Logik für Informatiker

Logik für Informatiker 3. Prädikatenlogik Teil 2 1.06.2017 Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1

Syntax der Prädikatenlogik Idee (P Q) (P Q) 2

Syntax der Prädikatenlogik Idee (P Q) (P Q) 3

Syntax der Prädikatenlogik Idee (P Q) Q) even(x) 4

Syntax der Prädikatenlogik Idee (P Q) ( even(x) even(x+1) 5

Syntax der Prädikatenlogik Idee (even(x) even(x+1)) (even(x) even(x+1)) 6

Syntax der Prädikatenlogik Idee (even(x) even(x+1)) (even(x) even(x+1)) Semantik: Wahr in N, für x = 1. 7

Syntax der Prädikatenlogik Idee x (even(x) even(x+1)) (even(x) even(x+1)) Semantik: Wahr in N 8

Prädikatenlogik Syntax 1. Logische Symbole: 1.1: Wie in der ussagenlogik:, ; ;,,, 1.2: Quantoren:,. 2. Nichtlogische Symbole: Signatur Σ = (Ω, Π), 2.1: Ω Menge von Funktionssymbolen. Notation: f/n: f hat Stelligkeit n 0, 2.2: Π Menge von Prädikatensymbolen. Notation: p/m: p hat Stelligkeit m 0. (Das Gleichheitsprädikat kann (muss aber nicht) enthalten sein.) Funktionsssymbole mit Stelligkeit n = 0 heißen Konstanten. Prädikatensymbole mit Stelligkeit n = 0 heißen ussagenvariablen. 3. Variablen: X vorgegebene Menge von abzählbar unendlich vielen Symbolen, die wir für (die Bezeichnung von) Variablen verwenden. 9

Terme Mit T Σ (X) bezeichnen wir die Menge der Σ-Terme. Menge T Σ (X) der Σ-Terme: Die kleinste Menge mit: X T Σ (X) Wenn f Ω, n ist die Stelligkeit von f t 1,...,t n T Σ (X) dann f(t 1,...,t n ) T Σ (X) 10

tome tome (tomare Formeln) über Σ genügen dieser Syntax:,B [ ::= p(s 1,...,s m ), p/m Π (s t) (Gleichung) ] wobei s 1,...,s m,s,t T Σ (X). Ist m = 0, so handelt es sich bei p um eine ussagenvariable. tome: Formeln der Form p(s 1,...,s m ), wobei p/m Π und s 1,...,s m T Σ (X). 11

Literale L ::= (positives Literal) (negatives Literal) Beispiele: Mann(Vater(x)) Mann(Vater(x)) Vater(Jan) Vater(nna) (Vater(Jan) Vater(nna)) x y (x +(succ(y)+1)) z x y ((x +(succ(y)+1)) z) 12

Klauseln C, D ::= (leere Klausel) L 1... L k, k 1 (nichtleere Klausel) Beispiele: Mann(Vater(x)) (Vater(Jan) Vater(nna)) Frau(Vater(x)) (x y) (x +(succ(y)+1)) z x y (x y) (x y) (x y) 13

Formeln Formeln über Σ: F,G,H ::= (Falsum) (Verum) (atomare Formel) F (Negation) (F G) (Konjunktion) (F G) (Disjunktion) (F G) (Implikation) (F G) (Äquivalenz) xf xf (llquantifizierung) (xistenzquantifizierung) 14

Formeln Menge For Σ der Formeln über Σ: Die kleinste Menge, die lle atomaren Formeln enthält, For Σ, For Σ, Wenn F,G For Σ, dann auch F,F G,F G,F G,F G For Σ, Wenn F For Σ und x X, dann xf For Σ, xf For Σ 15

Konventionen zur Notation Klammereinsparungen werden nach folgenden Regeln vorgenommen: > p > p > p > p (Präzedenzen), und sind assoziativ und kommutativ. Qx 1,...,x n F für Qx 1...Qx n F. Terme und tome in Infix-, Präfix-, Postfix- oder Mixfixnotation; Beispiele: s +t s t s für +(s,t) für (s,t) für (s) 0 für 0() 16

Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau 17

Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Ω = {koblenz/0} Π = {studiertin/2, schlau/1} 18

Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Ω = {koblenz/0} Π = {studiertin/2, schlau/1} x(studiertin( x }{{} Variable Term,koblenz) }{{} Konstante Term schlau( x }{{} Variable Term }{{}}{{} tom tom }{{} Formel } {{ } Formel )) 19

Beispiel s gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Ω = {landau/0} Π = {studiertin/2, schlau/1} x(studiertin( x }{{} Variable Term,landau) }{{} Konstante Term schlau( x }{{} Variable Term }{{}}{{} tom tom }{{} Formel } {{ } Formel )) 20

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x a f(g(a,y,b),x) g(a,x) p(g(a,y,b),x) p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 21

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a f(g(a,y,b),x) g(a,x) p(g(a,y,b),x) p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 22

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a,y,b),x) g(a,x) p(g(a,y,b),x) p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 23

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a,x) p(g(a,y,b),x) p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 24

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a,y,b),x) p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 25

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a),b) q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 26

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a,b,x)) q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 27

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) nein nein ja ja ja nein q(g(a,b,x)) a q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 28

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) nein nein ja ja ja nein q(g(a, b, x)) a nein nein nein nein nein ja q(g(a,b,x)) p(a,a) x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 29

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) nein nein ja ja ja nein q(g(a, b, x)) a nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) p(a, a) nein nein nein ja ja nein x(p(x,f(x,x))) b(p(b,f(b,b))) 30

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) nein nein ja ja ja nein q(g(a, b, x)) a nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) p(a, a) nein nein nein ja ja nein x(p(x, f(x, x))) nein nein nein nein ja nein b(p(b,f(b,b))) 31

Beispiele X Variablenmenge, x,y,z X; Σ = {Ω,Π}, mit Ω = {f/2,g/3,a/0,b/0} und Π = {p/2,q/1,r/0} Term tom Literal Klausel Formel Nichts x ja nein nein nein nein nein a ja nein nein nein nein nein f(g(a, y, b), x) ja nein nein nein nein nein g(a, x) nein nein nein nein nein ja p(g(a, y, b), x) nein ja ja ja ja nein p(q(a), b) nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) nein nein ja ja ja nein q(g(a, b, x)) a nein nein nein nein nein ja q(g(a, b, x)) p(a, a) nein nein nein ja ja nein x(p(x, f(x, x))) nein nein nein nein ja nein b(p(b, f(b, b))) nein nein nein nein nein ja 32

Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau Ω = {koblenz/0} Π = {studiertin/2, schlau/1} x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) s gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist Ω = {landau/0} Π = {studiertin/2, schlau/1} x(studiertin(x, landau) schlau(x) 33

Formalisierung in Prädikatenlogik Universelle Quantifizierung: Faustregel: ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler: Verwendung von mit 34

Formalisierung in Prädikatenlogik Universelle Quantifizierung: Faustregel: ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler: Verwendung von mit Beispiel lle, die in Koblenz studieren, sind schlau. Richtig: Falsch: x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) x(studiertin(x, koblenz) schlau(x)) lle studieren in Koblenz und sind schlau. 35

Formalisierung in Prädikatenlogik xistenzielle Quantifizierung Faustregel: ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler: Verwendung von mit 36

Formalisierung in Prädikatenlogik xistenzielle Quantifizierung Faustregel: ist der logische (Top-level-)Operator mit Häufiger Fehler: Verwendung von mit Beispiel s gibt jemand, der in Landau studiert und schlau ist. Richtig: Falsch: x(studiertin(x, landau) schlau(x)) x(studiertin(x, landau) schlau(x)) s gibt jemanden, der, falls er/sie in Landau studiert, schlau ist. Trivial wahr, wenn es irgendjemanden gibt, der nicht in Landau studiert. 37

Beispiel: Tante gatha Jemand, der in Schloss Dreadbury wohnt, hat Tante gatha ermordet. gatha, ihr Butler und ihr Neffe Charles waren die einzigen Bewohner von Schloss Dreadbury. in Mörder hasst immer sein Opfer und ist niemals reicher als sein Opfer. Charles hasst niemanden, den Tante gatha gehasst hat. gatha hat jeden gehasst außer ihrem Butler. Der Butler hasst jeden, der nicht reicher ist als Tante gatha. Der Butler hasst jeden, den Tante gatha gehasst hat. Niemand hasst jeden. gatha war nicht der Butler. Wer hat Tante gatha ermordet? 38

Beispiel: Tante gatha Jemand, der in Schloss Dreadbury wohnt, hat Tante gatha ermordet. gatha, ihr Butler und ihr Neffe Charles waren die einzigen Bewohner von Schloss Dreadbury. 39

Beispiel: Tante gatha Jemand, der in Schloss Dreadbury wohnt, hat Tante gatha ermordet. x (schlossbewohner(x) ermordet(x, a)) gatha, ihr Butler und ihr Neffe Charles waren die einzigen Bewohner von Schloss Dreadbury. 40

Beispiel: Tante gatha Jemand, der in Schloss Dreadbury wohnt, hat Tante gatha ermordet. x (schlossbewohner(x) ermordet(x, a)) gatha, ihr Butler und ihr Neffe Charles waren die einzigen Bewohner von Schloss Dreadbury. x (schlossbewohner(x) (x a x b x c)) 41

Beispiel: Tante gatha in Mörder hasst immer sein Opfer und ist niemals reicher als sein Opfer. Charles hasst niemanden, den Tante gatha gehasst hat. gatha hat jeden gehasst außer ihrem Butler. 42

Beispiel: Tante gatha in Mörder hasst immer sein Opfer und ist niemals reicher als sein Opfer. x,y (ermordet(x,y) hasst(x,y)) x,y (ermordet(x,y) reicher(x,y)) Charles hasst niemanden, den Tante gatha gehasst hat. gatha hat jeden gehasst außer ihrem Butler. 43

Beispiel: Tante gatha in Mörder hasst immer sein Opfer und ist niemals reicher als sein Opfer. x,y (ermordet(x,y) hasst(x,y)) x,y (ermordet(x,y) reicher(x,y)) Charles hasst niemanden, den Tante gatha gehasst hat. x (hasst(c,x) hasst(a,x)) gatha hat jeden gehasst außer ihrem Butler. 44

Beispiel: Tante gatha in Mörder hasst immer sein Opfer und ist niemals reicher als sein Opfer. x,y (ermordet(x,y) hasst(x,y)) x,y (ermordet(x,y) reicher(x,y)) Charles hasst niemanden, den Tante gatha gehasst hat. x (hasst(c,x) hasst(a,x)) gatha hat jeden gehasst außer ihrem Butler. x ( hasst(a,x) x b) 45

Beispiel: Tante gatha Der Butler hasst jeden, der nicht reicher ist als Tante gatha. x ( reicher(x,a) hasst(b,x)) Der Butler hasst jeden, den Tante gatha gehasst hat. x (hasst(a,x) hasst(b,x)) Niemand hasst jeden. x y ( hasst(x,y)) gatha war nicht der Butler. a b 46

Beispiel: rithmetik Σ P = (Ω P, Π P ) Ω P = {0/0, +/2, /2, s/1} Π P = { /2, < /2, /2} +, infix; > p + Formelbeispiele über dieser Signatur sind x,y(x y z(x +z y)) x y(x +y y) x,y(x s(y) x y +x) x,y(s(x) s(y) x y) x y x < y 47

Gebundene und freie Variablen 48

Gebundene und freie Variablen Definitionen: In QxF, Q {, }, heißt F der Bindungsbereich des Quantors Qx. in uftreten einer Variablen x heißt gebunden, wenn es zum Bindungsbereich eines Quantors Qx gehört. lle anderen uftreten von Variablen heißen frei. Formeln ohne freie Variablen heißen Satzformen. Variablenfreie Formeln heißen Grundformeln. 49

Beispiel Bindungsbereich { }} { Bind. {}}{ y ( x p(x) q(x,y)) 50

Beispiel p(z) x (q(x,z) z r(y,z)) 51

Beispiel p(z) x (q(x,z) z r(y,z)) x gebunden y frei z frei und gebunden 52

Substitution eines Termes für eine Variable 53

Substitution eines Termes für eine Variable Mit F[s/x] bezeichnen wir das Resultat der Substitution aller freien uftreten von x in F durch den Term s. F[s/x] sei durch strukturelle Induktion über den ufbau von F wie folgt definiert: x[s/x] = s x [s/x] = x ; falls x x f(s 1,...,s n )[s/x] = f(s 1 [s/x],...,s n [s/x]) [s/x] = [s/x] = p(s 1,...,s n )[s/x] = p(s 1 [s/x],...,s n [s/x]) (u v)[s/x] = (u[s/x] v[s/x]) F[s/x] = (F[s/x]) (FρG)[s/x] = (F[s/x]ρG[s/x]) ; für alle binären Junktoren ρ {,,, } (QyF)[s/x] = Qz((F[z/y])[s/x]) ; z neue Variable 54

Beispiel Terme: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} x,y,z,u X g(f(x),g(f(x),z)) [g(y,u)/x] = g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),z)) 55

Beispiel tome: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} x,y,z,u X p(g(f(x),g(f(x),z)), y) [g(y,u)/x] = p(g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),z)), y) 56

Beispiel Formeln ohne Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} x,y,z,u X p(g(f(x),g(f(x),z)), y) (g(x,y) f(g(z,z))) [g(y,u)/x] = p(g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),z)),y) (g(g(y,u),y) f(g(z,z))) 57

Formeln mit Quantoren: Problematik (QyF)[s/x] = Qz((F[z/y])[s/x]) ; z neue Variable Der Grund für die Umbenennung der gebundenen Variablen y in eine neue unbenutzte Variable z ist die Vermeidung des infangens freier Variablen in s. Sollte y in s auftreten, wären sonst diese uftreten nach erfolgter Substitution gebunden. 58

Beispiel Formeln mit Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) z(x g(y,z)) ) [g(y,z)/x] 59

Beispiel Formeln mit Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( = x(p(x,g(f(x),y))) x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x] z(x g(y,z)) ) [g(y,z)/x] z(x g(y,z))[g(y,z)/x] 60

Beispiel Formeln mit Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( = = x(p(x,g(f(x),y))) x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x] z(x g(y,z)) ) [g(y,z)/x] v(p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x] z(x g(y,z))[g(y,z)/x] u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x]) 61

Beispiel Formeln mit Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( = = = x(p(x,g(f(x),y))) x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x] z(x g(y,z)) ) [g(y,z)/x] v(p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x] v(p(v,g(f(v),y)))[g(y,z)/x] z(x g(y,z))[g(y,z)/x] u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x]) u((x g(y,u))[g(y,z)/x]) 62

Beispiel Formeln mit Quantoren: Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( = = = = x(p(x,g(f(x),y))) x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x] z(x g(y,z)) ) [g(y,z)/x] v(p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x] v(p(v,g(f(v),y)))[g(y,z)/x] v(p(v,g(f(v),y))) z(x g(y,z))[g(y,z)/x] u(g(y,z) g(y,u)) u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x]) u((x g(y,u))[g(y,z)/x]) 63

Substitution allgemein Definition. Substitutionen sind bbildungen so dass der Bereich von σ, d.h. die Menge σ : X T Σ (X), dom(σ) = {x X σ(x) x}, endlich ist. Die Menge der eingeführten Variablen, d.h. der Variablen die in einem der Terme σ(x), für x dom(σ), auftreten, wird mit codom(σ) bezeichnet. Substitutionen schreiben wir auch als [s 1 /x 1,...,s n /x n ], x i pw. verschieden, und meinen dann die bbildung [s 1 /x 1,...,s n /x n ](y) = { si, falls y = x i y, sonst b jetzt schreiben wir für die pplikation σ(x) von Substitutionen xσ. 64

nwendung einer Substitution Homomorphe Fortsetzung von σ auf Terme und Formeln: f(s 1,...,s n )σ = f(s 1 σ,...,s n σ) σ = σ = p(s 1,...,s n )σ = p(s 1 σ,...,s n σ) (u v)σ = (uσ vσ) Fσ = (Fσ) (FρG)σ = (FσρGσ) ; für alle binären Junktoren ρ (QxF)σ = Qz((F[z/x])σ); wobei z neue Variable bänderung einer Substitution σ an x zu t: σ[x t](y) = { t, falls y = x σ(y), sonst 65

Beispiel nwendung einer Substitution auf Terme Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} g(f(x),g(f(x),z)) [g(y,u)/x,f(x)/y,a/z] = g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),a)) 66

Beispiel nwendung einer Substitution auf tome Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} p(g(f(x),g(f(x),z)), y) [g(y,u)/x,f(x)/y,a/z] = p(g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),a)),f(x)) 67

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln ohne Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} p(g(f(x),g(f(x),z)), y) (g(x,y) f(g(z,z))) [g(y,u)/x,f(x)/y,a/z] = p(g(f(g(y,u)),g(f(g(y,u)),a)),f(x)) (g(g(y,u),f(x)) f(g(a,a))) 68

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln mit Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) z(x g(y,z)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] 69

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln mit Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) = z(x g(y,z)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] z(x g(y,z))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] 70

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln mit Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) = = z(x g(y,z)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] z(x g(y,z))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] v((p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) 71

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln mit Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) = = = z(x g(y,z)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] z(x g(y,z))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] v((p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) v(p(v,g(f(v),f(x)))) u((x g(y,u))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) 72

Beispiel nwendung einer Substitution auf Formeln mit Quantoren Σ = (Ω,Π), mit Ω = {f/1,g/2,a/0}, Π = {p/2, /2} ( x(p(x,g(f(x),y))) = = = = z(x g(y,z)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] x(p(x,g(f(x),y)))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] z(x g(y,z))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z] v((p(x,g(f(x),y))[v/x])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) u(((x g(y,z))[u/z])[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) v(p(v,g(f(v),f(x)))) v(p(v,g(f(v),f(x)))) u((x g(y,u))[g(y,z)/x,f(x)/y,a/z]) u(g(y,z) g(f(x),u)) 73

Bis jetzt Prädikatenlogik Syntax Signatur Terme Formeln Substitutionen 74