Die Tsunami Welle oder auch die

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1 Herleitung der L osung der Die Tsunami Welle oder auch die Solit arwelle Dr.Meike Akveld & Prof.Willy Hager ETH Z urich

2 Motivation Herleitung der Lösung der Die Einzelwelle oder Solitärwelle ist die stabilste aller Wasserwellen Sie entspricht einem Tsunami, falls dieser zweidimensional approximiert wird. Seit dem South-East Asia Tsunami Disaster von 2004 und dem Fukushima-Unglück im Jahr 2011 sehr aktuell.

3 Herleitung der Lösung der John Scott Russel

4 1834: Russell ritt mehrere Kilometer neben einer 10 m langen und 0.5 m Meter hohen Wasserwelle, die sich in einem engen Kanal ausbreitete, und beobachtete, dass sich deren Wellenform nur wenig veränderte. Herleitung der Lösung der Er erforschte das Phänomen weiter (1837) und entdeckte einige Schlüsseleigenschaften dieser Wellen: Die Wellen können sich stabil über lange Distanzen fortsetzen. Die Geschwindigkeit der Wellen hängt von der Grösse der Welle und der Wassertiefe ab. Anders als normale Wellen, vereinigen sie sich nicht. Eine kleine Welle wird von einer grösseren überholt.

5 der mathematischen Beschreibung und Lösung des Problems Der Franzose Joseph V. Boussinesq ( ) publizierte die Lösung in Herleitung der Lösung der Boussinesq Korteweg de Vries Später wurde durch die beiden Holländer Prof. Diederich J. Korteweg ( ) und seinen Doktorand Gustav de Vries ( ) die Lösung verallgemeinert.

6 Herleitung der Konventionen aus der Hydraulik-Lehre: Lässt man den Auflaufprozess ausser Acht, so ist die Solitärwelle sehr stabil, begleitet von praktisch keinen Energieverlusten. Dem zu Folge wird angenommen, dass die hydraulische Wellen-Energie nahezu konserviert wird. Nach dem Energiesatz entspricht die hydraulische Energiehöhe H mit g als Erdbeschleunigung der Summe aus Lagehöhe, Druckhöhe h und Geschwindigkeitshöhe v 2 2g (mit dem Durchfluss pro Einheitsbreite q = h v). Die Energie wird in der Hydraulik deshalb üblicherweise durch eine Höhe ausgedrückt. Herleitung der Lösung der

7 Die Höhe ist somit gegeben durch H = h(x) + q2 2gh(x) 2 ( ( 2h(x)h (x) h (x) 2)... 3 Man beachte, dass der Term in der Klammer einer Art Taylorreihe entspricht. Falls man diese nach dem 2. Term abbricht, so hat man es mit der stationären Boussinesq-Gleichung zu tun H = h(x) + q2 2gh(x) 2 ( ( 2h(x)h (x) h (x) 2)) (1) 3 ) Herleitung der Lösung der

8 Herleitung der Solit arwelle Definitionsskizze L osung der Solit arwelle - Foto ETH

9 Herleitung der Schritt 1 Asymptotisch gilt h(± ) = h o, daraus folgt h (n) (± ) = 0 und somit erhalten wir durch einsetzen in (1) Lösung der q2 H = h o + 2gho 2

10 Schritt 2 Betrachte die Relativwerten X := x h o, y = h h o und ( ) die sog. Zufluss-Froudezahl f 2 := q 2. Einsetzen in (1) gho 3 gibt die dimensionslose autonome 2.Ordnung 1 + f 2 2 = y(x ) + f 2 ( 2y(X ) ( 2y(X )y (X ) y (X ) 2)) 3 (2) mit den Randwerten Herleitung der Lösung der y(± ) = 1 und y (n) (± ) = 0 Bemerkung: Diese DGL lässt sich nicht direkt mit einem CAS lösen (probieren Sie es selbst)!

11 Lösung der Zuerst führen wir die folgende Hilfsfunktion p ein p(x ) := ( ) dy 2 dx (X ) (3) für welche man zeigen kann, dass p (y) = 2 d2 y und damit dx 2 lässt sich (2) vereinfachen zu folgender inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung y p (y) p(y) = 3(y 1) (y + 1 2y 2 ) f 2 Herleitung der Lösung der

12 Es ist leicht einzusehen, dass die homogene Lösung gegeben ist durch p hom (y) = Cy und mit Hilfe der Variation der Konstanten findet man die allgemeine Lösung p(y) = 3y 3 f 2 + 6y 2 f 2 + 3y Cy und durch einsetzen der Randbedingungen erhält man die Lösung p(y) = 3(y 1) 2 (1 y f 2 ) Nun müssen wir noch diese Gleichung nach dy dx auflösen. Herleitung der Lösung der

13 Mit Hilfe von (3) erhalten wir die folgende separierbare für y(x ) dy dx (X ) = 3(y 1) 1 y f 2 mit Hilfe der folgenden Subsitution f z = 2 y f 2 1 Herleitung der Lösung der kann man die Integration durchführen und erhält 2f f 2 1 artanh f 2 y f 2 = 3X + C 2 1

14 Aus Symmetriegründen folgt, dass C 2 = 0 und somit ( ) 3(f y(x ) = f 2 (f 2 1) tanh 2 2 1) X 2f = 1 + f 2 1 ( ) cosh 2 3(f 2 1) 2f X Herleitung der Lösung der

15 Man kan zeigen, dass die Wellenpropagationsgeschwindigkeit der Solitärwelle gegeben ist durch c = (gh M ) 1 2 Sie hängt nur von der maximalen Wellenhöhe h M ab d.h. Im seichten Teich der Wassertiefe h o = 0.1 m (bei kleiner Wellenhöhe): c 1 m/s Im Stausee der Tiefe h o = 100 m: c 35 m/s Im Marianengraben des Pazifiks mit Tiefen von h o = m: c 330 m/s, d.h. Schallgeschwindigkeit! Herleitung der Lösung der

16 Bemerkung: Speziell an der Solitärwelle ist die horizontale Geschwindigkeits-Verteilung, die sich praktisch über die gesamte Wassertiefe ausbreitet, im Gegensatz zu den typisch von Wind erzeugten Tiefwasserwellen. Man kann also Solitärwellen über den Druckanstieg am Boden ausmessen, was in der Frühwarn-Methode durchgeführt wird. Damit umgeht man das Problem der Wellenerkenntnis beispielsweise mit Satelliten, da sich diese Wellen infolge der grossen Länge so nicht ausmessen lassen. Herleitung der Lösung der

17 Herleitung der L osung der Danke f ur Ihre Aufmerksamkeit