7. Übung Künstliche Intelligenz

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Carsten Baumann
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1 Prof. Dr. Gerd Stumme, Dominik Benz Fachgebiet Wissensverarbeitung 7. Übung Künstliche Intelligenz Wintersemester 28/29 Unsicherheit, Wagheit 1. Bei einem medizinischen Test wird ein Symptom S, das für eine Krankheit K indikativ ist, gefunden. Es sei P(S K) die Wahrscheinlichkeit, dass das Symptom gefunden wird, obwohl die Krankheit nicht vorliegt. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeit des Vorliegens von S, d. h. P(S ), als Funktion der vier Größen P(S K), P(K), P(S K) sowie P( K) dar. In der angegebenen Situation gilt entweder K oder K, d. h., wenn S gilt, gilt entweder S und K oder S und K. Diese Wahrscheinlichkeiten lassen sich berechnen durch: P(S K) = P(S K)P(K) bzw. P(S K) = P(S K)P( K) (1) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: P(S ) = P(S K)P(K) + P(S K)P( K). (2) 2. Ein Arzt hat eine Patientin mit mehreren Verfahren auf Brustkrebs untersucht und ist zu der Einschätzung gekommen, dass zu 99 % kein Krebs vorliegt (die Wahrscheinlichkeit, dass Krebs vorliegt ist 1 %). Nun kommt ein verspäteter Röntgenbefund, der für eine Krebserkrankung spricht. Die Wahrscheinlichkeit P(S K) ist bei dieser Art Röntgenbefund 78.2 %, die Wahrscheinlichkeit, dass ein Symptom gefunden wird, obwohl die Krankheit nicht vorliegt ist 9.6 %. Die Neueinschätzung nach Bekanntwerden eines solchen zusätzlichen Befundes ist empirisch untersucht worden. Es zeigt sich, dass etwa 95% der befragten Ärzte zu einer Neueinschätzung von etwa 75 %-iger Wahrscheinlichkeit für das Vorliegen von Brustkrebs, d.h. von P(K S ) gelangen. Berechnen Sie dagegen die (überraschende) Wahrscheinlichkeit P(K S ) mit der Bayes-Formel. Mit dem Ergebnis der vorigen Aufgabe wird die Bayes-Formel zu: P(K S ) = P(S K)P(K) P(S K)P(K) + P(S K)P( K) Durch das Einsetzen von P(S K) =.782, P(K) =.1, P(S K) =.96 und P( K) =.99 erhält man eine Wahrscheinlichkeit von knapp 7.6 %, dass die Patientin Krebs hat gegenüber von Ärzten in dieser Situation intuitiv geschätzten 75 %! 3. Beschreiben Sie eine Situation aus dem täglichen Leben, in der ein nicht-monotoner Schluss notwendig ist. Geben Sie für dieses Beispiel eine Defaultregel an, welche den Normalfall (3) 1

2 beschreibt, und eine prädikatenlogische Wenn-Dann-Regel, welche in der Ausnahmesituation abduktiv angewendet werden kann, um eine mögliche Ursache des unerwarteten Situationsverlaufs zu erschließen. Monotonie als eine Eigenschaft des logischen Schliessens beschreibt, dass die Hinzunahme weiterer Prämissen immer die bisherigen Folgerungen bewahrt. Viele Folgerungen, die wir im Alltag anwenden, gelten jedoch nicht mit aboluter Sicherheit; deshalb sollte man für solche Folgerungen auch keine Monotonie annehmen. Betrachtet wird beispielhaft folgende Situation: Stellen Sie sich vor, Sie leiten ein Softwareunternehmen. Nun sind Sie selbst auf der Suche nach einem bestimmten Programm. Allgemein haben Sie für sich folgende Regel aufgestellt: Wenn das Programm günstig ist und es meine Anforderungen erfüllt, so kaufe ich dieses Programm. Sie finden nun im Internet ein Programm, das günstig ist und ihre Anforderungen erfüllt - allerdings von einem konkurrierenden Softwareunternehmen. In so einem Fall würden Sie das Programm nicht kaufen, was ein nicht-monotones Schliessen darstellt. Eine prädikatenlogische Wenn-Dann-Regel, die zum abduktiven Schliessen auf eine mögliche Ursache des unerwarteten Situationsverlaufs verwendet werden kann, ist programm : StammtVonKonkurrenz(programm) käu f er(leitetsoftwareunternehmen(käu f er) Kauft(programm)) 4. Gegeben sei der Wertebereich [, 2] für die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs sowie der Wertebereich [, 1] für die Reifenabnutzung. Neben vielen anderen Regeln enthält das System eines Reifenherstellers die folgenden beiden Regeln: Regel 1: Bei mittlerer-oder-schneller Fahrt ist die Reifenabnutzung groß. Regel 2: Bei langsamer Fahrt ist die Reifenabnutzung gering. a) Modellieren Sie die Begriffe langsam, mittel und schnell als Fuzzy-Mengen (Dreiecksfunktionen) der Breite 1 mit maximalen Zugehörigkeitswerten bei 5, 1 und 15. b) Die Fuzzy-Mengen für gering und gross sind durch die beiden Listen von Punkten (mit p = (x, y)) definiert. Die erste Liste sei durch ((, 1), (2.5, 1), (7.5, )) und die zweite Liste durch ((2.5, ), (7.5, 1), (1, 1)) definiert. Stellen Sie die Zugehörigkeitsfunktionen graphisch dar. c) Skizzieren Sie die Fuzzy-Mengen für die neuen Begriffe nicht-langsam, langsamund-schnell und mittel-oder-schnell. d) Die aktuell gemessene Geschwindigkeit betrage 9 km/h. Wie groß sind die Erfüllungsgrade der beiden Regeln? Skizzieren Sie die Fuzzy-Menge, die sich als Ergebnis der Regelanwendnung ergibt. 2

3 Wie groß ist die aktuelle Reifenabnutzung nach Defuzzifizierung (geschätzt nach der Schwerpunktmethode)? e) Welche aktuelle Reifenabnutzung ergibt sich bei 75 km/h? 3

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6 d) Der Flächeninhalt A kann berechnet werden, indem man das obere Viereck der Funktion kippt (siehe Abbildung) und ein Rechteck erhält; somit ist der Flächeninhalt 5. In Integralschreibweise ausgedrückt ( f (x) beschreibt hierbei die Funktion, die die Fläche begrenzt): A = 1 f (x) dx = 5 Da wir nur an der Abnutzung (x-achse) interessiert sind, reicht es in unserem Szenario den x-wert des Schwerpunkts der Fläche auszurechnen. Dies ist genau der Wert a, der den Flächeninhalt halbiert - in Integralschreibweise ausgedrückt: a f (x) dx = 1 2 A = 2.5 Da der Flächeninhalt x dx = 2.8 unter dem rechten Teil der Funktion größer ist als die Hälfte des gesamten Flächeninhalts (= 2.5), kann a nun leichter von rechts 1 bestimmt werden über das Integral.8 dx = 2.5. Dieses lässt sich auflösen zu a 2.5 = 1.8 dx a = a = a = a Somit beträgt die Reifenabnutzung e) Hier wird der Schwerpunkt a mit ergibt sich a 2.5 = f (x) dx = 1 2 a 1.5 dx =.5a f (x) dx und f (x) =.5 gesucht. Es Die aktuelle Reifenabnutzung bei 75 km/h ist daher 5 (wie man es ebenfalls in der Abbildung leicht sehen kann). Zur Simulation von Fuzzy Logic / Control Senarien kann im Übrigen das Java-Tool RockOn Fuzzy ( hilfreich sein. 6

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