Maß- und Integrationstheorie

Transkript

1 Fachbereich Mathematik Hochschule Regensburg Skriptum zur Vorlesung Maß- und Integrationstheorie SS 2013 Prof. Dr. Michael Fröhlich

2 Inhaltsverzeichnis 1 Mengensysteme, Maße Einführung Bezeichnungen σ-algebren Dynkinsystem Inhalt und Maß Äußeres Maß Konstruktion von äußeren Maßen (I) Ergänzung (Halbringe) Konstruktion von äußeren Maßen (II) Vervollständigung Lebesgue-Maß Bezeichnungen Konstruktion des Lebesgue-Maßes in R n Borel-Mengen des R n und das Lebesgue-Borel-Maß Meßbare Funktionen Definition, äquivalente Charakterisierung Operationen mit messbaren Funktionen Eigenschaft fast-überall Integration Integration nicht negativer einfacher Funktionen Integral über nichtnegative A-messbare Funktionen µ-integrierbare Funktionen Vertauschung von Integration und Grenzübergang Lebesgue-Integral in R n Produkt-Maß u. -Integration Produkt-σ-Algebra Produkt-Maß Produkt-Integration

3 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 3 Prof. Dr. Michael Fröhlich Fakultät Informatik und Mathematik Hochschule Regensburg Postfach Regensburg michael.froehlich@hs-regensburg.de Tel.: / Raum U 320, Sammelgebäude, Universitätsstraße 31. Sprechzeiten: Dienstag, Uhr, und nach Vereinbarung. Während der vorlesungsfreien Zeit nur nach Vereinbarung. Literaturempfehlungen zur Vorlesung Bauer, H.: Maß- und Integrationstheorie 1. Aufl., de Gruyter Elstrodt, J.: Maß und Integral Springer-Verlag Brokate, M., Kersting, G.: Maß- und Integrationstheorie 1. Aufl., Birkhäuser 2010.

4 Kapitel 1 Mengensysteme, Maße 1.1 Einführung Die Maß- und Integrationstheorie nach Lebesgue ( ) entstand zwischen 1900 und 1915 mit wesentlicher Vorarbeit von Borel ( ) aus dem Jahre Borel war der erste, der für Maße nicht nur die Additivität, sondern auch die σ- Additivität forderte. Dies bedeutet, daß nicht nur für endlich viele disjunkte messbare Mengen B 1, B 2, R n mit Maßen λ(b 1 ), λ(b 2 ),... die Vereingung B = B 1 B 2... messbar ist mit Maß λ(b) = λ(b 1 ) + λ(b 2 ) +..., sondern diese Eigenschaft auch für jede unendliche Folge B 1, B 2,... messbarer disjunkter Teilmengen gilt. Die Maß- und Integrationstheorie baut auf der Mengenlehre auf und kommt nicht ohne deren Schlussweisen aus. Erst mit Hilfe der Mengenlehre fand sich ein Weg zum vollen System der messbaren Teilmengen des R n und anderer Räume. Ziel der folgenden Überlegungen ist es, für eine möglichst große Klasse von Teilmengen A R n so etwas wie einen Inhalt (oder Volumen oder Maß ) A zu definieren. Was sind z.b. sinnvolle aus der Anschauung abgeleiteten Forderungen, die wir an eine sinnvolle Verwendung des Begriffs Volumen stellen würden? Wir notieren diese: 1. Einem 3-dimensionalen Gebilde wird eine nichtnegative Zahl zugeordnet, sein Volumen. 2. Zwei kongruente also ohne Verformung aufeinander passende Gebilde, haben das gleiche Volumen. 3. Besteht ein Gebilde aus mehreren Einzelgebilden, so ist das Volumen gerade die Summe der Volumina der Einzelgebilde. Wir wollen diese intuitiven Forderungen formalisieren bzw. die grundlegende Fragestellung lautet: Gibt es ein n-dimensionales Maß µ : P(R n ) R derart, daß für alle A R n gilt A R n = µ(a) [0, ]? ( Positivität µ(a) 0 für alle A R n.) Und: 4

5 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 5 1. µ( ) = 0 und A, B R n mit A B = µ(a) µ(b) (Monotonie). 2. Endliche Additivität: A, B R n mit A B = = µ(a B) = µ(a) + µ(b). 3. Bewegungsinvarianz: µ(a) = µ(a ), wenn A und A kongruent sind, d.h. durch abstandserhaltende Transformationen wie Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen des R n ineinander überführt werden können. φ : R n R n Bewegung, d.h. φ(x) = Mx+b, M O(n), b R n = µ(φ(a)) = µ(a) A R n. 4. Normierung: µ([0, 1] n ) = 1, wobei [0, 1] n der Einheitswürfel. Inhaltsproblem: Existiert ein µ : P(R n ) [0, ], was 1., 2.,3. und 4. erfüllt? Betrachten wir den bekannten Ansatz von Jordan ( ). Seine Idee ist intuitiv: Sei V = k I j eine Vereinigung von endlich vielen disjunkten n-dimensionalen Intervallen I j R n, also I j = [a j1, b j1 [ [a jn, b jn [ (es erweist sich als praktisch, wenn auch nicht zwingend, mit halboffenen Intervallen zu arbeiten). Ihr Maß λ(v) erhält man, indem man die Produkte der Kantenlängen der einzelnen Intervalle aufsummiert: λ(v) := k (b j1 a j1 ) (b jn a jn ). Das äußere und das innere Maß einer Teilmenge B R n ergeben sich dann nach Jordan durch Überdeckung bzw. Ausschöpfung mittels Vereinigung von Intervallen: λ (B) := in f {λ(v) B V}, λ (B) := sup{λ(v) V B}. Haben beide Ausdrücke denselben Wert, so nennt man B eine Jordanmenge, und λ(b) := λ (B) = λ (B) heißt das Jordanmaß von B. Die Definition ist analog zum Riemannintegral von Funktionen. Damit ist einer Jordanmenge ihr richtiges Maß zugewiesen. Der Mangel dieser Vorgehensweise liegt aber auf struktureller Ebene. Zwar sind endliche Vereinigungen, endliche Durchschnitte und Komplemente von Jordanmengen wieder Jordanmengen, doch stellt sich heraus, daß im Allgemeinen eine abzählbar unendliche Vereinigung von Jordanmengen nicht mehr Jordanmenge zu sein braucht., z.b. die Menge Q [0, 1] (Übungsaufgabe 1, Serie 1). Verschärfung des Inhaltsproblems: 2. (statt 2.) σ-additivität: A i R n, i N und A i paarweise diskunkt: = µ A i = µ(a i )

6 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 6 Maßproblem: Existiert ein µ : P(R n ) [0, ], was 1., 2., und 3. erfüllt? Hausdorff 1914: Für n = 1 und n = 2 lösbar aber nicht eindeutig lösbar. Banach 1923; Nein für n 3. Banach-Tarski-Paradoxon 1924: Je zwei beschränkte Teilmengen B und B des R n, n 3, mit nichtleerem Innern, z.b. zwei Kugeln mit unterschiedlichen Radien, lassen sich beide so in gleich viele disjunkte Teile zerlegen B = C 1 C k und B = C 1 C k, daß die Teilstücke C 1,..., C k, C 1,..., C k alle miteinander kongruent sind, also mit Hilfe von Translationen, Drehungen und Spiegelungen ineinander überführt werden können. Dann hätten alle Teilstücke wg. der Kongruenz dasselbe Maß, und folglich hätten B und B aufgrund der Addititvität dasselbe Maß, was paradox wäre. Auf anschauliche Weise sind solche Zerlegungen unvorstellbar. Paradoxien dieser Art entstehen durch die Betrachtung von Mengen mit unendlich vielen Elementen, z.b. wie N = Q. Dieser Satz zeigt, daß P(R n ) derart umfassend ist, daß es unmöglich ist, allen Teilmengen ein Maß zuzuordnen, was sich additiv und gleichzeitig invariant unter Kongruenz verhält. Konsequenz: Zum Zwecke der Entwicklung einer geeigneten Maßtheorie, welche die bekannten Resultate zum Jordan-Inhalt als Spezialfälle enthält, sollten wir versuchen µ : A [0, ] mit 1., 2. und 3. nur für ein Teilmengensystem A P(R n ) zu konstruieren.

7 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Bezeichnungen Mengen: Sei eine beliebige Menge. P() = 2 = Menge aller Teilmengen von (Potenzmenge) A A P() A, B,... P() heißen Mengensysteme. := leere Menge A c := \ A Komplement von A bzgl. A i mit (i = 1, 2,...) endl. oder abzählbar unendlich viele Teilmengen; Allgemeines Distributivgesetz: Seien A, B, C. Dann gilt A (B C) = (A B) (A C) und A (B C) = (A B) (A C). Eine Folge von Mengen (A n ) n N in heißt paarweise disjunkt (p.d.), falls A i Aj = für alle i, j N mit i j. Differenzmenge: A, B : A \ B = A \ (A B) = A B c Für die Differenzmenge gelten folgende Gesetzmäßigkeiten: Seien A, B, C. 1. (A \ B) \ C = A \ (B C) und A \ (B \ C) = (A \ B) (A \ C). (Assoziativgesetze) 2. (A B) \ C = (A \ C) (B \ C) und (A B) \ C = (A \ C) (B \ C). (Distributivgesetze) 3. A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) und A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). (Distributivgesetze) De Morgansche Gesetze: (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c, ( λ Λ A λ ) c = λ Λ A c λ

8 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 8 Die symmetrische Differenz zweier Mengen A, B ist definiert durch: A B := (A \ B) (B \ A). Bemerkung: (P(), ) ist eine (elementarabelsche) Gruppe (und Vektorraum über dem Körper F 2 ). Beweis: Übungsaufgabe. Für eine Mengenfolge (A i ) i N aus ist definiert: 1. (A i ) i N heißt monoton fallende Folge, falls A i+1 A i für alle i N. 2. (A i ) i N heißt monoton steigende Folge, falls A i A i+1 für alle i N. 3. lim i inf A i := {x k N mit x A i für alle i k} = k=i A k. 4. lim i sup A i := {x n 1 < n 2 <... mit x A ni für alle i N} = 5. Eine Mengenfolge (A i ) i N aus heißt konvergent, falls k=i A k. und man schreibt dann als Grenzwert lim inf A i = lim sup A i, i i lim A i := lim inf A i = lim sup A i. i i i Übungsaufgaben: Seien A, B, C, (A i ) i N Teilmengen von. 1. C c (B \ A) = B \ (A C) (B \ A i ) = B \ A i. (B \ A i ) = B \ A i. 4. lim A i = A i, falls (A i ) i N wachsend ist. i 5. lim A i = A i, falls (A i ) i N fallend ist. i 6. (lim i sup A i ) c = lim i inf(a c i ). 7. Seien (A i ) i N, (B i ) i N konvergente Folgen von Teilmengen von. Man beweise, daß die Folgen (A c i ) i N, (A i B i ) i N, (A i B i ) i N, (A i \ B i ) i N, (A i B i ) i N ebenfalls konvergieren und bestimme die Grenzwerte.

9 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 9 Das Auswahlaxiom Definition: Sei A eine Menge von nichtleeren Mengen. Dann heißt F : A A eine Auswahlfunktion für A, falls gilt A A A A : F(A) A. Die Funktion F wählt also aus jeder Menge A in A genau ein Element aus. Das Das Auswahlaxiom lautet dann wie folgt: Zu jeder Menge nichtleerer Mengen gibt es mindestens eine Auswahlfunktion. Das Auswahlaxiom postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, gibt jedoch kein Verfahren an, wie man ein solches konstruieren könnte. Beispielsweise ist es nicht möglich, für eine beliebige Menge von Teilmengen von R eine Auswahlfunktion explizit anzugeben. Das Auswahlaxiom ist von der Mehrheit der MathematikerInnen akzeptiert. Es folgt nicht aus anderen Axiomen der Mathematik. Beispiele für Fälle, in denen das das Auswahlaxiom relevant ist: Für eine endliche Menge A = {A 1,..., A n } von nichtleeren Mengen ist es trivial, eine Auswahlfunktion anzugeben: Man wählt von jeder Menge irgend ein bestimmtes Element aus, was problemlos möglich ist. Man braucht fas Auswahlaxiom hierfür nicht: Ein formaler Beweis würde Induktion über die Größe der endlichen Mengen verwenden. Für Mengen von nichtleeren Teilmengen der natürlichen Zahlen ist es ebenfalls problemlos möglich: Man wählt von jeder Teilmenge das kleinste Element aus. Selbst für Mengen von Intervallen reeller Zahlen ist eine Auswahlfunktion definierbar: Man wählt von jedem Intervall den Mittelpunkt aus. Für Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen gibt es jedoch keine offensichtliche Definition einer Auswahlfunktion. In diesem Fall ist das Auswahlaxiom relevant. Es postuliert die Existenz einer Auswahlfunktion, ohne sie explizit anzugeben. Man kann sogar beweisen, daß man sie nicht für alle Mengen von beliebigen nichtleeren Teilmengen der reellen Zahlen konstruieren kann. Beweisidee: Es gibt nur abzählbar viel Sätze (in einer Sprache). Unter der Hand haben Sie das Auswahlaxiom schon häufig benutzt, z.b. in Analysis 1, daß Folgenstetigkeit einer Funktion deren ɛ δ Stetigkeit impliziert: Beweis per Kontraposition: Ist f in x 0 nicht ɛ δ-stetig, so gibt es ein ɛ > 0 derart, daß für alle δ > 0 ein x R existiert mit x x 0 < δ aber f (x) f (x 0 ) ɛ. Insbesondere gibt es für alle n N ein x n R mit x n x 0 < 2 n aber f (x n ) f (x 0 ) ɛ. Die so ausgewählten x n werden durch das Auswahlaxiom nun zu einer Folge (x n ) n N zusammengebaut, und es gilt lim n x n = x 0 aber wegen f (x n ) f (x 0 ) ɛ konvergiert die Folge ( f (x n )) n N nicht gegen f (x 0 ), Widerspruch.

10 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 10 Die erweiterte Zahlengerade und Operationen mit +, Indem wir die Symbole und + hinzufügen (statt + schreiben wir häufig einfach ), definieren wir die sogenannte erweiterte Zahlengerade R := R {, + }. Die Menge R besitzt zwar von Haus aus weder eine algebraische noch eine Ordnungsstruktur, läßt sich aber zu einer geordneten Menge machen, indem man die übliche Ordnung von R durch die Festsetzung < x < + für alle x R ergänzt. Neben R werden auch die folgenden neuen Intervalltypen von Interesse sein: [0, + ] := [0, + [ {+ } und [, 0] :=], 0] { }. Die Rechenverknüpfungen zwischen reellen Zahlen und den Symbolen und + definieren wir wie folgt, wobei wir jeweils auch die Kommutativität der Summen- und Produktbildung voraussetzen: a + := +, a + ( ) := x + := x := 0 a R; Diese naheliegenden Definitionen ergänzen wir noch durch: + + := + := + für a > 0, a (+ ) := 0 für a = 0,. für a < 0 für a > 0, a ( ) := 0 für a = 0,. + für a < 0 ( ) ( ) := + ; (+ ) (+ ) := +, (+ ) ( ) :=. Es wäre nun ein Trugschluß zu glauben, daß die geordnete Menge R durch diese Rechenoperationen ein geordneter Körper würde. R ist nämlich nicht einmal ein Körper. Dies erkennt man daran, daß in R verschiedene Verknüpfungen (wie etwa + + ( )) nicht erklärt sind und daß weder das Assoziativ - noch das Distributivgesetz der Multiplikation gilt. Eins der Vorteile von R gegenüber R ist, daß in R jede Teilmenge beschränkt ist, denn ist für jede Teilmenge untere Schranke und + ist für jede Teilmenge obere Schranke. Darüberhinaus besitzt in R jede Teilmenge sowohl Infimum als auch Supremum. Ist eine Teilmenge A aus R etwa nach oben (unten) unbeschränkt, so definiere supa := + (infa := ).

11 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 11 Ferner setzen wir inf R = sup R = + inf = + sup =. 1.3 σ-algebren Definition Ring, Algebra, σ-algebra Sei eine beliebige Menge. Ein Mengensystem A P() heißt 1. Ring A, wenn A und A, B A = A B, A \ B A 2. Algebra A, wenn A ein Ring ist mit der zusätzlichen Eigenschaft A. 3. σ-algebra A, wenn A und A, A i A mit (i = 1, 2,...) = A c, A i A Bemerkung: Beim Wort σ-algebra weist der Vorsatz σ darauf hin, daß das betreffende Mengensystem abgeschlossen ist bzgl. der Bildung abzählbarer Vereinigungen. Dabei soll der Buchstabe σ an Summe erinnern: Früher bezeichnete man die Vereinigung zweier Mengen als deren Summe. Beispiele für σ-algebren: P() (die größte σ Algebra) {, } (die kleinste σ Algebra) {, A, A c, } (die kleinste σ Algebra, die A enthält) für A. Wieviel Elemente hat die nächstgrößere σ-algebra? Eigenschaften eines Ringes R: 1. A, B R = A B = A \ (A \ B) R 2. A 1,..., A m R = m A i R; m A i R Eigenschaften einer Algebra A: 1. Da A, folgt A A = A c = \ A A 2. Nach Definition ist jede Algebra ein Ring, aber die Umkehrung gilt nicht: Z.B. ist { } ein Ring aber i.a. keine Algebra. 3. Jede σ-algebra ist Algebra: A, B A, A 1 := A, A 2 := B, A i := B(i 3) = A B = A i A Die Umkehrung gilt nicht: Übungsaufgabe 2, Serie 1.

12 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 12 Definition kleinste(r) erzeugte(r) Ring/Algebra/σ-Algebra Sei S P() ein Mengensystem. R(S) := A(S) := A σ (S) := R P()Ring S R A P()Algebra S A A P() σ Algebra S A R = der von S erzeugte Ring. A = die von S erzeugte Algebra. A = die von S erzeugte σ-algebra. Beispiele: A σ ({ }) = {, } = A σ ({}), A σ ({A}) = {,, A, A c }, A. Bezeichnung: Sei A P() σ-algebra. Sei E, E, A E := {A E A = A E, A A} = Spur-σ-Algebra (für E). Dann ist A E σ-algebra. Wenn E A A E = {A E A A}. 1.4 Dynkinsystem Definition Ein Mengensystem D P() heißt Dynkinsystem, wenn 1. D, A D = A c D 2. A i D p.d. und (i = 1, 2,...) = A i D Folgerung Jede σ-algebra ist ein Dynkinsystem (offensichtlich). Die Umkehrung gilt nicht: Sei eine Menge mit einer geraden Anzahl 2n von Elementen, n N. Dann ist das System D aller Mengen D mit einer geraden Anzahl von Elementen ein Dynkin-System aber im Fall n > 1 keine Algebra und damit auch keine σ-algebra. Lemma Jedes Dynkinsystem ist stabil bzgl. Komplementbildung, d.h. Beweis Übungsaufgabe. D, E D, D E = E \ D D Satz : Entscheidbarkeit, ob eine σ-algebra vorliegt Ein Dynkinsystem D ist genau dann eine σ-algebra, wenn mit je zwei Mengen aus D auch deren Durchschnitt zu D gehört. ( -stabile Dynkinsysteme sind σ-algebren). Beweis in der Vorlesung. Ebenso wie für σ-algebren ergibt sich, daß zu jedem Mengensystem S P() ein kleinstes, S enthaltendes Dynkinsystem D(S) existiert. Es heißt das von S erzeugte Dynkinsystem.

13 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 13 Die Bedeutung der Dynkinsysteme zeigt vor allem der folgende Satz: (Beweis in Vorlesung) Satz Für jedes Mengensystem S P(), welches mit je zwei Mengen deren Durchschnitt erhält, gilt 1.5 Inhalt und Maß D(S) = A σ (S). Definition Inhalt Sei R P() Ring. Eine Abbildung µ : R [0, + ] heißt Inhalt auf R, wenn µ( ) = 0, A, B R, A B = = µ(a B) = µ(a) + µ(b) Ein Inhalt µ auf einem Ring R in heißt endlich, falls µ(a) < A R. Ein Inhalt µ auf einem Ring R in heißt σ-endlich, falls eine Folge (A i ) i N von Mengen aus R existiert mit A i = sowie mit µ(a i ) < i N). Ein Inhalt µ auf R heißt σ-additiv [bzw. Prämaß], wenn: A i R (i = 1, 2,...) p.d., A i R = µ A i = µ(a i ) Definition Maß Sei A P() σ-algebra. Ein σ-add. Inhalt auf A heißt Maß auf A. ( d.h. µ : A [0, + ] Inhalt mit: µ( ) = 0, µ σ-add. ) N A heißt µ-nullmenge, falls µ(n) = 0. Beispiele für Maße: Für jedes A R läßt sich das sogenannte Zählmaß wie folgt definieren: n, falls A = n N µ(a) :=. sonst Sei a R. Für jedes A R definiere das sogenannte Diracmaß wie folgt 1, falls a A µ(a) :=. 0 sonst Bemerkungen Sei R P() Ring, µ : R [0, + ] Inhalt. Dann: n A i R (i = 1, 2,..., n) p.d. = µ A i = n µ(a i ). Ein Maß µ auf einer σ-algebra A in einer Menge wird Wahrscheinlichkeitsmaß (abgekürzt W-Maß genannt), wenn µ() = 1. Man bezeichnet dann P := µ und nennt (, A, P) einen Wahrscheinlichkeitsraum.

14 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 14 SATZ Eigenschaften Inhalt Sei R P() Ring, µ : R [0, + ] Inhalt. Dann: 1. A, B R, A B = µ(a) µ(b) [Isotonie, Monotonie] 2. A, B R, A B, µ(a) < = µ(b \ A) = µ(b) µ(a) [Subtraktivität] 3. A, B R = µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b) 4. A i R (i = 1, 2,..., n) = µ ( n A i) n µ(a i) [Subadditivität] 5. A i R (i = 1, 2,...) p.d., A i R = µ(a i) µ ( A ) i Beweis 1. B = A (B\A) disjunkt = µ(b) = µ(a) + µ(b\a) µ(a) 2. Wenn µ(a) <, folgt wie im Beweis von 1.: µ(b\a) = µ(b) µ(a) 3. A B = A (B \ A) disjunkt = µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A); B = (A B) (B \ A) disjunkt = µ(b) = µ(a B) + µ(b \ A) Fallunterscheidung: 1. µ(b \ A) < + : 2. µ(b \ A) = + : µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A) + µ(b) µ(b \ A) = µ(a) + µ(b) = µ(b) =, µ(a B) = + = µ(a B) + µ(a B) = + = µ(b) = µ(a) + µ(b) 4. A 1, A 2 R = µ(a 1 A 2 ) µ(a 1 A 2 ) + µ(a 1 A 2 ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 ) Induktion = Beh. 5. n A i n A j = µ A i µ A i = lim n n µ(a i ) µ A i. SATZ Eigenschaften σ-add. Inhalt bzw. Prämaß Sei R P() Ring. µ : R [0, + ] σ-add. Inhalt. Dann: 1. A i R (i = 1, 2,...) mit A := A i R = µ A i µ(a i ) 2. (Stetigkeit von unten, B i A) B i R, B i B i+1 (i = 1, 2,...) mit A := B i R = lim µ(b i ) = µ i B i

15 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg (Stetigkeit von oben, C i A) Beweis C i R, C i C i+1 (i = 1, 2,...) mit µ(c 1 ) < + und 1. (Übergang zu Disjunkter Vereinigung) (in 3 Schritten) i 1 E 1 := A 1 E i := A i \ A j (i = 2, 3,...) = E i R p.d. = µ A j = µ E i = }{{} i 1 F 1 := B 1 F i := B i \ B j (i = 2, 3,...) B i = i B k = k=1 i F k, k=1 σ add. C i R = lim µ(c i ) = µ i C i µ(e i ) = F i p.d. B k = k=1 k=1 E i = µ(a j ) F i = i i i = µ(b i ) = µ B k = µ F k = µ(f k ) k=1 k=1 k=1 lim µ(b i) = µ(f k ) = µ i }{{} F k = µ B k k=1 σ add. (a) C 1 C j = + > µ(c 1 ) µ(c j ), C 1 = C j (C1 \ C j ) = µ(c 1 ) = µ(c j ) + µ(c 1 \ C j ) = µ(c j ) = µ(c 1 \ C j ) µ(c 1 ) (b) C j C j+1 = C 1 \ C j C 1 \ C j+1, (C 1 \ C j ) = C 1 \ ( C j) 2. = lim µ(c 1 \ C j ) = µ (C j 1 \ C j ) (c) C 1 = ( C ) ( j C1 \ C j ) k=1 F k k=1 A j B j, F i R = µ(c 1 ) = µ C j + µ C 1 \ C j } {{ } = (C 1\C j ) Damit: lim µ(c j ) = a) lim µ(c 1 \ C j ) µ(c 1 ) = b) µ (C j j 1 \ C j ) µ(c 1) = c) µ C j

16 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Äußeres Maß Definition äußeres Maß Eine Abbildung µ : P() [0, + ] heißt äußeres Maß auf P(), wenn: 1. µ ( ) = 0; 2. A B = µ (A) µ (B) (Monotonie) 3. A i (i = 1, 2,...) = µ ( A i) µ (A i ) (σ-halbadditivität) Definition (C. CARATHÉODORY) Sei µ äußeres Maß auf P(). A heißt µ -meßbar, wenn Bemerkungen 1. Sei A Menge mit: Dann ist A µ -meßbar. Denn: 2., sind µ -messbar. µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) E ( E = (E A) (E A c ) disjunkt E ) (1 ) µ (E) µ (E A) + µ (E A c ) E µ (E) = µ ((E A) (E A c )) µ (E A) + µ (E A c ) 3. Nullmengen sind µ -meßbar: Sei A mit µ (A) = 0. Dann ist A µ -meßbar. Denn: E A A = µ (E A) µ (A) = 0 d.h. µ (E A) = 0. E A c E (1 ) = Beh. = µ (E) µ (E A c ) = µ (E A) + µ (E A c ) 4. Sei A mit µ (A) = 0. Sei A 1 A. Dann ist A 1 µ -messbar. Bezeichnung A µ := {A A ist µ -messbar} Satz Eigenschaften A µ Es gilt: 1. A µ σ-algebra. 2. µ Aµ ist ein Maß aufa µ. [ohne Beweis]

17 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Konstruktion von äußeren Maßen (I) SATZ Konstruktion äußeres Maß Seien gegeben: S P() Mengensystem mit S, µ : S [0, + ] mit µ( ) = Sei A. Dann: µ inf{ (A) := µ(a i) A i S, A A i} +, wenn A in keiner abzählbaren Vereinigung von Mengen aus S enthalten ist.. µ ist äusseres Maß auf P(). 2. Sei S = R P() Ring. µ : R [0, + ] Inhalt, µ gemäß 1. Dann: R A µ 3. (Fortsetzung eines σ-additiven Inhalts (Prämaß)) Sei S = R P() Ring, µ : R [0, + ] σ-additiver Inhalt, µ gemäß 1. dann gilt: µ (A) = µ(a) A R. Bemerkung Sei A S. Beweis = µ (A) = inf{ µ(a i )...} µ(a) 1. (a) µ (A) 0 A µ ( ) µ( ) = 0 (b) A, B, A B. Wenn µ (B) = + : fertig. Sei µ (B) < + und seien B i S bel. mit B B i = A B B i = µ (A) = inf{ µ(a i )...} = µ (A) µ (B) (c) Zu zeigen µ ist σ-halbadditiv: Seien A i (i N). Wenn µ (A i ) = + : fertig Sei µ (A i ) < + = µ (A i ) < + i N Sei ɛ > 0 bel. i N A ij S(j N) mit: µ(b j ) A i A ij, µ(a ij ) µ (A i ) + ɛ 2 i A ij gemäß CANTORschen Diagonalverfahren inidizieren: B 1, B 2,..., B k S B 1 := A 11, B 2 := A 12, B 3 := A 21, B 4 := A 13, B 5 := A 22,...

18 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 18 m N bel.: für geeignete p, q N gilt: m p q p µ(b k ) µ(a ij ) µ(a ij ) (µ (A i ) + ɛ ) 2 i k=1 µ (A i ) + ɛ Da A i k=1 B k gilt: µ A i = inf{ = für m : l=1 µ(b k ) k=1 µ(c l ) C l S, A i µ (A i ) + ɛ C l } l=1 µ (A i ) + ɛ 2. ohne Beweis 3. ohne Beweis Bezeichnung: µ ist das zu {S, µ} konstruierte äußere Maße auf P(). Äquivalente Definition σ-endlich: Sei R P() Ring, µ : R [0, + ] Inhalt. µ heißt σ-endlich, wenn = i existiert mit i R, i i+1, µ( i ) < + (i N) SATZ über die Eindeutigkeit der Fortsetzung Seien R P() Ring, µ : R [0, + ] σ-additiver und σ-endlicher Inhalt. Sei µ das zu {R, µ} konstruierte äußere Maß auf P(). Sei A P() eine σ-algebra mit R A A µ, sei ν : A [0, + ] Maß auf A mit: ν(a) = µ(a) A R. Dann gilt: [ohne Beweis bzw. Bauer, S.29] µ (A) = ν(a) A A. Zusammenfassung: Jedes σ-endliche Prämaß µ auf einem Ring R in kann auf mindestens eine Weise zu einem Maß µ auf die von R in erzeugte σ-algebra A σ (R) fortgesetzt werden. Sei µ ein äußeres Maß auf einer Menge. Dann ist das System A µ aller µ -messbaren Mengen A eine σ-algebra in. Ferner ist die Restriktion von µ auf A µ ein Maß. Jedes σ-endliche Prämaß µ auf einem Ring R in kann auf genau eine Weise zu einem Maß µ auf A σ (R) fortgesetzt werden.

19 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Ergänzung (Halbringe) Definition Halbring Ein System H P() heisst Halbring, wenn: 1. H. 2. A, B H = A B H. 3. A, B H = C 1,..., C m H disjunkt, so daß: A\B = m C i. Jeder Ring ist auch ein Halbring. Beispiel: Menge der halboffenen Quader {[a, b[ a, b R n, a b} in R n (der die σ-algebra der Borelschen Teilmengen des R n erzeugt - wie wir später sehen werden). SATZ I (HAHN) [vom Halbring erzeugter Ring] Für jeden Halbring H P() gilt: m R(H) = { A j m N, A j H disjunkt (j = 1,..., m)} Zum Beweis: z.z.: τ := { m A j m N, A j H disjunkt} ist Ring Sei dies bewiesen. Zunächst: H τ R(H) τ. Sei R bel. Ring mit H R. Sei A τ A = m A j, A j H A j R A = m A j R, also τ R τ R P() Ring H R R =: R(H) SATZ II äußeres Maß auf R(H) Sei H P() Halbring, sei µ : R(H) [0, + ] ein Inhalt. Sei µ daß zu {R(H), µ} konstruierte äußere Maß auf P(). Dann gilt für A : inf{ µ µ(h i) H i H, A H i} (A) = +, wenn A in keiner abzählbaren Vereinigung von Mengen aus H enthalten ist..

20 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Konstruktion von äußeren Maßen (II) Bezeichnungen metr. Raum mit Metrik d. A, A : d(a) := sup{d(x, y) x, y A} = diag(a) d(a) < +, A beschränkt, d.h x 0, R 0 : A B R0 (x 0 ) (Kugel mit Radius R 0 um x 0 ) A, B, A, B : d(a, B) := inf{d(x, y) x A, y B} Definition metrisches Maß Ein äußeres Maß µ auf P() heißt metrisch, wenn A, B, d(a, B) > 0 = µ (A B) = µ (A) + µ (B) SATZ Sei µ äußeres Maß auf P(),. Dann sind äquivalent: 1. µ ist metrisch 2. alle offenen [bzw. alle abgeschlossenen] Teilmengen von sind µ meßbar. Sei U das System der offenen Teilmenge von. (offen= jeder Punkt ist innerer Punkt = offene Kugel liegt vollständig innerhalb) Definition σ-algebra der Borel-Mengen A heißt: B() := A σ (U) = σ Algebra der Borel-Mengen von F σ -Menge, wenn A = A i, A i abgeschlossen, G δ -Menge, wenn A = B j, B j offen. Also: B() enthält alle offenen, abgeschlossenen, alle F σ -Mengen, alle G δ -Mengen usw. Folgerung: Sei µ äußeres Maß auf P(). Dann sind äquivalent: 1. µ ist metrisch 2. B() A µ SATZ Konstruktion Seien gegeben: S P() System aller Teilm. A mit d(a) < + h : [0, + [ [0, + [ stetig, strikt mon. wachsend, h(0) = 0. Für ɛ > 0, A (A ) sei µ h,ɛ := inf{ h(d(a i )) A i S, d(a i ) < ɛ, A A i} + falls keine solche Überdeckung vonaexistiert. Für µ h,ɛ gilt: µ h,ɛ (A) µ h,δ (A) 0 < ɛ < δ µ h Es gilt: µ ist äußeres Maß auf P(). h (A) := lim ɛ 0 µ h,ɛ (A) = sup µ h,ɛ (A) ɛ>0. Bezeichnung µ h heißt HAUSDORFF-Maß auf P() bez. {S, h}.

21 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Vervollständigung Definition vollständiges Maß Sei A P() σ-algebra, µ : A [0, + ] Maß. µ heißt vollständig, wenn A A, µ(a) = 0, B A = B A Beispiel: µ Aµ (äußeres Maß) ist vollständiges Maß. Definition Vervollständigung von µ: Sei A P() σ-algebra, µ Maß auf A. A 0 := {N 0 A µ(n 0 ) = 0} (System aller Nullmengen) A µ := {E E = A N, A A, N N 0. N 0 A 0 } µ(e) := µ(a) = Vervollständigung von µ für E = A N, E A µ und N N 0 A 0. Bemerkungen 1. A 0 (denn: A 0 ) 2. Stets: A A µ. µ vollständig A = A µ. E A µ : E = A N mit: A A, N N 0, N 0 A 0, µ vollst. = N A = E A. A A, µ(a) = 0, B A : z.z. : B A : B = B, A, also:b A, A A 0 = B A µ = A 3. Definition von A µ ist wohldefiniert: Sei E A µ, E = A N = A N mit A, A A, N N 0, N N 0, N 0, N 0 A0 : Analog folgt: µ(a ) µ(a). = A A N = E = A N A N 0 µ(a) µ(a N 0 ) µ(a ) + µ(n 0 ) = µ(a ) SATZ Eigenschaften von A µ Sei A P() σ-algebra, µ Maß auf A. Dann gilt: 1. A µ ist σ-algebra. 2. µ ist vollständiges Maß auf A µ [ohne Beweis] Sei R P() Ring, µ : R [0, ] Inhalt, und sei µ das zu {R, µ} konsturierte äußere Maß. Satz?? liefert R A µ und somit A σ (R) A µ = R A σ (R) A µ = µ := µ Aσ (R) Maß auf A σ (R)

22 Kapitel 2 Lebesgue-Maß 2.1 Bezeichnungen 1. Intervalle: a, b R, a < b: [a, b] := {x R a x b} [a, b[:= {x R a x < b} ]a, b[:= {x R a < x < b} 2. Parallelepipede (Parallelotop,Quader, Spat) in R n, n > 1 [in Standardlage (mit paarweise orthogonalen Kanten)] a, b R n, a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) mit a i < b i für i = 1,..., n: [a, b] := {x = (x 1,..., x n ) R n a i x i b i (i = 1,..., n)} = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] [a, b[ := {x = (x 1,..., x n ) R n a i x i < b i (i = 1,..., n)} = [a 1, b 1 [... [a n, b n [ 2.2 Konstruktion des Lebesgue-Maßes in R n SATZ Seien Q, R halboffene Parrallelepipede in Standardlage. Dann gilt: 1. Q R ist entweder leer oder wieder halboffenes Parallelepiped. 2. Wenn Q R, so existieren halboffene Parallelepipede S 1,..., S m paarweise disjunkt, so daß m R \ Q = S j. 3. Es existiert halboffener Quader T mit Q T, R \ Q T. 22

23 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 23 Folgerung Es gilt: I n := { } {Q R n Q halboffenes Parallelepiped} ist Halbring. m R n := R(I n ) = { Q i m N, Q i I n p.d.} ist (der vom Halbring I n erzeugte) Ring. [Auch genannt Der Ring der n-dimensionalen Figuren ] σ-additiver Inhalt auf R n : v n (Q) := Q := [a 1, b 1 [... [a n, b n [= [a, b[ n (b i a i ) = Volumen von Q (bzw.elementargeometrischer Inhalt) Definition (Eigenschaften von v n ) Seien Q, Q i I n (i = 1,..., n) mit Q = r Q i p.d. Dann: v n (Q) := r v n (Q i ) v n (A) = 0, falls A = Dann gilt: 1. v n ist wohldefiniert: Sei außerdem A = s R j, mit R j R n p.d. = r v n (A i ) = s v n (R j ) 2. v n ist σ-additiver Inhalt auf R n. 3. W k := [ k, k[... [ k, k[ } {{ } n-mal (k N) Würfel Dann: W k R n, v n (W k ) = (2k) n, R n = W k.

24 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 24 Beweis = r A i = A = A i = A i A = s R j p.d. s (A i R j ), R j = r (A i R j ) A i R 1,..., A i R s p.d., R j A 1,..., R j A r p.d. r r s s r Definition 2.3 v n (A i ) = v n (A i R j ) = v n (A i R j ) = s v n (R j )

25 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 25 Lebesgue-Maß Resultate aus Abschnitt?? und Abschnitt?? anwenden auf R n, µ = v n Sei A R n beliebig. Dann folgt v n(a) := inf{ v n (A i ) A i R n, A A i } = das zu {R n, v n } konstruierte äußeres Maß in R n. Definition Lebesgue-Maß λ n := v n =äußere Lebesgue-Maß in R n L n := R vn = σ-algebra der Lebesgue-meßbaren Teilmengen des R n λ n := v n Ln = Lebesgue-Maß auf der σ-algebra L n. Bemerkungen: 1. A R n ist Lebesgue-meßbar, wenn λ n(e) = λ n(e A) + λ n(e A c ) E R n Dann: λ n (A) = λ n(a) 2. Für jedes A R n gilt: λ n(a) := inf{ v n(q i ) 3. λ n (A) = v n (A) A R n Q i R n, A Q i} 4. Sei C P(R n ) σ-algebra mit R n C L n und sei ν : [0, ] Maß auf C mit: ν(a) = v n (A) A R n. Dann ist ν(a) = λ n (A) A C. 5. λ n(a) = 0 = A L n, λ n (A) = 0 λ n ist ein vollständiges Maß: λ n (A) = 0, A B L n = λ n (B) = 0 Für A R n sind äquivalent: (a) A L n, λ n (A) = 0 (A ist Lebesguesche Nullmenge) (b) ɛ > 0 halboffene Quader C k R n : A k=1 C k, k=1 v n(c k ) ɛ 6. λ n ist translationsinvariant: Für A R n, ξ R n : A + {ξ} := {y R n y = x + ξ, x A} gilt: λ n(a + {ξ}) = λ n(a) Im Folgenden wird das Lebesgue-Borel-Maß auf der σ-algebra der Borel-Mengen des R n konstruiert und der Zusammenhang zwischen einer Lebesgue-meßbaren und einer Borelmeßbaren Menge erklärt: Eine Lebesgue-meßbare Menge besteht aus der Vereinigung einer Borel-meßbaren Menge (das ist eine Menge aus der Erzeugermenge der Borel-σ-Algebra) und einer Nullmenge N des Lebesgue-Borel-Maßes.

26 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Borel-Mengen des R n und das Lebesgue-Borel-Maß Bezeichung: Sei X ein Metrischer Raum, O = System aller offenen Teilmengen von X (O = {U X U offen}), B(X) := A σ (O) = A P(X) O A σ Algebra A σ-algebra der Borel-Mengen von X, B n := B(R n ) ist σ-algebra der Borel-Mengen des R n. LEMMA Zerlegung einer offenen Menge Sei U R n nichtleere offene Menge. Dann ex. halboffene Parallelepipede in Standardlage C 1, C 2,... p.d., so daß U = C i. Ohne Beweis. SATZ Sei I n = System der halboffenen Parallelepipede in Standardlage. Dann gilt: Beweis B n = A σ (I n ) 1. Sei Q = [a, b[= [a 1, b 1 [... [a n, b n [: Q k :=]a 1 1 k, b 1[... ]a n 1 k, b n[ (k = 1, 2,...) offen = Q k B n = Q = 2. Sei U R n offen = U = C i, C i I n I n B n = A σ (I n ) B n = C i A σ (I n ) = U = Q k B n C i A σ (I n ) B n A σ (I n ) Folgerung: Eigenschaften von B n Es gilt: 1. B n = A σ (I n ) [ σ-algebra ] 2. B n P(R n ) [echte Inklusion] Beweis 1. Sei A σ-algebra mit I n A A R n bel. = A = m Q j, Q j I n = A B n, d.h. R n B n A σ (R n ) B n

27 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Beispiel einer Lebesgueschen Nullmenge, die keine Borel-Menge ist: CANTORsches Diskontinuum u. CANTORsche Treppenfunktion. Satz Für M R n sind äquivalent: 1. M B n, λ n (M) = 0 (= B n L n ) 2. ɛ > 0 halboffene Quader C k R n paarweise disjunkt, so dass M C k und v n (C k ) ɛ. k=1 k=1 3. ɛ > 0 Kugeln B (k) R n, so dass M B (k) und k=1 k=1 λ n (B (k) ) ɛ. Beweis Sei ɛ > 0 beliebig. Es existieren halboffene Quader Q k mit M k=1 Q k, k=1 v n (Q k ) ɛ 2 und Q k := [a (k) 1, b(k) 1 [... [a(k) n, b (k) n [. Für t > 0 sei Q k,t :=]a (k) 1 t, b(k) [... ]a(k) 1 n t, b (k) n [= Q k,t offen Q k Q k,t ; v n ( Q k,t ) = v n (Q k ) + P k (t), P(0) = 0, wähle t k > 0, so dass v n ( Q k,tk ) v n (Q k ) + = k=1 v n ( Q k,tk ) k=1 v n (Q k ) + ɛ 2 ɛ ɛ 2 k+1 C k R n halboffen paarweise disjunkt: k=1 C k = l=1 Q l,tl, k=1 v n (C k ) p.d. = λ n ( C k ) = λ n ( Q l,tl ) k=1 l=1 l=1 v n ( Q k,tl ) ɛ Bezeichnung λ n := als eindeutige Fortsetzung des Längenmaßes v n auf B n und Restriktion des Lebesgue-Maßes λ n auf B n heißt Lebesgue-Borel-Maß (L-B-Maß). λ n := λ n B n. Bemerkung 1. Für A R n sind äquivalent: (a) A L n (b) A = B N mit B B n, N N 0, N 0 B n, λ n (N 0 ) = 0 (dabei gilt: λ n (A) = λ n (B).) 2. λ n ist nicht vollständig. (Beispiel Cantormenge) Das Lebesgue-Maß λ n ist eine Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes λ n.

28 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 28 Beweis 1. (a) ist trivial (b) folgt aus Konstruktion von?? 2. Siehe Seite 48 in diesem Skript und vgl. auch: CANTORsches Diskontinuum u. CAN- TORsche Treppenfunktion Satz: Seien O n bzw. C n bzw. K n das System aller offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von R n. Dann gilt 1. B n = A σ (O n ) = A σ (C n ) = A σ (K n ). 2. B n P(R n ) (unterscheiden sich vor allem um die Nullmengen.) Beweis von 1. Übungsaufgabe. Zusammenfassung: Es gibt genau ein Maß λ n auf B n, welches jedem nach rechts halboffenen Intervall in R n seinen n-dimensionalen Elementarinhalt zuordnet: Für alle a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n mit a b sei λ n ([a, b[) := n (b i a i ). Dann kann λ n auf R n (Ring der n-dimensionalen Figuren) fortgesetzt werden, und λ n wird zu einem σ-endlichen Prämaß auf (R n, R n ), d.h. insbesondere existiert nach dem Maßerweiterungssatz und Eindeutigkeitssatz genau ein Maß λ n auf (R n, A σ (R n )). Das Maß λ n heißt das Lebesgue-Borelsche (L-B) - Maß auf R n. Für jede Borelsche Menge B B n wird λ n (B) auch das n-dimensionale Lebesgue-Maß von B genannt. Das Lebesgue-Borelsche Maß ist als Fortsetzung des Längen-Prämaßes ν n wie dieses σ-endlich. Allgemeiner gilt λ n (B) < für jede beschränkte Menge B B, da diese in einem hinreichend großen Intervall I enthalten ist und somit λ n (B) λ n (I) < gilt. (Sei m derjenige Punkt des R n, dessen sämtliche Koordinaten gleich m N sind, so ist I m := [m, m[ I n und λ n (I m ) < und I m R n.) Das n-dimensionale Lebesgue-Borelsche-Maß λ n hat die folgenden Eigenschaften: Jede zu einer der Koordinatenachsen des R n orthogonale Hyperebene H ist eine Lebesgue- Borel Nullmenge, d.h. λ n (H) = 0. Insbesondere gilt damit aufgrund der Maß-Isotonie für alle B H : λ n (B) λ n (H) = 0. Beweis: Übungsaufgabe. Anschaulich bedeutet dies, daß z.b. das Volumen einer Fläche im 3-dimensionalen Raum Null ist oder daß der Flächeninhalt einer Geraden in einer 2-dimensionalen Fläche Null ist.

29 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 29 Für alle a = (a 1,..., a n ), b = (b 1,..., b n ) R n mit a b gilt: 1. λ n ({x}) = 0 für alle x R n, d.h. auch λ n (A) = 0 für jede abzählbare Menge A des R n. 2. λ n ([a, b]) = λ n (]a, b]) = λ n ([a, b[) = λ n (]a, b[). Beweis: 1. folgt aus der Tatsache, daß jede orthogonale Hyperebene H eine Nullmenge ist und für alle x R n eine orthogonale Hyperebene existiert mit {x} H. 2. ist Übungsaufgabe. Abbildungseigenschaften des L-B-Maßes: Das L-B-Maß λ n auf B n ist translationsinvariant und durch diese Eigenschaft zusammen mit der folgenden Normierung bereits eindeutig bestimmt: Für den n-dimensionalen Einheitswürfel W := [0, 1[ mit den Bestimmungspunkten 0 := (0,..., 0) und 1 := (1,..., 1) des R n gilt λ n (W) = 1. Bemerkung: Mit λ n ist auch jedes nichtnegative Vielfache αλ n, α R + ein translationsinvariantes Maß µ auf B n, für das gilt µ(w) = α <. Hiervon gilt die nachfolgende Umkehrung: Satz: Für jedes Maß µ auf B n, welches translationsinvariant ist, also der Bedingung T a (µ) = µ für jede Translation x T a (x) := a + x des R n genügt, und welches dem Einheitswürfel W das endliche Maß α := µ(w) < zuordnet, gilt Beweis: In der Vorlesung. µ = αλ n. Korrolar: Das L-B-Maß λ n ist das einzige translationsinvariante Maß µ auf B n mit Satz: Das L-B-Maß λ n ist bewegungsinvariant. Beweis in der Vorlesung. µ(w) = 1. Dieser Satz besagt, daß je zwei kongruente Borelsche Mengen im B n dasselbe n-dimensionale L-B-Maß besitzen. Satz: Für jede Abbildung T GL(n, R) gilt λ n (T(A)) = dett λ n (A) für alle Borelschen Mengen A R n, und das L-B-Maß λ n ist invariant gegenüber allen Transformationen T GL(n, R) mit dett = 1 (insbesondere für alle T SL(n, R)). Ohne Beweis.

30 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 30 Die Brücke zur Wahrscheinlichkeitstheorie: Ausgangspunkt der Definition des L-B-Maßes λ 1 auf B(R) war die Festsetzung λ 1 ([a, b[= b a für jedes halboffene Intervall [a, b[ mit a b und a, b R. Es liegt nun der Versuch nahe, diese Festsetzung wie folgt zu verallgemeinern: Man gebe sich eine isotone Funktion F : R R vor und frage nach Bedingungen an F, welche die Existenz eines Maßes µ auf B(R) mit der Eigenschaft µ([a, b[) = F(b) F(a) garantieren. Dies führt zu einer Beschreibung der in der Wahrscheinlichkeitstheorie relevanten Maße µ auf B(R), welche der Normierungsbedingung µ(r) = 1 genügen. Äquivalent dazu ist die Beschreibung aller endlichen Maße µ auf B(R): Es ist nämlich entweder µ(r) = 0 und damit µ das Nullmaß oder µ(r) > 0 und damit ein Maß auf B(R) mit ν(r) = 1. ν := 1 µ(r) µ Ein Maß µ auf einer σ-algebra A in einer Menge wird Wahrscheinlichkeitsmaß (abgekürzt W-Maß genannt), wenn µ() = 1. Man bezeichnet dann P := µ und nennt (, A, P) einen Wahrscheinlichkeitsraum Wegen der Isotonie-Eigenschaft gilt somit für jedes W-Maß 0 µ(a) 1, A A. Es sei jetzt µ ein W-Maß auf B(R). Das offene Intervall ], x[ liegt in B(R), und somit wird durch F µ (x) := µ(], x[) eine reelle Funktion F µ mit Werten in [0, 1] definiert. Mann nennt F µ die Verteilungsfunktion von µ. Als Antwort auf obige gestellte Frage dient der folgende Satz: Satz: Eine reelle Funktion F auf R ist genau dann die Verteilungsfunktion eines W-Maßes µ auf B(R), wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt: 1. F ist isoton. 2. F ist linksseitig stetig. 3. lim F(x) = 0, lim x F(x) = 1. x + Durch F ist das W-Maß µ eindeutig bestimmt. Somit wird durch µ F µ die Menge der W Maße auf B(R) bijektiv auf die Menge der reellen Funktionen mit den Eigenschaften aus obigem Satz abgebildet. Hierin liegt die Bedeutung des Satzes.

31 Kapitel 3 Meßbare Funktionen Bezeichnungen bel. Menge, A P() σ-algebra, µ : A [0, + ] Maß. 1. (, A) = Meßraum, (, A, µ) = Maßraum Ist µ ein W-Maß, so wird der Maßraum = (, A, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, kurz: W-Raum genannt. Entsprechend spricht man von einem σ-endlichen Maßraum = (, A, µ), wenn das Maß σ-endlich ist. (R n, B n ) heißt n-dimensionaler Borelscher Meßraum und (R n, B n, λ n ) heißt n- dimensionaler Lebesgue-Borelscher Maßraum, kurz L-B-Maßraum. 2. [a, + ] = [a, + [ {+ }, R := { } R { } B(R) := {A R A R B(R)} LEMMA (Eigenschaften B(R)) 1. B(R) ist σ-algebra. 2. Setzte: E := {[a, + ] a R}. Dann Aσ (E) = B(R) Beweis 1. Fallunterscheidung nach A mit/ohne 2. siehe Übungsaufgabe 31

32 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Definition, äquivalente Charakterisierung Motivation: Der Begriff des Meßraums weist eine formale Analogie zum Begriff des topologischen Raumes auf. Auch ein topologischer Raum ist ein Paar, bestehend aus einer Menge und einem System von Teilmengen, nämlich den offenen Mengen. Im Sinne dieser Analogie entspricht der folgende Begriff der meßbaren Abbildung dem Stetigkeitsbegriff der Topologie: Seien, metrische Räume, B, f : : f 1 (B) := {x f (x) B} (Urbild von B unter f ) f : heißt stetig auf, wenn f 1 (V) offen V offen. Definition {A, A }-meßbar Seien (, A), (, A ) Meßräume. f : heißt {A, A }-meßbar, wenn Beispiele für meßbare Abbildungen: f 1 (B) A B A 1. Jede konstante Abbildung f : ist {A, A }-meßbar. 2. Jede stetige Abbildung T : R n R m (m, n N) ist {B n, B m }-meßbar. (Borel-meßbar) (Übungsaufgabe) 3. Zufallsvariablen bzw. Zufallsgrößen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie sind definiert als meßbare Abbildungen. LEMMA ({A, A }-Meßbarkeit mithilfe von E P( )) Seien (, A), (, A ) Meßräume, A σ (E) = A. Für f : sind äquivalent: 1. f ist {A, A }-meßbar 2. E E gilt f 1 (E) A. Beweis Übungsaufgabe. Definition A-meßbar Sei (, A) Meßraum f : R [bzw. f : R] heiß A-meßbar, wenn [ f 1 (B) A B B(R) f 1 (B) A B B(R) ] Spezialfall: = R n, A = L n bzw. A = B n f : R [ f : R] heiß Lebesgue-meßbar bzw. Borel-meßbar, wenn [ f 1 (B) L n B B(R) f 1 (B) L n B B(R) ] bzw. f 1 (B) B n B B(R) [ f 1 (B) B n B B(R) ]

33 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 33 Satz: Sind f 1 : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ), f 2 : ( 2, A 2 ) ( 3, A 3 ) meßbare Abbildungen, so ist die zusammengesetze Abbildung f 2 f 1 dann A 1 A 3 - meßbar. Beweis: Übungsaufgabe. Der Satz vom Bildmaß Es sei f : ( 1, A 1 ) ( 2, A 2 ) eine meßbare Abbildung. Dann wird für jedes Maß µ auf A durch A µ( f 1 (A )) ein Maß µ f auf A definiert. (Das Bildmaß von µ unter f.) Beweis: Übungsaufgabe. SATZ (äquivalente Eigenschaften zu A-meßbar) Sei (, A) Meßraum 1. Sei f : R. Dann sind äquivalent (a) f ist A-meßbar (b) f 1 ([a, + ]) A a R 2. Sei f : R. Dann sind äquivalent (a) f ist A-meßbar (b) (c) f 1 ([a, + [) A a R f 1 (U) A U R offen Beweis von 2. (a) = (b) [a, + [ B(R) = Beh. (b) = (c) [a, b[= [a, + [\[b, + [ f 1 ([a, b[) = f 1 ([a, + [) \ f 1 ([b, + [) (b) : f 1 ([a, b[) A; U R offen, U = [a i b i [ = f 1 (U) = f 1 ([a i, b i [) (c) = (a) [= f 1 (A) A A B(R)] ˆB := {A B(R) f 1 (A) A}; U (iii) ˆB ˆB ist σ-algebra (selbstständig zeigen) = B(R) = C P(R) C σ Algebra C = ˆB

34 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 34 SATZ (äquivalente Eigenschaften zu A-meßbar) Sei (, A) Meßraum, sei f : R. Die folgenden Ausagen sind äquivalent: 1. f ist A-meßbar. 2. {x f (x) a} A a R 3. {x f (x) > a} A a R 4. {x f (x) a} A a R 5. {x f (x) < a} A a R [Beweis Übungsaufgabe] Folgerung Sei f : R A-meßbar. Dann gelten die folgenden Ausagen: 1. {x f (x) = a} A a R 2. {x f (x) = }, {x f (x) = + } A 3. Sei g : R A-meßbar. A A f (x) für x A h(x) := g(x) für x \ A. Dann ist h A-meßbar.

35 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Operationen mit messbaren Funktionen SATZ Seien f, g : R A-messbar, dann sind folgenden Ausagen äquivalent: 1. {x f (x) > g(x)} A 2. {x f (x) g(x)} A 3. {x f (x) = g(x)} A 4. {x f (x) g(x)} A Beweis: Übungsaufgabe. Bezeichnungen: Für f, g : R definiere: A f := {x f (x) = } {x f (x) = + } A f,g := ( {x f (x) = } {x g(x) = + } ) ( {x g(x) = } {x f (x) = + } ) SATZ Seien f, g : R A-messbar, dann gilt: 1. λ f ist A-messbar λ R 2. Sei f (x) 0 x. Definiere: ( ) 1 (x) := f 1 f (x) für x \ A f. 0 für x A f Dann ist 1 f A-messbar. 3. f (x) für x \ A f f (x) :=. + für x A f Dann ist f 4. Definiere: A-messbar. ( f + g ) (x) := f (x) + g(x) für x \ A f,g 0 für x A f,g. Dann sind f + g, f g A-messbar. [ vgl. Rechenregeln für + und ] ( f g ) (x) := f (x)g(x) für x \ A f,g 0 für x A f,g.

36 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 36 Beweis Übungsaufgabe. Folgerung Seien f, g : R A-messbar, dann sind max{ f, g}, min{ f, g} A-messbar. Übungsaufgabe. SATZ 1. Sei (, A) Meßraum und seien f n : R (n N) meßbar. Dann sind folgende Funktionen sup f n, inf f n, lim inf f n, lim sup f n n n n n A-meßbar. 2. Wenn x lim n f n (x) =: f (x), dann ist f A-meßbar. Beweis 1. {x ( sup n lim sup n lim inf n ) f n (x) > a} = inf n {x f n (x) > a} n=1 f n = sup n f n = inf sup n k n f n f k = inf F k n f n = sup inf f k = sup n k n n F k 2. Übungsaufgabe Motivation Definition einfache Funktion Sei (, A) Meßraum. Eine A-meßbare Funktion f : R heißt einfach, wenn f nur endlich viele Werte annimmt: f () = {a 1,..., a m } (a i a j für i j) Definition charakt. Fkt. 1 für x A χ A := 0 für x \ A. charakt. Funktion von A. Übungsaufgabe: (, A) Meßraum: Dann ist χ A A-meßbar für alle A A.

37 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 37 Bemerkung: 1. Betrachte A i := f 1 (a i ) A, für (i = 1,..., n) A i p.d., mit = m A i = f (x) := a i χ Ai (x) ist eine einfache Funktion. 2. Seien b i R, B i A (i = 1,..., n) Dann ist ( ) f := b i χ Bi einfach. 3. Seien f, g einfache Funktionen, so sind λ f (λ R), f + g, f, max{ f, g}, min{ f, g} einfache Funktionen. Bezeichnung: ( ) heißt Normaldarstellung der einfachen Funktion f, wenn B i A p.d., = B i. SATZ Sei (, A) Meßraum, sei f : [0, + ] A-meßbar. Dann existiert Folge (ϕ n ) A-meßbar und einfach mit: 0 ϕ n (x) < + x Beweis ϕ 1 (x)... ϕ n (x) ϕ n+1 (x)... f (x) lim ϕ n(x) = f (x) n x x k 1 2,für k 1 ϕ n (x) := n 2 f (x) < k n 2 (k = 1,..., 2 n n) (bzw. für x A n k,n ). n,für f (x) n (bzw. für x A n ) ϕ n (x) f (x) x A k,n := {x, k 1 2 f (x) < k n 2 } (k = 1,..., 2 n n) n A n := {x, f (x) n} f -meßbar = A k,n, A n A, p.d., = ( 2 n n k=1 A k,n) An ϕ n (x) = 2 n n k=1 einfache Funktion in Normaldarstellung [ [ [ [ k 1 2 n, k 2k 2 2 n = 2 n+1, 2k 2 n+1 k 1 2 n χ A k,n (x) + nχ An (x) x [ [ 2k 2 2k 1 =, 2n+1 2 n+1 A k,n = A 2k 1,n+1 A 2k,n+1 = ϕ n (x) ϕ n+1 (x) [ [ 2k 1 2 n+1, 2k 2 n+1 (Hier zu Fallunterscheidung, Rechnen mit Ungleichungen) 1. f (x) = + : ϕ n (x) = n n N : ϕ n (x) = n + = f (x) 2. f (x) < + : n N : x A n n > f (x) = x A k,n für genau ein k {1, 2,..., 2 n n} = 0 f (x) ϕ n (x) < k 2 n ϕ n(x) = k 2 n k 1 2 n = 1 2 n 0

38 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Eigenschaft fast-überall Definition: µ-fast-überall Sei (, A, µ) Maß-Raum. Eine Eigenschaft E gilt µ-fast-überall (µ-f.ü.) in, wenn N A mit: µ(n) = 0, E gilt x \ N. Beispiel Seien f, g : R mit: f, g A-meßbar, Dann f = g µ-f.ü. in. SATZ Sei (, A, µ) vollständiger Maß-Raum. µ ( {x f (x) g(x)} ) = 0 1. Sei f : R A-meßbar. Sei g : R mit f = g µ fast-überall Dann ist g A-meßbar. 2. Seien f n : R (n N) A-meßbar, f : R mit: Beweis: Dann ist f A-meßbar. f n (x) f (x) für µ f.ü. in 1. N A, µ(n) = 0 so daß gilt f (x) = g(x) x \ N. a R : {x g(x) a} = {x \ N g(x) a} {x, g(x) a} [z.z. 1.Menge in A, genügt z.z. die beiden rechten Menge in A] {x \ N g(x) a} = {x \ N, f (x) a} = {x f (x) a} ( \ N) } {{ } {x N g(x) a} N = {x N g(x) a} A 2. F n (x) := inf k n f k (x) x Nach Satz?? = F n ist A-meßbar. F(x) := sup F n (x), x ; Satz?? = ist A-meßbar. n A Teil 1. liefert Beh. F(x) := sup F n (x) = lim inf f n(x) = f (x) x \ N, N A, µ(n) = 0 n n

39 Kapitel 4 Integration Sei im weiteren: (, A, µ) Maß-Raum 4.1 Integration nicht negativer einfacher Funktionen Definition Integral einf. Fkt. Sei f : [0, + [ einfache Funktion, f = m Integral von f : f dµ = a i χ Ai Normaldarstellung f (x)dµ(x) := m a i µ(a i ) Definition ist wohldefiniert: f = n b jχ Bj Normaldarstellung = m a i µ(a i ) = n b j µb j = n m A i = (A i B j ), B j = (A i B j )p.d. n n = µ(a i ) = µ(a i B j ) µ(b j ) = µ(a i B j ) µ(a i B j ) > 0 = A i B j = a i = f (x) = b j x A i B j ( ) m m n m n a i µ(a i ) = a i µ(a i B j ) = b j µ(a i B j ) = n b j µ(b j ) Bemerkung: f dµ = + möglich. 39

40 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg 40 SATZ allg. Eigenschaften Integral einf. Fkt. Seien f, g : [0, + [ einfache Funktionen. Dann gilt 1. λ f dµ = λ f dµ λ [0, + [ 2. ( f + g)dµ = f dµ + gdµ. 3. f g f dµ gdµ Bemerkung Sei f = p a iχ Ai einfache Funktion f (x) [0, + [ nicht notwendiger Weise in Normaldarstellung p = f dµ = a i µ(a i ). Eigenschaften Seien im folgenden f unf g einfache Funktionen f, g : [0, + [ 1. A A : A f dµ f dµ ( ) Definition.: f dµ := f χ A dµ A denn f χ A = a i χ A Ai, µ(a A i ) µ(a i ) 2. Seien f, g einfache Funktionen, A A, f (x) g(x) x A, dann f dµ gdµ Denn A f dµ = a i µ(a A i ) = A A n a i n µ(a A i B j ) b j µ(a A i B j ) = A gdµ 3. A A, µ(a) = 0 = A f dµ = 0 Denn: µ(a A i) µ(a) = 0 [natürlich elementar]

41 Maß- und Integrationstheorie SS 2013, Michael Fröhlich, Hochschule Regensburg Integral über nichtnegative A-messbare Funktionen (, A, µ) Maß-Raum E + () :=Menge der einfachen Funktionen f : [0, [. M + () :=Menge der nicht negativen A-meßbaren Funktionen f : [0, + ]. Definition Integral über nichtnegative Funktionen Seien f M + (), A A. f dµ := sup{ ϕdµ ϕ E + (), ϕ f in }, f dµ := f χ A dµ Bemerkung A 1. Für f E + () stimmen Definition?? und?? überein: f = a i χ Ai Normaldarstellung a i µ(a i ) = sup{ ϕdµ ϕ E + (), ϕ f } Denn: ϕ = f zulässig = a i µ(a i ) = f dµ sup{ ϕdµ ϕ E + (), ϕ f } ϕ E + (), ϕ f bel. = ϕdµ f dµ = a i µ(a i ) = Beh. 2. Sei f M + (). Sei (ϕ n ) n N E + () mit: ϕ n () ϕ n+1 (), ϕ n f (x), lim n ϕ n (x) = f (x). Dann gilt: lim ϕ n dµ = f dµ. n Denn: (a) ϕ n ϕ n+1 = ϕ ndµ ϕ n+1dµ ϕ n f : ϕ n dµ sup{ = lim ϕdµϕ E + (), ϕ f } =: ϕ n dµ f dµ (b) Vorbemerkung ψ E + () fix. ψ = a j χ Aj, und sei A A. Dann gilt ν(a) := ψdµ = A ψ χ A dµ = f dµ A j µ(a A j ) = ν ist Maß auf A. Insbesondere ist für B k B k+1, B k A dann lim k ν(b k ) = ν ( k=1 B k).