15 Knickung. Vorüberlegung L 2. Störung durch Auslenkung. Gleichgewichtsbetrachtung L 2 M A. Auslenkmoment Rückstellmoment. L w.

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Heike Geisler
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1 9 5 Knickung Die bisherigen Betrachtungen führten jeweils auf einen proportionalen Zusammenhang zwischen Belastung und Verformung. Dies gilt auch für Stäbe unter Druckspannungen, die dadurch gestaucht werden und versagen, wenn die Druckspannungen die ließgrenze bzw. Druckfestigkeit überschreiten. ür schlanke Druckstäbe gibt es jedoch noch einen zweiten, häufig kritischeren Versagensmechanismus, das plötzliche Ausknicken durch nstabilität. Diese lässt sich nur verstehen, wenn man die Rückwirkung der Ausbiegung auf die Belastung miteinbezieht. n Abhängigkeit der verschiedenen Randbedingungen erhält man daraus jeweils eine kritische Knicklast, die nicht überschritten werden darf. Durch exzentrischen Angriff der Druckkraft oder Vorkrümmung des Stabes wird diese herabgesetzt. Vorüberlegung c Störung durch Auslenkung w sbetrachtung P Auslenkmoment Rückstellmoment M P M A M R 4c w 0 w M R c M A w M R c 4c w M A M R, d.h. 4c M A M R, d.h. 4c M A M R, d.h. 4c stabiles indifferentes instabiles w 0 w beliebig w 0

2 9 5 Knickung 5. Knickgleichung Berücksichtigung der Belastungsänderung von Druckstäben durch Verformung. Beidseitig gelenkig eingespannter Stab Differentialgleichung der Biegelinie Ew (x) M(x) w(x) oder x w (x) k w(x) 0 mit k E Allgemeine homogene ösung w(x) C sin kx C cos kx w(x) ntegrationskonstanten aus den Randbedingungen z w(0)! 0 C 0 w()! 0 C sin k 0 C 0 w(x) 0 sin k 0, C beliebig w(x) C sin kx k 0,,, kleinste kritische Knicklast k k k E oder k E

3 5 Knickung Verschiedene Knickfälle Die Knickung kann durch agerungen nicht grundsätzlich vermieden werden, die kritische Knicklast lässt sich jedoch durch die agerung beinflussen. Euler sche Knickfälle V agerung fest frei gelenkig gelenkig fest gelenkig fest fest k k k k krit. Knicklast k 0.5 E k E k.046 E k 4 E Vorgehen für andere Knickfälle Aufstellen der Knickgleichung, ösen der Differentialgleichung und Einsetzen der Randbedingungen; nichttriviale ösungen liefern die Knicklast. Zurückführen des betrachteten Knickfalls auf obige älle.

4 94 5 Knickung 5.3 Auslegung von Druckstäben Versagensmöglichkeiten Nach Einführen der (positiven) mittleren Druckspannung : A erfolgt die estigkeitsrechnung gegen ) Quetschen (plastische Verformung)! Q ) Knicken (elastische nstabilität)! k E! k : E A E : A dimensionsloser Schlankheitsgrad A Q ÏÏ ÏÏ ÑÑÑÑÑÑÑÑÑ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ ÏÏ k E ÏÏ ÏÏ ÏÏ A

5 5 Knickung 95 Berücksichtigung von Exzentrizitäten Außermittiger Angriffspunkt der Druckkraft Vorkrümmung des Druckstabs Ausbiegung eines beidseitig gelenkig eingespannten Stabs Differentialgleichung der Biegelinie Ew (x) M(x) ew(x) oder w (x) k w(x) k e mit k E x e allg. homogene ösung w(x) C sin kx C cos kx Partikulärlösung w(x) e w(x) allg. ösung w(x) C sin kx C cos kx e ntegrationskonstanten aus den Randbedingungen z w(0)! 0 C e w()! 0 C sin k e(cos k ) 0 C e cos k sin k e tan k Biegelinie w(x) etan k sin kx cos kx maximale Ausbiegung w() etan k sin k cos k e cos k e 00 k E k E k k 50 e cos k k

6 96 5 Knickung maximale Druckspannung in einem beidseitig gelenkig eingespannten Stab Superposition x max Biegung,max Druck Druck A Biegung,max M maxz max z max (e ) ez max cos k M max (e ) z max z max A Aez max cos EA estigkeitsrechnung gegen Quetschen (plastische Verformung)! max Q Q A Q ÑÑÑÑÑÑÑÑÑÑ E Q 0.8 Aez max k E A

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