Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I) 2010 Prof. Dr. Fridtjof Toenniessen

Transkript

1 Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I)

2 Die Anfänge der Mathematik als Wissenschaft Logik und Geometrie im antiken Griechenland (I) Thales von Milet (um v.chr.) Pythagoras von Samos (um v.chr.)

3

4

5

6

7 Vermutung Alle Dreiecke am Halbkreisbogen sind rechtwinklig.

8 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

9 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

10 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

11 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

12 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

13 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein.

14 Beweis des Satzes von Thales: 1. Schritt: Die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks stimmen überein. C C L B L B Diese Konstruktion kann auch nach rechts durchgeführt werden. Die beiden Basiswinkel gehen durch Spiegelung auseinander hervor und stimmen also überein.

15 Beweis des Satzes von Thales: 2. Schritt: Die Summe der Innenwinkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 180 o. B C A

16 Beweis des Satzes von Thales: Schritt 1 und Schritt 2 werden auf geniale Weise kombiniert.

17 Beweis des Satzes von Thales: Schritt 1 und Schritt 2 werden auf geniale Weise kombiniert.

18 Beweis des Satzes von Thales: Was ist hier passiert? Wahre Aussage Die Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke stimmen überein. Geniale Idee Wahre Aussage Die Winkelsumme im Dreieck Beträgt 180 Grad. Direkter Beweis Wahre Aussage Zulässige Umformungen Satz von Thales: Alle Winkel am Halbkreisbogen sind rechte Winkel. Wahre Aussage

19 Das Prinzip des direkten Beweises Eine Aussage ist wahr, wenn sie durch zulässige logische Schlüsse und Konstruktionen (also durch gesunden Menschenverstand ) aus anderen wahren Aussagen hergeleitet werden kann. (Alles Wahre folgt aus Wahrem, Satz vom zureichenden Grund.) Die anderen Aussagen des Beweises waren - der Satz über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck - der Satz von der Winkelsumme im Dreieck Die zulässigen Schlüsse und Konstruktionen waren - das Finden der gleichschenkligen Dreiecke - Äquivalenzumformungen von Gleichungen Technik Wissen Intuition, Kreativität, Freude am Tüfteln

20 Die Technik der Äquivalenzumformungen Nach einer Äquivalenzumformung ist eine mathematische Gleichung genau dann richtig, wenn die Gleichung vor dieser Umformung richtig war. Auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe addieren oder subtrahieren dasselbe multiplizieren oder dividieren, falls nicht 0 Praktische Anwendung: Lösung von Gleichungen mit Unbestimmten

21 Worauf kommt es beim Beweisen an? Die Technik der Äquivalenzumformungen

22 Was haben wir gelernt? Der Satz von Thales Der direkte Beweis: Alles Wahre folgt aus Wahrem. Satz vom zureichenden Grund. und noch viel wichtiger: Mathematik ist eine Kunst, wie Musik und Malerei