Inhaltsverzeichnis Stochastik 1 Listen 1 1.1..................................... 1 1.2 Klassenbildung............................ 1 1.3 Mittelwert............................... 1 1.4 Ranglisten............................... 2 1.5 Median................................ 2 1.5.1................................ 3 1.6 Aufgaben............................... 3 1.6.1................................ 3 1.6.2................................ 3 2 Häufigkeiten 4 2.1 absolute Häufigkeit.......................... 4 2.2 relative Häufigkeit.......................... 4 2.3 Beispiel................................ 4 2.4 prozentuale Häufigkeit........................ 4 2.5 Kumulative Häufigkeit........................ 4 2.6 Aufgaben............................... 5 2.6.1 Musik-Noten......................... 5 2.6.2 Verkehrszählung....................... 5 3 Diagramme 6 4 Wahrscheinlichkeit 7 4.1 Zufalls-Experimente......................... 7 4.2 Ergebnisse und Ereignisse...................... 7 4.3 ein- und mehrstufige Zufalls-Experimente............. 7 4.4 Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufalls-Experimenten.... 8 4.4.1 Beispiel............................ 8 4.5 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufalls-Experimenten... 8 4.5.1 Beispiel............................ 8 4.5.2 Multiplikationsregel..................... 8 4.5.3 Additionsregel........................ 9 4.5.4 Baumdiagramm........................ 9 4.5.5 Aufgaben........................... 10 4.5.6 weitere Aufgaben....................... 12 0
1 Listen 1.1 Daten (z.b. von Zählungen oder Ergebnissen von Klassenarbeiten und Bundesjugendspielen) kann man oft in Listen übersichtlich zusammenstellen. Wir unterscheiden hier im wesentlichen folgende Listenformen: Urlisten; sie enthalten die Daten noch ungeordnet, so wie sie angefallen sind. Ranglisten, in Ihnen werden die Daten der Größe nach geordnet Häufigkeitslisten, falls viele Daten öfter vorkommen, werden sie in ihnen nach der Häufigkeit zusammengefasst. 1.2 Klassenbildung Bei einer Mathematik-Leistungsüberprüfung erreichten die Schüler die folgenden Punktzahlen (Urliste): 12,24,26,36,25,7,25,23,20,14,43,29,42,36,20,32,24,24,42,27,23,0,14,10,29,35,25,30,36,24 Damit ergibt sich die folgende Rangliste: 7,10,12,14,14,20,20,23,23,24,24,24,24,25,25,25,26,27,29,29,30,32,35,36,36,36,42,42,43 Man fasst nun die Punkte zu Klassen zusammen. Dazu bedient man sich hier den folgenden Tabelle, die die Zuordnung der Punkte zu den Noten regelt. Note 1 2 3 4 5 6 Punkte 46-43 42-37 36-30 29-23 22-12 11-0 Und wir erhalten die Häufigkeitstabelle: Note 1 2 3 4 5 6 Anzahl 1 2 6 13 5 2 1.3 Mittelwert Der Mittelwert ( genauer: das arithmetische Mittel) von Zahlen oder Größen wird bestimmt, indem man die Werte addiert und dann durch die Anzahl der Werte dividiert Den Mittelwert der Noten im obigen Beispiel kann man berechnen, indem man alle Noten addiert und dann durch die Anzahl der Schüler dividiert: n = 12 + 24 + 26 + 36 + 25 + 7 + 25 + 23 + + 25 + 30 + 36 + 24 29 Einfache ist es, die schon erfolgte Klassenbildung und die dadurch bekannten Häufigkeiten auszunutzen: (1) 1
n = 1 1 + 2 2 + 6 3 + 13 4 + 5 5 + 2 6 29 (2) 1 + 4 + 18 + 52 + 25 + 12 = = 112 = 3, 86 29 29 (3) Für die Berechnung des den Mittelwerts der Punkte lohnt sich keine Klassenbildung. 1.4 Ranglisten Bei den Bundesjugendspielen haben die Schüler im Weitsprung je drei Versuche. Die erreichten Weiten werden in einer Urliste notiert: 1.Versuch 2.Versuch 3.Versuch Jochen 2,67 3,12 2,98 Michael 3,12 3,18 3,24 Jörg 2,98 3,34 3,15 Dennis 3,28 3,38 2,90 Sören 3,45 3,43 3,34 Jens 3,12 2,87 3,23 Tim 3,16 3,12 3,24 Hakan 2,65 2,82 2,97 Lars 2,67 2,91 2,94 Kevin 3,34 3,42 3,18 Es sollen Ranglisten nach Bestweite und nach Durchschnittsweite erstellt werden. Im obigen Beispiel ergeben sich die Ranglisten: nach Maximum: Sören (3,45), Kevin(3,42), Dennis(3,38), Jörg(3,34), Michael & Tim(3,24), Jens(3,23), Jochen(3,12), Hakan(2,97), Lars(2,94), nach Durchschnitt : Sören(3,41), Kevin(3,31), Dennis(3,19), Michael(3,18), Tim(3,17), Jörg(3,16), Jens(3,07), Jochen(2,92), Lars(2,84), Hakan(2,81) 1.5 Median 1 Median (oder Zentralwert) bezeichnet eine Grenze zwischen zwei Hälften. In der Statistik halbiert der Median eine Stichprobe. Gegenüber dem arithmetischen Mittel, auch Durchschnitt genannt, hat der Median den Vorteil, robuster gegenüber Ausreißern (extrem abweichenden Werten) zu sein. Ein Wert m ist Median einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen in der Stichprobe einen Wert kleiner als m und höchstens die Hälfte einen Wert größer als m hat. Sortiert man die Beobachtungswerte der Größe nach ( geordnete Stichprobe ), so ist der Median bei einer ungeraden Anzahl von Beobachtungen der Wert der in der Mitte dieser Folge liegenden Beobachtung. Bei einer geraden Anzahl von Beobachtungen gibt es kein einziges mittleres Element, sondern zwei. Hier sind die Werte der beiden mittleren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) ein Median der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft. 1 nach Wikipedia 2
In anderen Quellen wird bei einer geradzahligen Anzahl von Messwerten der Mittelwert der beiden Werte in der Mitte als Median definiert. 1.5.1 Im obigen Beispiel ist der Median bei den Bestwerten die Weite von Michael und Tim (3,24), bei den Durchschnittswerten jeder Wert zwischen (einschließlich) 3,17 und 3,18 1.6 Aufgaben 1.6.1 Bei den Bundesjugendspielen haben die Schülerinnen im Kugelstoßen je drei Versuche. Die erreichten Weiten werden in einer Urliste notiert: 1.Versuch 2.Versuch 3.Versuch Maria 6,01 2,30 6,23 Silvia 5,73 5,72 5,89 Ute 0,00 4,78 6,97 Carina 5,13 4,87 4,91 Felizitas 5,23 4,60 5,23 Erdmute 7,04 6,73 6,88 Mirja 4,80 4,99 5,07 Olga 5,67 5,67 5,77 Diana 2,77 2,31 3,54 Britney 5,72 4,38 2,77 Es sollen Ranglisten nach Bestweite und nach Durchschnittsweite erstellt werden. Für beides sollen auch Durchschnittswerte und Median angegeben werden 1.6.2 In einer Schule wird die Anzahl der Krankheitstage im letzten Schuljahr ermittelt: Tage 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 24 45 Schüler 227 234 196 127 70 40 58 26 21 19 1 3 1 1 Bestimme den Mittelwert und den Median. Überlege, ob diese Werte wirklich einen Sinn gegeben. Überlege ggf., was sinnvoller wäre. 3
2 Häufigkeiten 2.1 absolute Häufigkeit Als absolute Häufigkeit bezeichnet man die Anzahl der Merkmalsträger, die einer bestimmten Meßwertklasse zugeordnet sind. Die absolute Häufigkeit eines Messwertes gibt also an, wie oft dieser bestimmte Wert innerhalb der Stichprobe vorkommt. 2.2 relative Häufigkeit Als relative Häufigkeit bezeichnet man die Anzahl der Merkmalsträger einer Stichprobe, die einer bestimmten Meßwertklasse zugeordnet sind, dividiert durch den Gesamtstichprobenumfang N. Die relative Häufigkeit ist also der Quotient aus absoluter Häufigkeit und dem Stichprobenumfang. Deshalb kann die relative Häufigkeit kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen. 2.3 Beispiel Bei einer Klassenarbeit werden in zwei Klassen die folgenden Noten erzielt: 1 2 3 4 5 6 8F 2 5 9 10 5 1 8G 1 4 6 6 3 1 Zu der Frage, in welcher Klasse es mehr Arbeiten unter dem Strich gab, gibt es zwei verschiedene Antworten: In Klasse 8F gab es mit sechs gegenüber vier Arbeiten in der 8G mehr nicht ausreichende Leistungen. Hier werden die absoluten Häufigkeiten verglichen. In Klasse 8F sind 32, In der 8G nur 21 Schüler. Damit ist der Anteil der schlechten Arbeiten in der 8F mit 6 32 = 0, 1875 etwas geringer als in der 8G mit 4 = 0, 190. Jetzt wurden die relativen Häufigkeiten verglichen. 21 2.4 prozentuale Häufigkeit Die prozentuale Häufigkeit bezeichnet die Anzahl der Merkmalsträger, die einer bestimmten Meßwertklasse zugeordnet sind, relativiert zum Stichprobenumfang N und auf 100 % normiert. Die prozentuale Häufigkeit erhält man also, indem man die relative Häufigkeit mit 100 multipliziert. Die prozentuale Häufigkeit liegt deshalb immer im Bereich zwischen 0 und 100 2.5 Kumulative Häufigkeit Kumulative Häufigkeiten erhält man, indem man jeweils die (absoluten) Häufigkeiten aufeinander folgender Messwerte addiert. So lässt sich sehr leicht eine 4
Aussage wie z. B. Wie viele Messwerte der Stichprobe liegen unter dem Mittelwert ablesen. Im obigen Beispiel (2.3) erhalten wir folgende kumulative Häufigkeiten: 1 2 3 4 5 6 8F 2 7 16 26 31 32 8G 1 5 11 17 20 21 Man kann nun natürlich auch relative und prozentuale kumulative Häufigkeiten berechnen. 2.6 Aufgaben 2.6.1 Musik-Noten In den Klassen 8f bis 8i verteilen sich die Musik-Noten so: 1 2 3 4 5 6 8F 1 6 12 6 3 1 8G 2 5 6 7 5 0 8H 0 5 11 5 4 1 8G 1 4 10 5 2 2 1. In welcher Klasse gibt es relativ am häufigsten, am zweit häufigsten,... die Note befriedigend? Stelle eine Rangliste auf! 2. Mache das gleiche für die nicht ausreichend beurteilten Schüler! 3. Erstelle eine Rangliste für die Durchschnittsnote! 2.6.2 Verkehrszählung Das Hintertupfinger Käseblatt schrieb: Bei einer Verkehrszählung wurden am Sonntag dem 3.November 2007 zwischen 7.30 Uhr und 9:30 Uhr 218 Pkw, 4 Lkw und 34 Motor-Räder gezählt. Der Investor Dagobert D. erklärte, man könne also tatsächlich davon ausgehen, dass die Zufahrt zum geplanten Industriegebiet nicht von mehr als 1,1 Millionen Fahrzeugen im Jahr benutzt wird. Nimm Stellung! 5
3 Diagramme Dieser Abschnitt fehlt hier noch Seht bitte in die Unterlagen der Methodentage 6
4 Wahrscheinlichkeit 4.1 Zufalls-Experimente Bei vielen Vorgängen entscheidet der Zufall über den Ausgang. Beispiele sind bewusst herbeigeführte Vorgänge wie das Werfen eines Würfels, das Ziehen eines Loses, aber auch viele Ereignisse in er Natur, z.b. der radioaktive Zerfall von Atomen oder die Entwicklung von Arten durch die Evolution. Wir beschränken uns hier auf ersteres. Ein Experiment mit nicht vorhersehbarem Ausgang nennen wir ein Zufalls- Experiment. 4.2 Ergebnisse und Ereignisse Jedes Zufalls-Experiment endet mit einem Ergebnis (oder Elementarereignis. Die Menge der möglichen Ergebnisse bezeichnet man mit Ω (Omega, dem letzten Großbuchstaben des Griechischen Alphabets) Für das Werfen eines normalen Spielwürfels gilt: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Manchmal ist es sinnvoll mehrere Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen zu fassen. In einem Mensch-ärgere-Dich-nicht Spiel kann es z.b. passieren, dass ein Spieler nur mit den Ergebnissen 1 und 6 etwas anfangen kann. für ihn ist dann E = {1, 6} ein günstigen Ereignis. 4.3 ein- und mehrstufige Zufalls-Experimente Wird ein Zufalls-Experiment einmal ausgeführt, so spricht man von einem einstufigen Zufalls-Experiment. Beispiele: Einmaliges würfeln mit einem Würfel. Einmaliger Wurf einer Münze. Einmalige Wette über ein Fußballspiel oder ein Pferderennen. Zufalls-Experimente, die sich aus mehreren hintereinander ausgeführten einstufigen Experimenten zusammensetzen, nennt man mehrstufige Zufalls-Experimente. Beispiele: Dreimaliges Würfeln mit dem selben Würfel. Die Würfe sind von ein ander unabhängig. Ziehen von drei Losen nacheinander aus einer Lostrommel. Die einzelnen Zufalls-Experimente sind nicht von ein ander unabhängig. Wenn z.b. der einzige Hauptgewinn mit dem ersten Zug gezogen wird, ist klar, dass sich Ω für den zweiten Zug verändert hat. 7
4.4 Wahrscheinlichkeiten bei einstufigen Zufalls-Experimenten Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E bei einem Zufalls-Experimentes zu berechnen, muss man kennen: Die Anzahl der möglichen Ergebnisse des Experimentes Die Anzahl der günstigen Ergebnisse des Experimentes (d.h. die Anzahl der Ergebnisse, die zu E gehören) Falls nun die Wahrscheinlichkeit alles Ergebnisse gleich ist, ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E. P (E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl alle möglichen Ergebnisse Im obigen Beispiel mit dem Mensch-ärgere-Dich-nicht-Spiel ist die Wahrscheinlichkeit damit P (E) = 2 6 = 2 6. 4.4.1 Beispiel In einer Kiste sind 10 Ostereier: 2 gelbe, 4 rote, 3 blaue und ein grünes. Du holst mit verbundenen Augen eines heraus. Die Wahrscheinlichkeit, ein gelbes zu ziehen ist: (4) P (gelb) = 2 10 = 1 5 Die anderen Wahrscheinlichkeiten sind dann: P (rot) = 4 10 = 2 5, P (blau) = 3 10 und P (grün) = 1 10. 4.5 Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufalls-Experimenten 4.5.1 Beispiel In einem Sack sind farbige Kugeln, und zwar 4 rote, drei gelbe und zwei blaue. Es wird eine Kugel gezogen, die Farbe notiert und beiseite gelegt Das gleich wird danach mit einer zweiten Kugel gemacht. 4.5.2 Multiplikationsregel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln rot sind? Wir betrachten die Aufgabe als eine Wette, die gewonnen wird, wenn beide Kugeln rot sind. Am Anfang sind 9 Kugeln im Sack. Damit ist die Wahrscheinlichkeit, dass einer der 4 roten kugeln gezogen wird 4 9. Man hat also im Durchschnitt der Versuche in 4 9 der Fälle noch die Chance mit der zweiten Kugel zu gewinnen. Nachdem eine rote Kugel aus dem Sack genommen wurde, sind noch drei der übrig gebliebenen acht Kugeln im Sack rot. Die Wahrscheinlichkeit jetzt eine rote Kugel zu ziehen ist also 3 8 Nehmen wir an, wir führen den Versuch 7200 mal durch. In 4 9 von den 7200 Versuchen, also 3200 Versuchen sind wir nach dem ersten Zug noch auf der Gewinnschiene. In 3 8 dieser 3200 Fälle, also 1200 Versuchen gewinnen wir insgesamt. 8
Die Gesamt-Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis zeit rote Kugeln ist also p(rot = 4 9 3 8 = 12 72 = 1 6 4.5.3 Additionsregel Wir bleiben beim obigen Beispiel, fragen aber jetzt nach der Wahrscheinlichkeit, zwei gleichfarbige Kugeln zu ziehen. Mit der gleichen Argumentation wie oben berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten für zwei gelbe (p(gelb) = 3 9 2 8 = 6 72 = 1 12 ) und für zwei blaue (p(blau) = 2 9 1 8 = 2 72 = 1 36 ) Bei den 7200 Versuchen hätten wir also 600 mal zwei gelbe und 200 mal zwei blaue Kugeln zu erwarten. Im ganzen hätten wir 1200 + 600 + 200 = 2000 mal zwei gleichfarbige Kugeln. Wenn sich ein Ereignis aus mehreren Ergebnissen zusammensetzt, addieren sich also die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse. 4.5.4 Baumdiagramm Besonders übersichtlich lassen sich die verschiedenen Abläufe in einem Baumdiagramm ( Abb. 4.5.4)darstellen: wir beginnen mit Start und zeichne für jedes mögliche Ergebnis der ersten Stufe einen Strich. An das Ende jedes Pfades zeichnen wir alle möglichen Striche der zweiten Stufe. an jeden Strich schreiben wir die zugehörige Wahrscheinlichkeit. Den Weg von Start zu einem Punkt eines (zusammengesetzten) Ergebnisses bezeichnen wir als Pfad Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhalten wir als das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades. 9
Abbildung 1: zu 4.5.4 4.5.5 Aufgaben Buch Seite 259, Aufgabe 2 Man zieht dreimal versteckt einen Stein aus einer Urne mit einem Weißen und einem schwarzen Mühlestein. Nach jeder Ziehung wird der Stein wieder zurückgelegt. E 1 : Es wird dreimal ein weißer Stein gezogen. Abbildung 2: zu 4.5.5 Da der gezogene Stein immer wieder zurückgelegt wird, ändern sich die Wahrscheinlichkeiten nicht. p(e) = 1 2 1 2 1 2 = 1 (5) 8 Zusatzaufgabe E 2 : Es wird genau zweimal ein weißer Stein gezogen. Günstig sind die Fälle : wws,wsw,sww,sws. Jede Einzelwahrscheinlichkeit ist 1 8, also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 4 1 8 = 1 2 Seite 261 Aufgabe 17 10
Aus einer Urne mit drei roten und fünf blauen Kugeln werden verdeckt (ohne Zurücklegen) 3 Kugeln gezogen. Abbildung 3: zu 4.5.5 E 1 : Alle Kugeln sind rot p(rrr) = 1 56 E 2 : Alle Kugeln sind blau p(bbb) = 5 28 E 3 : Man zieht zuerst eine rote und dann zwei blaue Kugeln p(rbb) = 5 28 Zusatzaufgaben E 4 : Man zieht genau zwei blaue Kugeln p(e 4 ) = p(rbb) + p(brb) + p(bbr) = 3 5 28 = 15 28 E 5 : Man zieht nicht genau eine rote Kugel p(e 5 ) = p(rrr) + p(rrb) + p(rbr) + p(brr) + p(bbb) (6) 6 + 30 + 30 + 30 + 60 = 3 = 156 336 336 = 13 28 (7) Hinweis: Einfacher wäre es gewesen, festzustellen, dass in E 5 genau die Ergebnisse sind, die nicht in E 4 sind. p(e 5 ) = 1 p(e 4 ) = 1 15 28 = 13 28 Seite 261 Aufgabe 14 a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit vier Kindern zunächst drei Mädchen und dann ein Junge geboren werden, wenn man voraussetzt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Jungen- oder Mädchengeburt gleich groß sind? b) Aufgrund von Stichproben mit sehr großem Umfang weiß man, dass weltweit unter 1000 Neugeborenen 514 Jungen und 486 Mädchen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit drei Kindern alle drei Mädchen sind? ( vergleiche im Prinzip die Abbildung 4.5.5) a. p(mmmj) = ( 1 2 ) 4 = 1 16 = 0, 0625 b. p(mmmj) = (0, 486)3 = 0, 115 Zusatzaufgaben: c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für drei Mädchen und eine Jungen bei Anwendung der korrekten Wahrscheinlichkeiten? p(mmmj) = (0, 486) 3 0, 514 = 0, 0590 d. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für drei Mädchen unter der Annahme, dass gleich viele Jungen und Mädchen geboren werden? p(mmm) = (0, 5) 3 = 0, 125 11
4.5.6 weitere Aufgaben 1. Begründe warum das 4-malige Drehen eines Glücksrades das dreimalige Werfen eines Würfels als Ziehen mit Zurücklegen gedeutet werden kann 2. in einer Urne befinden sich eine schwarze, 2 rote und drei grüne Kugeln. Es werden drei Kugeln mit zurücklegen gezogen. Zeichne ein Baumdiagramm! Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zweimal eine grüne Kugel gezogen wird! Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei mal eine rote Kugel gezogen wird! Jetzt wird ohne zurücklegen gezogen. Streiche alle Äste des Baumdiagramms, die jetzt nicht mehr existieren; notiere die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden mit einer anderen Farbe.Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zweimal eine grüne Kugel gezogen wird! Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei mal eine rote Kugel gezogen wird! 3. Für einen Ort aus der nördlichen Erdhalbkugel erwartet man folgende Durchschnittstemperaturen: Monat Jan Feb Mar Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez Temp. 3 C 4 C 7 C 10 C 14 C 17 C 19 C 22 C 16 C 11 C 7 C 2 C Berechne die Jahres-Durchschnittstemperatur! Stelle die Werte in einem geeigneten Diagramm dar! Auf der südlichen Halbkugel sind bekanntlich die Jahreszeiten umgekehrt, d.h. um die Jahreswende ist dort Hochsommer, im Juli ist Winter. Gib plausible Durchschnittstemperaturen an und stelle sie ebenfalls in einem Diagramm dar! 4. Karin hat bei einer Umfrage unter 80 Schülern Ihrer Jahrgangstufe untersucht, welche Haustiere gehalten werden: 24 Familien haben eine Katze, 40 einen Hund, 12 einen Vogel, 4 einen Hamster und je 8 ein Kaninchen oder Fische. Sie hat Ihre Ergebnisse in einem Kreisdiagramm dargestellt. Erkläre, weshalb ist es nicht korrekt ist! Erkläre. weshalb man zu Karins Daten kein Kreisdiagramm zeichnen sollte? Stelle die Umfrageergebnisse in einem Säulendiagramm dar! 12