Lagrangeformalismus. Lagrangegleichungen 1. Art. (v8) Newton: Kraft gegeben; löse N2: Aber:
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- Bertold Engel
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1 Lagrangeformalismus (v8) Lagrangegleichungen 1. Art Newton: Kraft gegeben; löse N2: Aber: Oft treten Zwangskräfte auf, die erst durch Bewegung geweckt werden. Gesamtkraft: Beispiel: Ebenes Pendel Newton: Zwangs- Bedingung (ZB): 2. Lösungsmethoden: (a) Lagrange-Methode 1. Art: Hier: (b) Lagrange-Methode 2. Art: Hier:
2 Zwangsbedingungen (ZB): [Verallg. von (1.4)] Betrachte 1 Teilchen in 1. ZB: 2. ZB: definiert 2D-Fläche "F1" in 3D-Raum definiert noch eine Fläche, "F2", in 3D-Raum Beispiel: für ebenes Pendel: Allgemein: R Zwangsbedingungen für N Teilchen in Notation: 3N Koordinaten: R Zwangsbedingungen: Anzahl freier Parameter ("Freiheitsgrade"): Beispiel: 2 Massen am Stab: Beispiel: Wippe:
3 Klassifikation v. Zwangsbedinungen: "Holonome ZB": (Geschw. kommen nicht vor) "skleronom" (zeitunabhängig) "reonom" (zeitabhängig) "Anholonome" oder "nicht-holonome" ZB: (im folgenden nicht weiter diskutiert) alles andere, z.b. (Geschw.-abhängig) (Ungleichheit) Holonome Zwangskräfte (ZK): Holonome ZB zwingt Bewegung in eine (3N-R)-dimensionale Hyperfläche (HF) hinein, doch innerhalb HF liefert sie keine Einschränkung auf Bewegung Entsprechende ZK hängt von Bewegung ab; sie zwingt Bewegung, innerhalb HF zu verlaufen. Holonome Zwangskraft Hyperfläche Ansatz für ZK (für N=1): Motivation: HF ist definiert durch: Richtung : Betrag v. Z: wird durch so eingestellt, dass Bwg. (trotz äußerer Kräfte) in HF bleibt
4 Beipspiel: ebenes Pendel Hyperfläche F1: (Radiusvektor in x-z-ebene) Zwangskraft 1: Hyperfläche F2: Ende v. Beispiel Bewegungsgleichung mit Zwangsbedingungen: (6.3) eingesetzt in N2: ZB: (8.2), (8.3) sind Gleichungen mit Unbekannten Durch Lösung dieser Gleichungen können alle Unbekannten bestimmt werden.
5 Verallgemeinerung auf beliebiges N: (3N Freiheitsgrade, n = 1,..., 3N) R Zwangsbedingungen: Ansatz für Zwangkraft (in -Richtung): (9.2) eingesetzt in N2: (9.1) und (9.3) bilden die "Lagrange-Gl. 1. Art": Gleichungen für Unbekannte Beispiel für N = 2 mit einer ZB ZK auf Teilchen 1, 2 Notation für Zwangskräfte: (z.b. sei Abstand festgelegt:) ZK auf Teilchen 1: ZK auf Teilchen 2: N3 wird reproduziert!
6 Erhaltungssätze Falls ZB Symmetrien verletzen, gelten entsprechende Erhaltungsätze nicht mehr. Impulserhaltung: Drehimpulserhaltung: Energieerhaltung (für konservative Kräfte Kn): Fazit: Energie-Erhaltung, falls ZB nicht explizit zeitabhängig sind, d.h.:
7 Lösungsrezept mit Lagrange-Gl. 1. Art (LG1): 1. Formulierung der ZB: 2. Aufstellung der LG1: 3. Eliminierung der 4. Lösung der Bewegungsgl. für 5. Bestimung der Integrationskonstanten (so, dass ZB und Anfangsbedingungen erfüllt sind) 6. Bestimmung der Zwangskräfte, via 7. Diskussion!! Schritt 3 im Allgemeinen: Eliminierung der Eliminiere zunächst Eliminiere aus (12.1) und (12.3): Dies ist ein lineares, inhomogenes Gleichungsystem für die R Größen Kann im Prinzip gelöst werden; allgemeine Form der Lösung: (12.5) in (12.1): Rechte Seite ist bekannte Funktion v. lösen durch Integration...
8 Beispiel: Reibungsfreies gleiten auf schiefer Ebene Schritt 1: (Formulierung der ZB) Schritt 2: (Aufstellung der LG1) (13.5) in Komponenten: Schritt 3: (Elimination v. ) (14.1) eingesetzt: [entspricht (12.4)] Auflösen nach [entspricht (12.5)] Analog für Nun sind also und bekannt.
9 (14.5) in (14.1): Nun sind eliminiert und Schritt 4: (Lösen der Bewegungs- Gl. für ) [Für dieses Beispiel ziemlich trivial...] Schritt 5: Bestimmung der Integrationskonst., so, dass ZB und Anfangsbedingungen erfüllt sind. ZB (13.1) für alle t: Ansatz zur Lösung v. (16.2): Eingesetzt in (15.6) zurückgelegter Abstand entlang -Achse
10 Schritt 6: (Bestimmung der Zwangskräfte) Schritt 7: Diskussion kompensiert Schwerkraftanteil zur schiefen Ebene [siehe (17.4)] Bemerkung: Bewegung entlang der -Achse löst die effektive Bewegungs-Gleichung: Kraft zur Ebene s(t) ist eine "verallgemeinerte Koordinate"; mit dem Ansatz wäre (18.2) sofort aus N2, Zwangskräfte zu berechnen. gefolgt, ohne dass es nötig gewesen wäre, Moral v.d. Geschichte: suche zunächst verallg. Koordinaten!!
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