Theoretische Informatik II

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1 Theoretiche Informati II Script zur Vorleung vom Angefertigt von: Tony Schmidt Matriel-Nr: 778 Inhaltverzeichni Inhaltverzeichni 6 Einleitung 6 Turing-Machine 6 Warum Turing-Machinen? 6 Bechreibung der Turing-Machine 6 Arbeitweie der Turing-Machine 6 Definition A: Turing-Machine 65 Definition B: Konfiguration 66 Definition C: Arbeitweie (Konfiguration) 67 Definition D: berechnete Funtion 5 68 Definition E: Turing-berechenbar (+Klaen) 5 69 Beipiele 6 6 Varianten von Turing-Machinen 7 6 Univerelle Turing-Machine 8 6 Regitermachine 9 6 Warum Regitermachinen? 9 6 Bechreibung der Regitermachine 9 6 Definition F: -Regitermachine ρ 9 6 Definition G: Konfiguration 65 Definition H: RM -berechenbar (+Klaen) 66 Beipiele 67 RAM-random acce machine Anhang: Zuammenfaung Aublic auf die nächte Vorleung (nächte Script) Literaturverzeichni nicht au der Vorleung Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

2 Einleitung Diee Script it durch eine Mitchrift der Vorleung Theoretiche Informati II am enttanden Diee würde jedoch mit der Definition E zu Turing- Machinen beginnen Um da Vertändni de Stoffe zu verbeern, habe ich den Stoff über Turing- Machinen au der vorherigen Vorleung am hier mit aufgenommen Vorrauetzung it natürlich auch da Wien de bi hierhin beannten Stoffe Die it eine überarbeitete Faung und ollte fehlerfrei ein, garantiert ann die jedoch nicht, da auch Tippfehler überehen werden önnen Alo immer Mitdenen! In der Vergangenheit haben wir un mit ontextfreien Grammatien bechäftigt Da diee mit Einchränungen verbunden ind, betrachten wir nun Grammatien vom Typ und die damit verbundenen aufzählbaren Sprachen Ch- Jetzt ind aber Machinenmodelle intereant, da ie den verwendeten Rechner (Machinen) ihre Leitungfähigeit entprechen Man ann ohne Einchränung der Leitungfähigeit einen realen Rechner auf ein Machinenmodell abtrahieren Ein Rechner benötig immer Speicher zum Rechnen, o da man grundlegend zwei Machinenmodelle (Turing-Machine und Regitermachine) erhält, die im folgenden hier definiert werden, owie ihre Arbeitweien bechrieben werden 6 Turingmachinen 96 von Adam Mathion Turing (9-95) entwicelt 6 Warum Turing-Machinen? Endliche Automaten beitzen nur einen einzigen Speiche der endlich viele Information peichern ann In der Praxi ind alle Speicher endlich, o da durch diee Bechränung der endliche Automat ehr begrenzte Berechnungmöglicheiten hat Puh-Down-Azeptoren beitzen auch einen endlich großen Zutandpeiche verfügen jedoch über einen potentiellen unendlich großen Stac Ein Stac erlaubt nur LIFO-Zugriff (lat in firt out), womit er nur da oberte Element ehen ann Nun definiert man eine Machine, die einen endlichen Zutandraum owie einen potentiell endlichen Speicher ohne LIFO-Bechränung beitzt Frage it nun, ob er dadurch an Mächtigeit gewinnt Man wird fettellen da die o it Diee Machinen nennt man Turing-Machinen 6 Bechreibung der Turing-Machine Turing-Machinen önnen alo endlich viele Zutände einnehmen und beitzen zuätzlich einen potentiell unendlich großen Speicher Dieen ann man ich al ein unendlich lange Band vortellen Der Zugriff erfolgt über ein Schreib-/Leeopf, der nach recht (r) oder nach lin (l) verchoben werden ann Die Machine ann ein Eingabewort auf dem Band leen und ie ann auch Zeichen au einen endlichen Alphabet auch chreiben Da man im Gegenatz zu Puh-Down-Azeptoren durch die Linbewegung ein Eingabewort mehrmal leen ann, mu man noch ein Haltezutand (h) einführen Dieer ann im Laufe einer Berechnung (höchten) ein einzige mal auftreten, am Berechnungende nämlich Man führt auch ein ogenannte Blanymbol (b) au den endlichen Bandalphabet ein, um u a Wörter abzugrenzen Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

3 6 Arbeitweie einer Turing-Machine a) Initialiierung: w X, w = x x x X Γ b w b x n, i Band X Eingabealphabet (endl) Γ Bandalphabet (endl) S Zutandmenge (endl) Lee-/Schreibopf S Zutandaten b) Schritt auführen: (Zeichen unter Lee-/Schreibopf (LSK), atueller Zutand) δ (neuer Zutand, neue Zeichen unter LSK, LSK-Bewegung (l,h) ) c) Berechnungende: zb δ (, a) = ( ', a', P);, ' S; a, a' Γ ; P { l, b b w b b Augabe: w 6 Definition A: Ein 6-Tupel = ( S, X, Γ, δ,, b ) heißt Turing-Machine, wenn gilt S nichtleere endliche Zutandmenge S Anfangzutand Γ endliche Bandalphabet X Γ endliche Eingabealphabet b Γ \ X Blanymbol δ : S Γ S Γ { l, partielle Zutandüberführungfuntion 65 Definition B: Ein Tripel (, f, i) heißt Konfiguration der Turing-Machine, wenn S atueller Zutand f: Γ Bandinhalt: f(j) it der Inhalt der j-ten Zelle, wobei e nur endlich viele j mit f(j) b gibt i Poition de Lee-/Schreibopf erfüllt it K it dabei die Menge aller Konfigurationen von Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

4 66 Definition C: Arbeitweie einer Turing-Machine anhand einer abtraten Automatenymboli () Anfangonfiguration: w X, w = w w, w X : X α K α( w ) = (, f w, δ ) f w it die Bandinchrift i f w ( j) = w b j, fall, ont j Start: Auf dem Band teht ein Eingabewort w X, alle Felder lin und recht von w enthalten da Blanymbol b Der Lee-/Schreibopf teht auf dem erten Buchtabe von w und die Turing-Machine befindet ich im Anfangzutand () Zutandübergangonfiguration (Schritt auführen): δ ˆ : K K mit δ ˆ(, f, i) = ( ', f ', i') : f ( i) = a Γ, δ (, a) = ( ', a', P) f '( j) = f ( j) a', fall, fall j + i j = i i + i' = i i, fall P = {r}, fall P = {l}, fall p = { Arbeitchritt: Der LSK befindet ich auf einem Feld mit dem Inhalt a Γ, der Zutandaten ei im Zutand (nicht Endzutand) It nun δ (, a) = ( ', a', P) definiert, geht die Machine in de Zutand über zb wird da Zeichen a auf dem atuellen Feld de Bande durch a eretzt und der LSK ann dann nach recht r verchoben werden () Augabefuntion (Ergebni): ω : Γ K mit ω (, f, i) = ε, fall für alle j f(j)=b ω (, f, i) = vv v l, fall e ein gibt mit f ( j) = b für alle j < f ( ) b f ( j) = b für alle j > + l f ( + l) b f ( j) = v für j l j + Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

5 +l b b v v l b b Ergebni: Die Turing-Machine hält an, wenn die Berechnung beendet it Die Augabe it dann da Wort zwichen den am weiteten lin tehenden Zeichen (ungleich dem Blanymbol b) und dem am weiteten recht tehenden Zeichen (ungleich b) E gibt genau ein Somit it die Augabe eindeutig 67 Definition D: Sei = ( S, X, Γ, δ,, b ) eine Turing-Machine Die von berechnete Funtion ω( δˆ h ( w) = m+ ( α( w))), fall m = Min,ont (Endlochleife) h : X Γ it definiert durch: j { j δˆ ( α( w)) = (, f, i) und ',a' : δ (, f(i)) = (',a',h)} Diee Funtion it nur dann definiert, wenn die Turing-Machine hält, alo e eine Berechnungende gibt ex 68 Definition E: Seien A,B Alphabete a) Eine Abbildung h : A B (partielle Funtion) heißt Turingberechenba wenn e eine Turing-Machine = ( S, X, Γ, δ,, b ) gibt mit B Γ und h = h b) Klae = { h h : A B Turing - berechenba } A, B r c) ei die Klae aller Turing-berechenbaren Funtionen (A,B beliebig) d) Eine Menge M A heißt Haltebereich / Definitionbereich einer Turing- Machine = ( S, A, Γ, δ,, b ), wenn M = { w A h ( w) definiert it } e) Eine Menge M B heißt Ergebnibereich / Wertebereich einer Turing- Machine = ( S, A, Γ, δ,, b ) mit B Γ, wenn M = { v B w A : h ( w) = v} Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778) 5

6 69 Beipiele Im folgenden ommen nun ein paar Beipiele zu Turing-Machinen in der ogenannten Bierdecelnotation oder auch Buy-Beaver-Notation genannt Beipiel : = S = { }, X = { }, Γ = { b, }, δ,, ) mit P { l, und ( b (, b) = (,, h) δ (, ) = (,, r δ und ) E werden Striche auf da Band gechrieben gefolgt von einen Blanymbol h :{ } { b, } S Γ S Γ P h ( n ) = n+, n ß r Haltebereich: { } B h + Wertebereich: { } Tabelle Beipiel : = S = { }, X = { }, Γ = { b, }, δ,, ) mit P { l, und ( b (, b) = (, b, h) δ (, ) = (, b, r δ und ) E werden Striche auf dem Band durch Blanymbole eretzt S Γ S Γ P b b r b h Tabelle h h :{ } { b, } ( w) = ε, w { } Haltebereich: { } Wertebereich: {ε } Beipiel : = ( S = {, }, X = { }, Γ = { b, }, δ,, b) mit P { l, und der Zutandübergangfuntion δ : S Γ S Γ { l, (iehe Tabelle ) E handelt ich hierbei um eine Gradzahligeitmachine, die nur hält, wenn eine gerade Anzahl von Strichen auf dem Band it und nach dem Leen it ein Strich mehr auf dem Band S Γ S Γ P b h r b b r r Tabelle h :{ } { b n+ n h ( ) = Haltebereich:, } n, fall,ont ß { ß } + Wertebereich: { ß } Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778) 6

7 Beipiel : = ( S = {,,, }, X = { }, Γ = { b,, c}, δ,, b) mit P { l, und der Zutandübergangfuntion δ : S Γ S Γ { l, (iehe Tabelle ) Die auf dem Band befindlichen Striche werden durch doppelt o viele c eretzt (Verdopplung) Nr ) ) ) ) 5) 6) 7) 8) 9) ) ) ) S Γ S Γ P b b h b r c c h b c r r c c r b c l h c c h b b r l c c L Tabelle h :{ } { b,, c} n n ( ) = c h, n ß Haltebereich: { } Wertebereich: { c ß } Beipiel: Striche auf dem Band 5 7 b b b c b cc b cc b cc 6 b cc bbcc bbcc bbcc bbccc 7 bbcccc bbcccc bbcccc bbcccc bbcccc bbcccc 6 Man beobachtet: Der Wertebereich von entpricht dem Haltebereich von (Man müte noch die Striche von in c umwandeln) Somit ann man diee beiden Turing-Machinen mit einander vernüpfen o h ( n ) = c n+ o : 6 Varianten von Turing-Machinen Man ann zeigen, da die Varianten der Turing-Machinen nicht an Mächtigeit gewinnen Diee önnen alle durch die hier vorgetellte Turing-Machine imuliert werden a) -Kopf-Turing-Machine ( Band) Lee-/Schreiböpfe Zutandaten Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778) 7

8 b) -Band-Turing-Machine mit Lee-/Schreiböpfe Lee-/Schreiböpfe Zutandaten c) -dimenionale Turing-Machine mit m Köpfe zb: = m = Bemerung: Man ann in alle Richtungen mit den LSK ich bewegen Lee-/Schreiböpfe Zutandaten d) Turing-Machinen mit Endzutänden tatt der Ation halt 6 Univerelle Turing-Machinen An den wenigen Beipielen ann man chon erennen, wie mächtig und flexibel Turing- Machinen ind Ein Problem gibt e jedoch, da ie nur eine ganz betimmte Funtion (durch vorgegebene Programm) berechnen ann Dieen vermeintlichen Mangel ann man durch Kontrution einer univerellen Turing-Machine beheben Diee ann al Eingabe da Programm einer beliebig anderen Turing-Machine annehmen und diee imulieren nicht au der Vorleung Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778) 8

9 6 Regitermachinen 6 Warum Regitermachinen? Ein Turing-Machinen-Algorithmu, der die Addition zweier Unärzahlen bechreibt, lät ich nicht o auf andere Berechnungmodelle übertragen Man führt nun (unter anderem dewegen) ogenannte Regitermachinen ein Diee ähneln ehr onrete Rechner im abtraten Sinn Sie hat eine endliche zahl von Regitern, von denen jede eine beliebig große natürliche Zahl peichern ann Die Regitermachine rechnet nur mit natürlichen Zahlen, welche jedoch eine Einchränung bedeutet Computer rechnen genau genommen nur auf Bai von und 6 Bechreibung der Regitermachine Wie bereit erwähnt verfügt die Regitermachine über eine fete endliche Anzahl () von Speicherzellen (Regiter) Jede Regiter hat einen unendlich großen Wertebereich ß Auf einen Regiter önnen drei verchiedene Operationen angewandt werden: Erhöhen de Inhalt um, Vermindern de Inhalt um (, wobei jedoch die nicht unterchritten werden darf) und die Abfrage de Inhalt auf 6 Definition F: Eine -Regitermachine ρ bechreibt man durch ein 5-Tupel ρ = ( S,, δ,, F), wobei: S endliche nichtleere Zutandmenge S Anfangzutand ß Regiteranzahl F S Endzutandmenge δ : ( S \ F) {,} S {,, + } o {,} it für den Nulltet: Wenn der Regiterinhalt it, dann wird zurücgegeben, ont o {-,,+} ind die Regiteroperationen, wie oben bechrieben Beipiel: -Regitermachine 78 S Regiter mit Inhalt Zutandaten Zugriff über Operationen Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778) 9

10 6 Definition G: Sei ρ = ( S,, δ,, F) eine Regitermachine K ρ = S ß heißt Menge der Konfigurationen von ρ Anfangonfiguration: α : ß K it definiert durch α ( n ) = (,( n,,,)) ρ Start: Im erten Regiter teht der Startwert n ß und alle anderen Regiter haben den Wert und die Machine befindet ich im Anfangzutand Zutandüberführungonfiguration (Schritt auführen): δ ˆ : K K mit δ ˆ(,( i,, i )) = ( ',( i ',, i ')) : ρ ρ δ,( ign( i ),, ign( i ))) = ( ',( j ',, j ')) mit j { +,, } ( i ign(i l ) it die Vorzeichenfuntion Sie liefert, wenn i l = und, wenn i l > ( i l < it nicht möglich ) il + j j,ont i l ' =, fall il = jl = Wendet die Regiteroperationen an und verhindert da die unterchritten wird Arbeitchritt: E wird die atuelle Regiterbelegung durch eine neue eretzt, wobei auf den Regitern nur die Operationen { +,, } angewandt werden dürfen Die Machine geht in de Zutand über Augabefuntion (Ergebni): ω : K ρ ß mit ω (,( i,, i )) = i, fall F Ergebni: Die Regitermachine hält, wenn ie in einen Endzutand gelangt it Da Ergebni it dann der Wert der im erten Regiter teht Die von ρ berechnete Funtion hρ : ß ß it definiert durch h n) = ω( δˆ ( α ( n))), fall m = Min{j δˆ,ont ( α( n)) = (,( i,, i m j ρ ( )) mit F exitiert} Diee Funtion it nur dann definiert, wenn die Regitermachine hält Dann hat ie ein Endzutand erreicht und die Berechnung it zuende Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

11 65 Definition H: Sei ρ = ( S,, δ,, F) eine Regitermachine a) Eine Abbildung h : ß ß heißt RM -berechenba wenn e eine Regitermachine ρ mit -Regitern gibt, o da h = h R b) Kae m = { h h RM - berechenbar it} ρ c) R m = URm ei die Klae aller RM -berechenbaren Funtionen d) Eine Menge M ß heißt Haltebereich / Definitionbereich einer Regitermachine ρ mit -Regitern, o da M = { n ß ( n) definiert it } h ρ e) Eine Menge M ß heißt Ergebnibereich / Wertebereich einer Regitermachine ρ mit -Regitern mit M = { m ß n ß h ( n) = m} ρ 66 Beipiele Im folgenden nun ein paar Beipiele zu Regitermachinen Beipiel : ρ = S = {, }, =, δ,, F = { }) mit der Zutandübergangfuntion ( : ( S \F ) {,} S {,, + } δ (iehe Tabelle 5) Diee Regitermachine zählt da eine Regiter bi auf herunte addiert dann die und landet im Endzutand S Tet S Operationen beliebig Tabelle 5 RM -berechenbare Funtionen: h ρ ( n) mit n ß = Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

12 ( : ( \ F ) {,} S {,, + Beipiel : ρ = S = {,,,, }, =, δ,, F = { }) mit der Zutandüber- gangfuntion δ S } (iehe Tabelle 6) Diee Regitermachine vervierfacht den Wert, der im erten Regiter teht, benutzt dazu ein Hilfregiter und landet im Endzutand S Tet S Operationen Tabelle 6 - beliebig RM -berechenbare Funtionen: hρ ( n) n mit n ß = Ingeamt ergibt ich dann folgende Arbeitweie: n n (, ) (, ) (, ) n Beipiel: n = Beipiel : Soll eine Regitermachine zb die Addition berechnen, o will man folgende RM -Berechenbareitfuntion h : ß r ß Dazu mu man aber noch die Eingabeonfiguration α und die Augabeonfiguration ω etwa modifizieren 67 RAM-random acce machine RAM it eine verallgemeinerte Regitermachine, die einen wahlfreien Zugriff auf die Regiter und einen größeren Befehlvorrat beitzt Sie beteht au einer zentralen Recheneinheit, einem Speiche einem Eingabeband, einem Augabeband und einem Programm Innerhalb der Komplexitättheorie ann man mit ihnen Laufzeiten von Algorithmen betimmen nicht au der Vorleung Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)

13 Zuammenfaung Turing-Machinen haben einen endlichen Zutandpeicher und ein unendliche Band auf da ie leen, chreiben önnen, owie ein Bandfeld nach lin oder recht bewegen önnen Turing-Machinen önnen nicht nur Sprachen erennen, ondern beonder Funtionen berechnen E gibt viele Varianten von Turing-Machinen, die die gleiche Mächtigeit aber beitzen Außerdem ann man univerelle Turing-Machinen bauen Regitermachinen ind leicht abtrahierte Rechne die endlich viele Regiter beitzen, die eine natürliche Zahl aufnehmen önnen Mit ihnen önnen Funtionen berechnet werden Außerdem ann man mit ihnen auch Programme einer rudimentären imperativen Programmierprache auführen (nächte Vorleungen) Ergebni: Turing-Machinen und Regitermachinen haben weit an Mächtigeit gegenüber Automaten, Puh-Down-Azeptoren, (biher vorgetellten) gewonnen Aublic auf die nächte Vorleung (da nächte Sript) Wir werden im folgenden zeigen, da Regitermachinen und Turing-Machinen äquivalent zueinander ind Die Beweiidee it folgende: Man imuliert eine Turing-Machine durch eine Regitermachine und umgeehrt, indem man jede Regiter durch ein eineitig unendliche Band imuliert Literaturverzeichni Er, Katrin und Lutz Priee: Theoretiche Informati / Eine umfaende Einführung, Springer-Verlag, erte Auflage Schöning, Uwe: Theoretiche Informati urzgefat, Spetrum Aademicher Verlag, 995, zweite Auflage Klau, Voler und Schwill, Andrea: Schülerduden Informati, Dudenverlag, 997, dritte neu bearbeitete Auflage Tony Schmidt (Matriel-Nr: 778)