Rainer Hofer, Marc Peter, Jean-Louis D Alpaos. Algebra rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen

Transkript

1 MATHEMATIK BASICS ainer Hofer, Marc Peter, Jean-Louis D Alpaos Algebra rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen

2 orwort Mit diesem Lehrmittel können Lernende und Studierende in technischen Berufen die Grundlagen erarbeiten, wie algebraische Aufgaben rechnerisch und grafisch gelöst werden können. Idealerweise erfolgt die Bearbeitung im Anschluss an den Band «Arithmetik und Algebra» dieser eihe. Damit möglichst effizient gelernt werden kann, ist das Lehrmittel systematisch und wenn immer möglich situationsorientiert aufgebaut und ermöglicht einen handlungs- und ressourcenorientierten Unterricht im Umfang von zirka 0 Lektionen. Beim rechnerischen Lösen von Gleichungen setzt dieses Lehrmittel den Fokus auf Systeme mit zwei Unbekannten. Mit dem kartesischen Koordinatensystem erfolgt die Einführung in die Funktionslehre und hierauf aufbauend wird an Beispielaufgaben gezeigt, wie lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten grafisch gelöst werden. Im letzten Kapitel kann das erworbene Wissen an praktischen Beispielen angewendet werden. Der vorliegende Band ist bewusst Teil der eihe Mathematik Basics, weil das rechnerische und grafische Lösen von Gleichungen zusammen mit dem Inhalt der anderen Bände die Grundlage für das Fachrechnen bildet. Für Lehrpersonen stehen auf der Webseite des erlags ( ein ausgefülltes Exemplar sowie Lernkontrollen zum Freischalten und Herunterladen bereit. Mein grosser Dank gilt Marc Peter (959 0), ich durfte ihn seinerzeit bei der Erarbeitung dieses Lehrmittels unterstützen. Seit 0 ist Jean-Louis D Alpaos mein Brainstorming-Partner und unterstützt mich bei der Weiterentwicklung von Lehrmitteln. Er bringt reichhaltige Erfahrungen mit als Lehrperson und als Fachgruppenleiter im Bereich Pädagogische Fördermassnahmen. ainer Hofer, MAS Berufsbildungsmanagement EHB, dipl. Berufsschullehrer SIBP

3 Inhaltsverzeichnis epetition: Das Umstellen von Formeln Seite 6 Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten Seite. Das rechnerische Lösen von linearen Gleichungssystemen Seite 3 3 Beispiele von Anwendungsaufgaben Seite 8 4 Einführung in die Funktionslehre Seite 3 4. Das rechtwinklige kartesische Koordinatensystem Seite 30 5 Die lineare Funktion Seite 3 5. Geometrische Bedeutung der Konstanten m und b Seite Schnittpunkte zweier linearer Funktionen Seite Die graphische Lösung linearer Gleichungen mit zwei ariablen Seite 39 6 Anwendungen aus der Praxis Seite 4 Lösungen zu den Übungen Seite 46 Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 5

4 epetition: Das Umstellen von Formeln Wir befolgen die egel der fünf Schritte, nach welchen Formeln umgestellt werden können. Je nach der Form (Ausgangsgleichung) der Formel können wir jedoch manchmal einen oder sogar mehrere Schritte überspringen. Die folgende Formel stellen wir nach um: U U I? Schritt Kommen bei einer Formel Brüche vor, so müssen wir den Nenner zuerst beseitigen. U U I. Wir multiplizieren beide Seiten der Formel mit dem Nenner. Danach können wir den Bruch kürzen und der Nenner verschwindet dadurch (das Multiplizieren des Zählers und das anschliessende Kürzen mit dem Nenner wird beim Bruch natürlich nicht noch aufgeschrieben).. Schritt Falls nun Klammern vorkommen, so müssen wir diese ausrechnen. Wir multiplizieren und beachten dabei die orzeichenregeln. Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 6

5 Schritt 3 Sämtliche «Glieder», in denen die gesuchte Grösse vorkommt, müssen jetzt auf eine Seite gebracht werden. Alle anderen Glieder sind auf die andere Seite der Gleichung zu bringen... Wir addieren oder subtrahieren die entsprechenden Glieder auf beiden Seiten der Formel so lange, bis das Glied oder die Glieder, in denen die gesuchte Grösse vorkommt, nur noch auf einer Seite des Gleichheitszeichens stehen.... Die restlichen Glieder müssen auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens stehen.. Schritt 4 Haben wir nun mehrere Glieder mit der gesuchten Grösse, dann müssen wir die gesuchte Grösse vorklammern. Hier handelt es sich um eine Faktorzerlegung, dadurch erhalten wir ein Produkt, bei dem ein Faktor die gesuchte Grösse ist. Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 7

6 Schritt 5 Zum Schluss dividieren wir die ganze Gleichung mit dem Faktor oder Faktoren, welche neben der gesuchten Grösse stehen. Jetzt steht die gesuchte Grösse alleine auf einer Seite. Eventuell muss man noch die Seiten vertauschen und die rechte Seite lässt sich kürzen oder vereinfachen. Die Formel ist nun vollständig umgestellt.... at Ein Beispiel aus der Physik: s vt a? Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 8

7 Beachten Sie beim Umstellen von Formeln noch besonders:. Bei vielen, vor allem eher einfacheren Formeln können einige oder gleich mehrere Schritte ausgelassen werden. v s t t?... Grundsätzlich wird beim Umstellen einer Formel erst am Schluss dividiert. Doch wenn eine Seite gleich zu Beginn nur aus einem Produkt besteht, kann auch zuerst dividiert werden. U a b b?... Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 9

8 3. Obwohl Lösungen manchmal optisch ganz unterschiedlich aussehen, sind sie trotzdem richtig. Ihre Lösung t 3v v s v Lösung gemäss Lösungsbuch t s 3v v v Durch Erweitern des Bruches mit () wird ersichtlich, dass beide Lösungen das Gleiche bedeuten. Das Erweitern ändert den Wert eines Bruches nicht.... Übung Eine richtig umgestellte Formel ergibt gemäss Lösungsbuch: a 3b b Sechs Personen haben jedoch «etwas anderes» bekommen. Untersuchen Sie, welche Lösungen richtig sind und welche nicht. a) b a b) 3b b a c) 3b a 3b 3 d) a a a e) f) 3 3b 3 3b 3 b Algebra - rechnerische und graphische Lösungen von Gleichungen Seite 0