Analysis III. Inhaltsverzeichnis. Martin Brokate. 1 Maße 1. 2 Das Lebesgue-Integral Normierte und metrische Räume 38

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1 Analysis III Martin Brokate Inhaltsverzeichnis 1 Maße 1 2 Das Lebesgue-Integral 26 3 Normierte und metrische Räume 38 4 Konvergenzsätze und L p -Räume 48 5 Mehrfachintegrale, Satz von Fubini 63 6 Metrische Räume: Weitere Grundbegriffe 74 7 Metrische Räume: Stetigkeit, Kompaktheit 82 8 Substitutionsformel und Faltung (Teil 1) 95 Vorlesungsskript, WS 2004/05 Zentrum Mathematik, TU München 0

2 1 Maße Einige Bemerkungen zur Motivation. Der mathematische Begriff eines Maßes ist in ganz unterschiedlichen (mathematischen) Zusammenhängen hilfreich. Man möchte einer möglichst großen Klasse von Teilmengen des R n einen Inhalt (Länge, Fläche, Volumen,...) zuordnen. Für nichtganzzahlige Dimensionen führt dies auf den Begriff der fraktalen Menge, bei deren Untersuchung das sogenannte Hausdorffmaß eine zentrale Rolle spielt. Hausdorff hat aber bereits 1914 gezeigt: Will man einen Inhaltsbegriff haben, der sich hinsichtlich Summation und Kongruenz vernünftig verhält, so kann man ihn nicht für jede Teilmenge des R n definieren. Betrachtet man die Menge M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} als die Menge aller Elementarereignisse beim Würfeln, so kann man als Maß einer Teilmenge A von M die Wahrscheinlichkeit ansehen, mit der in einem Wurf eine Zahl in A gewürfelt wird. Der Begriff des Maßes ist für die gesamte Stochastik grundlegend. Da Wahrscheinlichkeiten je nach Situation ganz unterschiedlich aussehen können, ist es wesentlich, einen allgemeinen Maßbegriff zu haben. Man möchte eine möglichst allgemeine und handhabbare Integrationstheorie haben. In der höheren Analysis, etwa der Funktionalanalysis, spielt der Maßbegriff an vielen Stellen eine Rolle unter anderem wegen des folgenden Sachverhalts. Ist K ein kompakter metrischer Raum, etwa K = [a, b], und ist T : C(K) R ein lineares Funktional, welches bezüglich der Supremumsnorm auf C(K) stetig ist, so gibt es ein Maß µ mit der Eigenschaft, daß T (f) gerade das Integral von f bezüglich des Maßes µ ist. Das hat zur Folge, dass bei der Untersuchung solcher Funktionale die Integrationstheorie eingesetzt werden kann. Definition 1.1 (σ-algebra) Sei eine Menge. Ein System A von Teilmengen von, A P(), heißt σ-algebra in, falls gilt A, (1.1) A A \ A A, (1.2) (A n ) Folge in A A n A. (1.3) Die Elemente A von A heißen A-messbar (oder messbar, falls klar ist, welches A gemeint ist). Triviale Beispiele von σ-algebren in sind n=1 A = P(), A = {, }. 1

3 Lemma 1.2 Seien, Mengen, T : Abbildung, A σ-algebra in. Dann ist A = {T 1 (A ) : A A } (1.4) eine σ-algebra in. Beweis: Es ist = T 1 ( ) A. Sei A A, wähle A A mit A = T 1 (A ), dann ist \ A = \ T 1 (A ) = T 1 ( \ A ) A, da \ A A. Sei (A n ) Folge in A, wähle A n A mit A n = T 1 (A n), dann ist ) A. A n = T 1 (A n) = T 1 ( A n Lemma 1.3 Sei Menge, A σ-algebra in. Dann gilt A, (1.5) (A n ) Folge in A A n A. (1.6) n=1 Beweis: Folgt unmittelbar aus der Definition einer σ-algebra, da ( = \, A n = \ \ ) A n = \ \ A n ). ( Satz 1.4 Sei Menge, sei E P(). Dann ist σ(e) = {A : A P(), A ist σ-algebra, E A} (1.7) eine σ-algebra in mit der Eigenschaft E σ(e) A (1.8) für jede σ-algebra A mit E A, das heißt, σ(e) ist die kleinste σ-algebra, welche E umfasst. Die σ-algebra σ(e) heißt die von E erzeugte σ-algebra in. Beweis: Die Elemente von σ(e) sind genau diejenigen Teilmengen A von, die in jeder σ- Algebra liegen, welche E umfasst. Da das insbesondere auf die Elemente E von E zutrifft, folgt die Eigenschaft (1.8) unmittelbar aus der Definition von σ(e). Es ist σ(e), da A für jede σ-algebra A in. Ist A σ(e), so ist A A für alle σ-algebren A, welche E umfassen, also auch \ A A für alle solche σ-algebren, und damit \ A σ(e). Analog zeigt man, dass (1.3) für σ(e) erfüllt ist. Bemerkung. Die folgende Definition setzt den Begriff des metrischen Raumes voraus. Dieser wird in einem späteren Kapitel behandelt. Bis dahin betrachten wir die Borel- Algebra nur für den Fall = R n, O = O n, siehe (1.12). 2

4 Definition 1.5 (Borel-Algebra) Sei (, d) metrischer Raum, sei O = {U : U, U offen}. (1.9) Die σ-algebra σ(o) heißt die Borel-Algebra in (, d). Die Elemente A σ(o) heißen Borelmengen. Wir führen halboffene Intervalle im R n ein. Sind a, b R n, so setzen wir [a, b) = n [a i, b i ) = {x : x R n, a i x i < b i für alle 1 i n}. (1.10) Es ist [a, b) = falls a i b i für mindestens ein i. Wir bezeichnen mit die Menge aller halboffenen Intervalle im R n, und mit J n = {[a, b) : a, b R n } (1.11) O n, C n, K n (1.12) die Menge aller offenen bzw. abgeschlossenen bzw. kompakten Teilmengen von R n. Bemerkung. Der Begriff einer kompakten Menge wird erst in einem späteren Kapitel behandelt. Bis dahin verwenden wir diesen Begriff nur für Teilmengen des R n. Eine Teilmenge K des R n ist kompakt genau dann, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Hinweis: In Funktionenräumen ist diese Äquivalenz nicht gültig! Satz 1.6 Es gilt σ(j n ) = σ(o n ) = σ(c n ) = σ(k n ), (1.13) das heißt, die Borel-Algebra wird auch von den halboffenen Intervallen bzw. den abgeschlossenen Mengen bzw. den kompakten Mengen erzeugt. Beweis: Es ist C n = {A : R n \ A ist offen}. Aus Satz 1.4 folgen C n σ(o n ) und σ(c n ) σ(o n ). Analog beweist man σ(o n ) σ(c n ). Aus K n C n folgt K n σ(c n ) und damit σ(k n ) σ(c n ). Umgekehrt: Sei A R n abgeschlossen. Wir setzen K m = A {x : x R n, x m}. Dann ist K m kompakt und A = m N K m, also A σ(k n ). Da A beliebig war, folgt C n σ(k n ) und damit σ(c n ) σ(k n ). Wir zeigen zum Abschluss, dass σ(j n ) = σ(o n ): Seien a, b R n. Dann gilt n [a, b) = i, b i ) = [a I k, I k := k N n (a i 1 k, b i). Alle I k sind offen, also ist [a, b) σ(o n ). Da a, b beliebig waren, folgt σ(j n ) σ(o n ) wie gehabt. Zum Beweis der umgekehrten Inklusion betrachten wir zunächst offene Quader n (a, b) := i, b i ) = (a I k, I k := k N 3 n [a i + 1 k, b i),

5 welche also alle in σ(j n ) liegen. Da jede offene Teilmenge des R n sich als abzählbare Vereinigung von offenen Quadern darstellen läßt (im Zweifelsfall: Übung), folgt O n σ(j n ) und wieder σ(o n ) σ(j n ). Das in Satz 1.4 enthaltene Verfahren, von einem Ausgangsobjekt (dort E) ein kleinstes umfassendes neues Objekt mit mehr Struktur (dort σ(e)) zu erzeugen, ist auch in anderen mathematischen Zusammenhängen nützlich. So kann man etwa für Teilmengen M des R n den von M erzeugten Untervektorraum span (M) definieren als den Durchschnitt aller Unterräume, welche M enthalten. Wir können span (M) aber auch definieren als die Menge aller endlichen Linearkombinationen von Elementen aus M. Diese Definition ist konstruktiver als die vorstehende. Für die Borel-Algebra steht eine vergleichbar einfache Konstruktion einer beliebigen Borelmenge aus den offenen Mengen aber leider nicht zur Verfügung. Definition 1.7 (Maß) Sei Menge, A σ-algebra in. Eine Funktion µ : A [0, + ] heißt Maß, falls gilt und falls µ σ-additiv ist, das heißt, falls ( ) µ A n = n=1 µ( ) = 0, (1.14) µ(a n ) (1.15) für jede Folge (A n ) paarweise disjunkter A-messbarer Mengen gilt. Ein Maß µ heißt endlich, falls µ() < +. Ein Maß µ heißt σ-endlich, falls es eine Folge (A n ) von A-messbaren Mengen gibt mit µ(a n ) < + für alle n und A n =. (1.16) Wir gehen aus von der üblichen Vorstellung von Länge, Flächeninhalt und Volumen und definieren das Volumen eines halboffenen Intervalls (halboffenenen Quaders) I = [a, b) R n durch n λ(i) = (b i a i ). (1.17) Es erhebt sich die Frage: Können wir auf der Borel-Algebra σ(o n ) ein Maß µ definieren, so daß µ(i) = λ(i) für alle halboffenen Intervalle? Diese Frage wird im sogenannten Maßerweiterungssatz positiv beantwortet. Dieser Satz erfordert aber etwas Vorbereitung. Definition 1.8 (Ring) Sei Menge. Ein System R von Teilmengen von heißt ein Ring in, falls gilt n=1 R, (1.18) A, B R A \ B R, (1.19) A, B R A B R. (1.20) 4

6 Aus (1.19) folgt unmittelbar, dass A, B R A B R, da A B = A \ (A \ B). Offenbar ist jede σ-algebra ein Ring. Die Bezeichnung Ring rührt daher, dass ein Ring von Mengen im Sinne von Definition 1.8 auch ein Ring im Sinne der Algebra ist, wenn wir als Multiplikation in R die Durchschnittsbildung und als Addition die symmetrische Differenz definieren. A B = (A \ B) (B \ A) Die Menge der halboffenen Intervalle ist kein Ring, im allgemeinen sind weder I J noch I \ J halboffene Intervalle, falls I, J solche sind. Andererseits lassen sich sowohl I J als auch I \ J als endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen. Definition 1.9 (Figur) Eine Menge F R n heißt Figur, falls F sich als endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen lässt. Wir definieren F n = {F : F R n, F ist Figur}. (1.21) Lemma 1.10 Seien I, J J n. Dann ist auch I J J n, und I \ J lässt sich als disjunkte endliche Vereinigung von halboffenen Intervallen darstellen. Insbesondere gilt I \ J F n. Beweis: Seien I = [a, b), J = [a, b ). Dann ist I J = [a, b ) J n, a i = max{a i, a i}, b i = min{b i, b i}. (1.22) Wegen I \ J = I \ (I J) und (1.22) genügt es, den Fall J I zu betrachten. Es ist dann entweder J = oder a i a i < b i b i, 1 i n. I \ J ist disjunkte Vereinigung von Intervallen der Form n [c i, d i ), wobei [c i, d i ) entweder gleich [a i, a i) oder gleich [a i, b i) oder gleich [b i, b i ) ist. (Man erhält I \ J, indem man alle möglichen Kombinationen durchläuft bis auf diejenige, welche J liefert.) Satz 1.11 F n ist ein Ring. Jedes F F n lässt sich darstellen als disjunkte Vereinigung von halboffenen Intervallen. 5

7 Beweis: Direkt aus der Definition folgt Wir zeigen als nächstes Sei nämlich mit I i, J j J n, dann folgt F, G F n F G F n. (1.23) F, G F n F G F n. (1.24) F = k I i, G = F G = i,j l J j, (1.25) j=1 I i J j, und nach Lemma 1.10 ist I i J j J n für alle i, j, also gilt (1.24). Wir zeigen jetzt F, G F n F \ G F n. (1.26) Aus der Darstellung (1.25) folgt ( ) ( ) ( ) ( F \ G = I i \ J j = I i \ ) J j i j i j ( ) = I i ( \ J j ) = (I i ( \ J j )) i j i j = (I i \ J j ). i j Nach Lemma 1.10 ist I i \ J j F n für alle i, j, also ist wegen (1.24) auch F \ G F n. Also ist F n ein Ring. Sind die Darstellungen von F, G F n in (1.25) disjunkte Vereinigungen, so gilt das auch für deren Durchschnitt, F G = I i J j. (1.27) i,j Wir zeigen nun, dass sich jedes F F n als disjunkte Vereinigung halboffener Intervalle darstellen lässt. Sei F F n, k F = I i. Es gilt dann F = I 1 (I 2 \ I 1 ) (I 3 \ (I 1 I 2 )) = i 1 (I i \ I j ). Nach Lemma 1.10 lassen sich alle I i \ I j als disjunkte Vereinigung halboffener Intervalle darstellen, dasselbe gilt auch für die Mengen i 1 (I i \ I j ), j=1 (ist in (1.27) für den Durchschnitt zweier Mengen bewiesen worden, gilt also auch für endliche Durchschnitte). Damit ist die Behauptung bewiesen. 6 i j=1

8 Definition 1.12 (Endlich-additive Mengenfunktion) Sei Menge, R Ring in. Eine Funktion µ : R [0, ] heißt endlich-additiv, falls gilt ( n ) µ A i = n µ(a i ) (1.28) für jedes endliche System A 1,..., A n paarweise disjunkter Mengen A i R. µ heißt σ- additiv, falls ( ) µ A i = µ(a i ) (1.29) gilt für jede Folge (A i ) i N paarweise disjunkter Mengen A i R mit A i R. Satz 1.13 Der n-dimensionale Elementarinhalt λ(i) = n (b i a i ), I = [a, b) J n, (1.30) lässt sich auf genau eine Weise zu einer endlich-additiven Funktion λ : F n [0, ) fortsetzen. Beweis: Wir bemerken zunächst: Wird I = [a, b) durch eine Hyperebene x j [a j, b j ), in zwei Teile = γ, γ I 1 = [(a 1,..., a j,..., a n ), (b 1,..., γ,..., b n )), I 2 = [(a 1,..., γ,..., a n ), (b 1,..., b j,..., b n )), zerschnitten, so gilt λ(i) = n (b i a i ) = [(b j γ) + (γ a j )] i j (b i a i ) = λ(i 1 ) + λ(i 2 ). Ebenso folgt λ(i) = k λ(i i ), (1.31) falls ein Intervall I durch endlich viele Hyperebenen in k Teilintervalle I i J n zerschnitten wird. Wir zeigen nun, dass λ auf J n endlich-additiv ist. Sei I = [a, b) J n dargestellt als disjunkte Vereinigung I = k I i, I i = [a i, b i ) J n. Wir zerschneiden I durch alle Hyperebenen der Form x j = a i j, x j = b i j, 1 i k, 1 j n. 7

9 Dadurch wird I in endlich viele Teilintervalle zerlegt; diejenigen, welche in I i enthalten sind, bilden eine disjunkte Zerlegung J ij, 1 j k i, von I i durch Zerschneiden. Nach (1.31) gilt dann λ(i) = λ(j ij ) = λ(j ij ) = λ(i i ). (1.32) i,j i j i Wir definieren nun die Fortsetzung von λ auf F n. Sei F F n. Nach Satz 1.11 lässt sich F schreiben als disjunkte Vereinigung Wir setzen F = k I i, I i J n. λ(f ) = k λ(i i ). (1.33) Wir müssen zeigen, dass diese Definition von der Wahl der Zerlegung (I i ) unabhängig ist. Ist l F = J j, J j J n, j=1 eine weitere disjunkte Zerlegung, so gilt I i = (I i J j ), J j = j (I i J j ), i also, da λ auf J n endlich-additiv ist, λ(i i ) = i i λ(i i J j ) = j j λ(j j ). Wir zeigen nun, dass λ endlich-additiv ist auf F n. Ist F dargestellt als disjunkte Vereinigung k F = F i, F i F, so stellen wir die F i einzeln als disjunkte Vereinigung dar, F i = I ij, I ij J n, j und es folgt λ(f ) = i,j λ(i ij ) = i λ(i ij ) = j i λ(f i ). Die Eindeutigkeit der Fortsetzung von λ ist offensichtlich, da (1.33) für jede endlichadditive Fortsetzung gelten muss. 8

10 Notation 1.14 Sei Menge, sei E, sei (E n ) Folge von Teilmengen von. Wir schreiben E n E, falls E 1 E 2..., E = E n, (1.34) und E n E, falls E 1 E 2..., E = E n. (1.35) Lemma 1.15 Sei Menge, R Ring in, µ : R [0, ] endlich-additiv. Es gelte außerdem lim µ(e n) = 0 (1.36) n für jede Folge (E n ) in R mit E n. Dann ist µ auch σ-additiv. Beweis: Sei (A n ) eine Folge paarweiser disjunkter Mengen A n R mit Wir setzen A = A n R. E n = A \ Dann gilt E n und, da µ endlich-additiv ist, µ(a) = µ(e n ) + n A k. k=1 n µ(a k ). k=1 Aus (1.36) folgt nun µ(a) = µ(a k ). k=1 Satz 1.16 (Rechenregeln für endlich-additive Mengenfunktionen) Sei Menge, R Ring auf, µ : R [0, ] endlich-additiv. Dann gelten für beliebige A, B, A i R µ(a B) + µ(a B) = µ(a) + µ(b), (1.37) A B µ(a) µ(b), (1.38) A B, µ(a) < µ(b \ A) = µ(b) µ(a), (1.39) ( n ) n µ A i µ(a i ). (1.40) Ist µ außerdem σ-additiv, so gilt A 0 A n µ(a 0 ) n=1 9 µ(a n ), (1.41) n=1

11 und insbesondere falls A n R. ( ) µ A n µ(a n ), (1.42) n=1 n=1 Beweis: Ist A B, so ist B = A (B \ A), also µ(b) = µ(a) + µ(b \ A). (1.43) Hieraus folgen (1.38) und (1.39). Ist µ(a B) =, so gilt (1.37) trivialerweise, andernfalls folgt (1.37) aus Mit gilt die B i sind paarweise disjunkt, also µ(a B) = µ(a) + µ(b \ A). (1.44) µ(b \ A) = µ(b) µ(a B). (1.45) B i = A i \ B i R, B i A i, i 1 k=1 A k n A i = n B i, ( n ) ( n ) µ A i = µ B i = n µ(b i ) n µ(a i ), also folgt (1.40). Zum Beweis von (1.41) sei B i wie eben definiert, dann gilt A 0 = (A 0 A n ) = (A 0 B n ), also ( ) µ(a 0 ) = µ (A 0 B n ) = da A 0 B n A n. µ(a 0 B n ) µ(a n ), n=1 n=1 Satz 1.17 Die nach Satz 1.13 eindeutig bestimmte Fortsetzung λ : F n [0, ) des Elementarinhalts n λ([a, b)) = (b i a i ) (1.46) ist σ-additiv auf F n. 10

12 Beweis: Wegen Satz 1.13 und Lemma 1.15 genügt es zu zeigen, dass lim n λ(f n ) = 0 gilt für jede Folge (F n ) von Figuren mit F n. Dazu genügt es zu zeigen: Ist (F n ) fallend, das heißt F n F n+1 für alle n, und gilt so ist lim λ(f n) = δ > 0, (1.47) n F n. (1.48) n=1 (Der Limes in (1.47) existiert, da λ(f n ) monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt ist.) Zum Beweis dieser Aussage verwenden wir ein Kompaktheitsargument. Als ersten Schritt konstruieren wir G n F n mit G n F n und Die Mengen G n werden folgendermaßen konstruiert: Ist m F n = I i, I i = [a i, b i ), so setzen wir G n = λ(f n ) λ(g n ) 2 n δ. (1.49) m Ĩ i, Ĩ i = [a i, b i ε i (1,..., 1)), wobei ε i > 0 so klein gewählt wird, dass (1.49) gilt. Wir definieren Dann gilt H n F n, H n = n G i. (1.50) H n+1 H n, H n F n, (1.51) für alle n N. Als nächstes zeigen wir mit vollständiger Induktion, dass gilt λ(h n ) λ(f n ) δ(1 2 n ) (1.52) für alle n N. Für n = 1 folgt (1.52) aus (1.49), da H 1 = G 1. Induktionsschritt n n+1: Es ist H n+1 = G n+1 H n, also mit (1.37) und (1.49) λ(h n+1 ) = λ(g n+1 ) + λ(h n ) λ(g n+1 H n ) λ(f n+1 ) 2 (n+1) δ + λ(f n ) δ(1 2 n ) λ(f n ), (da G n+1 H n F n ) = λ(f n+1 ) δ(1 2 (n+1) ). Da nach Voraussetzung λ(f n ) δ ist für alle n, folgt aus (1.52) λ(h n ) > 0, (1.53) also auch H n für alle n N. Die Mengen H n sind beschränkt (da alle Figuren beschränkt sind), also kompakt. Für jede endliche Indexmenge I N gilt H i = H m, m := max{i : i I}, i I 11

13 also gilt, da die kompakte Menge H 1 die endliche Durchschnittseigenschaft (siehe Analysis 2, Kapitel 15) besitzt, H n, woraus (1.48) wegen (1.50) folgt. Als letzte Vorbereitung für den Maßerweiterungssatz führen wir noch den Begriff des Dynkin-Systems ein. Definition 1.18 (Dynkin-System) Sei eine Menge. Ein System D von Teilmengen von heißt Dynkin-System, falls gilt D, (1.54) D D \ D D, (1.55) (D n ) Folge paarweiser disjunkter Mengen in D D n D. (1.56) Offensichtlich ist jede σ-algebra ein Dynkin-System. Lemma 1.19 Sei Menge, D Dynkin-System in. Dann gilt Beweis: Für D, E D mit D E gilt D, E D, D E E \ D D. (1.57) E \ D = \ (D ( \ E)) D, da D und \ E disjunkt sind. Satz 1.20 Sei E P() ein Mengensystem in, sei D Dynkin-System mit E D σ(e). (1.58) Ist E schnittstabil, das heißt, E 1, E 2 E E 1 E 2 E, (1.59) so ist D = σ(e). (1.60) Beweis: Wir definieren δ(e) = { D : D ist Dynkin-System in, E D}. (1.61) Wie in Satz 1.4 beweist man, dass δ(e) ein Dynkin-System ist, und zwar das kleinste, welches E enthält; es heißt das von E erzeugte Dynkin-System. Es gilt dann δ(e) D σ(e). Zum Beweis von (1.60) genügt es zu zeigen, dass δ(e) eine σ-algebra ist (dann folgt 12

14 σ(e) δ(e)). Zu diesem Zweck definieren wir für beliebiges, aber fest gewähltes D δ(e) das Mengensystem D D = {Q : Q, Q D δ(e)}. (1.62) Wir zeigen, dass D D ein Dynkin-System ist. Offensichtlich ist D D. Weiter gilt mit Lemma 1.19 Q D D ( \ Q) D = D \ Q = D \ (Q D) δ(e) \ Q D D, und für eine Folge (Q n ) paarweiser disjunkter Mengen in D D ( ) Q n D = (Q n D) δ(e), da Q n D δ(e) und δ(e) Dynkin-System ist, also Q n D D. D D ist also Dynkin-System. Als nächstes zeigen wir Es ist nämlich D δ(e), E E D E δ(e). (1.63) E D E, für alle E E, (1.64) da mit E 1 E auch E 1 E E (E ist schnittstabil) und damit E 1 D E (da E δ(e)). Aus (1.64) folgt δ(e) D E und damit D E δ(e). Damit ist (1.63) bewiesen. Wir zeigen jetzt D, E δ(e) D E δ(e). (1.65) Aus (1.63) folgt E D D, also wieder wegen der Minimalität von δ(e), dass δ(e) D D, und damit E D δ(e). Schließlich zeigen wir, dass δ(e) eine σ-algebra ist. Sei eine Folge (D n ) in δ(e) gegeben. Wir setzen D n = n D i, D 0 =. Dann ist D 0 δ(e) und (mit Induktion über n) D n \ D n 1 = D n ( \ D n 1) δ(e) wegen (1.65), also auch D n = (D n \ D n 1) D n 1 δ(e) als disjunkte Vereinigung zweier Mengen in δ(e). Die Mengen D n \ D n 1 sind paarweise disjunkt, also folgt (D n \ D n 1) δ(e). Damit ist δ(e) eine σ-algebra. D n = 13

15 Theorem 1.21 (Maßerweiterungssatz, Existenz) Sei Menge, R Ring in, sei µ : R [0, ] eine σ-additive Mengenfunktion mit µ( ) = 0. Dann kann µ zu einem Maß auf σ(r) fortgesetzt werden. Beweis: Der Beweis besteht aus zwei Teilen. Zuerst wird µ zu einem sogenannnten äußeren Maß µ : P() [0, ] fortgesetzt; µ hat aber nicht alle Eigenschaften eines Maßes. Im zweiten Teil wird bewiesen, dass die Restriktion von µ auf σ(r) ein Maß ist. Zu beliebigem Q definieren wir die Menge U(Q) aller abzählbaren Überdeckungen von Q durch Mengen in R, U(Q) = {(A n ) : A n R für alle n, Q A n }. (1.66) Wir definieren das zu µ gehörende äußere Maß µ : P() [0, ] durch { µ inf U(Q) n=1 (Q) = µ(a n), falls U(Q), +, falls U(Q) =. (1.67) Offensichtlich gilt µ (Q) 0 für alle Q. Es gilt weiter µ (A) = µ(a), für alle A R, (1.68) da einerseits µ (A) µ(a) wegen (A,,,... ) U(A) und andererseits µ(a) µ(a n ) n=1 für alle (A n ) U(A) nach Satz 1.16, also auch µ(a) µ (A). µ ist also eine Fortsetzung von µ. Aus (1.68) folgt insbesondere Weiter gilt µ ( ) = 0. (1.69) Q 1 Q 2 µ (Q 1 ) µ (Q 2 ), (1.70) da U(Q 2 ) U(Q 1 ). Für eine beliebige Folge (Q n ) von Teilmengen von gilt ( ) µ Q n n=1 µ (Q n ). (1.71) Ist nämlich U(Q n ) = für ein n N, so hat die rechte Seite in (1.71) den Wert +. Andernfalls wählen wir zu beliebig vorgegebenem ε > 0 für jedes n N eine Folge (A nm ) m N in U(Q n ) mit µ(a nm ) µ (Q n ) + 2 n ε, dann ist m=1 n=1 ( ) (A nm ) n,m N U Q n, 14 n=1

16 und ( ) µ Q n n=1 n,m=1 µ(a nm ) µ (Q n ) + ε, woraus (1.71) folgt. Wenden wir (1.71) auf die Folge (Q A, Q \ A,,... ) an, so folgt µ (Q) µ (Q A) + µ (Q \ A), für alle A, Q P(). (1.72) Damit ist der erste Teil des Beweises abgeschlossen. Der zweite Teil beginnt mit der eigentlichen Idee dieses Existenzbeweises, die auf C. Carathéodory (1914) zurückgeht. Wir definieren das Mengensystem wobei n=1 A = {A : A, A erfüllt (1.74)}, (1.73) µ (Q) = µ (Q A) + µ (Q \ A), für alle Q. (1.74) Der Rest des Beweises besteht darin, zu zeigen, dass A eine σ-algebra ist mit σ(r) A, und dass µ A ein Maß ist. Wir zeigen als erstes, dass R A. (1.75) Seien A R, Q P() beliebig. Wegen (1.72) ist in (1.74) nur zu zeigen. Sei U(Q) (andernfalls ist µ (Q) = ), sei (A n ) Element von U(Q). Dann gilt für alle n N, also µ(a n ) = µ(a n A) + µ(a n \ A) µ(a n ) = n=1 µ(a n A) + n=1 µ(a n \ A), also, da die Folgen (A n A) und (A n \ A) in U(Q A) bzw. U(Q \ A) liegen, n=1 µ(a n ) µ (Q A) + µ (Q \ A), n=1 also (Übergang zum Infimum bezüglich U(Q) auf der linken Seite) µ (Q) µ (Q A) + µ (Q \ A). Damit ist (1.75) gezeigt. Direkt aus der Definition von A folgt Weiter gilt A. (1.76) A A \ A A, (1.77) da Q ( \ A) = Q \ A und Q \ ( \ A) = Q A für alle Q gelten und damit aus der Gültigkeit von (1.74) für A auch die Gültigkeit für \ A folgt. Wir führen für den Rest des Beweises die abkürzende Schreibweise A c = \ A 15

17 für das Komplement einer Menge A ein. Wir zeigen als nächstes Sind nämlich A, B A, so gilt für alle Q A, B A A B A. (1.78) µ (Q) = µ (Q A) + µ (Q A c ) (1.79) = µ (Q A B) + µ (Q A B c ) + µ (Q A c B) + µ (Q A c B c ). (1.80) Setzen wir Q (A B) ein statt Q in (1.80), so erhalten wir µ (Q (A B)) = µ (Q A B) + µ (Q A B c ) + µ (Q A c B), (1.81) und aus (1.79) und (1.81) µ (Q) = µ (Q (A B)) + µ (Q (A B) c ) und damit A B A. Aus (1.77) und (1.78) folgt A, B A A B A, A \ B A, (1.82) da A B = (A c B c ) c, A \ B = A B c. Falls nun A, B A mit A B =, so folgt aus (1.81) µ (Q (A B)) = µ (Q A) + µ (Q B) (1.83) für alle Q. Sei nun (A n ) eine Folge paarweiser disjunkter Elemente von A. Wir wollen zeigen, dass gilt A = A n A, µ (A) = µ (A n ). (1.84) Zunächst ist n A i A wegen (1.78). Aus (1.83) folgt für alle Q und alle n N ) ) n n 1 n µ (Q A i = µ (Q A i + µ (Q A n ) = µ (Q A i ) mit Induktion, also µ (Q) = µ (Q ) n A i + µ (Q \ also wegen (1.71), mit n, µ (Q) ) n A i n=1 n µ (Q A i ) + µ (Q \ A), ( ) µ (Q A i ) + µ (Q \ A) µ Q A i + µ (Q \ A) (1.85) = µ (Q A) + µ (Q \ A), (1.86) und wegen (1.72) folgt A A, und es gilt Gleichheit überall in (1.85). Setzen wir Q = A in (1.85), so ergibt sich ( ) µ A n = µ (A) n=1 16 µ (A n ), (1.87) n=1

18 und die umgekehrte Ungleichung folgt ebenfalls aus (1.71). Damit ist (1.84) bewiesen. Ist nun (A n ) eine beliebige Folge in A, so wird durch B n = A n \ eine Folge (B n ) paarweise disjunkter Mengen definiert, welche wegen (1.78) und (1.82) ebenfalls in A liegt, also ist wegen (1.84) B n A A n = Zusammen mit (1.76) und (1.77) ergibt sich, dass A eine σ-algebra ist. Aus der bereits bewiesenen Inklusion R A folgt nunmehr n 1 σ(r) A, A i und wegen (1.84) ist µ A ein Maß. Theorem 1.22 (Maßerweiterungssatz, Eindeutigkeit) Sei Menge, E P(), sei E schnittstabil. Seien µ 1, µ 2 Maße auf σ(e), es gelte µ 1 E = µ 2 E, (1.88) und es gebe eine Folge (E n ) in E mit E n = und µ 1 (E n ) = µ 2 (E n ) < für alle n N. Dann ist µ 1 = µ 2 auf σ(e). Beweis: Für E E definieren wir Da E schnittstabil ist, gilt D E = {D : D σ(e), µ 1 (E D) = µ 2 (E D)}. (1.89) E D E σ(e), für alle E E. (1.90) Wir zeigen, dass D E ein Dynkin-System ist, falls E E und µ 1 (E) = µ 2 (E) <. Offensichtlich ist D E. Ist D D E, so ist \ D σ(e), also µ 1 (E ( \ D)) = µ 1 (E \ D) = µ 1 (E) µ 1 (E D) = µ 2 (E) µ 2 (E D) = µ 2 (E \ D) = µ 2 (E ( \ D)), also ist auch \ D D E. Sei nun (D n ) eine Folge paarweiser disjunkter Mengen in D E, dann ist D n σ(e), also ( µ 1 E ) ( ) D n = µ 1 E D n = µ 1 (E D n ) = µ 2 (E D n ) ( = µ 2 E ) D n, 17

19 woraus D n D E folgt. D E ist also ein Dynkin-System. Aus Satz 1.20 folgt nun, dass also ergibt sich D E = σ(e), µ 1 (E D) = µ 2 (E D) (1.91) für alle D σ(e) und alle E E mit µ 1 (E) <. Wir definieren F n = E n \ Dann ist F n σ(e), F n E n, die F n sind paarweise disjunkt, und = F n. Wegen (1.91) gilt daher für alle A σ(e) und alle n N also gilt µ 1 (F n A) = µ 1 (E n (F n A)) = µ 2 (E n (F n A)) = µ 2 (F n A), µ 1 (A) = µ 1 ( F n A = µ 2 (A) ) = n 1 E i. µ 1 (F n A) = µ 2 (F n A) = µ 2 ( F n A ) für alle A σ(e). Folgerung 1.23 Der n-dimensionale Elementarinhalt λ([a, b)) = n (b i a i ) (1.92) läßt sich auf genau eine Weise zu einem Maß λ auf der Borel-Algebra σ(o n ) im R n fortsetzen. Dieses Maß λ heißt das Lebesgue-Maß (oder das Lebesgue-Borel-Maß). Beweis: Es gilt σ(o n ) = σ(j n ) nach Satz 1.6. Wegen Satz 1.17 erfüllt λ die Voraussetzungen des Existenzsatzes 1.21 auf dem Ring R = F n. Da die Menge J n der halboffenen Intervalle schnittstabil ist, folgt die Eindeutigkeit aus Satz 1.22, angewandt auf E = J n. Das Problem, den Inhalt einer möglichst großen Klasse von Mengen zu definieren, wird vom Maßerweiterungssatz (Theoreme 1.21 und 1.22) in für viele Zwecke der Analysis befriedigender Weise gelöst. Satz 1.24 Sei Menge, sei R Ring in, seien µ 1, µ 2 Maße auf σ(r), es gelte µ 1 (E) µ 2 (E), für alle E R, (1.93) es gebe eine Folge (E n ) in R mit E n = und µ 2 (E n ) < für alle n N. Dann gilt µ 1 (A) µ 2 (A), für alle A σ(r). (1.94) 18

20 Beweis: Durch ν(e) = { µ 2 (E) µ 1 (E), falls µ 2 (E) <, +, falls µ 2 (E) =, (1.95) wird ein endlich-additives ν : R [0, ] definiert mit ν( ) = 0. Aus Lemma 1.15 folgt, dass ν auf R σ-additiv ist. Nach Theorem 1.21 lässt sich ν zu einem Maß auf σ(r) fortsetzen. Es genügt nun zu zeigen, dass A σ(r), µ 2 (A) < µ 1 (A) µ 2 (A). (1.96) Dieser Beweis wird analog zum Beweis des Eindeutigkeitssatzes 1.22 geführt. Für E R mit µ 2 (E) < definieren wir D E = {D : D σ(r), ν(e D) = µ 2 (E D) µ 1 (E D)}. (1.97) Wie im Beweis von 1.21 ergibt sich, dass D E ein Dynkin-System ist, also D E = σ(r) nach Satz 1.20, also 0 ν(e D) = µ 2 (E D) µ 1 (E D) (1.98) für alle D σ(e) und alle E E mit µ 2 (E) <. Wir definieren wieder F n = E n \ Wie im Beweis von 1.22 folgt für alle A σ(r) mit µ 2 (A) < und alle n N also gilt µ 1 (A) = µ 1 ( F n A = µ 2 (A) n 1 E i. 0 ν(f n A) = µ 2 (F n A) µ 1 (F n A), ) = µ 1 (F n A) µ 2 (F n A) = µ 2 ( F n A ) Damit ist (1.96) bewiesen. Definition 1.25 (Meßbare Abbildung) Seien, Mengen, seien A, A σ-algebren auf bzw.. Eine Abbildung T : heißt messbar, falls T 1 (A ) A gilt für alle A A (das heißt, falls alle Urbilder von messbaren Mengen wieder messbar sind). (Falls nicht klar ist, welche σ-algebren gemeint sind, sagen wir, dass T A-A -messbar ist.) Lemma 1.26 Seien, Mengen, A σ-algebra auf, E P( ) Mengensystem, A = σ(e ), sei T : Abbildung. Gilt T 1 (E ) A für alle E E, so ist T messbar. Beweis: Nach Übungsaufgabe ist B = {B : B, T 1 (B ) A} eine σ-algebra in. Aus E B folgt A = σ(e ) B. 19

21 Folgerung 1.27 Seien (, d), (, d ) metrische Räume. Dann ist jede stetige Abbildung T : messbar bezüglich der Borel-Algebren (kurz: Borel-messbar). Beweis: Ist U offen in, so ist T 1 (U ) offen in und damit Borel-messbar. Aus Lemma 1.26 folgt die Behauptung. Satz 1.28 (Bildmaß) Seien, Mengen, seien A, A σ-algebren auf bzw., sei T : messbar. Dann wird für jedes Maß µ auf A durch µ (A ) = µ(t 1 (A )) (1.99) ein Maß µ auf A definiert, es heißt das Bild von µ unter der Abbildung T, geschrieben µ = T (µ). (1.100) Beweis: µ ist wohldefiniert, da T 1 (A ) A für alle A A. Ist (A n) eine Folge paarweise disjunkter Mengen in A, so gilt ( ) ( ( )) ( ) µ A n = µ T 1 A n = µ T 1 (A n) = µ(t 1 (A n)) = µ (A n). Satz 1.29 Seien 1, 2, 3 Mengen, seien A i σ-algebren auf i, seien T 1 : 1 2 und T 2 : 2 3 messbar. Dann ist auch T 2 T 1 messbar. Ist µ Maß auf A 1, so gilt Beweis: Für alle A A 3 ist T 1 2 (A) A 2, also (T 2 T 1 )(µ) = T 2 (T 1 (µ)). (1.101) (T 2 T 1 ) 1 (A) = T 1 1 (T 1 2 (A)) A 1, also ist T 2 T 1 messbar. Für A A 3 gilt weiter (T 2 (T 1 (µ)))(a) = (T 1 (µ))(t 1 2 (A)) = µ(t 1 1 (T 1 2 (A))) = µ((t 2 T 1 ) 1 (A)) = ((T 2 T 1 )(µ))(a). Das Lebesgue-Maß ist translationsinvariant: Satz 1.30 Sei a R n, T a : R n R n definiert durch T a (x) = x + a. Dann ist T a (λ) = λ. (1.102) 20

22 Beweis: T a ist stetig, also messbar. Für alle halboffenen Intervalle [b, c) J n gilt (T a (λ))([b, c)) = λ(t 1 a ([b, c))) = λ([b a, c a)) = = n (c i b i ) = λ([b, c)). n ((c i a i ) (b i a i )) Aus dem Eindeutigkeitssatz 1.22 folgt, dass λ und T a (λ) auf der Borel-Algebra übereinstimmen. Wir betrachten nun die Streckung D i α : R n R n um den Faktor α in die i-te Koordinatenrichtung, D i α(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x i 1, αx i, x i+1,..., x n ). (1.103) Es gilt also (D i α) 1 ([a, b)) = [(a 1,..., a i α,..., a n), (b 1,..., b i α,..., b n)), α > 0, (1.104) (D i α) 1 ([a, b)) = [(a 1,..., b i α,..., a n), (b 1,..., a i α,..., b n)), α < 0, (1.105) (D i α(λ))([a, b)) = λ((d i α) 1 ([a, b))) = 1 α n (b j a j ) = 1 λ([a, b)). (1.106) α j=1 Wieder folgt aus dem Eindeutigkeitssatz 1.22, dass auf der Borelalgebra gilt. Eine Homothetie lässt sich darstellen als D i α(λ) = 1 α λ (1.107) H r : R n R n, H r (x) = rx, r 0 fest, (1.108) H r = D 1 r D 2 r D n r, (1.109) also folgt, wenn wir Satz 1.29 und (1.107) mehrfach anwenden, und insbesondere H r (λ) = 1 r n λ, (1.110) H 1 (λ) = λ, (1.111) das Lebesgue-Maß ist also invariant bezüglich Spiegelung an den Koordinatenachsen (das gilt sogar bezüglich beliebiger orthogonaler Abbildungen, siehe unten Satz 1.33). 21

23 Satz 1.31 Sei µ ein Maß auf der Borelalgebra im R n, welches translationsinvariant ist, es gelte also T a (µ) = µ, für alle a R n. (1.112) Gilt außerdem µ([0, 1)) <, so folgt wobei α = µ([0, 1)). µ = αλ, (1.113) Beweis: Wir setzen α = µ([0, 1)), dann ist µ([0, 1)) = αλ([0, 1)), und wir setzen weiter B k = [0, ( 1 k,..., 1 k )), k N, G k = {(a 1,..., a n ) : a i = m i k, m i {0, 1,..., k 1}}. Dann läßt sich für jedes k N das halboffene Intervall [0, 1) darstellen als disjunkte Vereinigung [0, 1) = a G k T a (B k ), (1.114) und wegen µ(t a (B k )) = µ(b k ), λ(t a (B k )) = λ(b k ), folgt also weiter Sei nun dann ist mit geeigneten k, j 1,..., j n N µ([0, 1)) = k n µ(b k ), λ([0, 1)) = k n λ(b k ), (1.115) µ(b k ) = αλ(b k ), für alle k N. (1.116) B = [0, (b 1,..., b n )), b i Q R + für alle i, B = [0, ( j 1 k,..., j n k )), also lässt sich B darstellen als disjunkte Vereinigung B = T a (B k ), a G(b) wobei {( m1 G(b) = k,..., m ) n k Es folgt für alle solchen Mengen B µ(b) = µ(b k ) und weiter für beliebige a, b Q n } : 0 m i < j i, m i N. n j i = αλ(b k ) n j i = αλ(b), µ([a, b)) = µ([0, b a)) = αλ([0, b a)) = αλ([a, b)). (1.117) 22

24 Sei nun J n rat = {[a, b) : a, b Q n } die Menge aller halboffenen Intervalle, deren Ecken rationale Koordinaten haben. Da sich jedes offene Intervall in R n, und damit auch jede offene Teilmenge des R n, als abzählbare Vereinigung solcher halboffener Intervalle schreiben lässt, gilt O n σ(jrat), n also σ(o n ) σ(jrat), n also σ(jrat) n = σ(o n ). Da das Mengensystem Jrat n ebenfalls schnittstabil ist, lässt sich der Eindeutigkeitssatz 1.22 mit E = Jrat n anwenden, und aus (1.117) folgt die Behauptung. Folgerung 1.32 Das Lebesgue-Maß ist das einzige translationsinvariante Maß auf der Borel-Algebra im R n, welches dem Einheitswürfel [0, 1) das Maß 1 zuordnet. Satz 1.33 Sei T : R n R n eine orthogonale lineare Abbildung, das heißt, T ist linear und es gilt T x, T y = x, y, für alle x, y R n. (1.118) Dann gilt T (λ) = λ. (1.119) Beweis: Nach Folgerung 1.32 genügt es zu zeigen, dass T (λ) ein translationsinvariantes Maß ist mit (T (λ))([0, 1)) = 1. Wegen für alle x, a R n gilt also T (x) + a = T (x + T 1 (a)) T a T = T T b, b = T 1 (a), T a (T (λ)) = (T a T )(λ) = (T T b )(λ) = T (T b (λ)) = T (λ), da T b (λ) = λ, also ist T (λ) translationsinvariant. Weiter gilt (T (λ))([0, 1)) = λ(t 1 ([0, 1))) <, da T 1 ([0, 1)) beschränkt ist. Aus Satz 1.31 folgt nun, dass T (λ) = αλ, α = (T (λ))([0, 1)). (1.120) Für die Einheitskugel B = {x : x R n, x 2 1} gilt B = T 1 (B), da mit T auch T 1 orthogonal ist, es folgt also αλ(b) = (T (λ))(b) = λ(t 1 (B)) = λ(b). (1.121) Hieraus folgt α = 1 und damit die Behauptung des Satzes, da 0 < λ(b) <, da B beschränkt ist und [0, ( 1 n,..., 1 n )) B. 23

25 Definition 1.34 (Bewegung) Eine Abbildung T : R n R n heißt Bewegung, falls T x T y 2 = x y 2, für alle x, y R n. (1.122) Zwei Mengen A, B R n heißen kongruent, falls es eine Bewegung T gibt mit B = T (A). Satz 1.35 Das Lebesgue-Maß ist bewegungsinvariant, das heißt, es gilt für jede Bewegung T : R n R n. Insbesondere gilt falls A und B kongruente Borelmengen sind. T (λ) = λ (1.123) λ(a) = λ(b), (1.124) Beweis: Ist T Bewegung mit T (0) = 0, so ist T eine orthogonale lineare Abbildung (folgt aus einem Satz der Linearen Algebra, siehe auch Übung). Sind T, T Bewegungen, so folgt unmittelbar aus der Definition, dass auch T T eine Bewegung ist. Ist T eine Bewegung und setzen wir a = T (0), so ist T a T eine Bewegung mit (T a T )(0) = 0. Hieraus folgt, dass sich jede Bewegung T darstellen lässt als T = T T (0) S, S : R n R n orthogonal. Aus Satz 1.33 und der Translationsinvarianz von λ folgt, dass T (λ) = T T (0) (λ) = λ gilt für jede Bewegung T. Satz 1.36 Sei T : R n R n linear und invertierbar. Dann gilt T (λ) = 1 det T λ. (1.125) Beweis: Sei A die zu T gehörende Matrix bezüglich der Standardbasis. Dann gibt es orthogonale Matrizen U, V R (n,n) und eine Diagonalmatrix D = diag {d 1,..., d n } R (n,n), d i > 0, mit A = UDV. (1.126) Es handelt sich hier um die sogenannte Singulärwertzerlegung von A, siehe Lineare Algebra oder Numerik. Da D sich als Produkt der Streckungen Dd i i schreiben lässt, folgt aus (1.107) und Satz T (λ) = n d λ. (1.127) i Andererseits gilt det(t ) = det(a) = det(u) det(d) det V = det(d) = 24 n d i.

26 Satz 1.37 Es gibt eine Menge K R n, die keine Borelmenge ist. Beweis: Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf R n durch x y x y Q n. (1.128) Wir wählen aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element k, und zwar so, dass k [0, 1). Wir definieren K als die Menge aller so gewählten Elemente. Dann gilt R n = y Q n (y + K), (1.129) denn zu jedem x R n gibt es ein k K mit x k, also x k Q n, x (x k) + K. Die Vereinigung in (1.129) ist disjunkt: Sind x, y Q n mit (x + K) (y + K), so gibt es k 1, k 2 K mit x + k 1 = y + k 2, also k 2 k 1 = x y Q n, also k 1 k 2 und daher k 1 = k 2 nach Konstruktion von K, also folgt x = y. Wir zeigen nun, dass die Annahme, K sei Borelmenge, zu einem Widerspruch führt. Mit K sind auch alle Mengen y + K Borelmengen, und es gilt, da λ translationsinvariant ist, = λ(r n ) = y Q n λ(y + K) = y Q n λ(k), also ist λ(k) > 0. Andererseits gilt y + K [0, 2) für y [0, 1), da K [0, 1) nach Konstruktion, also 2 n = λ([0, 2)) λ (y + K) = λ(y + K) = λ(k), y Q n [0,1) y Q n [0,1) y Q n [0,1) also ist λ(k) = 0, da Q n [0, 1) eine unendliche Menge ist. Widerspruch. 25

27 2 Das Lebesgue-Integral Wir wollen Funktionen f : [, ] integrieren bezüglich eines Maßes µ, welches auf einer σ-algebra A in definiert ist. Wir setzen J = {[a, b) : a [, ), b R} = J 1 {[, b) : b R}, (2.1) und bezeichnen die von J in [, ] erzeugte σ-algebra σ(j ) als Borel-Algebra in [, ]. Es folgt unmittelbar, dass alle Intervalle der Form [a, b], (a, b], [a, b), (a, b), a [, ), b (, ], (2.2) Elemente von σ(j ) sind. Lemma 2.1 Für die Borel-Algebra σ(j 1 ) in R gilt σ(j 1 ) = {A R : A σ(j )}. (2.3) Beweis: Übung. Satz 2.2 Sei Menge, A eine σ-algebra in, sei f : [, ]. Dann sind äquivalent: (i) f ist messbar (bezüglich A und σ(j )). (ii) {ω : f(ω) α} A für alle α R. (iii) {ω : f(ω) > α} A für alle α R. (iv) {ω : f(ω) α} A für alle α R. (v) {ω : f(ω) < α} A für alle α R. Beweis: (i) (ii) : {ω : f(ω) α} = f 1 ([α, ]). (ii) (iii) : {ω : f(ω) > α} = {ω : f(ω) α + 1 n }. (iii) (iv) : {ω : f(ω) α} = \ {ω : f(ω) > α}. (iv) (v) : {ω : f(ω) < α} = {ω : f(ω) α 1 n }. (v) (i) : Wir setzen E = {[, α) : α R}. Nach Lemma 1.26 ist f A-σ(E)-messbar. Wegen [a, b) = [, b) \ [, a) ist J σ(e), also auch σ(j ) σ(e), und damit f auch A-σ(J )-messbar. Notation 2.3 Für f, g : [, ] definieren wir analog definieren wir {f g} = {ω : ω, f(ω) g(ω)}, {f < g}, {f g}, {f > g}, {f = g}, {f g}. 26

28 Satz 2.4 Sei Menge, A σ-algebra in, seien f, g : [, ] messbar. Dann sind die Mengen {f g}, {f < g}, {f g}, {f > g}, {f = g}, {f g}, (2.4) messbare Teilmengen von. Beweis: Wegen Satz 2.2 ist {f < g} = q Q({f < q} {q < g}) messbar, für die anderen folgt die Messbarkeit aus {f > g} = {g < f}, {f g} = \ {f < g}, {f g} = \ {f > g}, {f = g} = {f g} {g f}, {f g} = \ {f = g}. Definition 2.5 (Spur-σ-Algebra) Sei Menge, A σ-algebra auf, sei Q. Wir definieren auf Q die Spur-σ-Algebra A Q durch A Q = {A Q : A A}. (2.5) Dass A Q eine σ-algebra auf Q ist, folgt unmittelbar aus den Definitionen. Satz 2.6 Sei Menge, A eine σ-algebra auf, f : [, ], sei ( n ) eine Folge messbarer Mengen in mit = n. (2.6) Dann gilt: f ist A-messbar genau dann, wenn die Abbildungen A n -messbar sind für alle n N. f n : n [, ] (2.7) Beweis: Übung. Aus Satz 2.6 erhalten wir: Ist f : [, ] durch eine (endliche oder abzählbar unendliche) Fallunterscheidung definiert, also = N n=1 n, oder = n, 27

29 und f 1 (x),. x 1, f(x) = f n (x),. x n, f n : n [, ], so genügt es zum Beweis der Messbarkeit von f festzustellen, dass alle Mengen n und alle Abbildungen f n messbar sind. Wir gehen noch einmal auf die Rechenregeln mit ± ein. a + =, a (, ], (2.8) a =, a [, ), (2.9), a (0, ], a = 0, a = 0, (2.10), a [, 0), a ( ) = a, (2.11) Nach wie vor sind und + nicht definiert. a = a (2.12) Satz 2.7 Sei Menge, A σ-algebra, seien f, g : [, ] messbar. Dann sind messbar auf den Definitionsgebieten f + g : + [, ], f g : [, ], (2.13) + = ({f < } {g > }) ({f > } {g < }), (2.14) = ({f < } {g < }) ({f > } {g > }). (2.15) Weiter ist f g : [, ] messbar. Beweis: Wir wenden Satz 2.2 an. Ist α R beliebig, so ist α g messbar, da {α g β} = {g α β}, für alle β R. Hieraus folgt, dass auch f + g auf + messbar ist, da auf + für alle α R gilt {f + g α} = {f α g}. Wegen f g = f + ( g) ist f g auf messbar. Die Funktion f 2 = f f ist messbar, da { {f 2, α 0, α} = {f α} {f α}, α > 0,. Im Spezialfall f, g : R ist nun fg messbar wegen fg = 1 4 (f + g)2 1 4 (f g)2. (2.16) 28

30 Für den allgemeinen Fall betrachten wir 1 = {fg = }, 2 = {fg = }, 3 = {fg = 0}, 4 = \ ( ). Die i sind messbar, es ist 1 = ({f = } {g > 0}) ({f = } {g < 0}) ({g = } {f > 0}) ({g = } {f < 0}), 2 wird analog zerlegt, und 3 = {f = 0} {g = 0}. Die Messbarkeit von fg folgt nun aus Satz 2.6 wegen, ω 1,, ω 2, (fg)(ω) = 0, ω 3, (fg)(ω), ω 4, da die Messbarkeit von (fg) 4 in (2.16) gezeigt wurde. Satz 2.8 Sei Menge, A σ-algebra auf, seien f n : [, ] messbar für alle n N. Dann sind auch die Funktionen sup f n, inf f n, lim sup f n, n lim inf n f n, (2.17) messbar. Beweis: Für alle α R gilt {sup f n α} = {f n α}, also ist {sup f n α} messbar für alle α R und damit auch (sup f n ) : [, ]. Aus den Darstellungen inf f n = sup( f n ), ( ) lim sup f n = inf sup f m, lim inf f n = sup n m n n ( ) inf f m m n, folgt die Messbarkeit der übrigen Funktionen in (2.17). Folgerung 2.9 Sei Menge, A σ-algebra auf, seien f n : [, ] punktweise konvergent gegen f : [, ], lim f n(x) = f(x), für alle x. (2.18) n Dann gilt: Sind alle f n messbar, so ist auch f messbar. Beweis: Folgt direkt aus Satz 2.8, da f = lim sup n f n = lim inf n f n. 29

31 Folgerung 2.10 Sei Menge, A σ-algebra auf, f : [, ] messbar. Dann sind auch der Positivteil f + und der Negativteil f, f + (x) = max{f(x), 0}, f (x) = min{f(x), 0} = ( f) + (x), (2.19) sowie messbar. f = f + + f (2.20) Es gilt f = f + f sowie f + 0, f 0. Definition 2.11 (Charakteristische Funktion) Sei Menge. Für A definieren wir die charakteristische Funktion 1 A : R von A durch { 1, x A, 1 A (x) = (2.21) 0, x / A. Offensichtlich gilt sowie die Rechenregeln 1 A ist messbar A ist messbar, A B 1 A 1 B, 1 \A = 1 1 A, A B = 1 A B = 1 A + 1 B, 1 i I A i = sup 1 Ai, i I 1 i I A i = inf 1 A i. i I Definition 2.12 (Einfache Funktion) Sei Menge. Eine Funktion f : R heißt einfache Funktion, wenn sie messbar ist und nur endlich viele verschiedene Werte annimmt. Wir setzen E() = {f f : R, f ist einfache Funktion}, (2.22) E + () = {f f E(), f 0}. (2.23) Ist f : R einfache Funktion mit den voneinander verschiedenen Werten α 1,..., α n, so sind die Mengen messbar und paarweise disjunkt, und es gilt A i = {x : x, f(x) = α i }, 1 i n, (2.24) f = n α i 1 Ai. 30

32 Wir beginnen jetzt mit der Definition des Lebesgue-Integrals. Die Grundidee, dargestellt am eindimensionalen Fall b a f(x) dx, [a, b] R, ist die folgende: Bisher haben wir den Definitionsbereich von f, nämlich das Intervall = [a, b], diskretisiert, etwa durch eine Zerlegung a = x 0 < x 1 < < x N = b, und f auf den Teilintervallen [x i, x i+1 ] approximiert, und zwar für das Regelintegral durch Treppenfunktionen (siehe Analysis 1), oder für das Riemann-Integral (welches wir nicht behandelt haben) durch Ober- und Untersummen. Im Gegensatz dazu wird beim Lebesgue-Integral der Wertebereich von f diskretisiert in Werte α 1,..., α N, und f wird durch einfache Funktionen approximiert. Die Mengen A i aus (2.24), welche das Definitionsgebiet unterteilen, können dabei eine sehr komplizierte Struktur haben. Definition 2.13 (Maßraum) Sei Menge, A σ-algebra auf, µ ein Maß auf A. Das Tripel (, A, µ) heißt Maßraum. Unsere typische Situation ist: = R n, A ist die Borelalgebra, und µ ist das Lebesgue-Maß λ. Definition 2.14 (Lebesgue-Integral in E + ()) Sei (, A, µ) Maßraum, sei f E + (). Ist n f = α i 1 Ai, (2.25) wobei α i 0 und A i messbar für 1 i n, und die (A i ) paarweise disjunkt sind mit n A i =, (2.26) so definieren wir das Lebesgue-Integral von f (über bezüglich µ) durch n f dµ = α i µ(a i ). (2.27) Die Darstellung (2.25) ist nicht eindeutig, das Integral in (2.27) hängt aber nicht von der Wahl der Darstellung ab: Ist (β j, B j ) 1 j m eine weitere solche Darstellung mit n m α i 1 Ai = β j 1 Bj, (2.28) so gilt n m α i 1 Ai B j = j=1 = n m j=1 α i m j=1 1 Ai B j = n β j 1 Ai B j. j=1 n α i 1 Ai = m β j 1 Bj = j=1 m j=1 β j n 1 Ai B j 31

33 Da die A i B j paarweise disjunkt sind, folgt α i = β j, falls A i B j, also n n m m n m α i µ(a i ) = α i µ(a i B j ) = β j µ(a i B j ) = β j µ(b j ), j=1 also ist das Lebesgue-Integral nichtnegativer einfacher Funktionen wohldefiniert. Lemma 2.15 Sei (, A, µ) Maßraum. Dann gelten 1 A dµ = µ(a), für alle A A, (2.29) αf dµ = α f dµ, für alle α 0, f E + (), (2.30) f + g dµ = f dµ + g dµ, für alle f, g E + (), (2.31) f g f dµ g dµ. (2.32) Beweis: Die Eigenschaften (2.29) und (2.30) folgen unmittelbar aus den Definitionen. Seien nun n m f = α i 1 Ai, g = β j 1 Bj, Darstellungen gemäß Definition Zum Beweis von (2.31) bemerken wir, dass n m f + g = (α i + β j )1 Ai B j, also j=1 j=1 j=1 f + g dµ = (α i + β j )µ(a i B j ) = i,j i = f dµ + g dµ. Zum Beweis von (2.32) stellen wir fest, dass α i 1 Ai B j = f g = i,j i,j also α i β j falls A i B j und daher f dµ = α i µ(a i B j ) i,j i,j α i µ(a i ) + j β j 1 Ai B j, β j µ(a i B j ) = j=1 β j µ(b j ) g dµ. Satz 2.16 Sei Menge, A σ-algebra auf, f : [, ] messbar mit f 0. Dann gibt es eine monoton wachsende Folge (f n ) in E + (), also f n 0 und f n f n+1 für alle n N, mit f = sup f n. (2.33) 32

34 Beweis: Die Folge (f n ) wird durch Diskretisierung des Bildbereichs R + von f konstruiert. Wir definieren A kn durch { {x : k2 n f(x) < (k + 1)2 n }, 0 k < n2 n, A kn = (2.34) {x : f(x) n}, k = n2 n, und f n durch n2 n f n = k2 n 1 Akn, (2.35) k=1 also f n (x) = k2 n, falls x A kn. Dann ist f n f n+1 nach Konstruktion, und es gelten f(x) = + f n (x) = n für alle n, (2.36) f(x) < + 0 f(x) f n (x) 2 n für alle n > f(x). (2.37) Hieraus folgt (2.33). Definition 2.17 (Lebesgue-Integral nichtnegativer messbarer Funktionen) Sei (, A, µ) Maßraum, sei f : [, ] messbar mit f 0. Wir definieren das Lebesgue-Integral von f (über bezüglich µ) durch f dµ = sup f n dµ, (2.38) wobei (f n ) eine monoton wachsende Folge in E + () ist mit Es kann sein, dass das Integral in (2.38) den Wert + hat. f = sup f n. (2.39) Nach Satz 2.16 gibt es immer eine solche Folge. In Lemma 2.18 unten zeigen wir, dass das Integral nicht von der Wahl der Folge abhängt. Lemma 2.18 Sei (, A, µ) Maßraum, sei (f n ) monoton wachsende Folge in E + (). Dann gilt: (i) Ist g E + () mit g sup f n, so ist g dµ sup (ii) Ist (g n ) monoton wachsende Folge in E + (), so gilt sup g n = sup f n sup g n dµ = sup f n dµ. (2.40) f n dµ. (2.41) 33

35 Beweis: Sei m g = α j 1 Aj dargestellt gemäß Definition Wir wählen β (0, 1) beliebig und setzen B n = {f n βg}. j=1 Es gilt dann also m m f n βg1 Bn = β α j 1 Aj 1 Bn = β α j 1 Aj B n, j=1 j=1 m m f n dµ β α j 1 Aj B n dµ = β α j µ(a j B n ). (2.42) j=1 j=1 Es ist sup f n > βg auf der Menge {g 0}, also folgt B n und weiter A j B n A j für alle j, also nach Übungsaufgabe lim µ(a j B n ) = µ(a j ). n Wir bilden in (2.42) auf beiden Seiten das Supremum und erhalten sup f n dµ β m α j µ(a j ) = β j=1 g dµ. (2.43) Da (2.43) für jedes β < 1 gilt, folgt (2.40). Sei nun sup n g n = sup n f n. Es ist dann 0 g m sup f n für alle m N, also folgt aus (2.40), angewendet auf g m, dass g m dµ sup f n dµ für alle m, also auch sup m N g m dµ sup f n dµ. Vertauschen der Rolle von f n und g n liefert (2.41). Satz 2.19 Sei (, A, µ) Maßraum. Dann gilt für alle messbaren Funktionen f, g : [, ] mit f, g 0 und alle α 0 αf dµ = α f dµ, (2.44) f + g dµ = f dµ + g dµ, (2.45) f g f dµ g dµ. (2.46) 34

36 Beweis: Sei f = sup f n, g = sup g n, mit Folgen (f n ), (g n ) in E + () gemäß Satz Dann gilt αf = sup n αf n für α 0, also folgt (2.44) aus Es gilt weiter αf dµ = sup = α αf n dµ = sup α f dµ. f n dµ = α sup f n dµ f + g = sup(f n + g n ), f n + g n E + (), also folgt (2.45) aus f dµ + g dµ = sup f n dµ + sup g n dµ = lim ( ) = lim f n dµ + g n dµ n n f n dµ + lim n = lim f n + g n dµ = n g n dµ f + g dµ. Ist f g, so ist f m g = sup n g n für alle m N, also folgt aus Lemma 2.18 (i), dass f m dµ sup g n dµ = g dµ, und hieraus (2.46), indem wir das Supremum über alle m N bilden. Definition 2.20 (Lebesgue-Integral messbarer Funktionen) Sei (, A, µ) Maßraum, f : [, ] messbar. Wir sagen, dass f (Lebesgue-) integrierbar ist (über bezüglich µ), falls f + dµ <, f dµ <, (2.47) und wir definieren in diesem Fall das Lebesgue-Integral von f durch f dµ = f + dµ f dµ. (2.48) Wenn nur eines der beiden Integrale in (2.47) den Wert + hat, bleibt die Definition (2.48) sinnvoll, und das Lebesgue-Integral von f hat den Wert + bzw.. (Man bezeichnet f dann allerdings nicht mehr als Lebesgue-integrierbar.) Lemma 2.21 Sei (, A, µ) Maßraum, f : [, ] messbar. Dann sind äquivalent: (i) f ist integrierbar. (ii) f + und f sind integrierbar. 35

37 (iii) Es gibt integrierbare Funktionen u, v : [0, ] (also u 0, v 0) mit f = u v. (iv) Es gibt eine integrierbare Funktion g : [0, ] mit f g. (v) f ist integrierbar. Beweis: Die Äquivalenz von (i) und (ii) ist in Definition 2.20 enthalten. (ii) (iii) : Wähle u = f +, v = f. Da f + und f nie gleichzeitig den Wert + annehmen, ist f + f überall definiert. (iii) (iv) : Nach Satz 2.19 ist mit u und v auch g = u + v integrierbar, und es folgt f = u v u + v = g. (iv) (v) : Es ist ( f ) + = f, ( f ) = 0, also nach Satz f dµ g dµ <. (v) (ii) : Es gilt 0 f + f, 0 f f, also f + dµ f dµ <, f dµ f dµ <. Satz 2.22 Sei (, A, µ) Maßraum, seien f, g : [, ] integrierbar. Dann gelten αf dµ = α f dµ, für alle α R, (2.49) und, falls f + g auf ganz definiert ist, f + g dµ = und weiter f g f dµ + g dµ, (2.50) f dµ g dµ, (2.51) f dµ f dµ. (2.52) Beweis: Folgt aus den entsprechenden Aussagen für nichtnegative Funktionen in Satz 2.19 und Lemma Wegen (αf) + = αf +, (αf) = αf, falls α 0, (αf) + = α f, (αf) = α f +, falls α < 0. gilt (2.49). Setzen wir u = f + + g + und v = f + g, so sind u und v integrierbar, nichtnegativ, und es gilt nirgends u(x) = v(x) = (andernfalls wäre (f + g)(x) nicht definiert). Es ist dann f + g integrierbar und u v = f + g = (f + g) + (f + g), 36

38 also und weiter f + g dµ = = u dµ + (f + g) dµ = v dµ + (f + g) + dµ, (f + g) + dµ (f + g) dµ = u dµ v dµ ( ) f + dµ + g + dµ f dµ + g dµ = f dµ + Ist f g, so sind f + g + und f g, also f dµ = f + dµ f dµ g + dµ g dµ = g dµ. g dµ. Wegen f f folgt wegen f f folgt also gilt (2.52). f dµ f dµ, f dµ = f dµ f dµ, Definition 2.23 (Integral über Teilmengen) Sei (, A, µ) Maßraum, sei f : [, ] messbar, sei A messbar. Wir definieren f dµ = f 1 A dµ, (2.53) A falls die rechte Seite definiert ist, das heißt, falls entweder f 1 A 0 oder f 1 A integrierbar ist. Lemma 2.24 Sei (, A, µ) Maßraum, sei f : [, ] messbar, seien A, B messbar. Dann gilt, falls f 0 oder f integrierbar ist, f dµ + f dµ = f dµ + f dµ. (2.54) A B Beweis: Folgt aus Satz 2.22 wegen A B A 1 A B + 1 A B = 1 A + 1 B. B 37

39 3 Normierte und metrische Räume Für diesen Abschnitt vereinbaren wir: K steht für den Körper R oder C, d.h. eine Aussage, in der K auftaucht, steht als Abkürzung für die beiden entsprechenden Aussagen mit K = R und K = C. Definition 3.1 (Norm, normierter Raum) Sei X Vektorraum über K. Eine Abbildung : X [0, ) heißt Norm auf X, falls gilt x = 0 x = 0, (3.1) λx = λ x für alle λ K, x X, (3.2) x + y x + y für alle x, y X. (3.3) Ist eine Norm auf X, so heißt (X, ) normierter Raum. Beispiele: (R, ) ist normierter Raum (mit K = R), (C, ) ist normierter Raum (mit K = R oder K = C). Definieren wir für x = (x 1,..., x n ) C n x 2 = n x i x i = n x i 2, (3.4) so ist (R n, 2 ) ein normierter Raum (Beweis siehe Analysis 2, bzw. siehe unten). Für X = R n wird (3.4) zu x 2 = n x 2 i. (3.5) Definition 3.2 (Supremumsnorm) Sei D Menge. Wir definieren durch B(D; K) = {f f : D K, f ist beschränkt} (3.6) den Raum aller beschränkten Funktionen auf D. Für f B(D; K) definieren wir die Supremumsnorm von f durch f = sup f(x). (3.7) x D Satz 3.3 Sei D Menge. Dann ist (B(D; K), ) ein normierter Raum. Beweis: B(D; K) ist ein Vektorraum, da Summen und skalare Vielfache beschränkter Funktionen ebenfalls beschränkte Funktionen sind. Für f, g B(D; K) und λ K gilt f 0 x D mit f(x) > 0 f > 0, also λf = sup x D λf(x) = λ sup f(x) = λ f, x D (f + g)(x) f(x) + g(x) f + g, für alle x D, f + g = sup f(x) + g(x) f + g. x D 38