen ebenfalls die Hälfte und eine weitere Nuss. Der Letzte erhält von den restlichen Nüssen die Hälfte und drei Nüsse. Dann ist der Korb leer. Sagt mir, wie viele Nüsse zu Beginn im Korb waren.. : Sei n die gesuchte Anzahl der Nüsse im Korb. Nr. Korbentnahme Verbliebene Korbfüllung n + n ( n + ) = n ( n ) + = n 6 + ( n 6 ) + = n + n ( n + ) = n 6 6 n ( n + ) = n 7 6 ( n 7 ) + = n + 7 8 Entweder Summe der Korbentnahmen: ( ) ( n n = n + + 6 + ) ( n + + ) + ( n + 7 ) = 8 n + 8. Aus n = n + 8 folgt n = 9. Oder letzte Korbentnahme: Aus n + 7 8 = 6 folgt n = 9. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe E mit. : Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der Nüsse im Korb vor der Ziehung durch den Freier der entsprechenden Nummer: = 6 (6 + ) = ( + ) = 0 (0 + ) = 9 Es waren 9 Nüsse im Korb. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H mit Aufgabe H Bei einer Folge a, a, a,... ist a = 7 = 9. Für das nächste Glied der Folge nimmt man die Quersumme von 9, addiert und quadriert diese Zahl, also a = ( + 9 + ) = = 96. Somit ist a = ( + 9 + 6 + ) = 7 = 89. Welche Zahl steht an der 08. Stelle? Berechnen Sie a 08. n a n 9 96 89 ( + 8 + 9 + ) = 0 = 00 ( + 0 + 0 + ) = = 6 ( + + ) = 8 = 6 7 (6 + + ) = = 8 ( + + + ) = = Die Folge ist ab a periodisch mit der Periode : a +k = a ; k =,,,.... Wegen 08 = + 67 ist a 08 = a =. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H mit Aufgabe H Für welches x gilt 9 7 = ( ) x? Aus folgt 6 = x x = 9 + + 6 + = also x =. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H mit Aufgabe H Im Inneren eines Quadrats (Seitenlänge ) werden zufällig fünf Punkte ausgewählt und ihre Abstände berechnet. Zeigen Sie, dass mindestens zwei Punkte einen Abstand kleiner haben. Unterteilt man das Quadrat durch seine Mittellinien in vier kleinere Quadrate, so müssen mindestens zwei Punkte in einem dieser kleineren Quadrate liegen. Ihr Abstand ist kleiner als die Länge der Diagonalen, also kleiner als. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H mit Aufgabe H Ein normales Buch wird zufällig aufgeschlagen. Das Produkt der beiden sichtbaren Seitenzahlen ist 6. Welche Seitenzahlen sind es? Für die gesuchten Seitenzahlen s und s + gilt s(s + ) = 6 und somit 0 = s + s 6 = (s )(s + ). s = ist die einzige positive. Also sind s = und s + = die gesuchten Seitenzahlen. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H mit Aufgabe H Für welche x gilt log ( x ) ( ) ( + log + log x ) = log ( ) + log (x)? x Aus folgt log ( x ) ( ) ( ) ( ) + log + log = log + log (x) x x log x + log log x = log log x + log + log x und somit log x = log, also x =. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H6 mit Aufgabe H6 Drei gleich schwere Steine, deren spezifische Gewichte (Dichte) sich wie : : 6 verhalten, haben zusammen ein Volumen von cm. Berechnen Sie die Volumen der einzelnen Steine. Hinweis: Masse = Volumen spez. Gewicht Seien V i, m i und ρ i, i =,,, die Volumen, Massen und spezifischen Gewichte der drei Steine. Dann gilt m = m = m und ρ = ρ, ρ = 6 ρ. Aus = V + V + V = m + m + m = m + m ρ ρ ρ ρ ρ = m ( + ρ + ) = m ρ 0 + m ρ folgt m = 0 ρ = 0 und somit V = 0cm, V = 0cm, V = cm. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H7 mit Aufgabe H7 Aus einer Gruppe von drei Männern (M) und zwei Frauen (F) werden drei Personen zufällig für einen -er Ausschuss ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit p, dass beide Frauen in dem Ausschuss sind?. : F M F M M F F F p = + + = 0. p = ( )( ( ) ) = 0 Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006

Tag der Mathematik 08 Aufgabe H8 mit Aufgabe H8 In der Fußball-Bundesliga mehren sich die Stimmen, dass anstelle des Videobeweises besser ein zweiter, gleichberechtigter Schiedsrichter eingesetzt werden sollte. Im Folgenden werden drei Annahmen gemacht: (i) Beide Schiedsrichter treffen unabhängig voneinander mit einer Wahrscheinlichkeit von 80% die richtige Entscheidung. (ii) Sind beide bei der Beurteilung einer Spielsituation der gleichen Meinung, so gilt diese. (iii) Sind die beiden jedoch unterschiedlicher Meinung, werfen sie eine symmetrische Münze und entscheiden dadurch, welche Meinung richtig ist. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Verfahren die richtige Entscheidung getroffen wird. Hinweis: Bei allen Entscheidungen zu Regelverstößen handele es sich um ja/nein-entscheidungen, wie z.b. Foul/kein Foul oder Abseits/kein Abseits. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig die richtige Entscheidung treffen, ist 0,8 0,8 = 0,6. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie unterschiedlicher Meinung sind und daher eine Münze werfen, die die richtige Entscheidung anzeigt, ist in beiden Fällen 0,8( 0,8) = 0,08. Die Wahrscheinlichkeit für eine richtige Entscheidung ist daher 0,6 + 0,08 + 0,08 = 0,8. Das beschriebene Verfahren mit einem zweiten Schiedsrichter ist also nicht besser als das bisherige mit nur einem Schiedsrichter. Zentrum für Mathematik Werrastraße 6 66 Bensheim 06-8006