Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene Versuchsbericht Versuch A3 Thermoemission von Elektronen Christian Haake Matthias Timmer Versuchstag: 08.07.2004 Betreuer: Herr Kury
I Grundlagen I.1 Elektronen im Festkörpers Näherungsweise beschreibt man die Elektronen eines metallenen Festkörpers, wie das in diesem Versuch benutzte Wolfram, als ein Elektronengas. In diesem Elektronengas werden die Energiezustände, da Elektronen Fermionen sind, nach der Fermi-Dirac-Statistik besetzt: f(e) = 1 e E E F k B T +1 (1) Hierbei ist E F die Fermi-Energie, d.h. die Energie, bis zu der alle Zustände im Falle von T = 0 besetzt wären und alle darüberliegenden nicht. Aufgrund der Coulombschen Anziehung der positiven Ionenrümpfe der Metallatome liegen die Grundzustandsenergie und auch noch die Fermienergie unterhalb der Vakuumsenergie E vac = E F + W A außerhalb des Festkörpers, wobei W A dann die Austrittsarbeit bezeichnet, die die Elektronen überwinden müssen. Somit gäbe es keine Möglichkeit, dass sich Elektronen bei absoluter Nullpunktstemperatur aus dem Festkörper schleichen. Bei einer Temperatur T > 0K weicht sozusagen die Fermikante auf, und einzelne Elektronen gelangen in höhere Energiezustände. Entsprechend der Fermi- Dirac-Verteilung erhöht sich dann auch die Anzahl der Elektronen, die eine höhere Energie als die Vakuumsenergie haben, mit der Temperatur. Mit der Zustandsbesetzung, also dem Produkt aus Zustandsdichte φ(e) und Besetzungswahrscheinlichkeit f(e) nach der Fermi-Dirac-Verteilung, der Elektronen im Festkörper gilt für die Gesamtstromdichte aus dem Festkörper heraus j = e φ(e)f(e)de E F +W A Nach weiterem Einsetzen und Ausrechnen, was hier nicht näher erläutert wird, kommt man damit auf die Richardson-Gleichung I.2 Effektive Austrittsarbeit j = A T 2 e W kt (2) Obige Annahmen müssen noch korrigiert werden. Zum einen gibt es keine scharfe Potentialkante, sondern eine 1 -Kurve entsprechend dem elektrostatischen Potential. Weiterhin muss das elektrische Feld außerhalb des Festkörpers x nicht verschwinden. Ein angelegtes Feld F einer positiven Ladung modifiziert 2
somit ebenfalls das Potential, und zwar linear absinkend mit der Entfernung zur Oberfläche x. Dadurch ergibt sich ein neues Maximum des Potentials, welches die effektiv zu überwindende Austrittsarbeit W A + V verringert (V negativ): V = V 1 + V 2 = e2 1 16πɛ 0 x ef x Dies nennt man den Schottky-Effekt. Mit dem Ausrechnen des Maximums und einsetzen erhält man somit für die (ideale) Stromdichte j = A T 2 e [ W 1 2 e 3 F πɛ 0 ]/k B T Desweiteren müsste man noch berücksichtigen, dass es durch Unebenheiten und Verunreinigungen an der Oberfläche zu Reflektionen kommen kann, sowie dass die anfänglich als konstant angenommene Austrittsarbeit W A noch temperaturabhängig sein kann. Dies führt letztlich jedoch nur zu einer Modifikation des ansonsten konstanten Vorfaktors A. I.3 Raumladung und Sättigung Wenn Elektronen aus dem Festkörper austreten und nicht gerade alle direkt durch ein angelegtes elektrisches Feld sozusagen abgesaugt werden bilden sie eine Raumladung, die das angelegte Feld abschwächt und somit gegen den Austritt anderer Elektronen wirkt. Unter der Annahme, dass durch ein einmal angelegtes Feld sich eine konstante Stromdichte einstellt, die von der glühenden, Elektronen emittierenden Elektrode, der deshalb so genannten Glühkathode, zur Anode geht, folgt mit der Poissongleichung eine Beziehung zwischen Feld E und Elektronendichte n: Mit de dx E d = U d 2 folgt als Stromdichte bei der Anode (3) de dx = ρ = 1 ne (4) ɛɛ 0 ɛɛ 0 n(d) = ɛɛ 0 ed 2 U (5) Mit der kinetischen Energie E kin = eu der Elektronen beim Auftreffen auf die Anode folgt für die Geschwindigkeit der Elektronen dort 2eU v(d) = 3 m e
und somit für die Stromdichte j = en(d)v(d) = ɛɛ 0 d 2 2e m e U 3 2 (6) Gleichung (6) nennt man auch das U 3/2 -Gesetz. Somit geht der Strom für kleine Spannungen proportional zu U 3/2. Für große Spannungen sorgt das angelegte Feld jedoch dafür, dass sich keine wirksamen Raumladungen ausbilden und die maximale, von der Glühkathode zur Verfügung gestellte Stromdichte ausgenutzt wird. Somit kommt es zu einer Sättigung, die somit von der Temperatur abhängig ist (siehe I.1). I.4 Anlaufstrom bei Gegenfeld Wie bereits diskutiert treten grundsätzlich Elektronen aufgrund ihrer thermischen Energie aus, auch wenn kein Feld anliegt. Diese Elektronen besitzen entsprechend der Energieverteilung bei der jeweiligen Temperatur eine kinetische Energie. Legt man nun ein Feld an, das die Elektronen bremst, kommen noch immer Elektronen an die Auffang-Elektrode, allerdings nur diejenigen, die noch eine höhere Energie besitzen, als das Gegenfeld von ihnen abverlangt. Dies führt zu einer modifizierten Richardson-Gleichung (2), bei der die Austrittsarbeit W A um das Gegenfeldpotential eu erhöht wird. Bei einer konstanten Temperatur T kommt man so auf die Gleichung I(U) = I(0)e eu k B T (7) wobei I(0) dem Elektronenstrom nach der Richardsongleichung ohne angelegtem Feld entspricht. Somit hat man eine direkte Abhängigkeit zwischen Temperatur und Strom-Spannungs-Verlauf, so dass man aus dem Stromverlauf bei angelegter Gegenspannung die Temperatur bestimmen kann. I.5 Temperaturmessung Neben der Möglichkeit, aus dem Strom bei Gegenfeld die Temperatur zu ermitteln, gibt es noch andere Methoden. Zum einen emittiert die Glühkathode aufgrund ihrer Temperatur Strahlung. Aufgrund der Energieerhaltung entspricht die emittierte Strahlungsleistung der elektrischen Leistung U K I K, die beim Heizstrom an der Kathode geleistet wird. Die spezifische Strahlungsleistung entspricht bei einem schwarzen Körper entsprechend dem Stefan-Boltzmann- Gesetz P = σt 4 (8) 4
Hierbei ist σ = 5.669 10 8 W die Stefan-Boltzmann-Konstante. Bei einer m 2 K 4 Fläche A und mit der Korrektur, dass kein schwarzer, sondern ein grauer Strahler mit dem Emissionsgrad ɛ vorliegt, folgt dann U I = ɛσat 4 (9) Somit lässt sich T aus Heizspannung und Heizstrom ermitteln. Ebenso lässt sich aus diesen Werten aufgrund einer anderen physikalischen Gegebenheit die Temperatur ermitteln. Das Wolframband stellt einen ohmschen Widerstand, der mit U K und I K verknüpft ist durch U = RI R = U I (10) Da der spezifische Widerstand ρ eines Materials von der Temperatur abhängig ist, lässt sich, wenn Länge l und Stromquerschnittsfläche A des Leiters bekannt sind, die Temperatur ermitteln. U I = R = ρ(t ) l A (11) Die Abhängigkeit ρs von T ist experimentell bekannt und kann aus Datenblättern abgelesen werden. Sie ist in unserem Temperaturbereich ungefähr linear. II Versuchsdurchsbeschreibung In diesem Versuch wurde für die Thermoemission ein Wolframband verwendet, welches nach Angaben des Praktikumsbetreuers eine Länge von 62mm, eine Breite von 1mm und eine Dicke von 0, 1mm besitzt. Selbst konnten wir diese Daten nicht messen, da sich die Anordnung von Glühkathode (dem Wolframband) und Anode in einem Vakuumgefäß befindet, welches mit einer Öl- Diffusionspumpe auf einen Druck von ca. 10 6 mbar abgepumpt wurde, da ansonsten das Wolframband durchbrennen könnte oder es zu einer Entladung kommt. Angeschlossen waren zum einen die Heizspannung für das Wolframband sowie das Potential für die Anodenspannung. An der Anode war dann das Strommessgerät angeschlossen. Die jeweiligen Signale von der Kathoden- Heizspannung U K und dem entsprechenden Strom I K konnten mit Multimetern gemessen werden, ebenso die Anodenspannung und der Anodenstrom zwischen Kathode und Anode, welche über einen X-Y-Schreiber grafisch aufgezeichnet wurden. 5