Skript zur Vorlesung Investitionsrechnung, Unternehmensbewertung und Finanzierung. 1. Quartal 2001

Skript zur Vorlesung Investitionsrechnung, Unternehmensbewertung und Finanzierung 1. Quartal 2001

Investitionsrechnung 2 Literaturempfehlungen Allgemeines Grundlagenwerk Achlaitner: Allgemeine Betriebswirtschaftslehre Investitionsrechnung Schneider: Investition, Finanzierung und Besteuerung Blohm/Lüder: Investition Krug: So optimieren Sie Ihre Investitionen Unternehmensbewertung Copeland/Koller/Murrin: Unternehmenswert Methoden und Strategien für eine wertorientierte Unternehmensführung v. Colbe/Coenenberg: Unternehmensakquisition und Unternehmensbewertung Grundlagen und Fallstudien Henselmann/Kniest: Unternehmensbewertung: Praxisfälle mit Lösungsskizzen Behringer: Unternehmensbewertung der Mittel- und Kleinbetriebe Mandl/Rabel: Unternehmensbewertung Eine praxisorientierte Einführung

Investitionsrechnung 3 Finanzierung Gerke/Steiner: Handwörterbuch des Bank- und Finanzwesens Perridon/Steiner: Finanzwirtschaft der Unternehmung Wöhe/Bilstein: Grundzüge der Unternehmensfinanzierung Brealey/Meyers: Principles of Corporate Finance Schmidt/Terberger: Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie Nachschlagewerke: v. Colbe/Pellens: Lexikon des Rechnungswesens v. Colbe/Coenenberg/Kajüter/Linnhoff: Betriebswirtschaft für Führungskräfte

Investitionsrechnung 4 1 Grundlagen Investition ist die Umwandlung von Geldkapital (Geldmittel) in Produktivgüter mit dem Ziel, zukünftige Einnahmen zu generieren bzw. zukünftige Ausgaben zu reduzieren. Investitionsarten: - Sachinvestition - Grundstücke, Gebäude - Anlagen (Maschinen, Werkzeuge) - Vorräte - Fremdleistung - Immaterielle Investition - Forschung und Entwicklung, Lizenzen und Patente - Werbung ) - Ausbildung ) stehen nicht auf der Vermögensseite der Bilanz - Sozialleistung ) - Finanzinvestition - Beteiligungen (z.b. Aktien) - Forderungen (Obligationen) Investitionsvolumen: - Bruttoinvestition gesamte Investitionsvolumen eines Betriebes in einer Periode Kann aufgeteilt werden in: - Ersatzinvestition (Reinvestition) Ersatzbeschaffung von alten, verbrauchten Anlagen - Nettoinvestition (Gründungs- und Erweiterungsinvestition) Erweiterung der Kapazität, Vergrößerung des Betriebes Synthese aus Ersatz- und Nettoinvestition: - Rationalisierungsinvestition (Modernisierungsinvestition) Ersatz einer abgenutzten Anlage durch eine - neue, technisch verbesserte Anlage mit erweiterter Kapazität - kostengünstiger produzierender Anlage mit gleicher Kapazität

Investitionsrechnung 5 1.1 Aufgaben der Investitionswirtschaft Definieren der Unternehmensziele (defensive oder aggressive Ziele) und klären welche Investition der Erreichung der Ziele dient. Investitionswirtschaft wird immer wichtiger, da die Kapitalkosten einen immer höheren Anteil in der Produktkostenstruktur einnehmen. Kapitalkosten verdrängen zunehmend die Lohnkosten. Investitionswirtschaft: - Investitions-Datenbeschaffung Anregungen, Ideen, Daten aus allen korrespondierenden Funktionsbereichen - Investitionsplanung und Entscheidungsvorbereitung Investitionsanalyse unter Berücksichtigung der Interdependenzen der betrieblichen Teilbereiche und auf Grund technischer und wirtschaftlicher Prüfung möglicher Alternativen Beispiel: Marktanalyse zeigt erhöhte Absatzmöglichkeiten Produktionsplan ergibt Bedarf an Produktionsmittel Erweiterungsinvestition ermöglicht größeres Produktionsvolumen - Fixkostendegression - bessere Einkaufskonditionen - sinkende Kosten pro Produkt - niedrigerer Abgabepreis - noch größere Absatzmöglichkeiten - Investitionsentscheidung Projekt- und Gesamtentscheidung - Investitionsdurchführung Bestellung, Lieferung, Inbetriebnahme - Investitionskontrolle Permanente Projektkontrolle

Investitionsrechnung 6 1.2 Ziele der Investitionswirtschaft Investitionsrechnung als Wirtschaftlichkeitsrechnung zum Treffen einer Investitionsentscheidung - Beurteilung der Vorteilhaftigkeit eines Investitionsprojektes - Rangfolge bei mehreren Investitionsalternativen - Berücksichtigung der Rentabilität des eingesetzten Kapitals - Bestimmung der wirtschaftlichen Nutzungsdauer und des optimalen Ersatzzeitpunktes Investitionsrechnung als Unternehmensbewertung - Ermittlung des Grenzpreises - maximaler Preis für Käufer - minimaler Preis für Verkäufer - Argumentationshilfe für Preisverhandlungen - Unternehmenswert als Grundlage für die Besteuerung Investition sinnvoll, wenn - Anschaffungsauszahlungen wiedergewonnen werden können - das eingesetzte Kapital ausreichend verzinst werden kann Problem: wertmäßig nicht quantifzierbare (imponderable) Faktoren - Nicht monetäre Investitionsziele (Prestige, Macht, Unabhägigkeit) - Nicht quantifizierbare Investionswirkungen - Nicht monetäre Investitonswirkung (Erhöhung der Unfallsicherheit, Vereinfachung der Bedienung) - Monetäre, aber mangels Information nicht quantifizierbare Investitionswirkung (Fortbildungsmaßnahmen, strategische Investition) Eine Investitionsrechnung ist nur mit exakten Zahlungsreihen möglich. Die Ermittlung dieser Zahlungsreihen ist der erste Schritt. Auszahlungsreihe: - Abfluß von liquiden Mitteln für die Anschaffung des Investitionsobjektes - laufende Betriebsausgaben (R-H-B-Stoffe, Löhne usw), falls eine betriebliche Leistung erstellt werden soll Einzahlungsreihe: - Zufluß an liquiden Mitteln aus dem Umsatz der produzierten Leistungen - Veräußerung des Investitionsobjektes (Restverkaufserlös)

Investitionsrechnung 7 Beispiel: Periode 0 1 2 3 Gesamt Auszahlungsreihe Investition -10.000-10.000 Betriebsausgaben -2.000-2.500-3.000-7.500 Auszahlungen -10.000-2.000-2.500-3.000-17.500 Einzahlungsreihe Umsatzerlöse 4.000 5.000 6.000 15.000 Restverkaufserlös 4.000 4.000 Einzahlungen 4.000 5.000 10.000 19.000 Zahlungsreihe -10.000 2.000 2.500 7.000 1.500 Investitionsrechnung kann - ein einzelnes Investitionsprojekt isoliert betrachten - zwei oder mehrere Investitionsprojekte vergleichen und eines auswählen - ein optimales Investitionsbudget unter Berücksichtigung der finanziellen Möglichkeiten eines Betriebes ermitteln, d. h. optimale Kombination verschiedener Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten

Investitionsrechnung 8 Verfahren der Investitionsrechnung Quantitative Verfahren Berücksichtigung allein monetärer Größen Qualitative Verfahren: Berücksichtigung auch nichtmonetärer Größen Statische Verfahren: Vernachlässigung von Zeitaspekten Dynamische Verfahren Berücksichtigung von Zeitaspekten Kosten- bzw. Gewinnvergleich Kapitalwert Scoring- Modelle Rentabilität Interner Zinsfuß Annuität Amortisationsdauer Amortisationsdauer

Investitionsrechnung 9 2 Statische Verfahren der Investitionsrechnung Die Verfahren vergleichen Kosten, Gewinn oder Rentabilität, berücksichtigen aber den Zeitfaktor nicht oder nur unvollkommen und werden deshalb als statische Verfahren bezeichnet. Statische Verfahren werden auch als einperiodische Verfahren bezeichnet, da sie nur eine durchschnittliche oder repräsentative Periode aus der Nutzungsdauer herausnehmen und als Basis für die Investitionsrechnung verwenden. 2.1 Kostenvergleichsrechnung Vergleich der in der betrachteten repräsentativen Periode anfallenden Kosten verschiedener Investitionsobjekte. Relevante Kostenarten: - Material - Lohn Betriebs- - Energie kosten - Instandhaltung - Abschreibungen Kapital- - Zinsen kosten Jede einzelnen Kostenart muss detailliert geplant werden. Basis hierzu ist die Datenbeschaffung. Bei der Berechnung der Kapitalkosten sind einige Regeln zu beachten. Abschreibungen Ziel der Abschreibungen ist es, die Wertminderung auf die Dauer der Nutzung des Investitionsobjektes gleichmäßig zu verteilen, um eine repräsentative bzw. durchschnittliche Belastung der einzelnen Perioden zu erreichen. Abschreibung = Anschaffungswert - Restwert Nutzungsdauer Zinsen Die durchschnittlichen Zinsen werden auf das durchschnittlich in der Investition gebundene Kapital dem durchschnittlichen Kapitaleinsatz berechnet. Zinsen = Kapitalbindung x Kalkulationszinssatz Bei der Berechnung des durchschnittlichen Kapitaleinsatzes gibt es zwei Ansatzmöglichkeiten.

Investitionsrechnung 10 a) Kontinuierliche Tilgung bzw. Amortisation des Kapitaleinsatzes Kapitaleinsatz = Kapitaleinsatz = Anschaffungswert 2 Anschaffungswert + Restwert 2 Nutzungsdauer Anschaffungsauszahlung A eingesetztes Kapital Durchschnittlicher Kapitaleinsatz= (A+R)/2 Restwert R Zeit b) Tilgung bzw. Amortisation des Kapitaleinsatzes am Jahresende Nutzungsdauer Abschaffungsauszahlung A eingesetztes Kapital Durchschnittlicher Kapitaleinsatz= (A+R+Ab)/2 Restwert R Zeit Kapitaleinsatz = Anschaffungswert + Abschreibung 2 Kapitaleinsatz = Anschaffungswert + Abschreibung + Restwert 2

Investitionsrechnung 11 Wird ein Kostenvergleich bei zwei Betriebsmitteln durchgeführt, gibt es grundsätzlich zwei unterschiedliche Voraussetzungen. Vergleichbare gegebene Kapazität: D.h. die Ausbringungsmenge beider Investitionsobjekte ist gleich hoch. Hier genügt ein Gesamt- oder Periodenkostenvergleich. Nicht vergleichbare Kapazität: Ist die Ausbringungsmenge unterschiedlich, muss ein Vergleich der Stückkosten erfolgen. Da die Stückkosten von der Kapazitätsausnutzung einer Anlage abhängen, kann hierbei das Problem der sich schneidenden Gesamtkosten auftreten. In diesem Fall sollte die kritische Ausbringungsmenge ermittelt werden. Die Voraussetzung für die Anwendung eines Gesamt- oder Stückkostenvergleichs ist der gleiche Ertrag pro Stück für beide Alternativen. 2.2 Gewinnvergleichsrechnung Wenn eine kostengünstigere Investitionsalternative zu einer höheren Ausbringung führt, die größere Menge aber nur zu einem niedrigeren Preis abgesetzt werden kann, kann eine Investitionsentscheidung mit der Kostenvergleichsrechnung nicht getroffen werden. Die Gewinnvergleichsrechnung berücksichtigt die Erlöse und vergleicht die zu erwartenden Jahresgewinne zweier Investitionsobjekte. Nachteile der Gewinnvergleichsrechnung: - zeitliche Verteilungen zukünftiger Kosten- und Erlösentwicklungen werden nicht berücksichtigt - Zuordnung von Erträgen bzw. Gewinnen auf einzelne Investitionsanlagen ist grundsätzlich problematisch - keine Aussage über die Rentabilität des Kapitaleinsatzes

Investitionsrechnung 12 2.3. Rentabilitätsrechnung Der erwartete Jahresgewinn alternativer Investitionsprojekte wird auf eine Maßgröße bezogen: Gewinn pro Jahr Investitionsrentabilität = x 100 Kapitaleinsatz Gewinn pro Jahr Umsatzrentabilität = x 100 Umsatz pro Jahr Kapitalumschlag = Umsatz pro Jahr Kapitaleinsatz Werden die Kapitalkosten in Form von Zinsen bei der Berechnung des Gewinns berücksichtigt, so ist ein Projekt vorteilhaft, wenn die Rendite nach Zinsen positiv ist. Andernfalls muss die Rendite größer sein als die Kapitalkosten. Exkurs: Häufig wird der Gewinn auf das eingesetzte Kapital bezogen (Return on Investment). Diese Kennzahl wird sowohl für Investitionsentscheidungen als auch für Unternehmensbewertungen herangezogen: Gewinn + FK-Zinsen ROI = x 100 investiertes Kapital Gewinn + Zinsen Umsatz ROI = x x 100 Umsatz investiertes Kapital Umsatzerfolg Kapitalumschlag Rationalisierung Produktivität Asset Management Aktiva Anlagevermögen Vorräte Forderungen aus LuL Finanzforderungen Bankguthaben Bilanz Passiva Grundkapital Rücklagen Rückstellungen Finanzverbindlichkeiten Verbindlichkeiten aus LuL

Investitionsrechnung 13 Investiertes Kapital (Vermögen) betriebsnotwendiges Kapital: Asset Manegement: Anlagevermögen Mieten, Leasen, Ausschlachten + Vorräte Bestandssenkung (Just-in-time,...) + Forderungen aus LuL Zahlungsziel kürzen, Factoring - Verbindlichkeiten aus LuL Zahlungsziel verlängern = Investiertes Kapital Grafische Veranschaulichung durch das DuPont-Kennzahlensystem: Das Return on Investment-Konzept (ROI = Gesamtkapitalrendite) Betriebsergebnis./. Kosten Absatzkosten + Nettoumsatz Herstellkosten + Umsatzrendite Gewinn vor Steuern : Nettoumsatz + Neutrales Ergebnis Neutrale Erträge./. Neutraler Aufwand Vertriebskosten + F& E + Verwaltung/ sonst. Kosten ROI x Vorräte Kapitalumschlag : Nettoumsatz Kapitaleinsatz + Umlaufvermögen Anlagevermögen + unfertige Erzeugnisse + Forderungen + Geld und Geldanlegen + Grundstücke und Gebäude + Maschinen Ausstattung + Immaterielle Werte + Finanzierung des Vermögens durch: + Eigenkapital Fremdkapital Finanzanlagen Ende Exkurs

Investitionsrechnung 14 Bei mehreren Investitionsobjekten wird für jedes Objekt eine Rentabilitätskennziffer berechnet. Bei nur einem Objekt kann das Objekt mit einer vom Investor gewünschten Mindestrentabilität verglichen werden. Beurteilung: - Betrachtung der Rentabilität des eingesetzten Kapitals - jedoch auch nur kurzfristige Betrachtungsweise, zukünftige Veränderungen von Kosten und Erlösen werden nicht berücksichtigt - Zuordnung von Umsätzen und Gewinnen auf einzelne Investitionsobjekte ebenso problematisch wie bei der Gewinnvergleichsrechnung 2.4 Statische Amortisationsrechnung Die Kosten, Gewinn oder Rentabilität stehen nicht mehr im Vordergrund, sondern das Sicherheitsdenken. Grundidee: je schneller man das eingesetzte Kapital zurückgewinnt, desto sicherer ist das Investitionsobjekt. Überlegung: amortisiert sich ein Investitionsprojekt innerhalb eines gewünschten Zeitraums oder nicht. Die Investitionsentscheidung hängt von der Amortisationsdauer ab. Amortisationsdauer: Zeitraum, in dem die Anschaffungsauszahlung einer Investition zurück gewonnen werden können, d. h. die Erlöse decken die Anschaffungsauszahlung und die laufenden Betriebsausgaben. Problem: - Annahme gleichbleibender jährlicher Einzahlungen und Auszahlungen - Zuordnung von Einzahlungen auf einzelne Investitionsprojekte 2.5Generelle Bewertung der statischen Verfahren Grundsätzlich gibt es zwei Hauptkritikpunkte an den statischen Verfahren. 1. Alle statischen Verfahren betrachten nur eine Periode oder einen kurzen Zeitraum 2. Änderungen von Ertrags- Aufwands- und Kostengrößen werden nicht berücksichtigt. I. d. R. treten aber häufig Schwankungen in der Auslastung (Marktentwicklung, Produktlebenszykluskurve)

Investitionsrechnung 15 steigende Instandhaltungskosten (Alterungsprozess) unterschiedliche Entwicklung von Lohnkosten ) Energiekosten ) Inflationsentwicklung Zinskosten ) unterschiedliche Restverkaufserlöse Statische Verfahren liefern nur approximative Lösungsergebnisse.

Investitionsrechnung 16 3 Dynamische Verfahren der Investitionsrechnung Betrachtung der gesamten Lebensdauer oder des Planungshorizonts einer Investition aufgrund der Einzahlungs- und Auszahlungsreihen. 3.1 Die Kapitalwertmethode Auch Diskontierungs- oder Barwertmethode genannt. Berücksichtigt das Zeitmoment in der Investitionsrechnung, da Ein- und Auszahlungen von - der Höhe - dem zeitlichen Anfall - der zeitlichen Dauer unterschiedlich sein können. Auswirkung des Zeitablaufs für einen Betrieb (grafisch darstellen) - Einzahlungen, die weiter in der Zukunft liegen sind weniger wert - Auszahlungen sind um so belastender, je näher der Zahlungszeitpunkt liegt t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 681,75 619,50 563,25 512,25 2.000 } Kapitalwert = 376,75 750 750 750 750 (Kalkulationszinsfuß = 10 %)

Investitionsrechnung 17 Vergleichbarkeit zukünftiger Ein- und Auszahlung durch Abzinsung auf Zeitpunkt unmittelbar zur der Investitionsentscheidung. Abgezinste Zahlung heißt Barwert. Der Kapitalwert einer Investition ergibt sich als Differenz zwischen der Summe der Barwerte aller Einzahlungen und der Summe der Barwerte aller Auszahlungen. Die Abzinsung erfolgt mit dem Kalkulationszinsfuß. Der Kalkulationszinsfuß kann die gewünschte Mindestverzinsung des Investors die geforderten Kapitalkosten bei Fremdfinanzierung sein. Kapitalwert ist - gleich Null: Einzahlungsüberschüsse reichen aus, um die Anfangsauszahlung zu tilgen und das Kapital zum Kalkulationszinsfuß zu verzinsen - positiv: Kapitalwert entspricht dem Zahlungsüberschuß der Investition, der nach der Verzinsung der Investition übrig bleibt - negativ: Kapitalwert ist der Teil der Anschaffungsauszahlungen, der nicht getilgt und nicht verzinst werden kann n Kapitalwert = - I 0 + S (E t - A t ) (1 + i) -t t=0 E t = Einzahlung am Ende der Periode t A t = Auszahlung am Ende der Periode t a 0 = Investition i = Kalkulationszinsfuß t = Periode (t = 0, 1, 2..., n) n = Nutzungsdauer der Investition Beispiel: Jahre 0 1 2 3 Investition -1000,00 Einzahlungen 3.200,00 2.500,00 1.500,00 Auszahlungen -2.500,00-2.000,00-1.200,00 Rückflüsse 700,00 500,00 300,00 Barwert Rückfl. 1.314,90 Investition -1.000,00 Kapitalwert 314,90 648,20 x 1,08-1 428,50 x 1,08-2 238,20 x 1,08-3

Investitionsrechnung 18 Die Zahlungen der Perioden 1 bis 3 werden auf den Zeitpunkt 0 abgezinst und sind somit mit der Anschaffungsauszahlung vergleichbar. Zusammenhang Zinsfuß - Kapitalwert Jahre 0 1 2 3 Investition -1000 Rückflüsse 700 500 300 Zinsfuß Kapitalwert 0 % 500 8 % 315 10 % 274 20 % 104 27,6 % 0 30 % -29 Kapitalwert i Sonderfall Berechnung des Kapitalwertes bei gleichförmiger Zahlungsreihe R t = (E t - A t ) konstant für alle t von 1 bis n (1 + i) n 1 1 (1 + i) -n Kapitalwert = R t x - a 0 bzw. = R t x ---------------- - a 0 i x (1 + i) n i Rentenbarwertfaktor (RBF) (alternative Schreibweise)

Investitionsrechnung 19 3.2 Interne Zinsfuß-Methode Errechnet den Zinsfuß, bei dem der Kapitalwert 0 ist (interne Verzinsung einer Investition bzw. Rentabilitätskennziffer). Der interne Zinsfuß ist die Rentabilität des jeweils noch nicht amortisierten Kapitals. Ist der interne Zinsfuß höher als der Kapitalzinssatz, ist die Investition vorteilhaft. Bei mehreren Investitionsobjekten ist das mit dem höchsten internen Zinssatz vorziehenswert. n S (E t - A t ) (1 + i) -t = I 0 t=0 Kapitalwert Interner Zinsfuß i Im Beispiel ergab sich ein Kapitalwert von O bei einem Zinsfuß von 27,6 %.

Investitionsrechnung 20 Jahre 0 1 2 3 Kapitaleinsatz -1000 Rückfluß 1 700 Verzinsung 27,6 % 276 Amortisation 424 Kapitaleinsatz -576 Rückfluß 2 500 Verzinsung 27,6 % 159 Amortisation 341 Kapitaleinsatz -235 Rückfluß 2 300 Verzinsung 27,6 % 65 Amortisation 235 Kapitaleinsatz 0 Problem: Man nimmt an, daß zum jeweiligen internen Zinsfuß Kapital aufgenommen bzw. angelegt werden kann. Praktische Lösung: - Iteratives Verfahren - Grafisches Verfahren Berechnung bei konstanten Rückflüssen: n S (E t - A t ) (1 + i) -t = I 0 t=0 R t x RBF = I 0 RBF = I 0 R t Bei bekannter Laufzeit t ist der Zinssatz i die gesuchte Größe Beispiel: Investitionsauszahlung: 1.082 DM Konstante Rückflüsse: 300 DM Laufzeit: 5 Jahre

Investitionsrechnung 21 I 0 1.082 DM RBF = = = 3.606 R t 300 DM Bei 5 Jahren Laufzeit ist i = 12%. 3.3. Modifizierter interner Zinsfuß Annahme: Zwischenzeitige Zahlungsmittelüberschüsse bzw. -fehlbeträge werden zum Kalkulationszinsfuß (und damit n i c h t zum internen Zinsfuß) angelegt bzw. aufgenommen. Gesucht wird der Zins i für:! n n t C0 = 0 = a0 + ( ( et at) ( 1+ r) ) ( 1+ i) t= 1 n i = n n ( ( et at)) ( 1 + r) t= 1 a 0 n t 1 Beispiel: 0 1 2 3 4-1000 1500 0 0 100 i ~ 52,7 % 0 1 2 3 4-1000 1500 0 0 100-1000 x 1.5278 4-5448 1500 x 1,5278 3 + 5349 + 100 ~ 0

Investitionsrechnung 22 Modifizierter interner Zinsfuß (r=10 %) 0 1 2 3 4-1000 1500 0 0 100 Aufzinsung auf t = 4 1500 x 1,10 3 1996,50 Modifizierte Zahlungsreihe -1000 2096,50 I mod ~ 20,3 % 3.4. Annuitätenrechnung Vergleich der durchschnittlichen jährlichen Auszahlung mit der durchschnittlich jährlichen Einzahlung für die Dauer der Investition. Sind die Zahlungsreihen nicht gleichförmig, Abzinsung in Gegenwartswert und Umwandlung in Annuität mit Kapitalwiedergewinnungsfaktor (Annuitätenfaktor). Kapitalwert wird umgerechnet in uniforme jährliche Zahlungen, d.h. er wird periodisiert. Kapitalwert = R t x RBF - I 0 Annuität = Kapitalwert RBF Annuitätenfaktor = Annuitätenfaktor = i (1 + i) n (1 + i) n 1 1 RBF Annuität = Kapitalwert x Annuitätenfaktor Voraussetzung: vollkommener Kapitalmarkt Jahre 0 1 2 3 Investition -1000,00 Rückflüsse 700,00 500,00 300,00 648,20 x 1,08-1 428,50 x 1,08-2 238,20 x 1,08-3

Investitionsrechnung 23 Kapitalwert 314,90 Annuität 122,20 122,20 122,20 Ist die Annuität positiv, ist eine einzelne Investition sinnvoll, bei mehreren Alternativen ist das Investionsobjekt mit der höchsten Annuität vorzuziehen. 3.5. Vergleich Interne-Zinsfuß- und Kapitalwertmethode Vorteilhaftigkeitsberechnung Interne-Zinsfuß-Methode und Kapitalwertmethode führen bei Normalinvestitionen* zu denselben Aussagen. Alternativenvergleich Gleiche Laufzeit und gleicher Kapitaleinsatz Bei gleichem Kapitaleinsatz führen beide Methoden im Regelfall zu unterschiedlichen Ergebnissen. Kapitalwert Interne Zinsfüße für A und B: B besser als A Zinssätze mit A besser als B A Kalkulationszinsfuß Nur bei sehr ähnlicher Struktur der Zahlungsreihen führen beide Methoden mit hoher Wahrscheinlichkeit zu denselben Aussagen. B Gleiche Laufzeit und unterschiedlicher Kapitaleinsatz Bei unterschiedlichem Kapitaleinsatz eignet sich die Interne Zinsfuß-Methode nur, wenn die unterschiedliche Kapitalbindung explizit als Differenzinvestition berücksichtigt wird.

Investitionsrechnung 24 Bei der Kapitalwertmethode führt die Annahme, dass Ergänzungsinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß getätigt werden können, dazu, dass kein Umweg über eine Differenzinvestition gewählt werden muss. Damit zeichnet sich diese Methode durch ihren einfacheren Einsatz aus. Unterschiedliche Laufzeit und gleicher Kapitaleinsatz Bei Alternativen mit unterschiedlichen Laufzeiten müssen explizite Annahmen über die Anschlussinvestitionen getroffen werden, um den Vergleich über einen jeweils identischen Planungszeitraum anstellen zu können. Bei Annahme der Anlage der freien Mittel zum Kalkulations- bzw. zum internen Zinssatz verändern sich die jeweiligen Ergebnisse nicht. Diese Annahme ist insbesondere bei der Interne-Zinsfuß-Methode kritisch. Bei Unterstellung einer Anschlussinvestition mit identischer Zahlungsreihe führt alternativ die einfache Berechnung der Annuitäten (als Variante des Kapitalwerts) der jeweiligen Erstinvestitionen im Vergleich zur richtigen Entscheidung. Unterschiedliche Laufzeit und unterschiedlicher Kapitaleinsatz Es müssen Annahmen über die Anlage der Differenzbeträge getroffen werden. Bei der Interne-Zinsfuß-Methode hat dies über die Differenzinvestition zu erfolgen. Bei der Kapitalwertmethode führt die implizite Annahme der Anlage freier Mittel zum Kalkulationszinsfuß dazu, dass die berechneten Kapitalwerte unmittelbar zum Alternativenvergleich geeignet sind. Bei identischen Anschluss- und Ergänzungsinvestitionen bietet sich alternativ die Berechnung der Annuitäten der jeweiligen Erstinvestitonen an. *Normalinvestition: anfangs Auszahlungsüberschuss, nachfolgend Einzahlungsüberschüsse; nur ein Vorzeichenwechsel in der Zahlungsreihe; die Summe der Einzahlungen ist größer als die Summe der Auszahlungen 3.5. Dynamische Amortisationsrechnung Jahre 0 1 2 3 Investition -1000,00 Rückflüsse 700,00 500,00 300,00 648,20 x 1,08-1 428,50 x 1,08-2 238,20 x 1,08-3 Barwert 1.314,90 Cash Flow 510,24 510,24 510,24 Amortisationsdauer: 2,56 Jahre

Investitionsrechnung 25 Berechnung über die Annuitäten: gleiche Vorgehensweise wie bei statischer Amortisationsrechnung, lediglich der Zinseszinseffekt wird berücksichtigt. Alternative: Exakte Bestimmung durch schrittweise Addition der Barwerte und Vergleich mit der Investitionsauszahlung: Amortisationsdauer im Beispiel = 1 Jahr + (365-76,7/1000 Tage). 3.6. Generelle Bewertung der dynamischen Verfahren Voraussetzung für die Anwendung dynamischer Verfahren - vollkommene Voraussicht: zukünftige Zahlungsreihen sind bekannt, in der Praxis ist man aber auf grobe Schätzungen angewiesen - Kalkulationszinsfuß: Kosten für Eigenkapital oder Fremdkapital, oder Grenzkapitalkostensatz. - vollkommener Kapitalmarkt: er kann zum Kalkulationszinsfuß Kapital zu jedem Zeitpunkt in beliebiger Höhe und beliebiger Länge angelegt oder aufgenommen werden. - Zuordnung von Ein- und Auszahlungen: kann in der Praxis problematisch sein (trifft auch für statische Verfahren zu). Nicht alle dynamischen Verfahren sind für jedes Entscheidungsproblem geeignet. Folgende Probleme können auftreten: - unterschiedliche Laufzeiten: die zu vergleichenden Investitionsobjekte können unterschiedliche Laufzeiten haben. - unterschiedlicher Kapitaleinsatz: die Anschaffungsauszahlungen der Investitionsobjekte können unterschiedlich sein. Grundsätzlich könnte das Problem mit einer Zusatz- bzw. Differenzinvestition gelöst werden: - Nachfolge- oder Anschlußinvestitionen (Zusatzinvestition) bei unterschiedlicher Nutzungsdauer - Ergänzungsinvestitionen bei unterschiedlichem Kapitaleinsatz bzw. Ruckflüssen

Investitionsrechnung 26 4. Scoring Modelle Mit Hilfe der Scoring-Modelle lassen sich die Nutzenbeiträge eines (oder alternativer Investitionsvorhaben(s) in Bezug auf die Erfüllung nicht-monetärer Zielsetzungen bestimmen. Diese Nutzwertanalyse umfaßt folgende Schritte: 1. Bestimmung der maßgeblichen Zielkriterien. 2. Bestimmung von Gewichtungen dieser Kriterien (Werte zwischen 0 und 1, Summe aller Werte = 1). 3. 'Benotung' der Projektbeiträge zum Erreichen des jeweiligen Zieles Ordinalskala von 1 bis 5 bzw. 5 bis 1. 4. Bestimmung der Teilnutzenwerte durch Multiplikation von Gewichtungen und Zielerreichungsbeiträgen und anschliessende Addition zum Gesamtnutzenwert.

Investitionsrechnung 27 5 Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer / Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes 5.1 Optimale bzw. wirtschaftliche Nutzungsdauer Verschiedene Aspekte der Nutzungsdauer: - technische Nutzungsdauer (maximale Lebensdauer) - wirtschaftliche Nutzungsdauer (gewinnmaximale Lebensdauer) - buchhalterische Nutzungsdauer (Abschreibungszeitraum) Die Frage nach der wirtschaftlichen bzw. optimalen Nutzungsdauer stellt sich bereits vor der Anschaffung eines Investitionsobjektes. Wirtschaftliche Nutzungsdauer: Einzahlung der laufenden Periode decken: - die laufenden Betriebsausgaben - die Minderung des Restverkaufserlöses - die Zinsen auf den Restverkaufserlös - die Ertragssteuern Die Investitionsrechnung ermittelt die wirtschaftliche Nutzungsdauer als gewinnmaximale Nutzungsdauer, d.h. die Nutzungsdauer bei der der Kapitalwert bzw. die Annuität des Investitionsprojekts das Maximum erreicht. 1. Einmalige Investition Eine Investition wird einmal getätigt, der Investor muß die optimale bzw. wirtschaftliche Nutzungsdauer bestimmen. Berechnung: 1. Bildung von Zahlungsreihen eines Projektes für alternative Nutzungsdauern. 2. Berechnung der jeweiligen Kapitalwerte für die alternativen Nutzungsdauern. 3. Auswahl des größten Kapitalwertes, die dazugehörige Laufzeit ist dann die wirtschaftliche Nutzungsdauer. Beispiel Investitionsdaten 0 1 2 3 4 5 6 Investition -1.000 600 500 100 200 100 100 Restwert 1.000 600 400 300 200 100 0 Kalkulationszinsfuß 10 %

Investitionsrechnung 28 Bildung der Zahlungsreihen für alternative Nutzungsdauern 0 1 2 3 4 5 6 KW 0 0 0 1-1.000 1.200 91 2-1.000 600 900 289 3-1.000 600 500 400 259 4-1.000 600 500 100 400 307 5-1.000 600 500 100 200 200 295 6-1.000 600 500 100 200 100 100 289 2. Mehrmalige Investitionen Der Investor tätigt am Ende der optimalen Nutzungsdauer der ersten Investition eine Folgeinvestition. Grundsätzlich sind zwei Möglichkeiten zu betrachten Endlicher Planungshorizont mit identischen oder nicht-identischen Investitionen Unendlicher Planungshorizont mit identischen Investitionen a) Endlicher Planungshorizont Problemstellung: Bestimmung der optimalen Nutzungsdauer unter Berücksichtigung möglicher Folgeinvestitionen während eines begrenzten Planungszeitraums. Fortsetzung des Beispiels... b) Unendlicher Planungshorizont Problemstellung: ein Unternehmen wird auf Dauer betrieben, mangels besserer Informationen wird unterstellt, dass das betrachtete Investitionsprojekt immer wieder durch ein identisches realisiert wird. Gesucht sind die optimalen Nutzungsdauern sämtlicher heute und in der Zukunft zu realisierender Projekte. Gesamter Kapitalwert = KW n + KW n (1 + i) -n + KW n (1 + i) -2n +... + KW n (1 + i) - n = KW n [1 + (1 + i) -n + (1 + i) -2n +... + (1 + i) - n ] i (1 + i) n = KW n [(1 + i) n 1]i Einführung des Annuitätenfaktors: i (1 + i) n Annuitätenfaktor = (1 + i) n 1

Investitionsrechnung 29 Gesamter Kapitalwert = AF x KW n i Berechnung: 1. Bildung von Zahlungsreihen eines Projektes für alternative Nutzungsdauern. 2. Berechnung der jeweiligen Kapitalwerte für die alternativen Nutzungsdauern. 3. Umrechnung der Kapitalwerte in Annuitäten mit den entsprechenden Annuitätenfaktoren. 4. Dividieren der Annuität durch den Kalkulationszinsfuß 5. Auswahl des größten gesamten Kapitalwertes, die dazugehörige Laufzeit ist die wirtschaftliche Nutzungsdauer Beispiel Investitionsdaten 0 1 2 3 4 5 6 Investition -1.000 600 500 100 200 100 100 Restwert 1.000 600 400 300 200 100 0 Kalkulationszinsfuß 10 % Bildung der Zahlungsreihen für alternative Nutzungsdauern 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1-1.000 1.200 2-1.000 600 900 3-1.000 600 500 400 4-1.000 600 500 100 400 5-1.000 600 500 100 200 200 6-1.000 600 500 100 200 100 100 Berechnung der Kapitalwerte und Annuitäten Kapitalwert AF Annuität Zins 0 0 Gesamter Kapitalwert 1 91 1,100 100 10 % 1.000 2 289 0,576 166 10 % 1.667 3 259 0,402 104 10 % 1042 4 307 0,315 97 10 % 989 5 295 0,264 78 10 % 777 6 289 0,230 66 10 % 663

Investitionsrechnung 30 5.2. Optimaler Ersatzzeitpunkt Während des Betriebes eines Investitionsobjektes stellt sich die Frage, ob das Objekt noch weiter genutzt oder durch ein neues ersetzt werden soll. Vor allem bei technischem Fortschritt tritt der Fall auf, dass ein Objekt innerhalb der ursprünglich errechneten wirtschaftlichen Nutzungsdauer ersetzt werden muss. Alte Anlage - technisch noch nutzungsfähig - steigende Wartungs- und Reparaturkosten wird durch eine neu ersetzt. Häufig mit Erweiterungs- oder Rationalisierungsinvestition verbunden (Interdependenzen zum Absatzbereich beachten). Annahme: die technische Restnutzungsdauer kann geschätzt werden. Entscheidung: - sofortiger Ersatz - Ersatz nach 1, 2,... Perioden - Nutzung bis zum Ende der technischen Restnutzungsdauer Grundregel: Ersatz, wenn der zeitliche Durchschnittsgewinn der neuen Anlage größer ist als der Grenzgewinn der alten Anlage. 5.2.1. Lösung mit der Kostenvergleichsrechnung a) Grenzkostenvergleich Vergleich der - Durchschnittskosten der Ersatzanlage mit den - Grenzkosten der alten Anlage die wegfallen durch die Ersatzmaßnahme b) Buchhalterischer Vergleich Vergleich der - Durchschnittskosten der Ersatzanlage mit den - Durchschnittskosten der alten Anlage

Investitionsrechnung 31 Beispiel Investitionsdaten Alt Neu Anschaffungskosten 50.000 80.000 Geplante Nutzungsdauer 10 Jahre 10 Jahre Abschreibung 5.000 8.000 Kapitaleinsatz 27.500 44.000 Restbuchwert alte Anlage 15.000 Liquidationserlös heute 7.000 Liquidationserlös nach 1 Jahr 4.000 Fixe Betriebskosten 3.900 1.700 Variable Betriebskosten 1,25 0,55 Ausbringung 10.000 Stück 10.000 Stück Grenzkostenvergleich Alt Neu Abschreibung 3.000 8.000 10% Zinsen auf geb. Kapital 700 4.400 Fixe Betriebskosten 3.900 1.700 Fixe Kosten 7.600 14.100 Variable Kosten 12.500 5.500 Gesamtkosten 20.100 19.600 Stückkosten 2,01 1,96 Zinsen und Abschreibungen der alten Anlage werden auf den Restverkaufserlös gerechnet, da dieser dem tatsächlichen Kapitaleinsatz entspricht (theoretisch exaktes Vorgehen). Durch die Nutzung der alten Anlage kann der Restverkaufserlös nicht erzielt werden. Buchhalterischer Vergleich Alt Neu Abschreibung 5.000 8.000 10% Zinsen auf geb. Kapital 2.750 4.400 Zusätzliche Abschreibung 800 10% zusätzliche Zinsen 440 Fixe Betriebskosten 3.900 1.700 Fixe Kosten 11.650 15.340 Variable Kosten 12.500 5.500 Gesamtkosten 24.150 20.840 Stückkosten 2,42 2,08

Investitionsrechnung 32 Zinsen und Abschreibungen werden auf den Originalanschaffungswert gerechnet (buchhalterische Vorgehensweise der Praxis). Die Differenz zwischen dem Buchwert und dem Restverkaufserlös der alten Anlage und die entsprechenden Zinsen werden der Nutzungsdauer der neuen Anlage zugerechnet, da die Differenz durch den Einsatz der neuen Anlage entsteht. 5.2.2 Lösung mit der Kapitalwertmethode Vorgehensweise: Rückflüsse für mögliche Restnutzungsdauer bekannt Restverkaufserlöse bekannt optimale Nutzungsdauer der neuen Anlage ist bekannt (maximale Annuität) Bildung von Zahlungsreihen für die möglichen Alternativen Berechnung der Kapitalwerte der Zeitpunkt mit dem maximalen Kapitalwert ist der optimale Ersatzzeitpunkt Beispiel Investitionsdaten t t + 1 t + 2 t + 3 Restwert (alt) 700 500 300 100 Rückflüsse (alt) 500 250 100 Annuität (neu) 60 60 60 Bildung der Zahlungsreihen t t + 1 t + 2 t + 3 1. Sofortiger Ersatz Zahlungsreihe 60 60 60 2. Ersatz nach einem Jahr Zahlungsreihe -700 500 + 500 60 60 3. Ersatz nach zwei Jahren Zahlungsreihe -700 500 250 + 300 60 4. Ersatz nach drei Jahren Zahlungsreihe -700 500 250 100 + 100

Investitionsrechnung 33 Berechnung der Kapitalwerte 1. Sofortiger Ersatz: 155 2. Ersatz nach einem Jahr: 325 3. Ersatz nach zwei Jahren: 283 4. Ersatz nach drei Jahren: 136 Optimaler Ersatzzeitpunkt: am Ende des ersten Jahres.

Investitionsrechnung 34 6 Probleme und Sonderfälle der Investitionsrechnung 6.1 Das optimale Investitionsprogramm Die Aufgabe von Programmentscheidungen ist die Auswahl und Zusammenstellung eines Investitionsprogramms aus mehreren Investitionsalternativen. Fall 1: Die lohnenden Investitionsmöglichkeiten übersteigen die finanziellen Möglichkeiten, d.h. alle Investitionen müssen fremd finanziert werden, der Kalkulationszinsfuß ist somit der Kostensatz für das Fremdkapital. Fremdkapital kann unbegrenzt zum Kalkulationszinsfuß beschafft werden. Unter dieser Voraussetzung lohnen sich alle Investitionsmöglichkeiten mit einem positiven Kapitalwert. Einzige Restriktion sind sich technisch gegenseitig ausschließende Investitionen. Fall 2: Finanzielles Potential ist vorhanden, reicht aber nicht für alle lohnenden Investitionsmöglichkeiten. Investitionsvorhaben konkurrieren nicht nur bei sich technisch ausschließenden Alternativen, sondern grundsätzlich um die Aufnahme in das Investitionsprogramm. Der interne Zinsfuß ist der Renditemaßstab für das knappe Kapital. Ausgangspunkt: beschränktes Kreditvolumen, mehrere Investitionsalternativen. Alternativen beliebig teilbar. 1. Ordnung der Finanzierungsmöglichkeiten nach aufsteigendem Zinssatz. Konstruktion der Kapitalangebotskurve. 2. Investitionen nach fallender Verzinsung ordnen (Kapitalnachfragekurve). 3. Schrittweise Aufnahme der Investitionsobjekte mit interner Verzinsung oberhalb des Schnittpunktes der Kapitalangebots- und Kapitalnachfragekurve (marginale interne Verzinsung i*). 4. Ausnutzung aller Finanzierungsmöglichkeiten mit Sollzinsen, die unterhalb i* liegen.

Investitionsrechnung 35 Beispiel Finanzierungs- Maximaler Sollzins Investitions- Kapital- interne optimales mittel Betrag vorhaben einsatz verzinsung Budget 1 8 000 9% A 4 000 13% A 4 000 2 6 000 12,5% B 2 000 12% B 2 000 C 7 000 11,5% C 2 000 D 6 000 10% 14 000 19 000 8 000 16% 15% 14% 13% 12% 11% 10% 9% 8% 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 15.000 16.000 17.000 18.000 19.000 6.2 Berücksichtigung von Gewinnsteuern Steuerliche Be- und Entlastungen können die Investitionsrechnung beeinflussen: - vorteilhafte Investitionen können unvorteilhaft werden - Rangfolgen können sich verschieben - wirtschaftliche Nutzungsdauer kann sich ändern Unterscheidung in - Kostensteuern (Grundsteuer, Kfz-Steuer, Gewerbekapitalsteuer, usw) zusätzliche Ausgaben in den Zahlungsreihen (problemlos) - Gewinnsteuer (Körperschaftsteuer, Gewerbeertragsteuer, Einkommensteuer) Mögliche Berücksichtigung: - Anpassung der Zahlungsreihe (Basismodell, Zinsmodell) - Anpassung des Kalkulationszinsfußes (Bruttomethode)

Investitionsrechnung 36 - Kombination beider Methoden (Standardmodell, Nettomethode) 1. Basismodell Korrektur der Zahlungsreihe, die Abschreibungen finden steuermindernde Wirkung R t s = R t - (R t - A t ) s s = Steuersatz 2. Zinsmodell Korrektur der Zahlungsreihe, Abschreibungen und Zinsen finden steuermindernde Wirkung R t s = R t - (R t - A t + - Z t ) s s = Steuersatz 3. Bruttomethode Anpassung des Kalkulationszinsfußes, Zahlungsreihe nicht korrigiert i i s = s = Steuersatz 1 - s 4. Standardmodell Korrektur der Zahlungsreihe, die Abschreibungen finden steuermindernde Wirkung R t s = R t - (R t - A t ) s s = Steuersatz Abzinsung mit angepaßten Kalkulationszinsfuß i s = i (1 - s) s = Steuersatz 5. Nettomethode Korrektur der Zahlungsreihe, Abschreibungen und gezahlte Zinsen finden steuermindernde Wirkung R t s = R t - (R t - A t +- Z t ) s s = Steuersatz Abzinsung mit angepaßten Kalkulationszinsfuß i s = i (1 - s) s = Steuersatz Einzig korrekter Ansatz! 6.3 Problem der Unsicherheit Annahme: die Ausgangsdaten sind nicht immer eindeutig vorhersagbar. Ziel: Spielraum der Unsicherheiten ausloten

Investitionsrechnung 37 6.3.1 Traditionelle Verfahren 1. Korrekturverfahren Die Unsicherheit bzw. das Risiko wird mit Risikozuschlägen oder -abschlägen bewertet - Kalkulationszinsfuß, nach Risiko gestaffelter Zinsfuß - Nutzungsdauer, kürzere Soll-Amortisationsdauer bei Risiko - Rückflüsse, durch Abschläge auf ein gleichwertig sicheres Niveau Probleme des Korrekturverfahrens: Es wird nur die schlechteste aller möglichen Zukunftsentwicklung gewählt. Der Investor wird als risikoscheu eingestuft. Viele Investitionsdaten aus anderen Unternehmensbereichen wurden schon mit Risikoabschlägen bewertet. Investitionsobjekte können tot gerechnet werden. 2. Sensitivitätsanalyse Fragestellung: welche Parameter beeinflussen die Investitionsrechnung besonders. Diese Parameter werden durch eine Simulation (Veränderung des Parameters und Betrachtung der Veränderung des Ergebnisses) ermittelt und müssen dann exakt prognostiziert werden. U.U. sind zusätzliche Investitionsdaten zu erheben. Ziel: Ermittlung kritische Werte deren Über- oder Unterschreitung das Ergebnis beispielsweise die Rangfolge oder die Vorteilhaftigkeit einer Alternative verändern. 3. Risikoanalyse Ermittlung einer Prognose bzw. eines Risiko-Chancenprofils für das Ergebnis einer Investitionsrechnung. Vorgehensweise a) Auswahl der unsicheren Inputgrößen (Absatzmenge, Preise,...) b) Schätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Inputgrößen c) Generieren der Eingabedaten durch Kombination der sicheren und unsicheren Inputgrößen (Monte-Carlo-Methode) d) Berechnung der Outputgröße (Kapitalwert, Annuität,...) e) Ermittlung der relativen Häufigkeit für die Outputgröße. Ergebnis: Wahrscheinlichkeit, mit der sich ein bestimmter Kapitalwert realisieren läßt.

Investitionsrechnung 38 6.3.2 Entscheidungstheoretische Ansätze Der Investor kennt die verschiedenen Umweltzustände, die eintreten können, und er kann die Eintrittswahrscheinlichkeit der Umweltzustände bestimmen. Es handelt sich um ein Entscheidungsproblem unter Risiko, das durch die Verwendung von Wahrscheinlichkeiten gelöst werden kann. 1. Entscheidung auf Grundlage des Erwartungswertes (µ-prinzip) Es wird ein Erwartungswert für die einzelnen Investitionsobjekte errechnet, das Objekt mit dem höchsten Erwartungswert wird realisiert. µ i = w j Y ij j µ i Erwartungswert der Investition i w j Y ij Eintrittswahrscheinlichkeit des Umweltzustandes j Einkommen der Investition i im Umweltzustand j Beispiel Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 w 1 = 0,3 w 2 = 0,6 w 3 = 0,1 Investition I 70 80 30 Investition II 50 90 20 Erwartungswert I = 0,3 70 + 0,6 80 + 0,1 30 = 72 Erwartungswert II = 0,3 50 + 0,6 90 + 0,1 20 = 71 Investitionsobjekt I wird ausgewählt 2. Entscheidung auf Grundlage von Erwartungswert und Streuung (µ-σ-prinzip) In manchen Fällen reicht es nicht aus einen Erwartungswert zu bilden, um zu einer Entscheidung zu gelangen.

Investitionsrechnung 39 Beispiel Zustand 1 Zustand 2 Erwartungsw 1 = 0,5 w 2 = 0,5 wert Investition I 100 100 100 Investition II -1.000 1.200 100 Der Erwartungswert beider Investitionen ist gleich, doch bei Investition II hat man die 50% Chance einen Kapitalwert von 1.200 zu erhalten, aber auch das 50% Risiko einen Verlust von 1.000 einzustecken. Der Erwartungswert macht keine Aussage über Chancen und Risiken einer Investition. Es muss ein zweites Kriterium berücksichtigt werden, die Streuung σ bzw. die Varianz oder Standardabweichung σ². Varianz σ i ² = w j (Y ij - µ i )² j Beispiel Zustand 1 Zustand 2 Zustand 3 Erwartungsw 1 = 0,3 w 2 = 0,6 w 3 = 0,1 wert Investition I 70 80 30 72 Investition II 50 90 20 71 Varianz I = 0,3 (70 72)² + 0,6 (80 72)² + 0,1 (30 72)² = 216 Streuung I = 15 Varianz II = 0,3 (50 71)² + 0,6 (90 71)² + 0,1 (20 71)² = 609 Streuung II = 25 Investitionsobjekt I wird ausgewählt, da es den höheren Erwartungswert und die geringere Streuung hat.