3 Freie Koppelschwingungen konservativer Schwingungssysteme

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1 17 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme Das Eigenschwingungsverhalten ungedämpfter Systeme ohne äußere Erregung ann durch trigonometrische Funtionen beschrieben werden, deren Frequenzen systemspezifisch sind und als Eigenfrequenzen des Systems bezeichnet werden. Die Eigenfrequenzen werden mit Hilfe der charateristischen Gleichung ermittelt, die sich durch einen trigonometrischen Lösungsansatz aus den Bewegungsgleichungen ergibt. Zu jeder Eigenfrequenz lässt sich eine charateristische Schwingungseigenform finden, bei der sich alle Bewegungsfreiheiten synchron verändern. Die Schwingungseigenformen werden durch die Eigenvetoren beschrieben, die man aus dem Eigenwertproblem durch Einsetzen der verschiedenen Eigenfrequenzen erhält. Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen findet man durch Superposition der Eigenlösungen. Mit Hilfe der darin enthaltenen freien Konstanten ann die Lösung an beliebige Anfangsbedingungen der Lage und Geschwindigeit angepasst werden. Im allgemeinen Fall erhält man geoppelte Schwingungen in allen Koordinaten als Überlagerung aller Eigenschwingungen. Nur für spezielle Anfangsbedingungen önnen die Eigenschwingungen einzeln sichtbar gemacht werden. Die Eigenvetoren zu verschiedenen Eigenfrequenzen sind bezüglich der Massen- und Steifigeitsmatrix orthogonal bzw. bei mehrfachen Eigenfrequenzen orthogonalisierbar. Sie bleiben in ihrer Länge unbestimmt und önnen frei normiert werden. Für die spätere Modaltransformation eignet sich besonders eine Normierung bezüglich der Massenmatrix, die Eigenvetoren heißen dann massenorthogonal.

2 18 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme 3.1 Eigenschwingungen Lineare Bewegungsgleichung eines freien, onservativen Schwingungssystems Mẏ. Ky 0 Die Massenmatrix ist i. Allg. positiv definit, d.h. y T My 0 für alle y 0, die Steifigeitsmatrix ist mindestens positiv semidefinit, d.h. y T Ky 0 für alle y. Eigenlösungen Lösungsansatz: y(t) y ~ cos(t ) Allgemeines Eigenwertproblem: M 2 K y ~ 0 charateristische Gleichung: det M 2 K 0

3 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme 19 Eigenvetoren: Durch Einsetzen der Eigenfrequenzen, 1(1)f, in das allgemeine Eigenwertproblem findet man die Eigenvetoren ~ y, 1(1)f: M 2 K y ~ 0 y ~

4 20 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme 3.2 Freie Schwingungen Anfangswertproblem eines freien, onservativen Schwingungssystems Lineare Bewegungsgleichung: Mẏ. Ky 0 Anfangsbedingungen: Lage: y(0) y 0 Geschwindigeit: ẏ(0) ẏ 0 Superpositionsprinzip Sind y 1 (t) und y 2 (t) Lösungen der Bewegungsgleichungen, dann auch y y 1 (t) y 2 (t). Durch Superposition der Eigenschwingungen ergibt sich die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichung: y(t) f 1 y ~ cos t Allgemeines Vorgehen zur Lösung des Anfangswertproblems 1) Aufstellen der charateristischen Gleichung det M 2 K 0 2) Lösen der charateristischen Gleichung für die Eigenfrequenzen, 1(1)f: 2 1,, 2 f 1,, f 3) Suzessives Einsetzen der Eigenfrequenzen in das Eigenwertproblem zur Lösung des linearen Gleichungssysteme für die Eigenvetoren ~ y, 1(1)f: M 2 K y ~ 0 ~ y 4) Superposition der Eigenlösungen: y(t) f ~ y cos t 1 5) Bestimmen der insgesamt 2f freien Konstanten (Unbestimmtheit der y ~ sowie ) aus den Anfangsbedingungen: y(0) y 0, ẏ(0) ẏ 0

5 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme 21 Anmerung zu 0 : In diesem Fall ist die zugehörige Teillösung y (t) (a bt)y ~, a, b Beweis: Aus dem Eigenwertproblem M 2 K y ~ 0 folgt mit 0 Ky ~ 0. Außerdem findet man für obigen Lösungsansatz ẏ. 0. Eingesetzt in die Bewegungsgleichung ergibt sich Mẏ. Ky Ky (a bt)ky~ 0

6 22 3 Freie Koppelschwingungen onservativer Schwingungssysteme 3.3 Orthogonalität der Eigenvetoren Orthogonalitätsbeziehungen Die Eigenvetoren eines onservativen Schwingungssystems sind bezüglich der Massenmatrix und Steifigeitsmatrix orthogonalisierbar: ~ y T j My~ i 0, ~ y T j Ky~ i 0, i j. Begründung: für i j : 2 i My~ i Ky~ i 2 i y~t j My~ i y~t j Ky~ i (1) transponiert, i j 2 j y~t j My~ i y~t j Ky~ i (2) (1) (2): 2 i 2 j y ~T j My~ i 0 y ~T j My~ i 0 (1) y ~T j Ky~ i 2 i 0 0 für i j : zugehörige Eigenvetoren spannen eine Mannigfaltigeit auf, in der sie frei und damit immer orthogonal zueinander wählbar sind Normierung der Eigenvetoren Die Eigenvetoren sind nur bis auf einen Fator bestimmt. Für ein systematisches Vorgehen im Rahmen der Modalanalyse bieten sich folgende Normierungen an: massenorthogonal y ~T My~! 1 y ~T Ky~ 2, 1(1)f. steifigeitsorthogonal y ~T Ky~! 1 ~T y My~ 1 2, 1(1)f.