Untersuchung des mathematischen Pendels

Untersuchung des mathematischen Pendels Thomas Bächler, Markus Lange-Hegermann, Marcel Wallraff Aachen, 7. Mai 7

Einführung Im folgenden Abschnitt wird eine kurze Voruntersuchung des mathematischen Pendel durchgeführt. Das mathematischen Pendel besitzt:. Einen Massepunkt mit Masse m. Eine Entfernung zum Ursprung l (Länge) 3. Reibung r 4. Gravitation g Aus physikalischen Gründen gilt für diese Konstanten m, l > und r, g. Dieses Pendel kann durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung modelliert werden: ẍ = hẋ + ω sin(x) + bu Wobei d, ω, b mathematische Konstanten sind, die wie folgt definiert sind: h = r m g ω = l b = ml Als Spezialfall, auf den alles zurückgeführt wird, ist die Möglichkeit r = ( h = ) zu betrachten, dann ist die Differentialgleichung von der Form: ẍ = ω sin(x) + bu Nach dem Reduktionssatz, aus [Kr] bekannt, folgt für unsere Differentialgleichung, dass wir sie in ein System von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung überführen können. Daraus ergibt sich das System: ẋ = x = hx + ω sin(x ) + bu ẋ Dieses System kann man von einem beliebigen Zustand in jeden beliebigen anderen Zustand steuern. Um genau diesen Sachverhalt kümmern wir uns im folgenden Kapitel. Das Ziel ist es, das Pendel in sein Gleichgewicht in der aufrechten Position zu steuern.

Mathematische Modelle. Nichtlinear ohne Reibung In diesem Modell machen wir für u den Ansatz, dass wir eine Funktion v := ω sin(x )+bu definieren. Dadurch vereinfacht sich die Differentialgleichung zu ẋ = x, ẋ = v. Dies kann gelöst werden durch x (t) = x + t v(s)ds und x (t) = x + t x (s)ds. Nimmt man nun an, dass v durch eine lineare Gleichung gegeben ist, also v(t) := ct + a, so gilt dann: x (t) = ct + at + x x (t) = 6 ct3 + at + x t + x Einsetzen der Randbedingung x(τ) = liefert: Dies alles liefert das gewünschte u, mit: c = 6(x τ + x ), a = (x τ + 3x ) τ 3 τ u(t) = v(t) ω sin(x (t)) b = a b + c b t ω b sin(x (t)) Dieses u steuert nun unser System in die gewünschte Stellung, insbesondere ist das System steuerbar nach.. Nichtlinear mit Reibung In diesem Modell wird nun noch die Reibung beachtet, aber der selbe Ansatz wie oben benutzt. Es stellt sich heraus, dass bei unserem Ansatz die Reibung nicht die Bewegung des (kontrollierten) Pendels beeinflusst. Sehr wohl wird jedoch der benötigte Input beeinflusst. Zunächst setze v := ω sin(x ) + hx + bu. x (t) und x (t) berechnen sich dann wie oben, ohne den Einfluss der Reibung. Schließlich kann man dann nun u ausrechnen als: u(t) = a b + c b t + h b x (t) ω b sin(x (t)) Dieses u zeigt wieder, dass das System auch mit Reibung steuerbar ist..3 Linear ohne Reibung Der nächste Ansatz ist es, das System zu linearisieren. In der Differentialgleichung wird also der Sinus ersetzt durch seine lineare Taylorapproximation. Dies liefert das neue System: 3

ẋ = x = ω x + bu Dies ist nun ein Zustandsraummodell und lässt sich mit den Matrixen schreiben als: ẋ A := [ ] ω, B := ẋ = Ax + Bu Bei diesem Modell orientieren wir uns an der Vorlesung [Ze7]. Jedoch wird hier die Steuerbarkeit nach betrachtet und nicht die Steuerbarkeit von aus. Um zu zeigen, dass das System steuerbar nach ist, definiere die Gram sche Kontrollmatrix W C und die Inputfunktion u: [ ] b W C (t) := t e As BB tr e Atrs ds u(t) := B tr e Atrt W C (τ)x Verwende nun die für den linearen Fall spezielle Form, um zu zeigen, dass dieses u das System kontrolliert: ϕ(τ,, x, u( )) = e Aτ x + τ e A(τ s) Bu(s)ds τ = e Aτ x e Aτ (e As BB tr e Atrs )W C (τ) x ds τ = e Aτ x e Aτ (e As BB tr e Atrs )dsw C (τ) x = e Aτ x e Aτ W C (τ)w C (τ) x = e Aτ x e Aτ x = Das linearisierte System ist also steuerbar nach und insbesondere ist die Funktion u zum Steuern bekannt. Für dieses spezielle System ergibt sich mit Hilfe von Maple (Vergleiche Anhang): W C (τ) = b ( e4 τ ω + 4 τ ω e τ ω + ) e τ ω + e τ ω + e τ ω ω 3 ω 8 + e τ ω + e τ ω ( + 4 τ ω e τ ω + e 4 τ ω ) e τ ω ω ω 4

ω u(t) = (x b( 4τ ω +e τω +e τω ) (ωe ω(τ t) +ω e tω τ ω e tω τ+ωe ω(τ t) ωe tω ωe tω )+ x ( e tω + e ω(τ t) + e tω e ω(τ t) e tω τω e tω τω)) Dieses u hat leider keine schöne Form mehr. Es ist aber so möglich, es zu programmieren. Weiter errechnen sich Formeln für x (t) und x (t): x (t) = 4τ ω +e ( τω) +e (τω) ( x (e (tω) e ( tω) + e (ω( τ+t)) ω e ( tω) τ + ωe ( tω) τ ωe (t ω) τ +ω τe ( tω) t ω e (tω) τ +e ( ω( τ+t)) +ωe ( ω( τ+t)) t ωe (ω( τ+t)) t+ωe (tω) t ωe ( tω) t + ω e (tω) τt) + x (+e ( tω) τ ω e (tω) τ ω e ( tω) t + e ( ω( τ+t)) t e (tω) t + e (ω( τ+t)) t + e (tω) τωt τωe ( tω) t)) x (t) = (x ( 4τ ω +e ( τω) +e (τω) ) ω ( ωe ( tω) τ +ωτe ( tω) t+ωe (tω) τ +e ( ω( τ+t)) t+ e (ω( τ+t)) t e (tω) t e ( tω) t ωe (tω) τt) + x (e (tω) e (ω( τ+t)) + e ( tω) τ ω + e (tω) τ ω e (tω) τω+e ( tω) τω e ( ω( τ+t)) +e ( tω) e ( tω) ωt+e ( ω( τ+t)) ωt+e (tω) ωt e (ω( τ+t)) ωt e (tω) τω t τω e ( tω) t)).4 Linear mit Reibung In diesem Modell werden wir mit Hilfe des Feedbacks unser System nach steuern. Aus der Einleitung und dem Model ohne Reibung ergibt sich das folgende Differentialgleichungssystem: ẋ = x = ω x + hx + bu ẋ [ ] Daraus resultieren die Matrix à := ω und der Vektor B := h Gleichung erhält: [ ] [ ] ẋ = ω x + ũ h b [ ], woraus man diese b Nun benutzen wir das Feedback, um dieses System zu steuern. Dabei gehen wir davon aus, dass wir den Zustand x kennen und diese Information nutzen. Durch das Feedback erhalten wir ũ = Fx + v. Wenn wir dies nun in unsere Gleichung einsetzen, ergibt sich ẋ = (Ã+BF)x+Bv wobei wir F und v frei wählen können. Nun haben wir zwei Ansätze: Zum einen, dass wir F so wählen, dass das System auf das Modell ohne Reibung zurück geführt werden kann und v = u gesetzt wird. Zum anderen, dass wir F so wählen, dass A asymptotisch stabil wird, also v = gewählt werden kann..4. Zum Ansatz der Rückführung Es soll (à + BF)x + Bv = Ax + Bu sein. F := [ h b 5 ] und v = u.

Wir sehen daran, dass die Reibung die Bewegung des (kontrollierten) Pendels nicht beeinflusst, sondern nur die Eingabeleistung: ũ = hx b +u, wobei u die Eingabeleistung aus dem Modell ohne Reibung ist. Durch das Feedback verliert man man dieser Stelle jedoch die Energieminimalität. Natürlich folgt die Steuerbarkeit sofort aus dem Modell ohne Reibung..4. Zum Ansatz der asymptotischen Stabilität [ ] Die durch (Ã + BF) = ω =: A definierte Matrix A soll asymptotisch + bf h + bf Stabil werden durch geschicktes wählen von F. Aus der Übung folgt, dass falls A negative Einträge in der unteren Zeile hat, die Realteile der Nullstellen des Charakteristischen Poloynoms χ A kleiner als sind und somit ist A asymptotisch stabil ist. Was wir dadurch erreichen ist, dass das Pendel selbstständig in das Gleichgewicht überführt wird. F := [ ] ω δ h δ b b [ ] A := δ δ [ ẋ = δ δ Wobei δ und δ die Parameter sind die das jetzt asymptotisch stabile System beschreiben. Diese lassen sich mit der Resonanzfrequenz (δ ) und der Dämpfung (δ ) identifizieren. Durch dieses A und v := ergibt sich die neue Zustandsübergangsfunktion: t ] x ϕ(t,, x, u( )) = e At x + e A(t s) Bv(s)ds } {{ } =, da v=. Nun kann man die Zustandsübergangsfunktion einfach ausrechnen und somit x und x : x(t) := [ ( x d (x d ] de + e (x δ + x )) de + e (x δ + x δ )) e := e (δ d)t + e (δ + d)t e := e (δ + d)t e (δ d)t d := δ 4δ Nun müssen wir drei Fälle unterscheiden und zwar: 6

. d < : Nun ist d eine rein imaginäre Zahl. Um zu zeigen, dass wir eine rein reelle Rechnung durchführen definieren wir also D := d R. So ergibt sich ein neues x(t): i [ e x(t) := δt ( D sin(dt)(x δ + x ) + x cos( Dt)) ] e δt ( D sin(dt)(x δ + x δ ) + x cos( Dt)) In diesem Fall ist das System unterdämpft, d.h. das Pendel schwingt um das Gleichgewicht herum.. d > : x(t) := e δ t ( d sinh( dt)(x δ + x ) + x d cosh( dt)) dt)(x δ + x δ ) + x d cosh( dt)) e δ t d ( sinh( In diesem Fall ist das System überdämpft, d.h. das Pendel bewegt sich auf das Gleichgewicht zu ohne überzuschwingen. 3. d = : [ e x(t) := δt (( + δ ] t)x + tx ) e δt (( + δ t)x + 4 δ tx ) In diesem Fall ist das System kritisch gedämpft, es verhält sich wie im überdämpften Fall, erreicht das Gleichgewicht jedoch schneller. Da ũ = Fx + v ist er gibt sich für all diese Fälle das selbe ũ: ũ := ω + δ b x h + δ x b 3 Programmierung und Programmanalyse 3. Programmaufbau Die Implementierung des mathematischen Pendels erfolgt als Java-Applet. Dieses Applet ist im Wesentlichen in die folgenden Klassen unterteilt: Die Hauptklasse des Applets (PendelApplet) Die Zeichnung des Pendels (PendelCanvas) Die Zeichnung des Graphen des Energieverlaufs (GraphCanvas) Eine abstrakte Klasse zur Durchführung der Berechnungen (PendelMath) Zu letzterer Klasse existieren drei unterschiedliche Spezialisierungen zur Implementierung der oben beschriebenen Modelle. 7

3.. Die PendelApplet-Klasse und das User-Interface Die PendelApplet-Klasse ist die Hauptklasse, die das Applet definiert. Sie speichert die von den verschiedenen Modellen benötigten Parameter und stellt das User-Interface bereit. Auf der linken Seite ist das Bild des Pendels zu sehen. Dieses wird animiert um die Steuerung des Pendels in die aufrechte Position zu simulieren. Am unteren Rand wird wird ein Graph von u(t) ausgegeben. Rechts befinden sich Eingabefelder für die verschiedenen Konstanten des Pendels, sowie die Anfangswerte für Winkel und Winkelgeschwindigkeit und die Zeit in der gesteuert werden soll. Nach dem Starten der Simulation werden die Felder für Winkel und Winkelgeschwindigkeit, sowie für u(t) und u(t) ständig aktualisiert. Der Prozess kann jederzeit angehalten werden. Ist der Endzeitpunkt erreicht, so lassen sich erst wieder neue Werte eingeben, wenn das Pendel in den Anfangszustand zurückgesetzt wurde. Während der Durchführung der Simulation sorgt ein Timer dafür, dass 5 Mal pro Sekunde die nexttimestep()-methode von PendelMath (siehe unten) aufgerufen wird und anschließend das Pendel und der Energieverlauf neu gezeichnet werden. Dies kann auf langsameren Rechnern dazu führen, dass die Zeit zu langsam läuft, was uns hier jedoch nicht weiter stören soll. 3.. Die PendelCanvas- und GraphCanvas-Klassen Die beiden Canvas-Klassen sind für die Zeichnung des Pendels bzw. des Energiegraphen zuständig. In jedem Zeitschritt werden ihre Zeichenmethoden aufgerufen. Das Pendel besteht aus einem kleinen Kreis an der Aufhängung und einem großen Kreis am Massepunkt. Die Werte für Länge und Masse des Pendels gehen nur bei der Berechnung ein, haben jedoch keinen Einfluss auf die Zeichnung. Für den Graphen werden so viele Werte gespeichert, wie seine Breite in Pixel erlaubt. Werden auf dem Weg mehr Zeitschritte berechnet, so werden (bis auf Rundung) äquidistante Zwischenpunkte gewählt. Da a priori kein Maximum für u(t) bekannt ist, kann sich die Skala während des Zeichnens dynamisch ändern. 3..3 Die PendelMath-Klasse und ihre Spezialisierungen Die abstrakte PendelMath-Klasse besteht aus den drei Methoden calcangle(), calcveloc() und calcinput(). Die calcangle()-methode berechnet den Winkel des Pendels zum aktuellen Zeitpunkt, die calcveloc()-methode die Winkelgeschwindigkeit und die calcinput()- Methode den aktuellen Wert der Inputfunktion. Die Klasse enthält eine Referenz zu einer Instanz der Klasse PendelApplet, von dieser per get*()-methoden alle für die Rechnung nötigen Parameter abgefragt werden können. Darüberhinaus steht die nexttimestep()-methode zur Verfügung, die die obigen drei Methoden nacheinander aufruft. In den Implementierungen der Modelle wurden keine Einschrittverfahren verwendet, statt- 8

dessen wird in jedem Schritt Anhand der Parameter, Anfangswerte, Endzeit und des aktuellen Zeitpunkts der aktuelle Wert berechnet. Obwohl dies möglicherweise langsamer ist, wird so numerische Fehlerfortpflanzung verhindert und damit garantiert, dass das Pendel zum Endzeitpunkt tatsächlich in aufrechter Position steht. Außerdem erfordern alle Implementierungen, dass calcangle() und calcveloc() vor calcinput() aufgerufen werden, damit letztere korrekte Werte liefert. Zum direkten nichtlinearen Ansatz (Klasse NonLinear) Die Klasse NonLinear ist eine Spezialisierung von PendelMath für den nichtlinearen Ansatz, in dem das System direkt gelöst wird. Beim Starten der Simulation werden die benötigten Konstanten a, c, b, h und ω in Abhängigkeit von der Endzeit τ berechnet und abgespeichert. Durch die recht einfachen Formeln können Winkel, Winkelgeschwindigkeit und u(t) recht einfach berechnet werden, die Formeln hierfür sind direkt in den Prozeduren eingegeben. Zum linearisierten Ansatz (Klasse Linear) Die Klasse Linear implementiert PendelMath für die naive Linearisierung, wie sie oben beschrieben ist. Auch hier werden die Konstanten ω, b und f beim Starten des Prozesses berechnet und gespeichert. Wegen der sehr unübersichtlichen Formeln ist der Code zur Berechnung des nächsten Zeitschritts fast unlesbar. Daraus erkennt man, dass dieses Modell für praktische Anwendungen denkbar ungeeignet ist. Zum feedback-stabilisierten Ansatz (Klasse LinearAsympt) Die Klasse LinearAsympt implementiert PendelMath für das letzte Modell, in dem per Feedback das Gleichgewicht asymptotisch stabilisiert wird. Die Konstanten d, b, h und ω werden beim Start der Simulation berechnet. Hier werden zwei zusätzliche Konstanten zur Eingabe definiert, die im Wesentlichen der Dämpfung und der Resonanzfrequenz entsprechen. Die Wahl dieser Konstanten bestimmt ob ein überdämpftes oder ein unterdämpftes System vorliegt. Diese bestimmen auch das gesamte Systemverhalten, die Endzeit hat keinen Einfluss mehr und bestimmt nurnoch, wie lange die Simulation laufen soll. 3. Numerische Analyse 3.. Integration mit Trapezregel In diesem Abschnitt wollen wir kurz auf die numerische Methode eingehen die wir in unserem Programm verwendet haben. Um die Input Energy zu berechnen, die das Integral über den im Applet gezeichneten Graphen ist, benutzen wir Quadratur. In unserem Fall die summierte Trapzeregel (eine Spezielle Form der Newton-Cotes Formel): n i= h (f(x i) + f(x i+ )) 9

Der Fehler der summierten Trapez-Regel kann abgeschätzt werden durch: Wobei ξ i [x i, x i+ ] und h = 5. n i= h 3f() (ξ i ) 3.. Multiplikative Auslöschung Durch Kürzen in den Formeln zum linearisierten Modell konnte verhindert werden, dass eine Art multiplikative Auslöschung auftritt. Mit multiplikativer Auslöchung ist gemeint, dass in einem Bruch sowohl Zähler als auch Nenner jeweils sehr klein oder groß werden, bis einer von beiden die Grenzen der Fließkommevariable überschreitet. Wird hierbei zum Beispiel der Nenner schneller klein als der Zähler, so kann bei gewissen Eingaben der Nenner irgendwann als interpretiert werden und somit der Bruch als unendlich. 3.3 Energieanalyse Die Gesammtenergie E ergibt sich durch das Integral über die die Inputfunktion u: E = τ u(t) dt Mit Hilfe des Programmes kann man nun vergleichen, wie viel Energie in den einzelnen Modellen verbraucht wird. Jedoch ist nur der Energieverbrauch im nichtlinearen Modell realistisch. In den linearisierten Modellen wird nämlich nicht beachtet, dass die Gravitation (genauer: das ω) mit steigendem Winkel x wieder kleiner wird. Die Linearisierung des Sinus ist für kleine x relativ genau, aber für große x ist sin(x) x. 3.3. Energie im nichtlinearen Fall Der nichtlineare Fall löst zwar die Differentialgleichung ẋ = x, ẋ = v mit geringem Energieverbrauch. Auch das System mit v = ω sin(x ) + bu wird gelöst, jedoch hat man dort keine Aussage mehr, dass der Energieverbrauch minimal wird. Beim Energieverlauf entdeckt man oft eine Schwingung, welche durch den Term ω sin(x b (t)) in u(t) = a + c t b b ω sin(x b (t)) entsteht. Im Folgenden ist ein Beispiel, welche diese Sinusschwingung künstlich betont, indem kein kleiner Startwinkel gewählt wird, sondern ein Startwinkel von 45 - weiter ist die Gravitation auf normiert. Die schwarze Kurve ist die aufgewendete Energie und die graue Kurve stellt diese Energie vorzeichenbehaftet dar. Man sieht also, dass zwischendurch abgebremst wird. Diesen Effekt erkennt man, indem man die punktierten Linien beobachtet, bei denen die vorzeichenbehaftete Energie in den Sinusanteil und den linearen Anteil aufgespalten wird:

3 4 5 t Energiebetrag Vorzeichenbehaftete Energie Linearer Anteil Sinusanteil Für gewöhnlich ist dieser Effekt jedoch deutlich weniger ausgeprägt, so dass das nichtlineare Modell für kleine Winkel auch fast minimale Energiewerte liefert. Dies resultiert daher, da für x auch sin(x) gilt. Weiter sieht man am nichtlinearen Modell, dass es zwar (theoretisch) möglich ist, das Pendel in beliebig kurzer Zeit in die gewünschte Position zu bringen. Dafür steigt dann aber die Energie stark, wenn man die Zeit klein wählt. Die benötigte Gesammtenergie wird nun für die Standardstartwerte mit verschiedenen Zeiten gezeigt: Zeit/s 5 5.5...5. u 38 87 9 98 46 4 95 4 83 548 777464 Die hohen Werte zu Beginn resultieren aus dem Sinusanteil, da eine lange Zeit gegen die

Gravitation Energie aufgewendet werden muss. Für deutlich kleinere Startwinkel als 45 ist dieser Effekt nicht so stark zu beobachten. 3.3. Energie im linearisierten Fall Zunächst zeigen wir, dass - analog zum steuern von aus - unser u die minimal mögliche Energie im linearen Modell benötigt: Aus [Ze7] ist bekannt das die minimale Energie, um das Pendel von nach x zu steuern, durch min{e(u) ϕ(t,,, ũ( )) = x } = x tr W(ɛ) x gegeben ist, wobei E(u) = W(t) := τ t ũ(t) dt e As BB tr e Atrs ds ũ x (t) := B tr e Atr (τ t) W (τ) x Wenn wir nun mit ũ von nach x mit minimaler Energie steuern, ergibt dies: x = e}{{} Aτ + = Nun steuern wir mit ũ(x ), d.h. = e Aτ x + τ τ e A(τ t) Bũ(t)dt e A(τ t) Bũ(t)dt τ e Aτ x } {{ } = + e A(τ t) Bũ(t)dt =: ( ) x Dies ist die gleiche Situation als würden wir mit ũ von nach x steuern. Nun ist zu zeigen, dass die in der Einleitung definierten u(t) und W c (t) die Gleichung ( ) lösen: Erinnerung: W C (τ) := τ e At BB tr e Atrt dt, u x (t) := B tr e Atrt W C (τ)x u x (t)! = ũ x (t) B tr e Atrt W C x = B tr e Atr (τ t) W (τ) x B tr e Atrt W C x = B tr e Atr (τ t) W (τ)e Aτ x W C (τ) = τ ea(t τ) BB tr e Atr (t τ) dt W C (τ) s=τ t = τ e As BB tr e Atrs ds W C (τ) = τ e As BB tr e Atrs ds Da ũ x (t) mit minimaler Energie von x = e At x nach steuert, steuert auch u x (t) mit minimaler Ernergie von x nach.

Der Verlauf des Input verläuft im linearen Fall mit dem oben gegebenen u deutlich unspektakulärer als der Verlauf des Inputs beim nichtlinearen Ansatz. Zu Beginn sieht man einen recht starken Input, um möglichst schnell der in diesem Modell übermäßig starken Gravitation zu entkommen. Schon nach kurzer Zeit ist man immer fast schon bei angelangt und der Input geht stark zurück. Der Verlauf der Skizze ist sehr typisch für den linearen Ansatz, außer wenn zum Beispiel eine hohe Startgeschwindigkeit eingestellt wird, die erst abgebremst werden muss. Diese Skizze nimmt die Standardwerte des Programmes, nur die Gravitation wurde auf normiert:.6.4..8.6.4. 4 6 8 t Inputbetrag Inputintegral Auch beim linearen Modell wird der Gesammtinput größer, wenn man dem u weniger Zeit zur Verfügung stellt. Im Gegensatz zum nichtlinearen Modell hat man hier jedoch einen monotonen Verlauf: je kürzer die Zeit, desto höher die Energie. Die folgende Tabelle zeigt dies an den Standardstartwerten auf: Zeit/s 5 5.5...5. u 38 38 38 38 38 4 3 86 5553 778374 Wenn man die Werte dieser Tabelle mit der obigen Tabelle im nichtlinearen Fall vergleicht, so sieht man für Zeitpunkte kleiner als eine auffallende Ähnlichkeit. Und tatsächlich wird der relative Abstand definiert als α rel := E nichtlinear E linear E nichtlinear + E linear zwischen der Gesammtenergie im linearen und nichtlinearen Ansatz für kleine Zeitpunkte 3

klein:.3.5..5..5 4 6 8 alpha_rel 3.3.3 Energie im asymptotisch stabilen linearisierten Fall Da dieser Lösungsansatz nur asymptotisch stabil ist, lassen sich die Energiewerte, welche bei gewissen Parametern bis zu gewissen Zeitpunkten benötigt werden, nur schwer vergleichen. Es muss noch in Betracht gezogen werden, wie weit man noch vom Nullpunkt entfernt ist. Das Verhalten des Modells hängt hauptsächlich von den beiden Paramtern Resonanzfrequenz (δ ) und Dämpfung (δ ) ab. Das folgende Skizze beschriebt die verwendete Gesamtenergie nach 5 Sekunden bei Standardwerten (mit auf normierter Gravitation) für verschiedene Resonanzfrenquenzen und Dämpfungen. Die dicker eingezeichnete Kurve beschreibt die Grenze zwischen Überdämpfung und Unterdämpfung: 4

Input 5 4 3 3 Daempfung 4 5 6 8 6 4 Resonanzfrequenz Es ist zwar hier nicht leicht zu sehen, aber für kleinere Paare (δ, δ ) werden auch kleinere Energien benötigt. Besser zu sehen ist, dass man in der nähe der kritischen Dämpfung auch weniger Energie benötigt. Es stellt sich nun die Frage, ob auch die Lage des Pendels an diesen Stellen schon nahe an ist. Die folgende Skizze zeigt für die Systembedingungen der obigen Skizze die Entfernung des Pendels zum gewünschten Punkt nach 5 Sekunden - gegeben in x = x + x. 5

.4.3 Norm(X).. 3 Daempfung 4 5 6 8 6 4 Resonanzfrequenz Man sieht, dass für größere Paare (δ, δ ) bessere Ergebnisse zu erwarten sind. Dies geschieht jedoch auf Kosten höherer Energie. Will man jedoch gute Ergebnisse erzielen, so ist es ratsam, das System in der Nähe von kritischer Dämpfung zu haben. Bei einem überdämpften System ist die Beschleunigung schleppend, was man im rechten Bereich des Plottes sieht. Bei einem unterdämpften System wird das Pendel mehrfach über das Ziel hinausgesteuert werden. An den Wellenlinien im linken Bereich des Plottes sieht man dies sehr gut, da x hier stak davon abhängt, ob man sich gerade in der Nähe von befindet oder nicht, denn in diesem Beispiel werden die Winkel deutlich größer als die Winkelgeschwindigkeiten. Literatur [Ze7] Introduction to Systems and Control Theory, http://www.math.rwth-aachen.de/ Eva.Zerz/control.html [Kr] Analysis III, http://www.matha.rwth-aachen.de/ 6