Tutorium. c) (2) Mit wie vielen roten Kugeln kann man unter 100 Kugeln rechnen?

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1 Klausurvorbereitung Aufgabe 1: In einem Behälter liegen blaue, weiße und rote Kugeln, wobei der Anteil der blauen Kugeln 20 % beträgt, der der weißen 10 %. Aus diesem Karton werden rein zufällig Kugeln mit Zurücklegen entnommen. a) (12) Es werden 15 Kugeln entnommen. Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit zu diesen Ereignissen: A: Es werden nur blaue Kugeln entnommen B: Man erhält mindestens 5 weiße C: Es werden höchstens 10 rote gezogen D: Jede zweite Kugel ist rot b) (6) Wie viele Kugeln muss man mindestens ziehen, um mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit mindestens 2 weiße zu ziehen? c) (2) Mit wie vielen roten Kugeln kann man unter 100 Kugeln rechnen? Aufgabe 2: Studenten werden nach dem Mensabesuch gefragt, welches Essen sie gewählt haben. 12 Befragte haben Stammessen genommen, 6 Wahlessen, 6 Salat und 3 Eintopf. Welches Skalenniveau liegt vor (gewähltes Essen)? Aufgabe 3: Um das Sozialverhalten von Studenten besser einschätzen zu können, werden 8 St u- denten danach befragt, wie viele Personen sie zu ihrer letzten Geburtstagsfeier eingeladen haben. Es wurden folgende Angabe gemacht (ein Wert pro befragten Stude n- ten): a) (3) Bestimmen Sie die Extremwerte (Maximum, Minimum) und den Modalwert. b) (2) Berechnen Sie das arithmetische Mittel. c) (2) Berechnen Sie den Median d) (3) Berechnen Sie das untere und obere Quartil. 1-10

2 Aufgabe 4: Ein Glücksrad enthält zehn gleich große Sektoren, von denen 4 rot und 6 weiß gefärbt sind. Es sei X die Anzahl der roten Sektoren, die man bei 20 Drehungen erhält und Y die Zahl der weißen Sektoren. a) (3) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man genau 13 rote Felder? b) (3) genau 12 weiße Felder? c) (4) mindestens 11 rote Felder? d) (4) zwischen 10 und 13 weiße Felder? (jeweils die Grenzen ausgeschlossen) e) (6) Berechne den Erwartungswert E(X) für die Zahl der roten Felder. Bestimme das zu E(X) symmetrische Intervall, in dem mit mindestens 80 % Wahrscheinlichkeit die Felder rot sind. (Anleitung: Ein solches Intervall hat die Form [E k;e+k] f) (5) Wie oft muss man mindestens drehen, um mit mindestens 40 % Wahrscheinlichkeit mindestens 8 rote Sektoren zu erhalten? Aufgabe 5: Der Intelligenzstrukturtest 70-Plus ist so normiert, dass die Testwerte normalverteilt sind mit μ = 100 und = 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Population gezogene Person einen Testwert hat,... a) (5) der über 130 liegt? b) (5) der zwischen 115 und 125 liegt? c) (5) Wie hoch muss der Testwert einer Person mindestens sein, damit diese Person zu den 30% der Personen mit den höchsten Testwerten gehört? Aufgabe 6: Ein Händler für Bürotechnik verkauft in den Jahren 2000 und 2001 drei Arten von Kopierern in folgenden Mengen: Jahr Typ A Typ B Typ C Menge Preis Menge Preis Menge Preis Bestimmen Sie jeweils den Preis und Mengenindex zu Laspeyres und Paasche zum Basisjahr 2000 und dem Berichtsjahr

3 Aufgabe 7: Zwischen den Kosten/Stück und der Produktionshöhe existiert ein Zusammenhang, der sich wie folgt darstellt: Produkt Kosten pro Stück Stückzahl A 2,5 320 B 1,0 500 C 2,5 300 D 5,8 80 E 3,0 350 F 4,0 120 G 3,0 300 H 4,3 90 J 3,0 400 a) (10) Stellen Sie eine lineare Gleichung auf, die den Zusammenhang zwischen Kosten/Stück und der Produktionshöhe darstellt. b) (5) Ermitteln Sie den Korrelationskoeffizienten und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 8: Eine Maschine produziert Scheiben mit einem Durchmessermittelwert 50mm und einer Standardabweichung von 1,5mm. Eine Scheibe gilt dann als verwendbar, wenn ihr Durchmesser vom Sollwert nicht mehr als ein Betrag c abweicht. Welche Toleranzgrenze c ist zulässig, wenn im Mittel höchstens 6 % Ausschuss erzeugt werden soll! Aufgabe 9: Eine Fußballmannschaft besteht bekanntlich aus 11 Spielern Die 11 Spieler verlassen vor Spielbeginn der Reihe nach die Mannschaftskabine. Wie viele verschiedene Reihenfolgen sind dabei möglich? Aufgabe 10: Eine Maus startet in einem Versuchslabyrinth und muss sich an 8 Abzweigungen zwischen links und rechts entscheiden. Umkehren kann sie nicht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit läuft sie a) (3) genau 4-mal rechts b) (3) genau 5-mal in die gleiche Richtung c) (4) mindestens 6-mal links 3-10

4 Aufgabe 11: Die Häufigkeitstabelle zeigt die Anzahl der Kunden an der Kasse im Supermarkt in 30 aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten von je 10 Minuten. Berechnen Sie den Median und den Mittelwert. Aufgabe 12: An einer Aufnahmeprüfung wurden in Französisch folgende Noten erzielt: Knaben Mädchen ungenügend genügend a) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine ungenügende Note zu haben? b) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Anna eine ungenügende Note hat? c) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Eintragung auf der Anmeldeliste ein Knabe ist? d) (3) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungenügende Note von einem Knaben stammt? Aufgabe 13: In einem Stapel spezieller Spielkarten gibt es Karten mit den Aufdrucken 1, 2 oder 3. Und zwar jeweils in rot oder in schwarz In einem dicken Spielkartenstapel befinden sich zur Hälfte Karten mit der 1, Karten mit der 2 treten mit 20 % auf. Auf die Farbe wird zunächst nicht geachtet. a) Aus diesem Stapel werden drei entnommen und jeweils wieder zurückgelegt. Vor dem Ziehen einer Karte wird gründlich gemischt. Die Zahlen der drei gezogenen Karten werden der Reihe aufgeschrieben, so dass eine dreistellige Zahl entsteht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse: A: (2) Man erhält die Zahl 123 B: (2) Man erhält genau eine drei C: (2) Man erhält 3 verschiedene Zahlen D: (2) Man erhält eine Zahl größer als 200 E: (2) Die Quersumme der Zahl beträgt 5 F: (2) Man zieht keine Karte mit der Zahl 3. b) (4) Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Karte mit der Zahl

5 Aufgabe 14: Sie haben 9 verschiedene Farben (inklusive rot, blau, grün). Auf wie viele Arten können Sie die oben dargestellten Felder färben, wenn: a) (2) keine Einschränkung besteht? b) (2) jedes Feld eine andere Farbe haben soll? c) (2) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen? d) (2) die beiden Felder links und rechts außen rot sein sollen? e) (3) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll? f) (3) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot g efärbt sind? Aufgabe 15: In einer Urne befinden sich 6 rote, 6 blaue, 6 gelbe, je von 1 bis 6 nummerierte K u- geln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ziehungen: a) (2) eine rote Kugel. b) (2) eine Kugel mit gerader Nummer. c) (2) die Kugel ist rot oder gelb. d) (2) die Kugel zeigt keine 5. e) (2) die Kugel ist rot und ihre Nummer ist durch 3 teilbar. f) (2) die Kugel ist rot oder ihre Nummer ist durch 3 teilbar. g) (2) die Kugel ist nicht rot oder ihre Nummer ist gerade. 5-10

6 Aufgabe 16: In der schriftlichen Abiturarbeit im Fach Biologie gab es folgende Noten: 3; 4; 3; 2; 3; 1; 5; 5; 4; 3; 3; 2; 1; 4; 2; 5; 4; 2; 4; 3 a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und berechnen Sie die absoluten Häufigkeiten, relativen Häufigkeiten, absoluten Summenhäufigkeiten und die relativen Summe n- häufigkeiten. Aufgabe 17: Eine Metallhobelmaschine stellt Platten her. Kein Produktionsvorgang ist so vollko m- men, dass alle Platten gleich ausfallen. So lässt sich die Plattendicke X [mm] als Zufallsvariable auffassen. X sei normalverteilt und habe den Mittelwert µ = 10 mm und die Standardabweichung s = 0,02 mm. Wie viel Prozent Ausschuss sind zu erwarten, wenn die Platten a) (3) mindestens 9,97 mm, b) (3) höchstens 10,05 mm stark sein sollen, c) (4) um maximal ± 0.03 mm vom Sollwert 10 abweichen sollen? d) (4) Wie muss man die Toleranzgrenzen 10-c und 10+c wählen, damit man nicht mehr als 5% Ausschuss erhält? Aufgabe 18: Von 20 gelieferten Glühbirnen sind 4 defekt. Es wird eine Stichprobe mit drei Birnen entnommen (ohne Zurücklegen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) keine defekte Birne in der Stichprobe b) mindestens eine defekte Birne in der Stichprobe 6-10

7 Aufgabe 19: Die Standardabweichung einer Zufallsgröße kann nicht negativ sein. Ist diese Aussage richtig? Aufgabe 20: Für den Preisindex für die Lebenshaltung liegen für das Basisjahr 1991 und das Basisjahr 1995 folgende Werte (in %) vor: Jahr t: LP95,t ,4 103,3 104,3 LP91,t ,8 109,8 112,8 114,8 Berechnen Sie a) durch rein rechnerische Verkettung für 1998 den Wert des Preisindex auf Basis b) durch rein rechnerische Verkettung für 1992 den Wert des Preisindex auf Basis Aufgabe 21: Auf dem Tisch liegen drei verschlossene Kuverts (A, B, C), von denen Sie eines blind auswählen dürfen: Jedes davon enthält drei Zahlen und zwar: A: B: C: Sie dürfen dem gewählten Kuvert zwei Zahlen entnehmen (ohne Zurücklegen), die Sie miteinander multiplizieren. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt grösser als 10 ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt gerade 6 ist? 7-10

8 Aufgabe 22: Acht Personen warten vor dem Selbstbedienungsbuffet. a) Auf wie viele Arten kann die Schlange zusammengesetzt sein? b) Drei der acht Personen wählen das Fischgericht. Wie viele Möglichkeiten gibt es für die Auswahl dieser drei Personen? c) Die drei Fischliebhaber stehen direkt hintereinander. Wie viele Schlangen sind möglich? Aufgabe 23: Frau Maier hat 4 Kleider, 9 Hüte und 10 Paar Schuhe. Auf wie viele Arten kann sie sich kleiden, wenn sie ein Kleid, einen Hut und ein Paar Schuhe tragen muss? Auf wie viele Arten kann sie sich kleiden, wenn das Tragen beliebiger Kleidungsstücke wegfällt? Aufgabe 24: In einem Raum gibt es 8 Lampen, die man unabhängig voneinander ein- und ausschalten kann. Wie viele Beleuchtungsarten gibt es, wenn a) genau 5 Lampen brennen sollen, b) mindestens 5 Lampen brennen sollen? 8-10

9 Aufgabe 25: Geburtstagsparty mit 5 Mädchen und 3 Knaben. Jedes Kind erhält ein Stück Muffin. Es stehen 5 Sorten zur Wahl: Tirolermuffin Schoggimuffin Marmormuffin Zitronenmuffin Plummuffin Berechnen Sie für jede beschriebene Situation die Anzahl der Möglichkeiten. Die Au f- gaben sind alle voneinander unabhängig. a) Die Kinder stehen Schlange vor dem Buffet. b) Die Knaben stehen zuvorderst in der Schlange. c) Jedes Kind wählt ein Stück Muffin. d) Peter und Fritz wählen sicher Schoggimuffin, die andern nach Belieben. e) Lisa, Bea und Anna müssen immer die gleiche Sorte haben. f) Jedes Kind in der Reihe wählt grundsätzlich etwas anderes als sein Vorgänger. g) Daniel, Susi und Tina mögen Plummuffin nicht. h) Es werden 3 Stück Tirolermuffin, 3 Stück Schoggimuffin und 2 Stück Marmormuffin gewählt. i) Für ein Spiel werden 5 Kinder ausgelost. k) 4 Kinder spielen "Schwarzer Peter". Die Gruppe ist aus Knaben und Mädchen gemischt zusammengesetzt. l) 5 Kinder spielen "blinde Kuh". (Eines der 5 ist die "blinde Kuh") Aufgabe 26: Ein Prüfling muss 6 mathematische Fragen beantworten, die er sich zu je drei aus zwei Gruppen (Algebra, Geometrie) von je 5 Aufgaben auswählen kann. Wie viele Möglichkeiten hat er? 9-10

10 Aufgabe 27: Ein Zufallsgenerator (Codeknacker) erzeugt unabhängig voneinander 4 Ziffern von 0 bis 9. Nach der Generierung werden diese als 4-stellige Zahl auf einem Display angezeigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse? A: Alle Ziffern sind ungerade. B: Es kommen nur die Ziffern 0 und 1 vor. Aufgabe 28: In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse? A: Man zieht nur rote Kugeln. B: Man zieht zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel. C: Die erste Kugel ist weiß. D: Man zieht abwechselnd weiße und rote Kugeln. Aufgabe 29: In einer Urne befinden sich 25 nummerierte Kugeln (Zahlen 1 bis 25). Es werden gleichzeitig 4 Kugeln aus der Urne gezogen. (Ziehen mit einem Griff). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse? A: Alle Zahlen sind durch 5 teilbar. B: Alle Zahlen sind gerade. C: Die Summe der 4 Zahlen ist kleiner als 12. D: Das Produkt der 4 Zahlen ist 12. Aufgabe 30: Vier Freunde gehen ins Kino. Sie haben in einer Reihe 4 nummerierte Plätze nebene i- nander und verteilen die Karten zufällig. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse? A: Sven sitzt zwischen zwei Freunden. B: Sven und Kai sitzen außen. C: Sven und Kai sitzen nebeneinander