Aufgaben zur Mikroökonomik I Aufgabe 1 Der Vermieter möchte seine großen Wohnung in herrlichster zentraler Wohnlage der Studentenstadt G an eine WG vermieten. Per Aushang werden Mieter für die 4 gleich großen Zimmer gesucht, die sich mit ihren Mietvorstellungen melden sollen. Nach einer Zeit laufen beim Vermieter die Anfragen folgender Interessenten ein: Name Vorbehaltspreis Max 380,- Minnie 250,- Georg 410,- August 220,- Susi 245,- Strolch 230,- Benjamin 430,- Bibi 280,- (a) Zeichnen Sie Angebots- und Nachfragekurve. Welcher Mietpreis wird erzielt, wenn der Vermieter, wissend, dass sich Preisunterschiede innerhalb einer WG nicht verheimlichen lassen, von allen die gleiche Miethöhe verlangen will? (b) Alternativ überlegt sich der Vermieter, lediglich 3 Zimmer zu vermieten, um einen höheren Mietpreis durchzusetzen. Lohnt sich diese Überlegung, wenn er weiterhin von allen den gleichen Preis verlangt? (c) In letzter Minute flattert noch die Nachfrage von Falko ins Haus, der für ein Zimmer bis zu 350,- zu zahlen bereit ist. Welche Konsequenzen hat diese Bewerbung für die Überlegungen des Vermieters? Aufgabe 2 Skizzieren Sie die Isoquanten folgender Produktionsfunktionen: y = x 1 x 2 y = x 1 x 2 y = x 1 + x 2 Zeichnen Sie für die einzelnen Produktionsfunktionen das Grenzprodukt von x 1 bei konstantem x 2. 1
Aufgabe 3 Skizzieren Sie die Isoquanten der folgenden Produktionsfunktion: Aufgabe 4 y = min ( x 1 5, x 2 10 ) Was versteht man unter zunehmenden, konstanten bzw. abnehmenden Skalenerträgen? Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Skalenerträgen und den Isoquantenabständen (je Outputeinheit)? Prüfen Sie folgende Produktionsfunktionen hinsichtlich der Skalenerträge: y = 2 x 1 0.75 + 4 x 2 0.25 y = ( x 1 x 2 x 1 + x 2 ) 4 3 Aufgabe 5 Erläutern Sie verbal und geometrisch, was darunter zu verstehen ist, wenn eine Produktionsfunktion eine abnehmende Technische Rate der Substitution aufweist. Aufgabe 6 Errechnen Sie jeweils die Technische Rate der Substitution dx 2 dx 1 y = x 1 x 2 für y = 4 und x 1 = 2. y = x 1 (x 1 + x 2 ) für y = 10 und x 1 = 2. y = ln (x 1 x 2 ) für y = 4 und x 1 = e 3. (TRS): Welche Aussagen lassen sich bei limitationalen Produktionsfunktionen hinsichtlich der TRS machen? Aufgabe 7 Grenzen Sie abnehmende Grenzerträge und abnehmende Skalenerträge voneinander ab. Ist es möglich, dass eine Produktionfunktion abnehmenden Grenzerträgen eines Faktors bei zunehmenden Skalenerträgen aufweist? 2
Aufgabe 8 Gegeben ist folgende Produktionsfunktion: f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 1 3 Angenommen, der Einsatz des Faktors x 2 sei kurzfristig fest vorgegeben: x 2 = x 2. Die Faktorkosten betragen ω 1 = ω 2 = 1. (a) Welche Menge des Faktors x 1 wird das Unternehmen einsetzen, um seinen Gewinn zu maximieren, wenn der Preis des produzierten Gutes y mit p = 12 gegeben ist? Wie hoch ist die Produktionsmenge y? Wie groß ist der Gewinn? (Alle Größen sind abhängig von x 2!) (b) Leiten Sie den Zusammenhang zwischen eingesetzter Menge x 1 und dem Faktorpreis ω 1 her und stellen sie ihn grafisch dar. (c) Stellen Sie dann den Gewinn ebenfalls abhängig vom Faktorpreis ω 1 dar. Ab welchem Faktorpreis ω 1 lässt sich bei gegebener Einsatzmenge x 2 des zweiten Faktors auch im Optimum kein Gewinn mehr erzielen? Warum ist das so? Aufgabe 9 Nun sei beim Unternehmen aus Aufgabe 8 auch der Einsatz des Faktors x 2 flexibel, der Preis des Gutes beträgt weiterhin p = 12, die Faktorpreise ω 1 und ω 2 sind nicht mehr fest vorgegeben. (a) Leiten Sie die Faktornachfragefunktionen x 1(p = 12, ω 1, ω 2 ) bzw. x 2(p = 12, ω 1, ω 2 ) her. (b) Ermitteln Sie dann die Angebotsfunktion y(p = 12, ω 1, ω 2 ) sowie die Gewinnfunktion Π(p = 12, ω 1, ω 2 ). (c) Welche Auswirkungen auf Nachfrage nach den Faktoren x 1 bzw. x 2 Angebotsmenge Gewinn sind zu erwarten, wenn sich der Preis ω 2 des zweiten Faktors erhöht? Erläutern Sie dies sowohl algebraisch wie auch verbal. Ist bei einer der genannten Größen auch eine andere Reaktion denkbar? 3
Aufgabe 10 (a) Überprüfen Sie algebraisch und erläutern Sie verbal für die in Aufgabe 9 ermittelten Ergebnisse die Gültigkeit von Hotellings Lemma für die Ableitung des Gewinns Π nach dem Faktorpreis ω 1. (b) Zeichnen Sie die Gewinnfunktion Π abhängig von ω 1. In der Ausgangssituation seien die Faktorpreise gegeben durch ω 1 = ω 2 = 2. Skizzieren Sie in die obige Zeichnung dazu auch die passive Gewinngerade und erläutern Sie Hotellings Lemma auch anhand der Zeichnung. Ist es möglich, dass die passive Gewinngerade oberhalb der Gewinnfunktion verläuft? Aufgabe 11 Ein Unternehmen produziert gemäß einer substitutionalen Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ). Das Unternehmen setzt die Faktormengen x 1 = 200 und x 2 = 100 ein. Die Preise betragen ω 1 = 2 und ω 2 = 1. Ist der realisierte Produktionsplan optimal, wenn die Isoquante durch den Punkt (200, 100) durch die Gleichung x 1 = 20000 x 2 beschrieben wird? Zeichnen Sie zur Beantwortung die Isoquante und die Isokostengerade durch den Punkt (200, 100). Aufgabe 12 Die notwendige Bedingung für eine Minimalkostenkombination lautet Die Bedingung lässt sich umformen zu bzw. zu f(x 1, x 2)/ x 1 f(x 1, x 2) x 2 = ω 1 ω 2 f(x 1, x 2)/ x 1 ω 1 = f(x 1, x 2)/ x 2 ω 2 ω 1 f(x 1, x 2)/ x 1 = ω 2 f(x 1, x 2)/ x 2 Interpretieren Sie diese Gleichungen verbal. Liegt ein Unternehmer, der seinen Produktionsplan grundsätzlich nach dieser Bedingung ausrichtet, immer richtig? 4
Aufgabe 13 (a) Berechnen Sie mit Hilfe der notwendigen Bedingung für ein Kostenminimum die Minimalkostenkombination für ein Unternehmen mit der Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ) = ( x 1 + x 2 ) 2 welches bei den Faktorpreisen ω 1 = 2 und ω 2 = 1 die Menge y = 1440 produzieren will. (b) Wie hoch sind die Produktionskosten? (c) Berechnen und skizzieren Sie den Expansionspfad! Aufgabe 14 Ein Unternehmen produziert gemäß der Produktionsfunktion y = f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 1 2 Die Faktorpreise betragen ω 1 = 1 und ω 2 = 4. Berechnen Sie die Kostenfunktion und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 15 Ein Unternehmen produziert gemäß der Produktionsfunktion und den Faktorpreisen ω 1 = 1 und ω 2 = 16. 1 1 y = f(x 1, x 2 ) = x 1 4 x2 2 (a) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Lagrange-Funktion die Minimalkostenkombination und die anfallenden Kosten bei der Produktion der Menge 8. Erläutern Sie nach der Herleitung der Lösung den Wert und die Bedeutung des Lagrangefaktors λ. (b) Errechnen Sie nun in Abhängigkeit von variablen Faktorpreisen ω 1 bzw. ω 2 und der Outputmenge y die bedingten Faktornachfragefunktionen x 1(ω 1, ω 2, y) bzw. x 2(ω 1, ω 2, y) sowie die Kostenfunktion c(ω 1, ω 2, y). (c) Laut Shepards Lemma muss gelten: c(ω 1, ω 2, y) ω 1 = x 1(ω 1, ω 2, y) Überprüfen Sie hierauf das in (b) errechnete Ergebnis und interpretieren Sie es. 5
Aufgabe 16 Beschreiben Sie den Expansionspfad einer limitationalen Produktionsfunktion. Wie hängt der Expansionspfad einer limitationalen Produktionsfunktion von den Faktorpreisen ab? Aufgabe 17 Die Durchschnittskostenkurve AC = c(ω 1,ω 2,y) wird in ihrem Minimum von der Grenzkostenklurve MC = c(ω 1,ω 2,y) y geschnitten. Erläutern Sie diesen Sachverhalt verbal und y beweisen Sie ihn algebraisch! (Hinweis: Setzen Sie zur Bestimmung des Minimums der AC deren Ableitung gleich Null und verwenden die daraus resultierende Gleichung für den Beweis) Aufgabe 18 Die Produktionsfunktion eines Unternehmens sei gegeben durch y = f(x 1, x 2 ) = (x 1 x 2 ) 1 4 Die Faktorpreise betragen ω 1 = 12 und ω 2 = 3. Es entstehen dem Unternehmen produktionsunabhängige Fixkosten in Höhe von F = 4800. (a) Errechnen Sie die Minimalkostenkombination x 1 bzw. x 2 sowie die Kostenfunktion c zur Herstellung der Menge y unter den angegebenen Faktorpreisen. Welche Einsatzmengen sind optimal, um den Output in Höhe von y = 40 herzustellen? Welche Kosten entstehen dabei? (b) Errechnen und skizzieren sie die Durchschnitts- und die Grenzkostenkurve. erreicht die Durchschnittskostenkurve ihr Minimum? Wo (c) Die Produktion soll verringert werden auf y = 20, wobei allerdings der Einsatz des Faktors x 2 kurzfristig nicht verändert werden kann. Errechnen Sie zunächst die kurzfristige Kostenfunktion und die kurzfristige durchschnittliche Kostenfunktion. Welche Kosten entstehen nun? Wo liegt jetzt das Minimum der Durchschnittskosten? 6
Aufgabe 19 (a) Bestimmen Sie für den 2-Güter-Fall die Gleichung der Budgetgeraden p 1 x 1 +p 2 x 2 = m als Funktion x 2 = x 2 (x 1 ) und als Funktion x 1 = x 1 (x 2 ). (b) Interpretieren Sie die Achsenabschnitte der Butgetgeraden. (c) Wie ändert sich die Lage der Budgetgerade, wenn sich p 1, p 2 bzw. m ändern? Aufgabe 20 Versuchen Sie, eine Nutzenfunktion mit 2 Gütern graphisch darzustellen. Aufgabe 21 Erläutern Sie mathematisch, graphisch und verbal den Begriff der Grenzrate der Substitution. Aufgabe 22 (a) Berechnen Sie für die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 die Funktion der Indifferenzkurve durch den Konsumpunkt x 1 = 2, x 2 = 4 und die Grenzrate der Substitution in diesem Punkt. (b) Begründen Sie, warum Indifferenzkurven negative Steigung haben und sich nicht schneiden! Aufgabe 23 Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 2 fragt bei den Preisen p 1 = 5 und p 2 = 6 die Mengen x 1 = 10 und x 2 = 20 nach. Wie kann man, ohne selbst den optimalen Verbrauchsplan zu berechnen, entscheiden, ob der gewählte Punkt optimal ist? Aufgabe 24 Ein Haushalt hat die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 2 3 1 x 1 3 2, sein Budget beträgt m = 18, die Güterpreise sind gegeben durch p 1 = 0.75 und p 2 = 3. (a) Berechnen Sie die optimalen Verbrauchsmengen x 1 und x 2 und das maximal erreichbare Nutzenniveau. (b) Um wieviel steigt der Nutzen, wenn sich das Budget um eine (marginale) Einheit erhöht? (c) Berechnen Sie den Anteil der Ausgaben für das Gut 1 an den Gesamtausgaben. Wie verändert sich dieser Anteil, wenn der Preis des Gutes 2 sinkt? 7
Aufgabe 25 Gegeben ist folgende Nutzenfunktion: u(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 + 5. (a) Berechnen Sie die Marschallschen Nachfragefunktionen und mit ihnen die indirekte Nutzenfunktion v(p 1, p 2, m) her. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit Hilfe von Roys Identität. (b) Die Preise sind gegeben durch p 1 = 1 und p 2 = 9, zur Verfügung steht ein Budget in Höhe von m = 180. Welchen Nutzen kann der Haushalt maximal erreichen? (c) Leiten Sie nun zu dem in (b) errechneten Nutzenniveau die Hicksschen Nachfragekurven und die Ausgabenfunktion her. (d) Verdeutlichen Sie auch graphisch die unterschiedlichen Optimierungsansätze der Nutzenmaximierung bzw. Ausgabenminimierung. Aufgabe 26 Berechnen Sie für die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = (x 1 + 15)(x 2 + 30) und den Preisen p 1 = p 2 = 1 die Nachfragefunktionen in Abhängigkeit vom Einkommen. Was ist bei der Lösung zu beachten? Aufgabe 27 Gegeben ist folgende Nutzenfunktion: U(x 1, x 2 ) = ln(x 1 ) + x 2. (a) Leiten Sie zunächst die Marschallschen Nachfragefunktionen nach x 1 und x 2 her sowie die Einkommens-Konsum-Kurve und die Engelkurven. (b) Berechnen Sie die Einkommenselastizitäten der Nachfrage nach beiden Gütern. Begründen Sie die Ergebnisse auch mit Hilfe des Grenznutzens beider Güter. (c) Berechnen Sie die direkte Preiselastizität der Nachfrage nach x 1 sowie die Kreuspreiselastizität der Nachfrage nach x 1 und erläutern Sie auch hier das Resultat. Aufgabe 28 Ein Haushalt konsumiert 2 Güter, wobei sich nun der Preis des Gutes 1 erhöht. Die Auswirkungen auf die optimalen Mengen beider Güter, die der Haushalt nachfragt, können sehr unterschiedlich sein. Um die unterschiedlichen denkbaren Auswirkungen zu verstehen, unterteilt man den Gesamteffekt in einen Einkommens- und einen Substitutionseffekt. Erläutern Sie diese beiden Teilaspekte anhand geeigneter Graphiken. 8
Aufgabe 29 Betrachten Sie eine einmalige Preiserhöhung für Gut 1! Welche der folgenden Fälle sind als Folge dieser Preiserhöhung möglich? Substitutionseffekt Einkommenseffekt (a) x 1 x 2 x 1 x 2 (b) x 1 x 2 x 1 x 2 (c) x 1 x 2 x 1 x 2 (d) x 1 x 2 x 1 x 2 In welchen der Fälle ist Gut 1 möglicherweise ein Giffen-Gut? Aufgabe 30 Ein Haushalt hat die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = (x 1 + 10)x 2 und ein Budget in Höhe von m = 90. Der Preis des Gutes 1 steigt von p 1 = 1 auf p 1 = 4, während der Preis des zweiten Gutes stabil bei p 2 = 1 verbleibt. (a) Berechnen Sie den Einkommens-und den Substitutionseffekt (nach Hicks) für beide Güter! (b) Wie setzten sich Einkommens- und Substitutionseffekt nach Slutzky zusammen? Aufgabe 31 Bei einer Änderung des Preises für das Gut Freizeit tritt wie bei Konsumgütern sowohl ein Einkommens- als auch ein Substitutionseffekt ein. Erläutern Sie, welcher Effekt im Vergleich zu den üblichen Konsumgütern beim Gut Freizeit grundsätzlich anders wirkt. Aufgabe 32 Die Präferenzen eines Haushalts in bezug auf Einkommen und Freizeit wird durch die Nutzenfunktion u(c, f) = (c + 40) f beschrieben. Der Haushalt hat täglich 16 Stunden für Arbeit und Freizeit zur Verfügung, der Preis des Konsumgutes c beträgt p c = 1. Berechnen Sie seine Freizeitnachfrage in Abhängigkeit vom Lohnsatz w. Wieviel Freizeit fragt er bei einem Lohnsatz von w = 10 nach? Unterteilen Sie - ausgehend von w = 10 - den Effekt auf die Freizeitnachfrage, wenn der Lohnsatz jetzt marginal ansteigt. 9
(A1) Ausgehend von einer Budgetsituation (p 1, p 2, m) mit positivem Einkommen wird p 1 verdoppelt, p 2 vervierfacht und m verdreifacht. Wie ändert sich die Budgetmenge? Sie wird größer. Sie wird kleiner. Weder das eine noch das andere. (A2) Gegeben ist die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 +x 2 sowie die Preise p 1 p 2. Welche der folgenden Aussagen über den Betrag der Grenzrate der Substitution im Optimum (T RS) ist mit Sicherheit FALSCH? T RS > p 1 p 2 T RS < p 1 p 2 T RS = p 1 p 2 (A3) Bei einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x α 1 x β 2 werden für die Preise (p 1, p 2 ) und das Einkommen m das Güterbündel (4, 3) nachgefragt. Welches Güterbündel wird dann nachgefragt, wenn sich der Preis p 1 verdoppelt? (2, 3) (2, 6) Ohne genaue Kenntnis der Nutzenfunktion lässt sich dazu keine Aussage machen. (A4) Die Präferenz eines Konsumenten ist quasilinear, d.h. durch eine Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = w(x 1 )+x 2 darstellbar. Dann gilt: Die Grenzrate der Substitution (T RS) ändert sich nicht, wenn sich x 1 verändert. x 2 verändert. sich x 1 und x 2 proportional verändern. (A5) Welche der folgenden Nutzenfunktionen stellt die gleiche Präferenzrelation dar, wie die Nutzenfunktion u(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2? w(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 w(x 1, x 2 ) =x 1 + 2x 2 x1 + x 2 2 w(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 2 (A6) Eine Nutzenfunktion beschreibe eine Präferenz für zwei Güter, die als perfekte Substitute angesehen werden. Welche Größen sind auf jeden Fall unabhängig vom gewählten Güterbündel? die Grenznutzen. die Grenzrate der Substitution. weder Grenznutzen noch Grenzrate der Substitution. 10