Matrix-Potenzen und größter Eigenwert
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- Hajo Kopp
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1 Matrix-Potenzen und größter Eigenwert Besitzt A einen betragsmäßig größten einfachen Eigenwert λ mit Eigenvektor v, so gilt A n x = λ n (cv + o(1)), n, falls x eine nichttriviale Komponente im Eigenraum von λ hat, d.h. mit c 0 und v w. x = cv + w Potenzen von Matrizen 1-1
2 Beispiel: jährliche Veränderung der Marktanteile x i konkurrierender Firmen ¾¼ ½¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¾¼ ¼ ¼ ½¼ Potenzen von Matrizen 2-1
3 Beispiel: jährliche Veränderung der Marktanteile x i konkurrierender Firmen ¾¼ ½¼ ¼ ¼ ¼ ¾¼ ¾¼ ¼ ¼ ½¼ Beispielsweise gewinnt die Firma A jährlich 80% der Marktanteile der Firma D, und die Firma C vergrößert ihre Marktanteile um 90% durch Erschließung neuer Absatzmöglichkeiten, verliert jedoch gleichzeitig Marktanteile an die Firmen A und D. Potenzen von Matrizen 2-2
4 Veränderung der Marktanteile: A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D B neu = 0.5B + 0.2A C neu = 0.9C + 0.2B D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E E neu = 0.8E + 0.1A + 0.3B Potenzen von Matrizen 2-3
5 Veränderung der Marktanteile: x = (A, B, C, D, E) t A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D B neu = 0.5B + 0.2A C neu = 0.9C + 0.2B D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E E neu = 0.8E + 0.1A + 0.3B x neu = x Potenzen von Matrizen 2-4
6 Veränderung der Marktanteile: x = (A, B, C, D, E) t A neu = 0.7A + 0.4C + 0.8D B neu = 0.5B + 0.2A C neu = 0.9C + 0.2B D neu = 0.1D + 0.6C + 0.2E E neu = 0.8E + 0.1A + 0.3B x neu = x Multiplikation mit der n-ten Potenz der Iterationsmatrix Marktanteile nach n Jahren Potenzen von Matrizen 2-5
7 Die normierten Vektoren x = x/( k x k ) konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsmäßig größten Eigenwert: λ max = 1.1, v max = (3, 1, 1, 1, 2) t /8 Potenzen von Matrizen 2-6
8 Die normierten Vektoren x = x/( k x k ) konvergieren gegen einen Eigenvektor zum betragsmäßig größten Eigenwert: λ max = 1.1, v max = (3, 1, 1, 1, 2) t /8 prozentuale Anteile A : 37.5%, B, C, D : 12.5%, E : 25% Potenzen von Matrizen 2-7
9 Beispiel: Fibonacci Zahlen a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1, für n 1, Potenzen von Matrizen 3-1
10 Beispiel: Fibonacci Zahlen a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1, für n 1, erste Fibonacci-Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Potenzen von Matrizen 3-2
11 Beispiel: Fibonacci Zahlen a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1, für n 1, erste Fibonacci-Zahlen: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,... Potenzen von Matrizen 3-3
12 Beispiel: Fibonacci Zahlen erste Fibonacci-Zahlen: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1, für n 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,... Matrixform der Rekursion: x n+1 = Ax n, x n = (a n 1, a n ) t, A = ( ) Potenzen von Matrizen 3-4
13 Beispiel: Fibonacci Zahlen erste Fibonacci-Zahlen: a 0 = 0, a 1 = 1, a n+1 = a n + a n 1, für n 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,... Startwerte a 1 = 1 und a 2 = 3 Lucas-Zahlen: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571,... Matrixform der Rekursion: x n+1 = Ax n, x n = (a n 1, a n ) t, A = Eigenwerte und Eigenvektoren von A: λ ± = 1 2 ± 5 2, v ± = ( 1 λ ± ( ) ) Potenzen von Matrizen 3-5
14 Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v + und v, ( ) ( ) a0 0 = = 1 v v 5 5 a 1 Potenzen von Matrizen 3-6
15 Darstellung des Startvektors als Linearkombination von v + und v, ( ) ( ) a0 0 = = 1 v v 5 5 a 1 asymptotisches Verhalten ( an 1 a n ) = λn 1 + v + λn 1 v 5 5 d.h. ( a n = λn 1 + λ + λn 1 λ = 1 ) n (1 (λ /λ + ) n ) 2 }{{} o(1) Potenzen von Matrizen 3-7
16 Konvergenz von Matrix-Potenzen Die Potenzen A n, n = 0, 1,..., einer komplexen Matrix konvergieren genau dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als 1 ist. Potenzen von Matrizen 4-1
17 Konvergenz von Matrix-Potenzen Die Potenzen A n, n = 0, 1,..., einer komplexen Matrix konvergieren genau dann gegen die Nullmatrix, wenn der Betrag aller Eigenwerte λ kleiner als 1 ist. Die Folge (A n ) bleibt beschränkt, wenn λ 1 und für Eigenwerte mit Betrag 1 die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist. Andernfalls divergiert die Folge, insbesondere dann, wenn ein Eigenwert mit Betrag größer als 1 existiert. Potenzen von Matrizen 4-2
18 Beweis: Jordan-Form J = Q 1 AQ Potenzen von Matrizen 5-1
19 Beweis: Jordan-Form J = Q 1 AQ = A n = (QJQ 1 )(QJQ 1 ) (QJQ 1 ) = QJ n Q 1 Potenzen von Matrizen 5-2
20 Beweis: Jordan-Form J = Q 1 AQ = A n = (QJQ 1 )(QJQ 1 ) (QJQ 1 ) = QJ n Q 1 untersuche die Konvergenz der Potenzen von J Potenzen von Matrizen 5-3
21 Beweis: Jordan-Form = J = Q 1 AQ A n = (QJQ 1 )(QJQ 1 ) (QJQ 1 ) = QJ n Q 1 untersuche die Konvergenz der Potenzen von J betrachte die Blöcke J i = (λ i E) + D (D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.) Potenzen von Matrizen 5-4
22 Beweis: Jordan-Form = J = Q 1 AQ A n = (QJQ 1 )(QJQ 1 ) (QJQ 1 ) = QJ n Q 1 untersuche die Konvergenz der Potenzen von J betrachte die Blöcke J i = (λ i E) + D (D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.) D m = 0 für einen Block der Dimension m = ( ) ( n n (J i ) n = λ n i E + λ n 1 i D m 1 ) λ n m+1 i D m 1 Potenzen von Matrizen 5-5
23 Beweis: Jordan-Form = J = Q 1 AQ A n = (QJQ 1 )(QJQ 1 ) (QJQ 1 ) = QJ n Q 1 untersuche die Konvergenz der Potenzen von J betrachte die Blöcke J i = (λ i E) + D (D enthält die Nebendiagonale mit Einsen.) D m = 0 für einen Block der Dimension m = ( ) ( n n (J i ) n = λ n i E + λ n 1 i D m 1 = Konvergenzeigenschaften ) λ n m+1 i D m 1 Potenzen von Matrizen 5-6
24 ( λ i < 1 : lim n ) n j λ n j i = 0 Potenzen von Matrizen 5-7
25 ( λ i < 1 : lim n ) n j λ n j i = 0 λ i = 1 : Folge beschränkt, wenn m = 1 Potenzen von Matrizen 5-8
26 ( λ i < 1 : lim n ) n j λ n j i = 0 λ i = 1 : Folge beschränkt, wenn m = 1 λ i > 1 : Divergenz, da λ n i Potenzen von Matrizen 5-9
27 Beispiel: t 1 n 0 a 0 t 0 b, t > 0 0 } 0 t {{ } c J Potenzen von Matrizen 6-1
28 Beispiel: t 1 n 0 a 0 t 0 b, t > 0 0 } 0 t {{ } c J n = 1, 2, 3, at + b at 2 + 2bt at 3 + 3bt 2 bt ct, bt 2 ct 2, bt 3 ct 3, : Konvergenz für t < 1, da nt n 1 Divergenz für t 1 wie z.b. für t = 1 a a + nb J n b = c b ( 1) n c Potenzen von Matrizen 6-2
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