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1 Download A. Barth, M. Grünzig, S. Ruhm, H. Seifert Mathematik üben Klasse 6 Daten und Zufall Mathematik üben Antje Barth/Melanie Grünzig/ Simone Ruhm/Hardy Seifert Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Sekundarstufe I Downloadauszug aus dem Originaltitel:

2 Mathematik üben Klasse 6 Daten und Zufall Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathematik üben Klasse 6 Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Über diesen Link gelangen Sie zur entsprechenden Produktseite im Web.

3 Absolute und relative Häufigkeit Relative Häufigkeit Bei der Auswertung von Umfragen oder Daten aus Experimenten sind oft drei Begriffe hilfreich: absolute Häufigkeit, relative Häufigkeit und die Gesamtzahl der Daten. Die relative Häufigkeit ist der Quotient aus der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl der Daten: Relative Häufigkeit = 80 Daten und Zufall absolute Häufigkeit Gesamtzahl der Daten Beispiele 1: In der 6a sind 20 Schüler und Schülerinnen, von denen fünf die Note gut in Mathematik haben. Absolute Häufigkeit der Note gut : 5 Gesamtzahl der Daten: 20 Relative Häufigkeit: 5 = Beispiele 2: Die Noten der 6b wurden übersichtlich in einer Häufigkeitstabelle dargestellt: Note absolute Häufigkeit relative Häufigkeit sehr gut 2 gut 6 befriedigend 12 ausreichend 4 Summe 24 2 = = 1 =0, = 1 =0, = = 24 1 Der Vergleich zwischen den absoluten Häufigkeiten der Noten gut in der 6a und 6b zeigt, dass in der 6b mehr Schüler mit der Note gut sitzen. Die relativen Häufigkeiten für die Note gut sind aber in beiden Klassen identisch.

4 Absolute und relative Häufigkeit Die Klassen 6a und 6b haben die gleiche Mathematikarbeit geschrieben. Insgesamt gab es folgende Noten in den beiden Klassen: Erstelle die Strichliste für die erreichten Noten. Noten Anzahl 2. Erstelle die Häufigkeitstabelle. a) Wie viele Schüler und Schülerinnen haben die Klassenarbeit mitgeschrieben? b) Trage die absoluten Häufigkeiten in die Tabelle ein. c) Berechne die relativen Häufigkeiten und vervollständige die Häufigkeitstabelle mit den berechneten Werten. Noten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit (als Bruch) relative Häufigkeit (als Dezimalbruch) 3. Erstelle ein Säulendiagramm für die absoluten Häufigkeiten der Noten. 4. Erstelle ein Balkendiagramm für die absoluten Häufigkeiten der Noten. Daten und Zufall 81

5 Absolute und relative Häufigkeit 1. Vervollständige die Häufigkeitstabelle zum Ergebnis einer Klassenarbeit. a) Wie viele Schüler haben die Arbeit mitgeschrieben? b) Berechne die relativen Häufigkeiten und gibt das Ergebnis als Bruch und als Dezimalbruch an. Noten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit (als Bruch) relative Häufigkeit (als Dezimalbruch) 2. Mehrere Jugendliche wurden befragt, wie viele Minuten sie täglich das Internet nutzen. Sie konnten ankreuzen, ob sie bis zu 25, 50, 75, 100, 125 oder 150 Minuten am Tag im Internet verbringen. Das Ergebnis ist in einem Säulendiagramm festgehalten. a) Wie viele Jugendliche haben an der Umfrage teilgenommen? b) Fülle die Häufigkeitstabelle aus und berechne die relativen Häufigkeiten. Noten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 3. Die Klasse 6b hat Mitschüler nach ihrem Handy-Betriebssystem befragt. Das Ergebnis der Umfrage hat die Klasse als Strichliste festgehalten. 82 Daten und Zufall Android ios Sonstige a) Lege eine Häufigkeitstabelle an und bestimme die absoluten und relativen Häufigkeiten. b) Stelle die Umfrage als Balkendiagramm dar.

6 Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel (kurz: Mittelwert, Durchschnitt) Um das arithmetische Mittel von Werten zu berechnen, werden zunächst alle Werte addiert und dann durch die Anzahl der Werte geteilt: Arithmetisches Mittel = Summe aller Werte Anzahl der Werte Beispiel: Carla hat in fünf Mathematikarbeiten folgende Noten geschrieben: 2; 3; 4; 3; Bestimme die Anzahl aller Werte: Bilde die Summe aller Werte: = Dividiere durch die Anzahl aller Werte: 15 : 5 = 3. Oder kurz: Arithmetisches Mittel = = 15 5 = 3 Daten und Zufall 83

7 Arithmetisches Mittel 1. Bestimme das arithmetische Mittel der folgenden Daten. a) b) 13,0 14,2 12,5 12,6 12,7 c) d) 3,0 1,5 8,5 7,5 4,0 5,5 3,5 9,0 1,0 6,5 2. In einer Stadt wurden für jeden Monat des Jahres die Durchschnittstemperaturen ermittelt. Jan. Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez 1 C 0 C 6 C 10 C 14 C 16 C 17 C 18 C 14 C 9 C 5 C 4 C Berechne die Jahresdurchschnittstemperatur für diese Stadt. Die Jahresdurchschnittstemperatur ist das arithmetische Mittel aller zwölf Temperaturen. 3. In einer Umfrage wurden Jugendliche nach der Dauer ihres Schulweges gefragt. Das Ergebnis ist in folgendem Säulendiagramm veranschaulicht. a) Vervollständige die (geordnete) Urliste zu der Umfrage b) Berechne das arithmetische Mittel. 4. Im Folgenden sind Geschwindigkeitstests von drei Providern zusammengefasst. Gemessen wurde die Downloadgeschwindigkeit in kbit/s (Kilobits pro Sekunde). Anbieter A 29 37,4 18,4 24,4 21,3 Anbieter B 25,6 33,9 19,9 36,8 24,8 Anbieter C 19,1 35,7 35,6 31,9 24,2 Anbieter D 33,1 35,1 23,6 15,2 27,5 a) Ermittle für jeden Anbieter das arithmetische Mittel. b) Erstelle die Rangfolge der Provider, beginnend mit dem schnellsten Anbieter. 84 Daten und Zufall

8 Arithmetisches Mittel 1. Bestimme den Mittelwert der folgenden Daten. a) 3,5 6,0 7,9 12,3 22,8 b) 24,64 13,25 13,6 20,11 21,48 12, ,17 14,73 11,48 2. In zwei Städten wurden für jeden Monat des Jahres die Durchschnittstemperaturen ermittelt. Stadt A (Temperaturangaben in C): Jan. Feb. Mrz. Apr. Mai Juni Juli Aug. Sep. Okt. Nov. Dez. 31,8 20,7 23,8 34,6 26,5 27,9 33,6 34,6 30,8 17,2 31,8 20,3 Stadt B (Temperaturangaben in C): Jan. Feb. Mrz. Apr. Mai Juni Juli Aug. Sep. Okt. Nov. Dez. 24,1 19, , ,7 24,6 25,5 27,9 18,6 24,1 19,8 Um wie viel Grad Celsius ist die Jahresdurchschnittstemperatur (das arithmetische Mittel der monatlichen Durchschnittstemperaturen) in Stadt A höher als in Stadt B? 3. In einer Umfrage wurden Jugendliche nach der Dauer ihres Schulweges gefragt. Das Ergebnis ist in folgendem Balkendiagramm veranschaulicht. Berechne das arithmetische Mittel. 4. Herr Schmidt und Herr Becker berechnen nach jedem Tanken den Benzinverbrauch ihrer Autos in Liter pro 100 km: Herr Schmidt 6,55 6,58 6,51 6,00 6,08 6,95 6,99 7,52 5,98 6,24 Herr Becker 6,45 5,83 6,52 7,00 7,05 6,81 6,25 7,62 6,09 5,98 Welches Auto hat den niedrigeren Benzinverbrauch? 5. Frau Vlieser verkauft in ihrem Geschäft Geschenkartikel. In dieser Woche hatte sie an sechs Tagen folgende Einnahmen. 1976, , , , , ,80 a) Wie viel nimmt Frau Vlieser im Durchschnitt am Tag ein? b) Welche Einnahmen kann sie für einen Monat (ein Jahr) erwarten? Daten und Zufall 85

9 Spannweite und Median Spannweite und Median (Zentralwert) In einer Anzahl von geordneten Werten ist der Median die Zahl, die in der Mitte der Werte steht. Beispiel 1: In dieser geordneten Anzahl von Werten steht die 18 in der Mitte: Der Median beträgt also: 18. Die Spannweite ist der Abstand zwischen dem größten und dem kleinsten Wert: = 16. Beispiel 2: Die Werte aufsteigend ordnen: Den mittleren Wert bestimmen: Der Median beträgt also 160. Beispiel 3: Bei einer geraden Anzahl von Werten bildet man das arithmetische Mittel der beiden mittleren Werte: Median = = (Wichtig: Der Median ändert sich nicht, wenn sich der erste oder letzte Werte in der Reihe ändert. Der Median ist also robust gegen Ausreißer nach oben oder unten.) 86 Daten und Zufall

10 Spannweite und Median 1. Bestimme den Median und die Spannweite der folgenden Daten. a) b) c) Sortiere die Daten und bestimme den Median und die Spannweite. a) b) Sortiere die Daten und bestimme den Median und die Spannweite. a) b) c) 15 18,5 6,5 9 10,5 3, Bei einem Transportunternehmen wurden zur Auswertung die Daten von zwei Routen gesammelt. Route A: 42,6 km 12,6 km 13,6 km 25,6 km 10,8 km 66,1 km 76,8 km 22,7 km 51,9 km 52,9 km 26,2 km 97,2 km 94,6 km 57,6 km 88,8 km 58 km 76,6 km 12,1 km 64,2 km 17,6 km 87,6 km Route B: 78,3 km 18,8 km 40,7 km 34,9 km 76,4 km 23,3 km 41,1 km 34,8 km 34,8 km 17,9 km 81,3 km 47,5 km 70,4 km 42,4 km 88,2 km 86,3 km 83,6 km 20,7 km 78,1 km 96,6 km a) Bestimme den Median der Route A. b) Bestimme den Median der Route B. c) Um wie viele Kilometer unterscheiden sich die Mediane der beiden Routen? 5. Im zweiwöchigen Trainingslager einer erfolgreichen Fußballbundesligamannschaft wurde an neun Tagen Elfmeterschießen geübt. Jeder Spieler hatte jeweils zehn Versuche. Die Assistenten schlagen dem Trainer drei Spieler vor, von denen einer in Zukunft die Elfmeter schießen soll. Hier die Ergebnisse der Tests für die Spieler: Treffer Spieler A Spieler B Spieler C a) Berechne den Median für die drei Spieler. b) Berechne den Mittelwert der Treffer für jeden der drei Spieler. c) Wie kann es sein, dass Spieler A einen besseren Mittelwert, aber einen schlechteren Median als Spieler B hat? d) Welchen Spieler sollte der Trainer als zukünftigen Elfmeterschützen bestimmen? Daten und Zufall 87

11 Spannweite und Median 1. Bestimme den Median und die Spannweite der folgenden Daten. a) b) 10,12 57,2 68,5 87,5 104,29 115,62 c) 486,9 621,7 798,3 1189, ,1 4265,7 4541,9 2. Sortiere die Daten und bestimme den Median und die Spannweite. a) b) 78,9 198,5 69, ,4 8,4 18,5 c) d) 3 557, , , , , , ,7 3. Eine Umfrage unter Jugendlichen nach der Höhe des Taschengeldes wurde in einem Säulendiagramm festgehalten: a) Vervollständige die Häufigkeitstabelle für die Daten aus dem Säulendiagramm. Taschengeld 5 Anzahl 1 b) Erstelle aus den Daten eine geordnete Liste und bestimme den Median der Daten. 4. In einem Kaufhaus werden die Kunden nach der Länge ihres Anfahrtsweges gefragt. Die letzten zehn Kunden gaben folgende Entfernungen an: 15 km 2 km 20 km 5 km 580 km 2 km 10 km 1 km 15 km 2 km. (Der Kunde, der die 580 km angegeben hat, war nach eigenen Angaben zu Besuch in der Stadt.) a) Berechne den Median und den Mittelwert der Daten. b) Berechne den Median und den Mittelwert der Daten ohne die Angabe 580 km. c) Was fällt bei einem Vergleich der beiden Mediane und der beiden Mittelwerte auf? 88 Daten und Zufall

12 Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen Bei Zufallsexperimenten wie Würfeln, Loseziehen, Kartenspielen, Lotterie und Ähnlichem kann man die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen möglichen Ergebnisse des Experimentes berechnen. Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Beispiel 1: Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf Kopf zu erhalten: Anzahl der günstigen Fälle (Kopf): 1 Anzahl der möglichen Fälle (Kopf, Zahl): 2 Wahrscheinlichkeit = 1 2 Beispiel 2: Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine 6 zu erhalten: Anzahl der günstigen Fälle (6): 1 Anzahl der möglichen Fälle (1, 2, 3, 4, 5 oder 6): 6 Wahrscheinlichkeit = 1 6 Die Wahrscheinlichkeit = 1 bedeutet, dass der Fall mit Sicherheit eintrifft. Die Wahrscheinlichkeit = 0 bedeutet, dass der Fall mit Sicherheit nicht eintrifft. Daten und Zufall 89

13 Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen 1. Wendeblättchen haben eine weiße Seite und eine schwarze Seite. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf die weiße Seite oben liegen bleibt? 2. Bei einem Spiel mit einem Glücksrad gewinnt man, wenn das Glücksrad auf dem weißen Feld stehen bleibt. A B C Bestimme für jedes Glücksrad die Anzahl der günstigen Fälle für ein weißes Feld und die Anzahl der möglichen Fälle. Berechne mit diesen Angaben jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass nach dem Drehen der Glücksräder ein weißes Feld oben steht. Trage die Ergebnisse in die Tabelle ein. Glücksrad A Glücksrad B Glücksrad C Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit = 90 Daten und Zufall Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle 3. Beim folgenden Glücksspiel werden aus Säckchen Kugeln gezogen, ohne dass der Spieler den Inhalt der Säckchen sehen kann. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler beim ersten Ziehen eine schwarze (weiße, graue) Kugel zieht. Säckchen A Säckchen B Säckchen C weiß schwarz grau weiß schwarz grau weiß schwarz grau Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit

14 Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen Berechne verschiedene Wahrscheinlichkeiten für die drei Glücksräder. A B C 1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Glücksrad A... a) eine gerade Zahl zu erhalten? b) eine ungerade Zahl zu erhalten? c) ein Zahl zu erhalten, die durch 3 teilbar ist? 2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Glücksrad B... a) ein schwarzes Feld zu erhalten? b) ein weißes Feld zu erhalten? c) ein weißes Feld mit einer durch 4 teilbaren Zahl zu erhalten? 3. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim Glücksrad C... a) ein schwarzes Feld zu erhalten? b) ein graues Feld zu erhalten? c) ein weißes Feld zu erhalten? d) ein graues Feld mit einer geraden Zahl zu erhalten? e) ein graues Feld mit einer durch 3 teilbaren Zahl zu erhalten? 4. Skat ist ein beliebtes Kartenspiel, das man mit acht verschiedenen Karten (Ass, König, Dame, Bube, 10, 9, 8 und 7) spielt. Jede dieser acht Karten gibt es in vier verschiedenen Farben (Karo, Herz, Pik und Kreuz), d. h., insgesamt enthält ein sogenanntes Skatblatt 32 Karten: 4 Farben 8 Karten Karo Ass 10 König Dame Bube Herz Ass 10 König Dame Bube Pik Ass 10 König Dame Bube Kreuz Ass 10 König Dame Bube Berechne die Wahrscheinlichkeiten, dass man beim Austeilen zuerst folgende Karte erhält: a) Ass b) eine Karte mit einer Zahl (10, 9, 8 oder 7) c) eine Karte mit einer geraden Zahl d) einen König, Dame oder Bube Daten und Zufall 91

15 Lösungen: Absolute und relative Häufigkeit 1. Noten Anzahl 2. a) Anzahl: 50 b) und c) Noten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit (als Bruch) relative Häufigkeit (als Dezimalbruch) = ,08 0,16 0,32 0,24 0,16 0, Daten und Zufall 2 50

16 Lösungen: Absolute und relative Häufigkeit 1. a) Anzahl: 25 b) Noten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit (als Bruch) relative Häufigkeit (als Dezimalbruch) 2. a) Anzahl: 20 b) = ,08 0,24 0,36 0,2 0,12 0 Zeit in Minuten absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,15 0,2 0,35 0,15 0,1 0,05 Betriebssystem Android ios Sonstige absolute Häufigkeit relative Häufigkeit 0,75 0,15 0,1 Daten und Zufall 0 25

17 Lösungen: Arithmetisches Mittel 1. a) Arithmetisches Mittel: 3,0 b) Arithmetisches Mittel: 13 c) Arithmetisches Mittel: 30 d) Arithmetisches Mittel: 5 2. Arithmetisches Mittel: 9,5 C 3. a) b) Arithmetisches Mittel: 17,5 Minuten 4. a) Arithmetisches Mittel: Anbieter A 26,1 kbits/s Anbieter B 28,2 kbits/s Anbieter C 29,3 kbits/s Anbieter D 26,9 kbits/s b) Rangfolge Anbieter C Anbieter B Anbieter D Anbieter A 29,3 kbits/s 28,2 kbits/s 26,9 kbits/s 26,1 kbits/s Daten und Zufall

18 Lösungen: Arithmetisches Mittel 1. a) Arithmetisches Mittel: 10,5 b) Arithmetisches Mittel: 17,12 2. Stadt A: 27,8 C Stadt B: 23,7 C Differenz: 4,1 C 3. Arithmetisches Mittel: 17,5 Minuten 4. Herr Schmidt Herr Becker 6,54 Liter pro 100 km 6,56 Liter pro 100 km Der Verbrauch ist bei beiden Auto fast gleich. Herr Becker braucht 0,02 Liter pro 100 km mehr. 5. a) Arithmetisches Mittel: 1735,50 b) Einnahmen pro Monat: = Einnahmen pro Jahr: = ,00 Daten und Zufall

19 Lösungen: Spannweite und Median 1. a) Median = 33 Spannweite = 23 b) Median = 3,5 Spannweite = 5 c) Median = 49,5 Spannweite = a) Median = 65 Spannweite = 72 b) Median = 250 Spannweite = a) Median = 2500 Spannweite = 8000 b) Median = 450 Spannweite = 800 c) Median = 8,5 Spannweite = a) Route A Median = 52,9 km b) Route B Median = 44,95 km c) Unterschied: 7,95 km 5. a) Spieler A: Median = 7 Treffer Spieler B: Median = 6,5 Treffer Spieler C: Median = 6 Treffer b) Spieler A: Mittelwert = 6,6 Treffer Spieler B: Mittelwert = 6,8 Treffer Spieler C: Mittelwert = 6,2 Treffer c) Spieler A hat einen sehr schlechten Versuch (1 Treffer). Der Median wird von diesem einen schlechten Versuch nicht beeinflusst. d) Spieler C hat den schlechtesten Median und Mittelwert und kommt deshalb nicht in Frage. Geht der Trainer nach dem Mittelwert, wird er sich für den Spieler B entscheiden, ansonsten für Spieler A. Daten und Zufall

20 Lösungen: Spannweite und Median 1. a) Median = 46,5 Spannweite = 99 b) Median = 78 Spannweite = 105,5 c) Median = 2155,6 Spannweite = a) Median = 3487 Spannweite = 2676 b) Median = 78,9 Spannweite = 267,6 c) Median = 2663,5 Spannweite = 5130 d) Median = 3427 Spannweite = 6510,2 3. a) Taschengeld Anzahl b) Median = a) Median = 7,5 km Mittelwert = 65,2 km b) Median = 5 km Mittelwert = 8 km c) Der Median hat sich kaum geändert. Der Median ist stabil gegen Datenausreißer. Daten und Zufall

21 Lösungen: Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen 1. Wahrscheinlichkeit = 1 2 = 0, Glücksrad A Glücksrad B Glücksrad C Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle 4 4 = = 0, = 1 2 = 0,5 Säckchen A Säckchen B Säckchen C weiß schwarz grau weiß schwarz grau weiß schwarz grau Anzahl der günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Wahrscheinlichkeit = = 1 2 Daten und Zufall 3 10

22 Lösungen: Einfache Wahrscheinlichkeiten berechnen 1. a) 6 12 = 1 2 = 0,5 b) 6 12 = 1 2 = 0,5 c) 4 12 = a) 4 12 = 1 3 b) 8 12 = 2 3 c) 2 12 = a) d) 4. a) c) = = = 1 4 b) e) = 1 4 = 0,25 b) = 1 2 d) = 3 8 c) 6 12 = 1 2 = 0,5 Daten und Zufall

23 Impressum 2013 Auer Verlag AAP Lehrerfachverlage GmbH Alle Rechte vorbehalten. Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages. Die AAP Lehrerfachverlage GmbH kann für die Inhalte externer Sites, die sie mittels eines Links oder sonstiger Hinweise erreichen, keine Verantwortung übernehmen. Ferner haftet die AAP Lehrerfachverlage GmbH nicht für direkte oder indirekte Schäden (inkl. entgangener Gewinne), die auf Informationen zurückgeführt werden können, die auf diesen externen Websites stehen. Autor: A. Barth, M. Grünzig, S. Ruhm, H. Seifert Illustrationen: Steffen Jähde, Sundhagen