Wintersemester 2005/06 20.2.2006 Prof. Dr. Jörg Rambau Klausur zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Bitte lesbar ausfüllen, Zutreffendes ankreuzen Herr Frau Name, Vorname: Anschrift: Geburtsdatum: Studiengang: Matrikelnummer: Semester: Platz-Nr.: Hinweise: Tragen Sie auf dieser Seite Ihre persönlichen Daten und auf jedem der folgenden Blätter Ihre Matrikelnummer und Ihren Namen ein. Blätter ohne Namen können nicht bewertet werden. Beginnen Sie Ihre Lösungen unter dem Aufgabentext und schreiben Sie gegebenenfalls auf die zugehörige Rückseite. Falls der Platz nicht ausreicht, befinden sich am Ende der Klausur zusätzliche leere Blätter. Soweit nötig, benutzen Sie für jede Aufgabe ein separates Zusatzblatt. Die Heftung darf nicht geöffnet werden. Stellen Sie den Lösungsweg ausführlich und begründet dar. Die Angabe eines Ergebnisses allein kann nicht mit Punkten honoriert werden. Schreiben Sie von links nach rechts und von oben nach unten. Als Hilfsmittel ist nur ein handgeschriebener Merkzettel zugelassen. Es sind maximal 68 Punkte erreichbar. Sicher bestanden ist die Klausur ab 30 Punkten. Bearbeitungszeit: 240 Minuten Bewertung Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 erzielte Punkte /6 /8 /6 /6 /6 /8 /6 /9 /7 /6 /68
Aufgabe 1 Punkte: / 6 Modellieren Sie eine Nachfragefunktion mit folgenden Eigenschaften durch ein quadratisches Polynom N : [0, 4] R: N(0) = 10 N(3) = 4 N(x) hat eine Nullstelle bei x = 4. Antwort: N(x) =........................... Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 1:
Aufgabe 2 Punkte: / 8 Gegeben sind die Matrizen A = ( 1 3 2 4 1 5 E = ), B = ( 2 1 1 0 2 0 1 3 1 1 2 1 0 ), F =, C = ( 1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 ) und G =, D = ( 1 3 2 ), Geben Sie an, ob die folgenden Matrixprodukte existieren (Sie brauchen die Matrixprodukte nicht auszurechnen, nur angeben, ob sie existieren [Ja/Nein]): 2 3 2. a) AB b) A T B c) BA d) DG e) C 2 f) F E g) GD h) AF a) b) c) d) e) f) g) h) Nebenüberlegungen:
Fortsetzung von Aufgabe 2:
Aufgabe 3 Punkte: / 6 Berechnen Sie die Determinante folgender Matrix: 1 3 0 0 A = 0 1 1 0 3 2 0 5 1 1 4 7 Antwort: det(a) =........... Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 3:
Aufgabe 4 Punkte: / 6 Maximieren Sie die Zielfunktion unter den Nebenbedingungen Z(x 1, x 2 ) = 3x 1 + x 2 x 1 + x 2 6, x 1 + 2x 2 10, x 1 5 und x 1, x 2, 0 mit Hilfe des Simplexalgorithmus. (Sie können die vorgezeichneten Tableaus benutzen, EP steht hierbei für den Engpass.) Antwort: Der optimale Zielfunktionswert lautet:................................. Die optimale Mengenkombination (x 1, x 2 ) lautet:...................... Rechnung: x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z
Fortsetzung von Aufgabe 4: x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 b EP z
Aufgabe 5 Punkte: / 6 Die Bayreuther Motorenwerke (BMW) wollen ihre Kosten senken ohne Mitarbeiter zu entlassen. Der Chef der Logistikabteilung hat ein Bauchgefühl, dass man in seiner Abteilung noch etwas optimieren könnte. Lage: In den Werken Darmstadt, Köln und Stuttgart werden verschiedenartige Einzelteile produziert, die in den Werken Bayreuth und Hamburg zu Automobilen zusammengesetzt werden. Die Einzelteile, obwohl verschieden, werden in Standardgitterboxen transportiert. Der aktuelle Belieferungsplan mit Gitterboxen ist in folgender Tabelle abgebildet: Darmstadt Köln Stuttgart Bayreuth 1 000 4 000 3 000 Hamburg 2 000 5 000 2 000 Bisher werden die Gitterboxen dorthin zurückgefahren, wo sie hergekommen sind. Nach Aussage des Logistikchefs ist dies aber nicht zwingend nötig. Die einzigen Bedingungen, die für einen flüssigen Produktionsablauf erfüllt werden müssen, sind, dass die Zulieferwerke Darmstadt, Köln und Stuttgart jeweils so viele Gitterboxen zurück bekommen, wie sie geliefert haben und, dass die Werke Bayreuth und Hamburg nur so viele Gitterboxen wieder abgeben können, wie sie beliefert bekommen haben. Die Kosten für den Transport einer Gitterbox (in GE) können folgender Tabelle entnommen werden: Darmstadt Köln Stuttgart Bayreuth 2 500 4 500 5 000 Hamburg 4 500 5 000 10 000 Ihr Auftrag: Modellieren Sie ein lineares Programm, um die Transportkosten der Gitterboxen zu minimieren. (Sie brauchen es nicht zu lösen!) Modellierung:
Fortsetzung von Aufgabe 5:
Aufgabe 6 Punkte: / 8 Konvergieren folgende Reihen? Bestimmen Sie ggf. den Wert der Reihe. a) 2n 3 + 7, b) n=1 n=0 ( ) n 2, c) 3 3 4 2n 5 1 n, d) n=0 4 5 n 3 1 2n. n=0 Konvergenz (Ja/Nein) Grenzwert a) b) c) d) Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 6:
Aufgabe 7 Punkte: / 6 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen und die kritischen Stellen folgender Funktionen: a) f 1 (x, y) = 2x 2 + 3xy y 2 + 2x 3y + 3 b) f 2 (x, y) = y 3 4x 2 y Tragen Sie die kritischen Stellen ein: a) b) Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 7:
Aufgabe 8 Punkte: / 9 Betrachten Sie folgende Nutzenfunktion N(x, y) = x 2 y 2 + 4y + 10 eines Schafs. Sie ist dadurch gegeben, an welcher Stelle der Wiese das Schaf grast. Da es an einem Pfahl angebunden ist, muss sich das Schaf an die Nebenbedingung halten. x 2 + y 2 10 Bestimmen Sie die zugehörige Lagrangefunktion. Wie lauten die globalen Nutzenextrema und an welchen Stellen liegen sie? Betrachten Sie hierzu die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion. Antwort: Die Lagrangefunktion lautet:......................................................... Die globalen Nutzenmaxima liegen bei:............................................... Das globale Nutzenminima liegt bei:............................................... Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 8:
Aufgabe 9 Punkte: / 7 Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale: a) 1 1 (x 2 + 1) dx b) 2 0 (x + 1)e x dx c) π 0 x sin(x 2 ) dx Tragen Sie die richtige Antwort ein: a) b) c) Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 9:
Aufgabe 10 Punkte: / 6 Eine Ein-Produkt-Unternehmung produziert mit folgender Grenzkostenfunktion d K d x : d K d x (x) = 3x2 8x + 10 in Abhängigkeit des Outputs x. Bei einem Output von 10 ME betragen die Gesamtkosten 720 GE. Ermitteln Sie die Gleichungen der Gesamtkosten- und Stückkostenfunktion (Kosten pro Stück). Tragen Sie die richtige Antwort ein: Gesamtkostenfkt.: Stückkostenfkt.: Rechnung:
Fortsetzung von Aufgabe 10:
Fortsetzung von Aufgabe:...... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt
Fortsetzung von Aufgabe:...... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt
Fortsetzung von Aufgabe:...... Hilfsüberlegungen, bitte nicht bewerten. Zusatz-Blatt