1 Grundlagen der Maßtheorie

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1 1 Grundlagen der Maßtheorie In diesem Kapitel führen wir die Mengensysteme ein, die eine systematische Betrachtung von Ereignissen und zufälligen Beobachtungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie erlauben. Ferner sollen Maße, insbesondere Wahrscheinlichkeitsmaße, auf solchen Mengensystemen konstruiert werden. Schließlich werden wir Zufallsvariablen als messbare Abbildungen definieren. 1.1 Mengensysteme Im Folgenden ist stets Ω eine Menge und A 2 Ω (Potenzmenge von Ω) eine Familie von Teilmengen. Später wird die Menge Ω als Raum von Elementarereignissen interpretiert werden und A als ein System von beobachtbaren Ereignissen. Wir wollen in diesem Abschnitt Mengensysteme, die abgeschlossen sind unter einfachen mengentheoretischen Verknüpfungen, mit Namen versehen und einfache Beziehungen zwischen solchen Systemen herstellen. Definition 1.1. Das Mengensystem A heißt -stabil (sprich: schnittstabil) oder ein π-system, falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A B A, σ- -stabil (sigma-schnittstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen A 1,A 2,... Agilt, dass auch A n A, -stabil (vereinigungsstabil), falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A B A, σ- -stabil (sigma-vereinigungsstabil), falls für je abzählbar unendlich viele Mengen A 1,A 2,... Agilt, dass auch A n A, \-stabil (differenzmengenstabil), falls für je zwei Mengen A, B Agilt, dass auch A \ B A, komplementstabil, falls mit jeder Menge A Aauch A c := Ω \ A Agilt.

2 2 1 Grundlagen der Maßtheorie Definition 1.2 (σ-algebra). Ein Mengensystem A 2 Ω heißt σ-algebra, falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind. (i) Ω A, (ii) A ist komplementstabil, (iii) A ist σ- -stabil. σ-algebren sind die natürlichen Mengensysteme für zufällige Ereignisse, denn wie wir sehen werden, können wir diesen Ereignissen in konsistenter Weise Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Satz 1.3. Ist A komplementstabil, so gelten die beiden folgenden Äquivalenzen. A ist -stabil A ist -stabil, A ist σ- -stabil A ist σ- -stabil. Beweis. Dies folgt direkt aus den de Morgan schen Regeln (Erinnerung: ( A i ) c = A c i ). Ist beispielsweise A σ- -stabil und sind A 1,A 2,... A, so ist auch ( c A n = An) c A. Also ist A auch σ- -stabil. Die anderen Fälle folgen analog. Satz 1.4. Ist A\-stabil, so gelten die folgenden Aussagen. (i) A ist -stabil. (ii) Falls A σ- -stabil ist, dann ist A auch σ- -stabil. (iii) Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. Beweis. (i) Seien A, B A. Dann ist auch A B = A \ (A \ B) A. (ii) Seien A 1,A 2,... A. Dann ist A n = (A 1 A n )= A 1 \ (A 1 \ A n )=A 1 \ (A 1 \ A n ) A. n=2 n=2 n=2 A n als abzählbare, disjunkte Vereini- (iii) Seien A 1,A 2,... A. Dann ist gung in A darstellbar durch

3 1.1 Mengensysteme 3 A n = A 1 (A 2 \ A 1 ) ((A 3 \ A 1 ) \ A 2 ) (((A 4 \ A 1 ) \ A 2 ) \ A 3 )... Bemerkung 1.5. Manchmal bezeichnen wir, wie im obigen Beweis, die Vereinigung paarweise disjunkter Mengen mit dem Symbol. Dies soll lediglich der optischen Verdeutlichung dienen und ist keine neue Verknüpfung. Definition 1.6. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Algebra, falls gilt: (i) Ω A, (ii) A ist \-stabil, (iii) A ist -stabil. Offenbar ist in einer Algebra stets = Ω \ Ω enthalten. Diese Eigenschaft ist im Allgemeinen jedoch schwächer als (i) in Definition 1.6. Satz 1.7. Ein Mengensystem A 2 Ω ist genau dann eine Algebra, wenn es folgende drei Eigenschaften hat: (i) Ω A, (ii) A ist komplementstabil, (iii) A ist -stabil. Beweis. Übung! Definition 1.8. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Ring, falls gilt: (i) A, (ii) A ist \-stabil, (iii) A ist -stabil. Ein Ring heißt σ-ring, falls er σ- -stabil ist. Definition 1.9. Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Semiring (oder Halbring), falls gilt: (i) A, (ii) für je zwei Mengen A, B Aist B \ A endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus A, (iii) A ist -stabil.

4 4 1 Grundlagen der Maßtheorie Definition Ein Mengensystem A 2 Ω heißt Dynkin-System (oder λ-system), falls gilt: (i) Ω A, (ii) für je zwei Mengen A, B Amit A B ist B \ A A, (iii) für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... A gilt A n A. Beispiele (i) Ist Ω eine beliebige nichtleere Menge, so sind A = {,Ω} und A = 2 Ω die trivialen Beispiele für Algebren, σ-algebren und Dynkin-Systeme. Hingegen sind A = { } und A =2 Ω die trivialen Beispiele für Semiringe, Ringe und σ-ringe. (ii) Sei Ω = R. Dann ist A = {A R : A ist abzählbar} ein σ-ring. (iii) A = {(a, b] : a, b R, a b} ist ein Semiring über Ω = R (aber kein Ring). (iv) Die Menge endlicher Vereinigungen von beschränkten Intervallen ist ein Ring über Ω = R (aber keine Algebra). (v) Die Menge endlicher Vereinigungen beliebiger (auch unbeschränkter) Intervalle ist eine Algebra über Ω = R (aber keine σ-algebra). (vi) Sei E eine endliche, nichtleere Menge und Ω := E N die Menge aller Folgen ω =(ω n ) n N mit Werten in E.Für ω 1,...,ω n E sei [ω 1,...,ω n ]:={ω Ω : ω i = ω i für jedes i =1,...,n} die Menge aller Folgen, die mit den Werten ω 1,...,ω n beginnen. Sei A 0 = { }. Für n N setze A n := {[ω 1,...,ω n ]: ω 1,...,ω n E}. (1.1) Dann ist A := n=0 A n ein Semiring, aber kein Ring (falls #E >1). (vii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist A := {A Ω : A oder A c ist endlich} eine Algebra. Ist #Ω =, soista jedoch keine σ-algebra. (viii) Sei Ω eine beliebige nichtleere Menge. Dann ist A := {A Ω : A oder A c ist abzählbar} eine σ-algebra. (ix) Jede σ-algebra ist auch ein Dynkin-System. (x) Sei Ω = {1, 2, 3, 4} und A = {, {1, 2}, {1, 4}, {2, 3}, {3, 4}, {1, 2, 3, 4} }. Dann ist A ein Dynkin-System, aber keine Algebra.

5 1.1 Mengensysteme 5 Satz 1.12 (Inklusionen zwischen Mengensystemen). (i) Jede σ-algebra ist ein Dynkin-System, eine Algebra und ein σ-ring. (ii) Jeder σ-ring ist ein Ring, jeder Ring ein Semiring. (iii) Jede Algebra ist auch ein Ring. Eine Algebra auf einer endlichen Menge Ω ist auch eine σ-algebra. Beweis. (i) Das ist klar. (ii) Sei A ein Ring. Nach Satz 1.4 ist A schnittstabil und damit ein Semiring. (iii) Sei A eine Algebra, und seien A, B A. Dann ist A \ B =(A c B) c A, also ist A ein Ring. Ist zudem Ω endlich, so ist A endlich und damit jede abzählbare Vereinigung in A schon eine endliche Vereinigung. Definition 1.13 (liminf und limsup). Es seien A 1,A 2,...Teilmengen von Ω. Dann heißen lim inf A n := A m und lim sup A n := A m n n m=n m=n Limes inferior beziehungsweise Limes superior der Folge (A n ) n N. Bemerkung (i) Es gilt lim inf A n = { ω Ω :#{n N: ω A n } < }, n lim sup A n = { ω Ω :#{n N: ω A n } = }. n Der Limes inferior ist also das Ereignis, dass schließlich alle der A n eintreten, der Limes superior hingegen das Ereignis, dass unendlich viele der A n eintreten. Insbesondere ist A := lim inf n A n A := lim sup n A n. (ii) Bezeichnen wir mit { 1, falls x A, 1 A (x) := 0, falls x A, (1.2) die Indikatorfunktion auf der Menge A, so gilt 1 A = lim inf 1 A n, 1 A = lim sup 1 An. n n (iii) Ist A 2 Ω eine σ-algebra und A n Afür jedes n N, so ist A Aund A A. Beweis. Übung!

6 6 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz 1.15 (Schnitt von Mengensystemen). Ist I eine beliebige Indexmenge und A i eine σ-algebra für jedes i I,soist A I := { A Ω : A A i für jedes i I } = i I A i eine σ-algebra. Dies gilt analog für: Ringe, σ-ringe, Algebren und Dynkin-Systeme; nicht aber für Semiringe. Beweis. Wir führen den Beweis hier nur für σ-algebren durch. Wir prüfen für A die Punkte (i)-(iii) aus Definition 1.2. (i) Für jedes i I ist Ω A i. Also ist Ω A. (ii) Sei A A. Dann ist A A i für jedes i I. Also ist auch A c A i für jedes i I. Mithin ist A c A. (iii) Seien A 1,A 2,... A. Dann ist A n A i für jedes n N und jedes i I. Also ist auch A := A n A i für jedes i I und damit A A. Gegenbeispiel für Semiringe: Seien Ω = {1, 2, 3, 4}, A 1 = {,Ω,{1},{2, 3}, {4}} und A 2 = {,Ω,{1},{2},{3, 4}}. Dann sind A 1 und A 2 Semiringe, aber A 1 A 2 = {,Ω,{1}} ist keiner. Satz 1.16 (Erzeugte σ-algebra). Sei E 2 Ω. Dann existiert eine kleinste σ- Algebra σ(e) mit E σ(e): σ(e) := A. A 2 Ω ist σ-algebra A E σ(e) heißt die von E erzeugte σ-algebra. E heißt Erzeuger von σ(e). Analog wird das von E erzeugte Dynkin-System δ(e) definiert. Beweis. A =2 Ω ist eine σ-algebra mit E A. Also ist der Schnitt nicht leer. Nach Satz 1.15 ist σ(e) eine σ-algebra, und dies ist offenbar die kleinste σ-algebra, die E enthält. Für Dynkin-Systeme geht der Beweis genauso. Bemerkung Es gelten die folgenden einfachen Aussagen. (i) E σ(e). (ii) Gilt E 1 E 2, so ist σ(e 1 ) σ(e 2 ). (iii) A ist genau dann σ-algebra, wenn σ(a) =A. Die analogen Aussagen gelten für Dynkin-Systeme. Ferner ist stets δ(e) σ(e).

7 1.1 Mengensysteme 7 Satz 1.18 (Schnittstabiles Dynkin-System). Ist D 2 Ω ein Dynkin-System, so gilt D ist -stabil D ist eine σ-algebra. Beweis. = Dies ist klar. = Wir prüfen die Eigenschaften (i)-(iii) aus Definition 1.2. (i) Offensichtlich ist Ω D. (ii) (Komplementstabilität) Sei A D. DaΩ Dgilt, und nach Eigenschaft (ii) des Dynkin-Systems, ist A c = Ω \ A D. (iii) (σ- -Stabilität) Seien A, B D. Nach Voraussetzung ist A B D, und es gilt trivialerweise A B A. Also ist A \ B = A \ (A B) D. Mithin ist D\-stabil. Seien nun A 1,A 2,... D. Nach Satz 1.4(iii) existieren paarweise disjunkte Mengen B 1,B 2,... Dmit A n = B n D. Satz 1.19 (Dynkin scher π λ Satz). Sei E 2 Ω ein -stabiles Mengensystem. Dann gilt σ(e) =δ(e). Beweis. Dies ist klar nach Bemerkung Zu zeigen ist: δ(e) ist eine σ-algebra. Nach Satz 1.18 reicht es zu zeigen, dass δ(e) -stabil ist. Für B δ(e) sei D B := {A δ(e) :A B δ(e)}. Für die Schnittstabilität von δ(e) reicht es zu zeigen, dass δ(e) D B für jedes B δ(e). (1.3) Wir zeigen, dass D E für jedes E δ(e) ein Dynkin-System ist, indem wir (i)-(iii) aus Definition 1.10) prüfen: (i) Offenbar ist Ω E = E δ(e), also ist Ω D E. (ii) Für A, B D E mit A B ist (B \ A) E =(B E) \ (A E) δ(e). (iii) Seien A 1,A 2,... D E paarweise disjunkt. Dann ist ( ) A n E = (A n E) δ(e).

8 8 1 Grundlagen der Maßtheorie Nach Voraussetzung ist für A Eauch A E E, also ist E D E, falls E E gilt. Nach Bemerkung 1.17(ii) ist daher auch δ(e) D E für E E.Für B δ(e) und E Eist also B E δ(e). Mithin gilt E D B für jedes B δ(e), also E D B für jedes B δ(e), und damit gilt (1.3). Von besonderer Bedeutung sind σ-algebren, die von Topologien erzeugt werden. Hier wiederum spielt natürlich der euklidische Raum R n die prominenteste Rolle, aber wir wollen auch den (unendlichdimensionalen) Raum C([0, 1]) der stetigen Funktionen [0, 1] R im Blick haben. Auf diesem Raum wird durch die Norm f =sup x [0,1] f(x) eine Topologie erzeugt. Zur Erinnerung bringen wir hier das Axiomensystem der Topologie. Definition 1.20 (Topologie). Sei Ω eine beliebige Menge. Ein Mengensystem τ Ω heißt Topologie auf Ω, falls folgende drei Eigenschaften gelten. (i),ω τ. (ii) Sind A, B τ, so ist auch A B τ. (iii) Ist F τeine beliebige Familie, so ist auch ( A F A) τ. Das Paar (Ω,τ) heißt dann topologischer Raum. Die Mengen A τ heißen offen, die Mengen A Ω mit A c τ heißen abgeschlossen. Anders als bei σ-algebren sind bei Topologien nur endliche Schnitte, jedoch auch überabzählbare Vereinigungen erlaubt. Ist d eine Metrik auf Ω, und bezeichnet B r (x) ={y Ω : d(x, y) <r} die offene Kugel um x Ω mit Radius r>0, so wird eine Topologie erzeugt durch { } τ = B r(x) : F Ω (0, ). (x,r) F Dies ist das gewöhnliche System offener Mengen, das man in den meisten Analysisbüchern findet. Definition 1.21 (Borel sche σ-algebra). Sei (Ω,τ) ein topologischer Raum. Die von den offenen Mengen erzeugte σ-algebra B(Ω) :=B(Ω,τ) :=σ(τ) heißt Borel sche σ-algebra auf Ω. Die Elemente A B(Ω,τ) heißen Borel sche Mengen oder Borel-messbare Mengen. Bemerkung Wir sind meistens an B(R n ) interessiert, wobei wir auf R n den euklidischen Abstand annehmen:

9 1.1 Mengensysteme 9 d(x, y) = x y 2 = n (x i y i ) 2. (i) Es gibt Teilmengen von R n, die keine Borel schen Mengen sind. Diese sind kompliziert herzustellen, wie beispielsweise die Vitali-Mengen, die man in Analysisbüchern findet (siehe etwa [7]). Wir wollen hier auf diesen Aspekt nicht näher eingehen, sondern lediglich die - mathematisch unpräzise - Feststellung treffen, dass jede Menge, die man sich konstruktiv herstellen kann, auch Borel sch ist. (ii) Jede abgeschlossene Menge C R n ist in B(R n ), denn es ist C c τ, also ist C =(C c ) c σ(τ). Speziell ist {x} B(R n ) für jedes x R n. (iii) B(R n ) ist keine Topologie. Sei nämlich V R n, V B(R n ).Wäre B(R n ) eine Topologie, so wären beliebige Vereinigungen Borel scher Mengen wieder Borel sch, also auch V = x V {x} B(Rn ). Das Mengensystem der offenen Mengen, das die Borel sche σ-algebra erzeugt, ist in vielen Fällen unhandlich groß. Wir wollen daher andere Mengensysteme als Erzeuger von B(R n ) identifizieren, mit denen wir in der Praxis besser arbeiten können. Hierzu wollen wir einerseits Mengen von einfacher Struktur, Quader etwa, betrachten, andererseits aber auch die Größe des Systems einschränken, indem wir abzählbare Mengensysteme betrachten. Wir führen folgende Notationen ein. Mit Q bezeichnen wir die Menge der rationalen Zahlen, mit Q + die Menge der strikt positiven rationalen Zahlen. Für a, b R n schreiben wir a<b, falls a i <b i für jedes i =1,...,n. (1.4) Wir definieren für a<bden offenen Quader als das kartesische Produkt (a, b) := n (a i,b i ):=(a 1,b 1 ) (a 2,b 2 ) (a n,b n ) (1.5) und analog [a, b], (a, b] und [a, b). Ferner schreiben wir (,b):= n (,b i ) und definieren analog (,b] und so fort. Wir führen die folgenden Mengensysteme ein: E 1 := {A R n : A ist offen}, E 2 := {A R n : A ist abgeschlossen}, E 3 := {A R n : A ist kompakt}, E 4 := {B r (x) : x Q n,r Q + }, E 5 := {(a, b) : a, b Q n,a<b}, E 6 := {[a, b) : a, b Q n,a<b}, E 7 := {(a, b] : a, b Q n,a<b}, E 8 := {[a, b] : a, b Q n,a<b}, E 9 := {(,b): b Q n }, E 10 := {(,b]: b Q n }, E 11 := {(a, ) : a Q n }, E 12 := {[a, ) : a Q n }. Satz Die Borel sche σ-algebra B(R n ) wird von jedem der Mengensysteme E 1,...,E 12 erzeugt: B(R n )=σ(e i ) für jedes i =1,...,12.

10 10 1 Grundlagen der Maßtheorie Beweis. Wir zeigen nur exemplarisch ein paar der Identitäten. (1) B(R n )=σ(e 1 ) gilt per Definition. (2) Sei A E 1. Dann ist A c E 2, also A =(A c ) c σ(e 2 ). Daher gilt E 1 σ(e 2 ) und dann (wegen Bemerkung 1.17) auch σ(e 1 ) σ(e 2 ). Analog folgt aber σ(e 2 ) σ(e 1 ) und damit die Gleichheit. (3) Jede kompakte Menge ist abgeschlossen. Also gilt σ(e 3 ) σ(e 2 ). Sei nun A E 2. Dann sind die Mengen A K := A [ K, K] n, K N, kompakt, also ist die abzählbare Vereinigung A = K=1 A K in σ(e 3 ). Es gilt also E 2 σ(e 3 ) und damit σ(e 2 )=σ(e 3 ). (4) Offenbar ist E 4 E 1, also σ(e 4 ) σ(e 1 ). Sei nun A R n offen. Für x A sei R(x) = min(1, sup{r >0: B r (x) A}). DaA offen ist, folgt R(x) > 0. Sei r(x) (R(x)/2,R(x)) Q. Für jedes y A und x B R(y)/3 Q n ist nun R(x) R(y) x y 2 > 2 3 R(y), also r(x) > 1 3 R(y), also y B r(x)(x). Also ist A = x A Q n B r(x)(x) eine abzählbare Vereinigung von Mengen aus E 4 und damit in σ(e 3 ). Es gilt also auch σ(e 1 ) σ(e 4 ). (5-12) Ähnliche Ausschöpfungsargumente wie in (4) funktionieren auch für die Quader. In (4) können statt der offenen Kugeln B r (x) offene Quader genommen werden. So folgt die Gleichheit mit σ(e 5 ). Man bemerke beispielsweise, dass n [a i,b i )= n k=1 ( a i 1 ) k,b i σ(e 5 ). Die anderen Inklusionen E i σ(e j ) zeigt man analog. Bemerkung Jedes der Mengensystem E 1, E 2, E 3, E 5,...,E 12 (nicht aber E 4 ) ist schnittstabil, mithin ist die Borel sche σ-algebra jeweils gleich dem erzeugten Dynkin-System: B(R n ) = δ(e i ) für i = 1,...,12. Die Mengensysteme E 4,...,E 12 sind zudem abzählbar. Dies ist eine Eigenschaft, die wir an späterer Stelle wieder benötigen werden. Definition 1.25 (Spur eines Mengensystems). Es sei A 2 Ω ein beliebiges System von Teilmengen von Ω und A 2 Ω \ { }. Das Mengensystem A A := {A B : B A} 2 A (1.6) heißt Spur von A auf A, oder Einschränkung von A auf A. Satz Ist A eine σ-algebra, oder eines der Mengensysteme aus den Definitionen auf Ω, so ist A ein Mengensystem vom selben Typ, allerdings auf A A statt Ω. Beweis. Übung!

11 1.2 Mengenfunktionen 11 Übung Sei A ein Semiring. Man zeige: Jede abzählbare (beziehungsweise endliche) Vereinigung von Mengen aus A lässt sich als abzählbare (beziehungsweise endliche), disjunkte Vereinigung von Mengen in A schreiben. Übung Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass im die Allgemeinen die Vereinigung A A zweier σ-algebren keine σ-algebra ist. Übung Seien (Ω 1,d 1 ) und (Ω 2,d 2 ) metrische Räume, f : Ω 1 Ω 2 eine beliebige Abbildung und U f = { x Ω 1 : f ist unstetig in x } die Menge der Unstetigkeitsstellen. Man zeige: U f B(Ω 1 ). Hinweis: Man zeige zunächst, dass für ε>0und δ>0die Menge U δ,ε f := { x Ω 1 : es gibt y, z B ε (x) mit d 2 (f(y),f(z)) >δ } (wobei B ε (x) ={y Ω 1 : d 1 (x, y) <ε}) offen ist und konstruiere dann U f aus solchen Mengen. Übung Sei Ω eine überabzählbare Menge und A = σ({ω} : ω Ω). Zeige: A = { A Ω : A ist abzählbar oder A c ist abzählbar }. Übung Sei A ein Ring auf der Menge Ω. Man zeige: A erfüllt die Axiome eines kommutativen Rings (im Sinne der Algebra) mit als Multiplikation und als Addition. 1.2 Mengenfunktionen Definition Sei A 2 Ω und µ : A [0, ] eine Mengenfunktion. µ heißt (i) monoton, falls für je zwei Mengen A, B Amit A B gilt, dass µ(a) µ(b), (ii) additiv, falls für je endlich viele ( paarweise disjunkte Mengen A 1,...,A n A n n ) mit A i Agilt, dass µ A i = n µ(a i ), (iii) σ-additiv, falls für je abzählbar viele ( paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... aus A mit ) A i Agilt, dass µ A i = µ(a i ), (iv) subadditiv, falls für je endlich viele Mengen A, A 1,A 2,...,A n Amit A n A i gilt, dass µ(a) n µ(a i ),

12 12 1 Grundlagen der Maßtheorie (v) σ-subadditiv, falls für je abzählbar viele A, A 1,A 2,... Amit A gilt, dass µ(a) µ(a i ). A i Definition Sei A ein Semiring und µ : A [0, ] eine Mengenfunktion mit µ( ) =0. µ heißt Inhalt, falls µ additiv ist, Prämaß, falls µσ-additiv ist, Maß, falls µ ein Prämaß ist und A eine σ-algebra, Wahrscheinlichkeitsmaß (kurz W-Maß), falls µ ein Maß ist und µ(ω) =1. Definition Sei A ein Semiring. Ein Inhalt µ auf A heißt (i) endlich, falls µ(a) < für jedes A A, (ii) σ-endlich, falls es Mengen Ω 1,Ω 2,... A gibt mit Ω = µ(ω n ) < für jedes n N. Ω n und Beispiel 1.30 (Inhalte, Maße). (i) Sei ω Ω und δ ω (A) =1 A (ω) (siehe (1.2)). Dann ist δ ω ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf jeder σ-algebra A 2 Ω und heißt Dirac-Maß im Punkt ω, oder Einheitsmasse. (ii) Sei Ω eine endliche, nichtleere Menge. Durch µ(a) := #A #Ω für A Ω, wird ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A =2 Ω definiert. µ heißt Gleichverteilung oder uniforme Verteilung auf Ω. Wir führen hierfür das Symbol U Ω := µ ein. Der so definierte Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A, U Ω ) wird auch Laplace-Raum genannt. (iii) Sei Ω abzählbar unendlich und A := {A Ω :#A< oder #A c < }. Dann ist A eine Algebra. Die durch { 0, falls A endlich, µ(a) =, falls A c endlich, auf A definierte Mengenfunktion ist ein Inhalt, aber kein Prämaß, denn es gilt µ ( ω Ω {ω}) = µ(ω) =, aber ω Ω µ ({ω}) =0.

13 1.2 Mengenfunktionen 13 (iv) Sei (µ n ) n N eine Folge von Maßen (Prämaßen, Inhalten) und (α n ) n N eine Folge von nichtnegativen Zahlen. Dann ist auch µ := α nµ n ein Maß (Prämaß, Inhalt). (v) Sei Ω eine (höchstens) abzählbare, nichtleere Menge und A =2 Ω. Ferner seien (p ω ) ω Ω nichtnegative Zahlen. Dann wird durch µ(a) := ω A p ω für jedes A Ω, ein σ-endliches Maß auf 2 Ω definiert. Wir nennen p =(p ω ) ω Ω die Gewichtsfunktion von µ. (vi) Ist in (v) speziell ω Ω p ω =1,soistµ ein Wahrscheinlichkeitsmaß. Wir interpretieren dann p ω als Wahrscheinlichkeit des Elementarereignisses ω und nennen p =(p ω ) ω Ω auch einen Wahrscheinlichkeitsvektor. (vii) Ist in (v) speziell p ω =1für jedes ω Ω, so heißt µ das Zählmaß auf Ω. Ist Ω endlich, so ist auch µ endlich. (viii) Sei A der Ring endlicher Vereinigungen von Intervallen (a, b] R. Für a 1 <b 1 <a 2 <b 2 <...<b n und A = n (a i,b i ] setzen wir µ(a) = n b i a i. µ ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß), denn es ist und µ(( n, n]) = 2n < für jedes n N. ( n, n] =R (ix) Sei f : R [0, ) stetig. Analog zu (viii) setze µ f (A) = n bi a i f(x) dx. µ f ist ein σ-endlicher Inhalt auf A (sogar ein Prämaß). Die Funktion f heißt Dichte und spielt hier eine ähnliche Rolle wie die Gewichtsfunktion p in (v). Lemma 1.31 (Eigenschaften von Inhalten). Sei A ein Semiring und µ ein Inhalt auf A. Dann gelten die folgenden Aussagen. (i) Ist A ein Ring, so ist µ(a B)+µ(A B) =µ(a)+µ(b) für je zwei Mengen A, B A. (ii) µ ist monoton. Ist A ein Ring, so gilt genauer µ(b) =µ(a)+µ(b \ A) für je zwei Mengen A, B Amit A B. (iii) µ ist subadditiv. Ist µ sogar σ-additiv, so ist µ auch σ-subadditiv. (iv) Ist A ein Ring, so gilt für je abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen A 1,A 2,... Amit A n Astets ( µ(a n ) µ A n ).

14 14 1 Grundlagen der Maßtheorie Beweis. (i) ist, folgt Es ist A B = A (B \A) und B =(A B) (B \A).Daµ additiv µ(a B) =µ(a)+µ(b \ A) und µ(b) =µ(a B)+µ(B \ A). Hieraus folgt sofort (i). (ii) Sei A B. Wegen A B = A folgt µ(b) =µ(a (B \ A)) = µ(a) + µ(b \ A), falls B \ A Aist, insbesondere also, falls A ein Ring ist. Ist nun A nur ein Semiring, so ist B \ A = n C i für gewisses n N und paarweise disjunkte Mengen C 1,...,C n A. In diesem Fall ist µ(b) =µ(a)+ n µ(c i) µ(a), also ist µ monoton. (iii) Seien n N und A, A 1,...,A n Amit A n A i. Setze B 1 = A 1 und k 1 B k = A k \ A i = k 1 (A k \ (A k A i )) für k =2,...,n. Per Definition des Semirings ist jedes A k \(A k A i ) disjunkte Vereinigung endlich vieler Mengen in A, also existiert ein c k N und Mengen C k,1,...,c k,ck Amit ck C k,i = B k A k. Analog existieren d k N und D k,1,...,d k,dk Amit A k \ B k = d k D k,i.daµ additiv ist, gilt µ(a k )= c k µ(c k,i )+ d k µ(d k,i ) Wiederum aufgrund von Additivität und Monotonie gilt ( n ) c k n µ(a) =µ (C k,i A) = n k=1 c k k=1 µ(c k,i ) n µ(a k ). k=1 c k c k k=1 µ(c k,i ). µ(c k,i A) Also ist µ subadditiv. Die σ-subadditivität folgt aus der σ-additivität in analoger Weise. (iv) Sei A ein Ring und A = A n A.Daµ additiv (und damit monoton) ist, gilt nach (ii) ( m m ) µ(a n )=µ A n µ(a) für jedes m N. Also ist µ(a n ) µ(a).

15 1.2 Mengenfunktionen 15 Bemerkung In (iv) kann strikte Ungleichheit herrschen (siehe etwa Beispiel 1.30(iii)). Mit anderen Worten: Es gibt Inhalte, die keine Prämaße sind. Satz 1.33 (Einschluss- Ausschlussformel). Sei A ein Ring und µ ein Inhalt. Dann gelten für n N und A 1,...,A n Adie Einschluss- Ausschlussformeln µ(a 1... A n )= µ(a 1... A n )= n ( 1) k 1 k=1 n ( 1) k 1 k=1 {i 1,...,i k } {1,...,n} {i 1,...,i k } {1,...,n} µ(a i1... A ik ), µ(a i1... A ik ), wobei sich die Summen über alle k-elementigen Teilmengen von {1,...,n} erstrecken. Beweis. Übung! Hinweis: Man verwende vollständige Induktion über n. Wir wollen die σ-subadditivität durch eine Stetigkeitseigenschaft charakterisieren (Satz 1.36). Hierzu verabreden wir die folgende Sprechweise und Notation. Definition Sind A, A 1,A 2,...Mengen, so schreiben wir A n A, falls A 1 A 2... und A n = A, A n A, falls A 1 A 2 A 3... und A n = A. Wir sagen dann, dass (A n ) n N gegen A aufsteigt beziehungsweise absteigt. Definition 1.35 (Stetigkeit von Inhalten). Sei µ ein Inhalt auf dem Ring A. (i) µ heißt stetig von unten, falls für jedes A Aund jede Folge (A n ) n N in A mit A n A gilt: µ(a n ) n µ(a). (ii) µ heißt stetig von oben, falls für jedes A Aund jede Folge (A n ) n N in A mit A n A sowie µ(a n ) < für jedes n N gilt: µ(a n ) n µ(a). (iii) µ heißt -stetig, falls (ii) für A = gilt. Bei der Stetigkeit von oben wurde die Endlichkeitsbedingung eingeführt, weil sogar für das Zählmaß µ auf (N, 2 N ) und A n := {n, n+1,...} sonst keine Gleichheit gelten kann.

16 16 1 Grundlagen der Maßtheorie Satz 1.36 (Stetigkeit und Prämaß). Sei µ ein Inhalt auf einem Ring A. Betrachte die folgenden fünf Eigenschaften. (i) µ ist σ-additiv (also ein Prämaß). (ii) µ ist σ-subadditiv. (iii) µ ist stetig von unten. (iv) µ ist -stetig. (v) µ ist stetig von oben. Dann gelten die Implikationen (i) (ii) (iii)= (iv) (v). Ist µ endlich, so gilt auch (iv) = (iii). Beweis. (i) = (ii) Seien A, A 1,A 2,... Amit A A i. Setze B 1 = A 1 und B n = A n \ n 1 A i Afür n =2, 3,...Dann ist A = (A B n), also wegen der Monotonie von µ und der σ-additivität von µ µ(a) = µ(a B n ) µ(a n ). Damit ist µ als σ-subadditiv erkannt. (ii) = (i) Dies folgt aus Lemma 1.31(iv). (i) = (iii) Sei µ ein Prämaß und A Asowie (A n) n N eine Folge in A mit A n A sowie A 0 =. Dann gilt µ(a) = µ(a i \ A i 1 ) = lim n n µ(a i \ A i 1 ) = lim n µ(a n). (iii) = (i) Gelte nun (iii). Seien B 1,B 2,... Apaarweise disjunkt, und gelte B = B n A. Setze A n = n B i für jedes n N. Dann folgt aus (iii) µ(b) = lim n µ(a n)= Also ist µσ-additiv und damit ein Prämaß. µ(b i ). (iv) = (v) Seien A, A 1,A 2,... Amit A n A und µ(a 1 ) <. Setze B n = A n \ A Afür jedes n N. Dann gilt B n. Es gilt also µ(a n ) µ(a) = µ(b n ) n 0. (v) = (iv) Dies ist trivial.

17 1.3 Fortsetzung von Maßen 17 (iii) = (iv) Seien A 1,A 2,... Amit A n und µ(a 1 ) <. Dann gilt A 1 \ A n Afür jedes n N und A 1 \ A n A 1, also µ(a 1 ) = lim µ(a 1 \ A n )=µ(a 1 ) lim µ(a n). n n Wegen µ(a 1 ) < ist lim µ(a n)=0. n (iv) = (iii) (für den Fall µ endlich) Es gelte nun µ(a) < für jedes A A, und µ sei -stetig. Seien A, A 1,A 2,... Amit A n A. Dann gilt A \ A n und µ(a) µ(a n )=µ(a \ A n ) n 0. Also gilt (iii). Beispiel (Vergleiche Beispiel 1.30(iii).) Sei Ω abzählbar und A = {A Ω :#A< oder #A c < }, { 0, falls A endlich, µ(a) =, falls A unendlich. Dann ist µ ein -stetiger Inhalt, aber kein Prämaß. Definition (i) Ein Paar (Ω,A), bestehend aus einer nichtleeren Menge Ω und einer σ-algebra A 2 Ω, heißt Messraum. Die Mengen A Aheißen messbare Mengen. Ist Ω höchstens abzählbar und A =2 Ω, so heißt der Messraum (Ω,2 Ω ) diskret. (ii) Ein Tripel (Ω,A,µ) heißt Maßraum, wenn (Ω,A) ein Messraum ist und µ ein Maß auf A. (iii) Ist zudem µ(ω) =1, so heißt (Ω,A,µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. In diesem Fall heißen die Mengen A Aauch Ereignisse. (iv) Den Raum aller endlichen Maße auf (Ω,A) bezeichnen wir mit M f (Ω) := M f (Ω,A), den der W-Maße mit M 1 (Ω) :=M 1 (Ω,A), schließlich den der σ-endlichen Maße mit M σ (Ω,A). 1.3 Fortsetzung von Maßen In diesem Abschnitt wollen wir Maße konstruieren, indem wir zunächst auf einem einfachen Mengensystem, nämlich einem Semiring, plausible Werte für einen Inhalt angeben und dann, nach Möglichkeit, diesen Inhalt zu einem Maß auf der erzeugten σ-algebra fortsetzen. Bevor wir zu den konkreten Bedingungen kommen, unter denen das machbar ist, bringen wir zwei Beispiele.