3.5 Symmetrie Agenda

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1 Model Cheking für finite state systems Computergestützte Verifikation.. explizit:.: Tiefensuhe Kapitel symbolish: Kapitel.: LTL-Model Cheking.: CTL-Model Cheking.: Fairness.: B-basiertes CTL-Model Cheking.: SAT-basiertes Model Cheking.: Reduktion durh Symmetrie.: Partial Order Redution.: Tools.: Tools. Symmetrie Agenda Grundgedanke: symmetrish strukturierte Systeme haben symmetrishes Verhalten Quellen für Symmetrie: a) regelmäßig strukturierte atentypen b) replizierte Komponenten im Gesamtsystem Wenn Verhalten bei s bekannt und s symmetrish zu s, brauht Verhalten bei s niht mehr untersuht werden. Formale efinition: symmetrishes Verhalten. Konstruktion des Quotientensystems. Welhe Eigenshaften bleiben erhalten?. Erkennung von atenstruktursymmetrie. Erkennung von Komponentensymmetrie tehnish: Äquivalenzrelation; Quotienten-Transitionssystem.. Symmetrishes Verhalten Basis: Transitionssystem σ heißt Symmetrie, wenn: - σ ist Bijektion S S - s e s gdw. ex. e : σ(s) e σ(s ) -s I gdw. σ(s) I mit Induktion: s s s... Pfad in einem Transitionssystem σ(s) σ(s) σ(s)... ebenfalls -Id ist immer Symmetrie -Wenn σ Symmetrie, so auh σ - -Wenn σ und σ Symmetrien, so auh σ o σ Σ TS : Menge aller Symmetrien von TS [Σ TS,o] ist Gruppe.. Symmetrie in atentypen Fall : Skalare atentypen -Menge von Werten - nur, in Guards - : (Zuweisung) - als Indexmenge von (einfahen) Arrays anderer atentypen - Shleifen der Form FOR ALL x O... - hoose(x) - keine Konstanten Seien x,..., xn alle Variablen eines skalaren atentyps, β eine Belegung dieser Variablen mit Werten, und π eine Permutation auf. Setzen π zu einer Symmetrie σ fort

2 Graphautomorphismen Eine Permutation s: V V heißt Graphautomorphismus, falls für alle v,v aus V gilt:. (v) (σ(v)). Wenn [v,v ] E, so [σ(v),σ(v )] E und ([v,v ]) ([σ(v),σ(v )]) Graphautomorphismen des Kommunikationsgraphen induzieren Symmetrien eines Komponentensystems Hinter allen Symmetrieansätzen steken Graphautomorphismen, z.b. auh hinter atentypsymmetrie: inr inr inr inr Orbits Jede Untergruppe U definiert eine Äquivalenzrelation auf G: g ~ U g gdw. g o g - U reflexiv: g o g - e U symmetrish: Sei g o g - u U g o g - (g o g - ) - u - U transitiv: Sei g o g - u U und g o g - u U g o g - g o (g - o g ) o g - (g o g - ) o (g o g - ) u o u U Klassen heißen Orbits Bsp: Restklassen modulo k x y mod k gdw. k x - y Orbits endliher Gruppen Konzept für Erzeugendensystem Alle Orbits haben gleih viele Elemente, nämlih U Sei g G und O g der Orbit, in dem g liegt. O g { g o u u U} U U (Ein Erzeugendensystem für) U + pro Orbit ein (beliebiges!) Element bilden zusammen ein Erzeugendensystem für G Erzeugung ist in einem gewissen Sinne eindeutig: für jedes g O g gibt es genau ein u U mit g g o u U U U U... Un {e} Eindeutige arstellung: Jedes Element g von G besitzt genau eine arstellung der Form g g o g o... o gn mit gi aus einem der von Ui in U(i-) generierten Orbit Zurük zu Graphautomorphismen [V,E,]; Sei V {v,..., vn} Ui {π π ist Graphautomorphismus und π(vj) vj für j i} Orbits O ik bzgl. Ui in U(i-): {π π ist Graphautomorphismus, π(vj) vj für j < i, π(vi) vk} E {,, ; } g g g g o g o i- i- i j Erzeugendensystem: für alle i {,.., n} und k {i+,.., n}: Wenn O ik dann nimm genau ein Element in das Erzeugendensystem auf (für O ii immer ). o g g o g o g g o g g o g o g max. n(n-)/ Elemente

3 Zweites A Berehnung von Automorphismen - atenstruktur abstrakte Permutation B A... An V B... Bn V g g o g o g A B σ C gdw. σ(ai) Bi (für alle i). Ebene:.... Ebene,,,. Ebene,,, + + Erzeugende für x x Automorphismen A An... C B Bn Abstrakte Permutation Bsp. Komplexität V V jede Permutation ist konsistent {v (v) d} {v (v) d}... {v (v) dk} {v (v) dk} alle Permutationen, die Beshriftung der Knoten respektieren geg: abstrakte Permutation C ges: ein Automorphismus, der konsistent mit C ist ist äquivalent zum Graphisomorphieproblem {v} {v}... {v(i-)} {v(i-)} {vi} {vk} Rest Rest ie Automorphismen, die konsistent sind, sind genau die Elemente eines Orbits bzgl. Ui in U(i-) Berehnungsproblem: geg.: abstrakte Permutation C Graphisomorphismus G G ist Automorphismus von G G, der konsistent mit V V, V V ist konsistenter Automorphismus ist Isomorphismus von G auf G, wobei im Urbild (v) i falls v in Ai, und im Bild (v) i falls v in Bi. ges: ein Automorphismus, der mit C konsistent ist # -Nahbarn in A REFINE #-Nahbarn in B EFINE Jeder Automorphismus, der mit dem alten Constraint konsistent ist, ist auh mit den neuen Constraints konsistent Jeder Automorphismus, der mit dem alten Constraint konsistent ist ist mit genau einem der neuen Constraints konsistent

4 Automorphismenberehnung Orbitproblem poly a e b f a g g g g g g g g g exp #Ai #Bi ist selten meistens poly. Laufzeit!!! geg: s ges: anrep(s). s : MIN{gi - (s), i...}. s : MIN{gi - (s), i...}. s : MIN{gi - (s), i...}... n. sn : MIN{gi - (s[n-]), i...} anrep(s) : sn E {,, ; } g g g g x x s x x - (s) (s) x x x x x x - (s) (s) x x x x - (s) (s) x x x x - (s) (s) s x x E {,, ; } g g g g x x s x x - (s) (s) Resultat x x x x x x x x s - (s) (s) x x x x x x Resultat anrep(s) (s) x x Globales Min führt niht immer über min. Zwishenresultate (si)! Lösung des Orbit-Problems a) exakte Berehnung von anrep äquivalent zu Graphisomorphie b) ganz andere Lösungen des Orbit-Problems sind bekannt: eins funktioniert gut nur für shmale Symmetriegruppen eins funktioniert gut nur für dihte Symmetriegruppen ) approximative Berehnung nah dem beshriebenen Verfahren polynomiell, aber zus. Speiherplatz nötig... Vorteile der approximativen Lösung überwiegen Zusammenfassung Symmetrie Symmetrien können in speziellen atentypen oder als Automorphismen geeigneter Graphen gefunden werden atentypsymmetrie: - nur einige spezielle Symmetriegruppen, + Erkennung der Symmetrien trivial + Orbit-Problem effizient lösbar Automorphismen: + viele Symmetriegruppen ( mehr Reduktion) - Erkennung der Symmetrien aufwendig, obwohl meist doh polynomiell - Orbit-Problem langsam oder approximativ

5 Übung Bestimme ein Erzeugendensystem für die Automorphismengruppe des folgenden Graphen: Übung Wieviele Elemente hat das in der Vorlesung studierte Erzeugendensystem eines a) gerihteten Ringes mit n Knoten, z.b. b) ungerihteten Ringes mit n Knoten, z.b. Übung Finde einen (niht notwendigerweise zusammenhängenden) Graph mit Knoten,...,, dessen Automorphismengruppe folgende Eigenshaften hat:. ie Automorphismengruppe hat Elemente. ie Untergruppe U derjenigen Automorphismen, die Knoten auf sih selbst abbilden, hat Elemente. ie Untergruppe U derjenigen Automorphismen, die Knoten und jeweils auf sih selbst abbilden, enthält nur die Identität