Wiederholung. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsraum Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω 2, } mit ω Ω Pr[ω]=1.

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Wolfgang Michel
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1 Wiederholung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Wahrscheinlichkeitsraum Ergebnismenge Ω = {ω 1, ω, } mit ω Ω Pr[ω]=1. Berechnung von Pr[ n i=1 A i ]: A i disjunkt: Additionssatz n i=1 Pr[A i ] A i nicht disjunkt: Inklusion/Exklusion Prinzip von Laplace: Pr[ω]=1/ Ω für alle ω Ω. Pr[A B] Bedingte Wahrscheinlichkeit: Pr[A B] := Pr[B] Zweikinderproblem Multiplikationssatz für Pr[Ån i=1 A i ]: Pr[A 1 Å ÅA n ] =Pr[A 1 ]*Pr[A A 1 ]* *Pr[A n A 1 Å ÅA n-1 ]. Geburtstagsproblem

2 Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Satz: Seien A 1,,A n Ω paarweise disjunkt und B A 1 A n. Dann gilt nx Pr[B] = Pr[B A i ] Pr[A i ] i=1 B A 1 A n B = (B Å A 1 ) (B Å A n ) A i, A j disjunkt für i j (BÅA i ),(BÅA j ) disjunkt für i j Additionssatz: Pr[B] = Pr[B Å A 1 ] + + Pr[B Å A n ] = Pr[B]*Pr[B A 1 ] + + Pr[B]*Pr[B A n ] Korollar: Pr[B] = Pr[B A] * Pr[A] + Pr[B A] * Pr[ A]

3 Das Ziegenproblem 1. Kandidat K wählt aus einer von 3 Türen. Hinter Türen stehen Ziegen. Hinter einer Tür steht ein Auto.. Showmaster macht Tür mit Ziege auf. 3. Kandidat K darf Tür wechseln. Soll er? Ereignis G:= K gewinnt bei Türwechsel. Ziel: Bestimme Pr[G]. Ereignis A:= K wählt in 1. das Auto aus. Berechne Pr[G] abhängig von A und A. Pr[G A]=0 : K wechselt auf Ziege. Pr[G A]=1: K wechselt auf Auto. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Pr[G] = Pr[G A] * Pr[A] + Pr[G A] * Pr[ A] = 0*1/3 + 1*/3 = /3 Damit gilt Pr[ G]=1/3, K gewinnt beim Türwechsel mit Ws /3 ohne Türwechsel mit Ws 1/

4 Satz von Bayes Satz: Seien A 1,,A n paarweise disjunkt und B A 1 A n, Pr[B]>0. Dann gilt für alle i [n]: Pr[A i B] = Pr[A i B] Pr[B] Folgt direkt aus Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit. Korollar: Sei Pr[B]>0. Dann gilt = Pr[B A i] Pr[A i ] P nj=1 Pr[B A j ] Pr[A j ]. Pr[A B] = Satz von Bayes erlaubt Umdrehen der Bedingung: Anstatt A i unter der Bedingung B Pr[B A] Pr[A]. Pr[B] betrachtet man B unter der Bedingung aller A j

5 Beispiel: Fehlerhafter Datenkanal S i := Bit i wird gesendet. für i=0,1. Pr[S 0 ]=3/10, Pr[S 1 ]=7/10. R i := Bit i wird empfangen. für i=0,1. Bit kippt: Pr[R 1 S 0 ]=3/10, Pr[R 0 S 1 ]=1/10 Fragen: Mit welcher Ws erhält man einen Übertragungsfehler? Pr[ Übertragungsfehler ] = Pr[S 0 Å R 1 ] + Pr[S 1 Å R 0 ] = Pr[R 1 S 0 ]*Pr[S 0 ] + Pr[R 0 S 1 ]*Pr[S 1 ] = 16/100 Mit welcher Ws wird eine Eins empfangen? Pr[R 1 ] = Pr[R 1 S 0 ]*Pr[S 0 ] + Pr[R 1 S 1 ]*Pr[S 1 ] = 3/10*3/10 + 9/10*7/10 = 7/100 Mit welcher Ws wurde 0 gesendet, wenn 0 empfangen wird? Pr[S 0 R 0 ]= Pr[R 0 S 0 ] Pr[S 0 ] Pr[R 0 ] = =

6 Unabhängigkeit von Ereignissen Zweimaliges Würfeln Ω={(i, j) [6] } Pr[ω] = 1/36 für alle ω Ω. A:= Augenzahl im ersten Wurf ist gerade. B:= Augenzahl im zweiten Wurf ist gerade. Frage: Wie groß ist Pr[B A]? Intuitiv: Pr[B A] = Pr[B]: Das Ergebnis des ersten Wurfs beeinflusst den. Wurf nicht. Per Nachrechen: B Å A = {(,),(,4),(,6),(4,),(4,4),(4,6),(6,),(6,4),(6,6)} 9 Pr[A B] Pr[B A] = = 36 Pr[A] 1 = 1 =Pr[B]

7 Definition Unabhängigkeit Def: A,B heißen unabhängig, falls Pr[AÅB] = Pr[A] * Pr[B]. Für Pr[B]>0 gilt: Eintreffen von B hat keinen Einfluss auf Eintreffen von A. Beispiel letzte Folie: Pr[A] = Pr[A B] Pr[B] =Pr[A B]. C = Summe der Augenzahlen beträgt 7. Pr[C] = {(1,6),(,5),(3,4),(4,3),(5,),(6,1)} /36 = 1/6. Frage: Sind A und C unabhängig? A Å C = {(,5),(4,3),(6,1)} Pr[A Å C] = 3/36 = 1/1 = 1/ * 1/6 = Pr[A] * Pr[C] A und C sind unabhängig

8 Paarweise Unabh. versus Unabhängigkeit Beispiel von zuvor: A und B unabhängig: Pr[A Å B] = Pr[A] * Pr[B] A und C unabhängig: Pr[A Å C] = Pr[A] * Pr[C] B und C analog zu A und C unabhängig: Pr[B Å C] = Pr[B] * Pr[C] Frage: Was ist mit Pr[A Å B Å C]? A Å B: Beide Würfe sind gerade, d.h. die Summe ist gerade. Pr[A Å B Å C] = 0 Pr[A Å B] * Pr[C] D.h. die Ereignisse A Å B und C sind abhängig

9 Unabhängigkeit beliebig vieler Ereignisse Def: A 1,,A n heißen unabhängig, wenn für alle I [n]: Pr[ i I A i ]= Y i I Pr[A i ] Lemma: A 1,,A n sind unabhängig s {0,1} n : Pr[A s A s n n ]=Pr[A s 1 1 ]... Pr[A s n n ], mit A 0 i = Ā i und A 1 i = A i. Korollar: Seien A 1, A unabhängig. Dann sind A 1, A und A 1,A und A 1, A unabhängig

10 Beweis des Lemmas : Induktion über Anzahl k der Nullen in s=s 1,,s n IA k=0, d.h. s 1 = =s n =1: Pr[A 1 Å A n ]=Pr[A 1 ]* *Pr[A n ] IS k-1 k: s enthalte k Nullen, obda s 1 =0. Pr[Ā 1 A s... A s n n ] = Pr[A s... A s n n ] Pr[A 1 A s... A s n n ] = Pr[A s ]... Pr[A s n n ] Pr[A 1 ] Pr[A s ]... Pr[A s n n ] = (1 Pr[A 1 ]) Pr[A s ]... Pr[A s n n ] = Pr[Ā 1 ] Pr[A s ]... Pr[A s n n ]

11 Rückrichtung : Sei I [n]. Pr[ i I A i ] = = = Y i I X s j {0,1},j / I X s j {0,1},j / I Pr[( i I A i ) ( j/ I A s j j )] Y Pr[A i ] Y i I j/ I Pr[A i ] X X = Y i I Pr[A i ] j/ I s j {0,1} Pr[A s j j ] Pr[A s j j ]

12 Schnitt, Vereinigung unabh. Ereignisse Lemma: Seien A, B, C unabhängig. Dann gilt: A Å B, C sind unabhängig. A B, C sind unabhängig. Schnitt: Pr[(A Å B) Å C] = Pr[A Å B Å C] = Pr[A]*Pr[B]*Pr[C] = Pr[A Å B]*Pr[C] Vereinigung: Pr[(A B) Å C] = Pr[(A Å C) (B Å C)] = Pr[A Å C] + Pr[B Å C] Pr[A Å B Å C] = Pr[C] (Pr[A] + Pr[B] Pr[A Å B]) = Pr[A B] * Pr[C]

13 Bsp.: Rechnen mit unabh. Ereignissen Szenario: Zwei Routen zwischen S und E durch Knoten k 1 und k durch Knoten k 3 Ereignisse K i = Knoten k i ist intakt. unabhängig mit Pr[K i ]=p. Ereignis R 1 := Route 1 verfügbar, Pr[R 1 ] = Pr[K 1 ÅK ] = p Ereignis R := Route verfügbar, Pr[R ] = p Frage: Wie groß ist Pr[R 1 R ]? D.h. eine Route ist verfügbar. Pr[R 1 R ] = 1 Pr[ (R 1 R )] S = 1 Pr[ R 1 R ] = 1 Pr[ R 1 ] Pr[ R ] k 1 k E k 3 = 1 (1 p )(1 p) =p + p + p

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