Konsolidationstheorie und Zeitsetzung

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1 Konsolidationstheorie und Zeitsetzung Prof. Dr.-Ing. Conrad Boley Geotechnik I, HT 2017 Vorlesung 9,

2 -2- Inhalt 1. Einführung 2. Eindimensionale Konsolidationstheorie: Terzaghi 2.1 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation 2.2 Ergebnis der Differentialgleichung 2.3 Anmerkung zum Entwässerungsweg 2.4 Konsolidierungsgrad/ Verfestigungsgrad 2.5 Abhängigkeit von Belastungs- und Entwässerungsverhältnissen 2.6 Modellgesetz der Zeitsetzung 3. Mehrdimensionale Konsolidationstheorie 4. Überkonsolidierte Böden

3 -3-1. Einführung Holsten-Tor in Lübeck Erbaut , gegründet mit Holzschwellenrost auf 11 m Moor. Durch Setzungen von etwa 1,65 m werden ehemals oberhalb des Wasserspiegels liegenden Schließscharten heute überflutet.

4 -4-1. Einführung Königsberger Dom (Kaliningrad) Der Baubeginn ist auf ca datiert. Etwa 1550 wurden die Türme neu gebaut wobei der Südturm eine wesentlich größere Belastung erhielt. Die Gründung besteht aus Pfählen, die ca. 3 m in den Torf einbinden. Der Kirchenfußboden musste im Laufe der Zeit 5 mal erhöht werden. Dadurch liegt die älteste Türschwelle 1.67 m unter der heutigen.

5 -5-1. Einführung Kompressionsversuch: Ödometer

6 -6-1. Einführung Definition Konsolidierung/ Konsolidation: In wassergesättigten zusammendrückbaren bindigen Böden vollziehen sich die Primärsetzungen im Vergleich zu nicht bindigen Böden sehr langsam. Diese Verzögerung ist darauf zurückzuführen, dass bindige Böden eine geringe Durchlässigkeit haben und das vorhandene Porenwasser nicht so schnell abströmen kann, wie die Belastung aufgebracht wird. Aus dieser Verzögerung des stationären Gleichgewichtszustands entsteht ein Porenwasserüberdruck u, der mit der Zeit abgebaut wird. Die Setzungen stellen sich also erst mit dem Abbau des Porenwasserüberdrucks ein. Die allmähliche Abnahme des Wassergehalts bei gleich bleibender Belastung in bindigen Böden und damit der zeitliche Verfertigungsvorgang des Bodens werden als Konsolidierung verstanden (Abbau des Porenwasserdrucks)

7 -7-1. Einführung Spannungsänderung und Porenwasserüberdruck (bindige, wassergesättigte Probe) Totale Spannung σ Effektive Spannung σ Porenwasserüberdruck u σ= σ'+ u

8 -8-2. Eindimensionale Konsolidierungstheorie: Terzaghi Annahmen: der Boden ist vollständig wassergesättigt (S r =1) Wasser und Bodenteilchen sind inkompressibel, d.h. die Volumenänderungen sind ausschließlich auf die Veränderung des Korngefüges zurückzuführen Zusammenhang zwischen effektiven Spannungen und Verformungen ist linear (Hooksches Gesetz) Die auftretenden Verformungen sind im Vergleich zu den Abmessungen klein Die Porenwasserströmung gehorcht dem Darcy schen Filtergesetz (lineare Beziehung zwischen dem hydraulischen Gefälle und der Filtergeschwindigkeit) Die Belastung (unendlich ausgedehnt) wird plötzlich aufgebracht und bleibt über die Zeit konstant

9 -9-2. Eindimensionale Konsolidierungstheorie: Terzaghi Federtopfmodell nach Terzaghi zum Konsolidationsvorgang:

10 Eindimensionale Konsolidierungstheorie: Terzaghi Versuchsablauf: 1. Wasserstände in den Standröhren werden gemessen vorhandener Porenwasserdruck u 2. Aufbringen der Last p Belastung p= σ; Änderung des Porenwasserdrucks drückt sich in der Änderung der Wasserstandshöhe in den Röhrchen aus: σ= σ'+ u effektive +neutral h = p / γ w

11 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation v k i u z W Z Filtergeschwindigkeit [m/s] Durchlässigkeitsbeiwert [m/s] hydraulischer Gradient Porenwasserdruck [kn/m²] Ortskoordinate [m] Wichte des Wassers [kn/m³] Auflast [kn/m²] Z effektive Spannung auf das Korngerüst [kn/m²]

12 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation i k v z h i z u i w ) ( z u k v w ) ( Herleitung anhand des Durchflusses: Darcy sches Filtergesetz: Hydraulischer Gradient: mit w u h v A q z u k v q w ) (, da A = 1 1 ergibt sich pro Zeiteinheit ausgepresstes Wasser in Abhängigkeit vom Ort: dz z u z k z q w ) ( Aus einer Einheit des Rauminhalts wird demnach folgende Wassermenge je Zeiteinheit ausgepresst: 2 2 ) ( z u k z q w (A)

13 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation Herleitung anhand der Verformung am Element: Die volumetrische Verformung des Korngefüges pro Zeiteinheit entspricht: ( ) 1 ( ' ) Z t E t S Dabei gilt zu jedem Zeitpunkt t: ( z, t) Z Z ' Z Z u Einsetzen in die obige Gleichung ergibt: ( ) 1 t E S u Z t

14 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation ( ) 1 ( u) t E t S (B) Unter der Annahme, dass die Konsolidierungssetzung des betrachteten Bodenelements der ausgepressten Wassermenge entspricht, folgt durch Gleichsetzen der Gleichungen (A) und (B) die klassische Differentialgleichung der Konsolidationstheorie für eindimensionale Konsolidation: ( u) t E k S W 2 ( u) 2 z Diese Gleichung ermöglicht Aussagen über den zeitlichen Verlauf des Konsolidationsprozesses und damit über die zeitliche Entwicklung von Deformationen von Böden infolge von Belastungsänderungen.

15 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation Es wird vereinfachend zum Konsolidierungsbeiwert c V zusammengefasst: c V E k S W [m²/s] Damit ergibt sich: ( u) t c V 2 ( u) 2 z (C) Substitution zur Erreichung eines dimensionslosen Ausdrucks: z Dimensionsloser Tiefenfaktor h und cv dimensionsloser Zeitfaktor T t V h 2 ( h = längster Drainageweg, NICHT Schichtdicke)

16 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation Einsetzen in (C) ergibt: 2 u u T V 2 Anfangsbedingung zum Lösen der Differentialgleichung: für t = 0: z 0 z, t 0 u, T V z u 0 Randbedingung: uz 0, t 0 bzw. u 0, T 0 u z h, t 0 bzw. u V 1, 0 T V

17 Herleitung der Differentialgleichung für die eindimensionale Konsolidation Lösung durch Fourierreihenentwicklung und viel mathematischem Geschick ergibt die Porenwasserdruckverteilung 2 2 m m 1 TV 2 u, T sin e V z (D) m0 2 m 1 2

18 Beschreibung der Differentialgleichung Beschreibung des Verlaufs des Porenwasserüberdrucks über die Schichtdicke zu bestimmten Zeiten Die Kurve, die zum Zeitpunkt t die Porenwasserüberdruck-Verteilung angibt, heißt Isochrone. Skizze: (zweiseitige Drainage)

19 Beschreibung der Differentialgleichung Die Kurven verlaufen unter bestimmten Randbedingungen: Für die Zeit 0 < t < ist der Porenwasserüberdruck u an der Oberseite und an der Unterseite der bindigen Schicht gleich null, da hier dem Porenwasser beim Ausfließen kein Widerstand mehr entgegen gesetzt wird (bei einseitiger Drainage nur an der offenen Seite ) In der Mitte einer zweiseitig drainierten Schicht (bzw. bei einseitiger Drainage an der Grenze zur undurchlässigen Schicht) ist die Filtergeschwindigkeit v gleich null (v=0), weil kein Wasser in die andere Richtung entweichen kann Nach sehr langer Zeit (t) ist der Porenwasserüberdruck völlig abgebaut

20 Beschreibung der Differentialgleichung Abbau des Porenwasserüberdrucks zum Zeitpunkt t und Zunahme der effektiven Spannungen d = 2h h h

21 Anmerkung zur Entwässerung Achtung: Die Bezeichnungen des längsten Entwässerungswegs und der Schichtdicke sind in der Literatur nicht einheitlich verwendet! In den Ausführungen hier bedeutet: d = Schichtdicke h = längster Entwässerungsweg Zweiseitige Entwässerung/ Drainage: Es befinden sich auf beiden Seiten der konsolidierenden Schicht durchlässige Bodenschichten. Damit ist aufgrund des beidseitigen Abflusses des Wassers der längste Weg den das Wasser zurück legt h = d/2 Einseitige Entwässerung/ Drainage: Es befindet sich nur auf einer Seite der bindigen Schicht eine gut durchlässige Schicht, d.h. das Porenwasser wird in diese Richtung ausgepresst

22 Konsolidierungsgrad / Verfestigungsgrad Anstelle des Porenwasserüberdrucks wird häufig auch der Konsolidationsgrad oder der Verfestigungsgrad (in einer bestimmten Tiefe) zu einer bestimmten Zeit charakterisiert: Der Abbau der Porenwasserüberdrücke bedeutet eine Zunahme der effektiven Spannungen. Durch eine Integration über die Tiefe kann mit der Funktion der Porenwasserdruckverteilung (D) unmittelbar der Verfestigungsgrad U m (ist die auf die Endsetzung bezogene Konsolidationssetzung) zu einem bestimmten Zeitpunkt bestimmt werden: U m T v st s m0 1 2m 1 2 e 2 m1 2 2 T v Für praktische Umsetzungen hat Terzaghi folgende Ausdrücke abgeleitet, um die Funktion anzunähern: (mit U in %) Für U m = 0 bis 53 %: Für U m = 53 bis 100 %: T v U m T v 1,781 0,933 log 100 U

23 Konsolidierungsgrad / Verfestigungsgrad Konsolidationsgrad in einer definierten Tiefenlage zu einem bestimmten Zeitpunkt: U z u0 u u 0 t abgebauterporenwasserueberdruck Anfangsporenwasserdruck ' ( bzw. p) z [-] Δu 0 = Anfangsporenwasserüberdruck zum Zeitpunkt t = 0 Δu t = Porenwasserüberdruck nach Zeit t (Durchschnittlicher) Verfestigungsgrad U m : Verhältnis der eingetretenen Setzung zur maximalen Konsolidationssetzung s U m st s Endsetzung infolge p: s d E Zeitsetzung infolge p: s t ist die Setzung bei Zeit t s (d = Schichtdicke, = durchschnittliche Spannung) Der Verfestigungsgrad entspricht dem über die Schichtdicke gemittelten Konsolidationsgrad. t = 0 U m = 0 t U m = 1

24 Abhängigkeit von Belastungs- und Entwässerungsverhältnissen Zur Vereinfachung der Bestimmung des Porenwasserdruckabbaus und der Setzung werden Diagramme verwendet. Dort kann der zeitliche Verlauf der Konsolidierung in Abhängigkeit von Spannungs- und Entwässerungsbedingungen entnommen werden: Der dimensionslose Zeitfaktor T V ist eine Funktion des mittleren Konsolidierungsgrades bzw. Verfestigungsgrades: U z Wahl der Kurve in Abhängigkeit der jeweiligen Randbedingungen bzw. Verfestigungsgrad U m

25 Abhängigkeit von Belastungs- und Entwässerungsverhältnissen Zweiseitige Drainierung: unabhängig von der Spannungsverteilung ist Kurve 1 zu wählen. also immer Kurve 1 h Einseitige Drainierung: die Spannungsverteilung im Boden infolge der zusätzlichen Last Δp bzw. die daraus resultierende Verteilung des Anfangsporenwasserüberdrucks Δu 0 entscheidet über die Wahl der zugehörigen Kurve. h entsprechende des Spannungsverlaufs ist Kurve 1, 2, o. 3 zu wählen

26 Abhängigkeit von Belastungs- und Entwässerungsverhältnissen Zugehörig zum Verlauf des Anfangsporenwasserdrucks gibt es dann auch entsprechende Diagramme für den Verlauf des zeitlichen Abbaus des Überdrucks über die Schichtdicke: Isochronen für zweiseitige Drainierung und einseitige Drainierung bei konstanter Anfangsporenwasserüberdruckverteilung: Von einer rechteckigen Anfangsporenwasserüberdruckverteilung bzw. Verteilung der zusätzlichen Vertikalspannung kann ausgegangen werden, wenn es sich bei der aufgebrachten Last um eine unendlich ausgedehnte handelt.

27 Abhängigkeit von Belastungs- und Entwässerungsverhältnissen z.b. Isochronen für zweiseitige Drainierung und dreieckiger Anfangsporenwasserüberdruckverteilung: Wenn die konsolidierende Schicht im Vergleich zur Breite der Lastfläche relativ dick ist, bzw. es sich um begrenzt ausgedehnte Lasten handelt, kann nicht mehr von einer rechteckigen Verteilung ausgegangen werden. Entsprechend der Form der zusätzlichen Vertikalspannung infolge Auflast gibt es auch angepasste Isochronendiagramme h h h Beachte hierbei: die Vertikalspannung entspricht betragsmäßig nicht mehr unbedingt der aufgebrachten Belastung u p z 2h

28 Modellgesetz der Zeitsetzung Aus Ähnlichkeitsbetrachtungen für eine natürliche und eine modellhafte Bodenschicht mit den Höhen h N bzw. h M lässt sich, bei sonst gleichen Parametern und Randbedingungen, eine Beziehung für den zeitlichen Verlauf dieser beiden Konsolidierungsfälle herleiten: aus 2 s h m m t h m m lässt sich ableiten 2 s n h n t n h n Liegt eine Zeit-Setzungskurve aus einem Laborversuch vor, kann damit eine Setzungsdauer in der Natur abgeschätzt werden. Dieses Modellgesetz versagt allerdings bei vorbelasteten bindigen Böden oder großen Schichtdicken.

29 Mehrdimensionale Konsolidationstheorie Die Konsolidationstheorie von Terzaghi befasst sich nur mit der eindimensionalen Konsolidation, d.h. die Porenwasserströmung, durch welche die Porenwasserdrücke abgebaut werden, findet nur vertikal nach untern oder/ und oben statt, also normal zur horizontalen Schicht. Das entspricht jedoch nur dann der Realität, wenn die Dicke der konsolidierenden Tonschicht klein im Vergleich zur großen Ausbreitung der Flächenlast. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, findet zusätzlich zur vertikalen Drainage eine horizontale Drainage statt. Damit ist die Konsolidation mehrdimensional. Die Konsolidationszeiten können ganz erheblich unter denen der 1-D- Konsolidationsberechnung liegen. Dazu kommen noch Anisotropien des Bodens.

30 4. Überkonsolidierte Böden Ein Boden wird als überkonsolidiert bezeichnet, wenn geologisch oder bautechnisch Entlastungen stattgefunden haben, d.h. der Boden war einem größeren Druck ausgesetzt als dem derzeit vorliegenden. Das Konsolidationsverhältnis OCR (over consolidation ratio) beträgt: OCR fruere _ maximale _ Ueberlagerungsspannung heutige _ Ueberlagerungsspannung

31 4. Überkonsolidierte Böden Grafische Bestimmung der Vorbelastung nach Casagrande:

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