10. Elementare Datenstrukturen
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- Carl Blau
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1 10. Elementare Datenstrukturen Definition 10.1: Eine Datenstruktur ist gegeben durch eine Menge von Objekten sowie einer Menge von Operationen auf diesen Objekten Operation 1 Operation 2 Operation 3 SS 2017 DuA - Kapitel 10 1
2 10. Elementare Datenstrukturen Definition 10.1: Eine Datenstruktur ist gegeben durch eine Menge von Objekten sowie einer Menge von Operationen auf diesen Objekten. Definition 10.2: 1. Werden auf einer Menge von Objekten die Operationen Einfügen, Entfernen und Suchen betrachtet, so spricht man von einem Wörterbuch (engl. Dictionary). 2. Werden auf einer Menge von Objekten die Operationen Einfügen, Entfernen und Suchen des Maximums (Minimums) betrachtet, so spricht man von einer Prioritätswarteschlange (engl. Priority Queue). SS 2017 DuA - Kapitel 10 2
3 Datenstrukturen Ein grundlegendes Datenbank-Problem Speicherung von Datensätzen Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Wohnort, Kundennummer, offene Rechnungen, offene Bestellungen, ) Anforderungen: Schneller Zugriff Einfügen neuer Datensätze Löschen bestehender Datensätze SS 2017 DuA - Kapitel 10 3
4 Datenstrukturen Zugriff auf Daten: Jedes Objekt hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel) Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Name Totale Ordnung: Lexikographische Ordnung SS 2017 DuA - Kapitel 10 4
5 Datenstrukturen Zugriff auf Daten: Jedes Objekt hat einen Schlüssel Eingabe des Schlüssels liefert Datensatz Schlüssel sind vergleichbar (es gibt totale Ordnung der Schlüssel) Beispiel: Kundendaten (Name, Adresse, Kundennummer) Schlüssel: Kundennummer Totale Ordnung: SS 2017 DuA - Kapitel 10 5
6 Elementare Operationen Insert(S,x): Füge Objekt x in Menge S ein. Search(S,k): Finde Objekt x mit Schlüssel k. Falls kein solches Objekt vorhanden Ausgabe NIL Remove(S,x): Entferne Objekt x aus Menge S. Minimum(S): Finde Objekt mit minimalem Schlüssel in S (es muss eine Ordnung auf Schlüsseln existieren). Maximum(S): Finde Objekt mit maximalem Schlüssel in S (es muss eine Ordnung auf Schlüsseln existieren). SS 2017 DuA - Kapitel 10 6
7 Datenstrukturen Unsere erste Datenstruktur: Array A[1,,max] Integer n, 1 n max n bezeichnet Anzahl Elemente in Datenstruktur A nil nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 7
8 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A nil nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 8
9 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A Insert(2) nil nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 9
10 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A Insert(2) nil nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 10
11 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A Insert(2) nil nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 11
12 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A Insert(2) nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 12
13 Datenstrukturen Insert(s) 1. if n=max then return Fehler: Kein Platz in Datenstruktur 2. else 3. n n+1 4. A[n] s A nil nil Laufzeit: Θ(1) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 13
14 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil A nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 14
15 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil A nil nil Search(11) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 15
16 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil i A nil nil Search(11) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 16
17 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil i A nil nil Search(11) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 17
18 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil i A nil nil Search(11) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 18
19 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil i=3 A nil nil Search(11) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 19
20 Datenstrukturen Search(x) 1. for i 1 to n do 3. if A[i] = x then return i 4. return nil A nil nil Laufzeit: Θ(n) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 20
21 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 21
22 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 Annahme: Wir bekommen Index i des zu löschenden Objekts A nil nil n SS 2017 DuA - Kapitel 10 22
23 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil Remove(3) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 23
24 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil Remove(3) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 24
25 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil Remove(3) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 25
26 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil nil Remove(3) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 26
27 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil nil Remove(3) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 27
28 Datenstrukturen Remove(i) 1. A[i] A[n] 2. A[n] nil 3. n n-1 A nil nil nil Laufzeit: Θ(1) n SS 2017 DuA - Kapitel 10 28
29 Datenstrukturen Datenstruktur Feld: Platzbedarf Θ(max) Laufzeit Suche: Θ(n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(1) Vorteile: Schnelles Einfügen und Löschen Nachteile: Speicherbedarf abhängig von max (nicht vorhersagbar) Hohe Laufzeit für Suche SS 2017 DuA - Kapitel 10 29
30 Dynamisches Feld Im folgenden: w=max. Operationen: new (fordere Speicher an) und delete (gib Speicher frei) Erste Idee: Jedesmal, wenn Feld A nicht mehr ausreicht (n>w), generiere neues Feld der Größe w+c für ein festes c. A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] andere Variablen Umkopieren in neues Feld A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] A[w+1]. A[w+c] SS 2017 DuA - Kapitel 10 30
31 Dynamisches Feld Zeitaufwand für Erweiterung ist Θ(w): A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] Umkopieren in neues Feld A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] A[w+1]. A[w+c] Zeitaufwand für n Insert Operationen: Aufwand von Θ(w) je c Operationen Gesamtaufwand: Θ( i=1 n/c c i) = Θ(n 2 ) SS 2017 DuA - Kapitel 10 31
32 Dynamisches Feld Bessere Idee: Jedesmal, wenn Feld A nicht mehr ausreicht (n>w), generiere neues Feld der doppelten Größe 2w. A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] A[1] A[2] A[3] A[4]. A[w] A[w]+1. A[2w] Jedesmal, wenn Feld A zu groß ist (n w/4), generiere neues Feld der halben Größe w/2. SS 2017 DuA - Kapitel 10 32
33 Dynamisches Feld Seien α=1/4 und β=2. Insert(e): if n=w then A reallocate(a,βn) n n+1 A[n] e A A A e n=w=4: SS 2017 DuA - Kapitel 10 33
34 Dynamisches Feld Seien α=1/4 und β=2. Remove(i): A[i] A[n] A[n] nil A n n-1 if n αw and n>0 then A reallocate(a,n/β) A n=5, w=16: SS 2017 DuA - Kapitel 10 34
35 Dynamisches Feld reallocate(a,w ): w w A new Array[1..w] of Element for i 1 to n do A [i] A[i] delete A return A } Umkopieren SS 2017 DuA - Kapitel 10 35
36 Dynamisches Feld Lemma 10.3: Betrachte ein anfangs leeres dynamisches Feld A. Jede Folge σ von m Insert und Remove Anfragen kann auf A in Zeit O(m) bearbeitet werden. Erste Idee: Laufzeit O(m 2 ) Genauer: Im worst case nur durchschnittlich konstante Laufzeit pro Operation (Fachbegriff dafür: amortisiert) SS 2017 DuA - Kapitel 10 36
37 Amortisierte Analyse Feldverdopplung: Feldhalbierung: Von A A A A Nächste Verdopplung: n Insert Operationen Nächste Halbierung: n/2 Remove Ops SS 2017 DuA - Kapitel 10 37
38 Amortisierte Analyse Von A Nächste Verdopplung: n Insert Ops Nächste Halbierung: n/2 Remove Ops Idee: verrechne reallocate-kosten mit Insert/Remove Kosten (ohne realloc) Kosten für Insert/Remove: O(1) Kosten für reallocate(βn): O(n) SS 2017 DuA - Kapitel 10 38
39 Amortisierte Analyse Idee: verrechne reallocate-kosten mit Insert/Remove Kosten Kosten für Insert/Remove: O(1) Kosten für reallocate(βn): O(n) Formale Verrechnung: Zeugenzuordnung Insert Insert Insert Insert Insert + realloc Reallokation bei n Elementen: bezeugt durch letzte n/2 Insert Operationen SS 2017 DuA - Kapitel 10 39
40 Amortisierte Analyse Formale Verrechnung: Zeugenzuordnung Insert Insert Insert Insert Insert + realloc Reallokation bei n Elementen: bezeugt durch letzte n/2 Insert Operationen Remove Remove Remove Remove Remove + realloc Reallokation bei n Elementen: bezeugt durch letzte n Remove Operationen Dann jede Ins/Rem Op nur 1x Zeuge SS 2017 DuA - Kapitel 10 40
41 Amortisierte Analyse Idee: verrechne reallocate-kosten mit Insert/Remove Kosten Kosten für Insert/Remove: O(1) Kosten für reallocate(βn): O(n) Konkret: Θ(n) Zeugen pro reallocate(βn) verteile O(n) Aufwand gleichmäßig auf Zeugen Gesamtaufwand: O(m) bei m Operationen SS 2017 DuA - Kapitel 10 41
42 Amortisierte Analyse Alternative Sicht zur Zeugenmethode: Kontenmethode Kontenmethode: Spiel mit Zeittokens Günstige Operationen zahlen Tokens ein Teure Operationen entnehmen Tokens Tokenkonto darf nie negativ werden! SS 2017 DuA - Kapitel 10 42
43 Amortisierte Analyse Kontenmethode: Spiel mit Zeittokens Annahme: Zeittoken sind genügend groß gewählte Zeiteinheiten, so dass Insert und Remove (ohne reallocate) eine Laufzeit von höchstens einem Zeittoken haben. Günstige Operationen zahlen Tokens ein pro Insert 2 zusätzliche Tokens pro Remove 1 zusätzlichen Token Teure Operationen entnehmen Tokens pro reallocate(βn) n Tokens Tokenkonto darf nie negativ werden! erfüllt über Zeugenargument SS 2017 DuA - Kapitel 10 43
44 Amortisierte Analyse Laufzeit über Zeittoken: Ausführung von Insert/Remove kostet 1 Token Tokenkosten für Insert: 1+2 = 3 Tokenkosten für Remove: 1+1 = 2 Ausführung von reallocate(βn) kostet n Tokens Tokenkosten für reallocate(βn): n-n=0 Insert Insert Insert Insert reallocate Gesamtlaufzeit = O(Summe der Tokenlaufzeiten) SS 2017 DuA - Kapitel 10 44
45 Amortisierte Analyse Wir haben schon kennengelernt: Zeugenmethode Kontenmethode Im folgenden: allgemeine Herangehensweise Potenzialmethode SS 2017 DuA - Kapitel 10 45
46 Amortisierte Analyse S: Zustandsraum einer Datenstruktur F: beliebige Folge von Operationen Op 1, Op 2, Op 3,,Op n s 0 : Anfangszustand der Datenstruktur s 0 Op 1 s 1 Op 2 s 2 Op 3. Op n s n Zeitaufwand T(F) = i=1n T Opi (s i-1 ) SS 2017 DuA - Kapitel 10 46
47 Amortisierte Analyse Zeitaufwand T(F) = i=1n T Opi (s i-1 ) Eine Familie von Funktionen A X (s), eine pro Operation X, heißt Familie amortisierter Zeitschranken falls für jede Sequenz F von Operationen gilt T(F) A(F) := c + i=1n A Opi (s i-1 ) für eine Konstante c unabhängig von F Wir können also für die Abschätzung der worst-case Laufzeit einer Folge von Operationen so tun, also ob A X (s) die worst-case Laufzeit von Operation X bei Zustand s ist. Es ist aber durchaus möglich, dass für eine einzelne Operation X A X (s)<<t X (s) ist. SS 2017 DuA - Kapitel 10 47
48 Amortisierte Analyse Triviale Wahl von A X (s): A X (s) := T X (s) Dynamisches Feld (Zeittoken gen. groß): A Insert (s):=3, A Remove (s):=2, A rellocate (s):=0 alternative Wahl von A X (s): über Potenzial φ:s R 0 vereinfacht Beweisführung SS 2017 DuA - Kapitel 10 48
49 Amortisierte Analyse Satz 10.4: Sei S der Zustandsraum einer Datenstruktur, sei s 0 der Anfangszustand und sei φ:s R 0 eine nichtnegative Funktion. Für eine Operation X und einen Zustand s mit s s definiere A X (s) := T X (s) + (φ(s ) - φ(s)). Dann sind die Funktionen A X (s) eine Familie amortisierter Zeitschranken. SS 2017 DuA - Kapitel 10 49
50 Amortisierte Analyse Zu zeigen: T(F) c + i=1n A Opi (s i-1 ) Beweis: i=1n A Opi (s i-1 ) = i=1n [T Opi (s i-1 ) + φ(s i ) - φ(s i-1 )] = T(F) + i=1n [φ(s i ) - φ(s i-1 )] = T(F) + φ(s n ) - φ(s 0 ) T(F) = i=1n A Opi (s i-1 ) + φ(s 0 ) - φ(s n ) i=1n A Opi (s i-1 ) + φ(s 0 ) konstant SS 2017 DuA - Kapitel 10 50
51 Beispiel: Dynamisches Feld A A reallocate + Insert φ(s)=0 φ(s)=2 A φ(s)=4 A A φ(s)=6 φ(s)=8 A reallocate φ(s)=0 + A Insert φ(s)=2 SS 2017 DuA - Kapitel 10 51
52 Beispiel: Dynamisches Feld A φ(s)=0 A φ(s)=2 A A Remove + reallocate φ(s)=4 φ(s)=0 Generelle Formel für φ(s): (w s : Feldgröße von A, n s : Anzahl Einträge) φ(s) = 2 w s /2 n s SS 2017 DuA - Kapitel 10 52
53 Beispiel: Dynamisches Feld Potenzial ist nicht gleich Konto! A A A Remove Insert φ(s)=0 φ(s)=2 φ(s)=0 A A A Remove Insert Konto(s)=0 Konto(s)=1 Konto(s)=3 SS 2017 DuA - Kapitel 10 53
54 Beispiel: Dynamisches Feld Formel für φ(s): (w s : Feldgröße von A in Zustand s, n s : Anzahl Einträge) φ(s) = 2 w s /2 n s Satz 10.5: Sei φ = φ(s )-φ(s) für s s φ nicht negativ, φ(s 0 )=1 (w=1, n=0) A Insert (s) = φ + T Insert (s) 2+1 = 3 A Remove (s) = φ + T Remove (s) 2+1 = 3 A realloc (s) = φ + T realloc (s) (0-n s )+n s = 0 SS 2017 DuA - Kapitel 10 54
55 Beispiel: Dynamisches Feld Beweis für A realloc (s) 0: Fall 1: b b φ(s)=n s φ(s )=0 Fall 2: b 1 2 b 1 2 φ(s)=2n s φ(s )=0 SS 2017 DuA - Kapitel 10 55
56 Amortisierte Analyse Die Potenzialmethode ist universell! Satz 10.6: Sei B X (s) eine beliebige Familie amortisierter Zeitschranken. Dann gibt es eine Potenzialfunktion φ, so dass A X (s) B X (s) für alle Zustände s und alle Operationen X gilt, wobei A X (s) definiert ist wie in Satz Problem: finde geeignetes Potenzial! Wenn erstmal gefunden, dann Rest einfach. SS 2017 DuA - Kapitel 10 56
57 Datenstrukturen Datenstruktur Dynamisches Feld: Platzbedarf Θ(n) Laufzeit Suche: Θ(n) Amortisierte Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(1) Vorteile: Schnelles Einfügen und Löschen Speicherbedarf abhängig von n Nachteile: Hohe Laufzeit für Suche Kann durch Tricks (progressives Umkopieren) in worst case Laufzeit O(1) umgewandelt werden. SS 2017 DuA - Kapitel 10 57
58 Datenstrukturen Warum nicht sortiertes Feld? Mit sortiertem Feld binäre Suche möglich Im n-elementigen sortierten Feld wird jedes Element in max. log n Schritten gefunden. SS 2017 DuA - Kapitel 10 58
59 Datenstrukturen Datenstruktur Sortiertes Dynamisches Feld: Platzbedarf Θ(n) Laufzeit Suche: Θ(log n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(n) Grund: Folge muss auseinander (beim Einfügen) oder zusammen (beim Löschen) geschoben werden, was Θ(n) Laufzeit verursachen kann (siehe Insertionsort) Insert(7) SS 2017 DuA - Kapitel 10 59
60 Sortiertes Feld Kann man Insert und Remove besser mit einem sortierten Feld realisieren? folge Beispiel der Bibliothek! SS 2017 DuA - Kapitel 10 60
61 Sortiertes Feld Bibliotheksprinzip: lass Lücken! Angewandt auf sortiertes Feld: Insert(5) Remove(14) SS 2017 DuA - Kapitel 10 61
62 Sortiertes Feld Durch geschickte Verteilung der Lücken: amortierte Kosten für insert und remove Θ(log 2 n) Analyse allerdings komplex! Insert(5) Remove(14) SS 2017 DuA - Kapitel 10 62
63 Datenstrukturen Datenstruktur Sortiertes Dynamisches Feld mit Lücken: Platzbedarf Θ(n) Laufzeit Suche: Θ(log n) Amortisierte Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(log 2 n) Noch bessere Laufzeiten möglich mit geeigneten Zeigerstrukturen oder Hashtabellen. SS 2017 DuA - Kapitel 10 63
64 Stacks (Stapel) und Queues (Schlangen) Definition 10.7: 1. Stacks (Stapel) sind eine Datenstruktur, die die LIFO (last-infirst-out) Regel implementiert. Bei der LIFO Regel soll das zuletzt eingefügte Objekt entfernt werden. 2. Queues (Schlangen) sind eine Datenstruktur, die die FIFO (firstin-first-out) Regel implementiert. Bei der FIFO Regel soll das am längsten in der Menge befindliche Objekt entfernt werden. SS 2017 DuA - Kapitel 10 64
65 Stacks Einfügen eines Objekts wird bei Stacks Push genannt. Entfernen des zuletzt eingefügten Objekts wird Pop genannt. Zusätzliche Hilfsoperation ist Stack-Empty, die überprüft, ob ein Stack leer ist. Stack mit maximal n Objekten wird realisiert durch ein Array S[1 n] mit einer zusätzlichen Variablen top[s], die den Index des zuletzt eingefügten Objekts speichert. Maximale Anzahl Objekte a priori nicht bekannt: verwende dynamisches Array für S. SS 2017 DuA - Kapitel 10 65
66 Stack - Beispiel Objekte sind hier natürliche Zahlen. Stack kann dann wie folgt aussehen: top[ S] = 4 SS 2017 DuA - Kapitel 10 66
67 Stack - Operationen Push ( S, x) [ S] top[ S] S[ top[ S ] x top ( S) Stack - Empty 1. if top[ S] = 0 2. then return TRUE 3. else return FALSE + 1 Pop 1. if ( S ) [ S] top[ S] 1 S[ top[ S] + 1] SS 2017 DuA - Kapitel Stack Empty(S) then error else top return Satz 10.8: Mit Stacks kann die LIFO Regel in Zeit O(1) ausgeführt werden. "underflow"
68 Illustration der Stackoperationen top[ S] = 4 Nach Push(S,17), Push(S,3): top[ S] = 6 Nach Pop(S): top[ S] = 5 SS 2017 DuA - Kapitel 10 68
69 Queues Einfügen eines Objekts wird Enqueue genannt. Entfernen des am längsten in der Queue befindlichen Objekts wird Dequeue genannt. Zusätzliche Hilfsoperation ist Queue-Empty, die überprüft, ob eine Queue leer ist. Queue mit maximal n-1 Objekten wird realisiert durch ein Feld Q[1 n] mit zusätzlichen Variablen head[q], tail[q]. (Maximum nicht bekannt: verwende dynamisches Feld.) head[q]: Position des am längsten in Queue befindlichen Objekts tail[q]: erste freie Position. Alle Indexberechnungen modulo n (+1), betrachten Array kreisförmig. Auf Position n folgt wieder Position 1. SS 2017 DuA - Kapitel 10 69
70 Queue - Beispiele head [ Q] = 7 tail[ Q] = tail[ Q] = 3 head[ Q] = 7 SS 2017 DuA - Kapitel 10 70
71 Queue - Operationen Enqueue(Q,x) Q[tail[Q]] x if tail[q] = length[q] then then teil[q] 1 else tail[q] tail[q]+1 Queue-Empty(Q) if head[q]=tail[q] then return TRUE else return FALSE Dequeue(Q,x) if Queue-Empty(Q) then error underflow else x Q[head[Q]] if head[q]=length[q] then head[q] 1 else head[q] head[q]+1 return x SS 2017 DuA - Kapitel 10 71
72 Illustration Enqueue head [ Q] = 7 tail[ Q] = 12 Nach Enqueue(Q,17), Enqueue(Q,3), Enqueue(Q,5): tail[ Q] = 3 head[ Q] = 7 SS 2017 DuA - Kapitel 10 72
73 Illustration Dequeue tail[ Q] = 3 head[ Q] = 7 Nach Dequeue: tail[ Q] = 3 head[ Q] = 8 SS 2017 DuA - Kapitel 10 73
74 Laufzeit Queue-Operationen Satz 10.9: Mit Queues kann die FIFO Regel in Zeit O(1) ausgeführt werden. Problem: ein statisches Feld kann nur begrenzt viele Elemente speichern Lösungsmöglichkeiten: Verwende ein dynamisches Feld wie oben angegeben. Dann sind die amortisierten Laufzeiten der Operationen nach wie vor konstant. Verwende Zeigerstrukturen. SS 2017 DuA - Kapitel 10 74
75 Objekte, Referenzen, Zeiger Zugriff auf Objekte erfolgt in der Regel durch Referenzen oder Verweise auf Objekte wie in Java. In Sprachen wie C und C++ realisiert durch Zeiger, engl. Pointer. Zeiger/Pointer Notation aus Introduction to Algorithms. Verwenden Referenzen, Zeiger, Verweise synonym. Verweise zeigen oder verweisen oder referenzieren auf Objekte. SS 2017 DuA - Kapitel 10 75
76 Doppelt verkettete Listen Verkettete Listen bestehen aus einer Menge von Objekten, die über Verweise linear verkettet sind. Objekte in doppelt verketteter Liste L besitzen mindestens drei Felder: key, next, prev. Außerdem sind Felder für Satellitendaten möglich. Zugriff auf Liste L durch Verweis/Zeiger head[l]. key head[l] / / prev=nil prev next SS 2017 DuA - Kapitel 10 76
77 Doppelt verkettete Listen Verkettete Listen bestehen aus einer Menge von Objekten, die über Verweise linear verkettet sind. Objekte in doppelt verketteter Liste L besitzen mindestens drei Felder: key, next, prev. Außerdem sind Felder für Satellitendaten möglich. Zugriff auf Liste L durch Verweis/Zeiger head[l]. Können dynamische Mengen mit den Operationen Insert, Remove, Search, Search-Minimum, usw unterstützen. Aber Unterstützung ist nicht unbedingt effizient. SS 2017 DuA - Kapitel 10 77
78 Doppelt verkettete Listen head[l] verweist auf erstes Element der Liste L. x Objekt in Liste L: next[x] verweist auf nächstes Element in Liste, prev[x] verweist auf voriges Element in Liste. prev[x]=nil: x besitzt keinen Vorgänger. Dann ist x erstes Element der Liste und head[l] verweist auf x. next[x]=nil: x besitzt keinen Nachfolger. Dann ist x letztes Element der Liste. head[l]=nil: Liste L ist leer. SS 2017 DuA - Kapitel 10 78
79 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / Intern: linear adressierbarer Speicher Inhalte: NIL 1280 head[l] 16 / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 79
80 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / head[l] NIL: Liste noch da, aber nicht mehr über head[l] erreichbar. Inhalte: NIL NIL 1280 head[l] 16 / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 80
81 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / delete head[l]: Speicherplatz des Elements, auf das head[l] zeigt, wird freigegeben. Inhalte: NIL 1280 head[l] 16 / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 81
82 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / delete head[l]: Speicherplatz des Elements, auf das head[l] zeigt, wird freigegeben. Inhalte: head[l] 16 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 82
83 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / delete next[head[l]]: Speicherplatz des Elements, auf das next[head[l]] zeigt, wird freigegeben. Inhalte: NIL NIL 1280 head[l] 16 / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 83
84 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / delete next[head[l]]: Speicherplatz des Elements, auf das next[head[l]] zeigt, wird freigegeben. Inhalte: NIL NIL 1280 head[l] / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 84
85 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / new head[l]: Speicherplatz für neues Element wird angelegt und head[l] darauf verwiesen. Inhalte: 1523 NIL 1280 head[l] / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 85
86 Interne Darstellung Abstrakt: verkettete Liste head[l] / / new head[l]: Speicherplatz für neues Element wird angelegt und head[l] darauf verwiesen. Inhalte: 1430 NIL 1280 head[l] / 9 Adressen: SS 2017 DuA - Kapitel 10 86
87 Zeigervariablen Rot: Zeigervariablen x y head[l] / / prev next Zeigervariablen sind wie Schattenvariablen, d.h. sie stehen stellvertretend für die Objekte, auf die sie zeigen. key[head[l]]: 9 next[head[l]]: y prev[next[head[l]]]: x SS 2017 DuA - Kapitel 10 87
88 Allokation und Deallokation von Speicher Befehle: new ZeigerVar, delete ZeigerVar new ZeigerVar: ZeigerVar delete ZeigerVar: ZeigerVar ZeigerVar Größe hängt vom Typ ab, auf den ZeigerVar zeigen soll ZeigerVar Vorsicht! Adresse noch in ZeigerVar, aber Speicher für Objekt wieder freigegeben. SS 2017 DuA - Kapitel 10 88
89 Varianten verketteter Listen Einfach verkettete Listen: Feld prev nicht vorhanden. head[l] / key next Sortierte verkettete Liste: Reihenfolge in Liste entspricht sortierter Reihenfolge der Schlüssel. zykisch/kreisförmig verkettete Listen: next des letzten Objekts zeigt auf erstes Objekt. prev des ersten Objekts zeigt auf letztes Objekt. SS 2017 DuA - Kapitel 10 89
90 Doppelt verkettete Listen - Beispiel Schlüssel head[l] / / prev next zyklisch doppelt verkette Liste: head[l] SS 2017 DuA - Kapitel 10 90
91 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil x: Zeigervariable, die Adresse des einzufügenden Elements enthält. x 5 head[l] nil 7 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 91
92 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil x 5 head[l] nil 7 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 92
93 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil x 5 head[l] 7 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 93
94 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil head[l] x nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 94
95 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil x head[l] nil nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 95
96 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Remove(L,x) 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] head[l] nil nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 96
97 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Remove(L,x) x: zeigt auf zu löschendes Objekt 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] x 7 4 nil head[l] nil 5 SS 2017 DuA - Kapitel 10 97
98 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Remove(L,x) 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] head[l] nil 5 x 7 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 98
99 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Remove(L,x) 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] head[l] nil 5 x 7 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel 10 99
100 Doppelt verkettete Listen - Beispiel Korrektheit von List-Insert und List-Remove: Weise nach, dass die folgende Invariante nach jeder Operation für die aktuelle Menge M={o 1,,o n } der Objekte in der Liste gilt: Es gibt eine Permutation π auf {1,,n}, so dass head[l] = o π(1) prev[o π(1) ]=NIL und prev[o π(i) ]=o π(i-1) für alle i>1 next[o π(i) ]=o π(i+1) für alle i<n und next[o π(n) ]=NIL SS 2017 DuA - Kapitel
101 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x head[l] nil 5 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
102 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search(L,4) x head[l] nil 5 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
103 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search(L,4) x head[l] nil 5 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
104 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search(L,4) head[l] nil 5 x 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
105 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search(L,4) head[l] nil 5 x 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
106 Doppelt verkettete Listen - Beispiel List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search(L,4) head[l] nil 5 x 4 nil SS 2017 DuA - Kapitel
107 Einfügen in verkettete Liste List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil Lemma 10.10: List-Insert erfordert Zeit Θ(1). SS 2017 DuA - Kapitel
108 Löschen aus verketteter Liste List-Remove(L,x) 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] Lemma 10.11: List-Remove erfordert Zeit Θ(1). SS 2017 DuA - Kapitel
109 Durchsuchen einer verketteten Liste ( L,k ) [ L] List - Search 1. x head 2. while x NIL key 3. do x next 4. return x [ x] [ x] k Lemma 10.12: List-Search erfordert bei einer Liste mit n Elementen Zeit Θ(n). Beweis: Verwende Invariante für die Liste und als Potenzialfunktion die Ordnung des Elements in der Liste. SS 2017 DuA - Kapitel
110 Doppelt verkettete Listen - Beispiel Datenstruktur Liste: Platzbedarf Θ(n) Laufzeit Suche: Θ(n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(1) Vorteile: Schnelles Einfügen/Löschen O(n) Speicherbedarf Nachteile: Hohe Laufzeit für Suche SS 2017 DuA - Kapitel
111 Vereinfachung durch Sentinels (Wächter) Vermeidung von Abfragen head[l] NIL und x NIL durch Einfügen eines zusätzlichen dummy Objekts. dummy besitzt drei Felder key, prev, next, aber key[dummy]= NIL. next[dummy] verweist auf erstes (richtiges) Objekt in Liste. prev[dummy] verweist auf letztes Objekt in Liste. Wir ersetzen in Pseudocode NIL durch dummy. head[l] zeigt jetzt auf dummy Objekt. Dummy Objekt zur Vereinfachung von Randbedingungen wird Sentinel oder Wächter genannt. SS 2017 DuA - Kapitel
112 Liste ohne Sentinel head [L] / / Nach List-Insert(L,x), wobei key [x]=25: head [L] / / Nach List-Remove(L,x), wobei key [x]=4: head [L] / / SS 2017 DuA - Kapitel
113 Zyklisch verkette Liste mit Sentinel head[l] dummy head[l] head[l] head[l] SS 2017 DuA - Kapitel
114 Durchsuchen verketteter Liste (mit Sentinel) List-Search(L,k) 1. x head[l] 2. while x nil and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x List-Search (L,k) 1. x next[head[l]] 2. while x head[l] and key[x] k do 3. x next[x] 4. return x SS 2017 DuA - Kapitel
115 Einfügen in verkettete Liste (mit Sentinel) List-Insert(L,x) 1. next[x] head[l] 2. if head[l] nil then prev[head[l]] x 3. head[l] x 4. prev[x] nil List-Insert (L,x) 1. next[x] next[head[l]] 2. prev[next[head[l]]] x 3. next[head[l]] x 4. prev[x] head[l] SS 2017 DuA - Kapitel
116 Löschen aus verketteter Liste (mit Sentinel) List-Remove(L,x) 1. if prev[x] nil then next[prev[x]] next[x] 2. else head[l] next[x] 3. if next[x] nil then prev[next[x]] prev[x] List-Remove (L,x) 1. next[prev[x]] next[x] 2. prev[next[x]] prev[x] SS 2017 DuA - Kapitel
117 Doppelt verkettete Listen Datenstruktur Liste: Platzbedarf Θ(n) Laufzeit Suche: Θ(n) Laufzeit Einfügen/Löschen: Θ(1) Vorteile: Schnelles Einfügen/Löschen O(n) Speicherbedarf Nachteile: Hohe Laufzeit für Suche Besser: Verkettung der Elemente als Baum SS 2017 DuA - Kapitel
118 Binäre Bäume Neben Felder für Schlüssel und Satellitendaten Felder p, left, right. x Knoten: p[x] Verweis auf Elternknoten, left[x] Verweis auf linkes Kind, right[x] Verweis auf rechtes Kind. Falls p[x]=nil, dann ist x Wurzel des Baums. left[x] / right[x]=nil: kein linkes/rechtes Kind. Zugriff auf Baum T durch Verweis root[t] auf Wurzelknoten. SS 2017 DuA - Kapitel
119 Binäre Bäume - Illustration root[t] / / / / / / / / / / / / / SS 2017 DuA - Kapitel
120 Allgemeine Bäume Darstellung für binäre Bäume auch möglich für k-näre Bäume, k fest. Ersetze left[x]/right[x] durch child1[x],..,childk[x]. Bei Bäumen mit unbeschränktem Grad nicht möglich, oder ineffizient, da Speicher für viele Felder reserviert werden muss. Nutzen linkes-kind/rechtes-geschwister- Darstellung. Feld p für Eltern bleibt. Dann Feld left-child für linkes Kind und Feld right-sibling für rechtes Geschwister. SS 2017 DuA - Kapitel
121 Allgemeine Bäume - Illustration root[t] / / / / / / / / / / SS 2017 DuA - Kapitel
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