NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. Inhaltsverzeichnis

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1 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN FABIAN LUKAS MÜLLER Inhaltsverzeichnis Einschrittverfahren für Anfangsprobleme Beispiele und Problemstellung 2 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz 2 3 Einschrittverfahren 2 4 Explizite Runge-Kutta Verfahren 3 5 Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung 4 6 Adaptive Steuerung von Einschrittverfahren 5 2 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme 7 2 Explizite Adams-Verfahren 7 22 Implizite Adams-Verfahren 8 23 Die Prädiktor-Korrektor-Verfahren 8 24 Die BDF-Verfahren Backwards-Differentiation-Formulas 9 25 Ordnung eines Mehrschrittverfahrens 9 26 Null-Stabilität 27 Konvergenz der Mehrschrittverfahren 3 3 Steife Differentialgleichungen 5 3 Definition und Motivation 5 32 Stabilität gewöhnlicher Differentialgleichungen 5 33 Stabilitätsgebiete für explizite Runge-Kutta-Verfahren 6 34 Stabilitätsgebiet für lineare Mehrschrittverfahren 7 35 Stabilitätsgebiet für implizite Runge-Kutta-Verfahren 9 4 Geometrische numerische Integration: Eine Einführung 2 4 Erste Beispiele 2 42 Symplektische Abbildungen 2 43 Symplektische Integratoren 22 Anhang A Liste wichtiger Verfahren 23 Einschrittverfahren für Anfangsprobleme Beispiele und Problemstellung Mathematisches Pendel ϑt sei der Auslenkungswinkel, die Länge, die Masse und die Gravitation seien Newton sagt: Masse Beschleunigung = Kraft oder ϑ = sinϑ Setze: y := ϑt und y 2 := ϑt Dann gilt: y = y 2 y 2 siny Allgemeine Problemstellung Wir betrachten ein Anfangswertproblem AWP ẏt = ft,yt yt = y mit f : U R n ; U R R n offen; y R n und t R gegeben gesucht: y : [t,t end ] R n so, dass AWP erfüllt ist Andere Notation: y x = fx,yx yx = y

2 2 FABIAN LUKAS MÜLLER 2 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz Satz Peano 89 Sei D := {x,y x x a, y y b}, f D stetig, M := max D f und α := min { a, b M } Dann existiert mindestens eine Lösung y des Anfangswertproblems AWP, die erfüllt: y C x α,x + α mit yx = y Satz Cauchy, 824 Seien D,M,L wie oben Sei weiter f D stetig und lipschitzstetig in yt Dann existiert eine eindeutige Lösung y C x α,x + α mit yx = y Bemerkungen Die Beweise der Sätze sind gängigen Lehrbüchern zu entnehmen Auch wenn f nicht lipschitz ist, kann die Lösung existieren Falls f D C, dann ist f D lipschitz Falls f D C k, dann ist y D C k+ 3 Einschrittverfahren Vorgehensweise Sei N N Wir setzen h := x End x N, also ist x k := x + kh, k =,,,N Wir suchen nun eine Approximation der Lösung von AWP an den Punkten x k N k= Allgemeines explizites Einschrittverfahren Wir verwenden für die Approximation eine Iteration der Form ESV y k+ = y k + hφx k,y k,h k =,,,N Der lokalle Fehler des Verfahrens ESV ist definiert als yx + h y Bsp Explizites Eulerverfahren Beim expliziten Eulerverfahren gilt Φx k,y k,h = fx k,y k Def Konsistenz, Fehlerordnung Das Verfahren ESV heisst konsistent, falls yx + h y lim = Anfangswertaufgaben AWP h h Das Verfahren hat Ordnung p N, falls yx + h y = Oh p+ für h und alle Anfangswertaufgaben AWP Satz Konvergenz Sei yx die Lösung des AWP auf [x,x n ] Falls Der lokale Fehler erfüllt x [x,x n ] und h h max yx + h yx hφx,y,h Ch p+ Φ ist Lipschitzstetig bezüglich y für alle x,y,x,z in einer Umgebung der exakten Lösung y und für eine Lipschitzkonstante Λ > Dann erfüllt der globale Fehler für alle h h max : yx n y n Ch peλxn x Λ Beweisskizze Zeige dass für zwei Approximationen gilt y n z n e n ihλ y i z i 2 Schätze die Fehler y n z n Ch p+ e xn xiλ n 3 yx n x n Ch p+ und die Klammer approximiert ein Integral, das man i= exakt rechnen kann, also: Chp Λ exn xλ 4 Pass auf, dass beim Verwenden der Lipschitzstetigkeit alle Approximationen in der Umgebung liegen Nehme also ein h h max he xn x iλ

3 4 Explizite Runge-Kutta Verfahren NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 Verfahren von Runge/Mittelpunktregel Euler benutzt eine Approximation eines Integrals mit f f Besser die Mittelpunktregel: f f 2 Um nun yx + 5h zu approximieren, benutzen wir Euler Wir erhalten: k := fx n,y n k 2 := f x n + h 2,y n + h 2 k das Rungeverfahren mit Ordnung 2 Verfahren von Heun y n+ = y n + hk 2 k = fx n,y k 2 = f x n + h,y n + hk y n+ = y n + h 2 k + k 2 Hat nach Serie 2 die Ordnung 2 Für AWP entspricht Heun der Trapezregel Runge-Kutta-Verfahren Seien: s N, b i s i=, a ij i=,,s; j=,,i i c :=, c i = a ij für i = 2,,s j= k := fx,y k 2 := f x + c 2 h,y + ha 2 k i k i := f x + c i h,y + h a ij k j j= s k s := f x + c s h,y + h a sj k j j= y k+ = y k + h ist ein s-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren s Es ist ein Einschrittverfahren mit Φx,y,h = b i k i i= s b i k i Man kann ein Runge-Kutta-Verfahren als Tableau schreiben, wobei man die a ij in c i gegen die b i aufträgt: c a b Lemma Wir betrachten ein s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren c i,a ij,b i Falls fx,y lipschitzstetig ist in y mit Konstante L, dann ist auch das oben definierte s Φx,y,h := b i k i x,y,h auch lipschitzstetig mit Konstante i= s Λ := L b i + hl i= i= s i b i a ij + Oh 2 i= j=

4 4 FABIAN LUKAS MÜLLER Konvergenz der Runge-Kutta-Verfahren Sei yx die Lösung von AWP mit f : U R, f C p U, R und so, dass {x,y x x x end } U Dann erfüllt ein s-stufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren mit lokalen Ordnung p: Beweis mit obigem Lemma yx n y n Ch p x x x end 5 Runge-Kutta-Verfahren höherer Ordnung Problem Um lokale Fehlerordnung p zu zeigen, muss man Taylorentwickeln, was mühsam wird für s 4 Weil es dann sowieso schon mühsam ist, machen wir noch etwas viel Mühsameres Idee von Butcher 963, Hairer 972 und Wanner 973 Definition: Bäume Die Menge der Bäume T ist definiert durch zwei Eigenschaften Die Wurzel T 2 t,,t 2 T [t,t 2,t n ] T, das ist der Baum, an dem t bis t n an einer Wurzel hängt Definition: Elementares Differential Für t T definieren wir das elementare Differential Fty durch F y := fy F[t,,t n ]y := f n y n k= Ft ky Definition: Ordnung eines Baumes Die Ordnung eines Baumes t T ist die Anzahl von Knoten: [ ] =, etc Definition: Koeffizienten von Bäumen Wir definieren die Koeffizienten αt für t T durch: α = αt = t t, t 2,, t n αt αt n für t = [t, t n ] T und wobei gleicher Bäume t i in t = [t,,t n ] µ!µ 2! µ n! t t, t 2,, t n Definition: B-Reihe Sei a : T { } R Eine B-Reihe ist eine formelle Reihe Ba,y := a y + t T := t! t! t n! und µ i ist die Anzahl h t t! atαtfty Gestalt der B-Reihe für die exakte Lösung Die exakte Lösung von AWP hat die B-Reihe Be,y mit Koeffizienten e =, et = t T Gestalt der B-Reihe für ein Runge-Kutta-Verfahren Die numerische Lösung y gegeben durch ein Runge-Kutta-Verfahren ist eine B-Reihe y = Ba,y mit Koeffizienten a =, at = γt s i= b iφ i t, wobei: γ =, γt = t n k= γt k Φ i =, Φ i t = j,,j n a ij a ijn Φ j t Φ jn t Kriterium für Ordnung Ein Runge-Kutta Verfahren hat Ordnung p s γt = b i Φ i t Bäume t, t p Beweis Ordnung p : yx + h y = Oh p+ Vergleich mit B-Reihe: γt b i Φt = folgt i= t mit t p, woraus die Behauptung

5 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 Regeln für die Baumeigenschaften Regel für γ: Zähle n Knoten ab Wurzel Gehe eine Stufe nach oben und zähle n 2, weiter nach oben bis n t Dann gilt: γt = t k= n k Regel für b i Φ i : Im Ausdruck für Φ i steht jeweils a ij, wenn die Verbindung der Punkte i und j nicht ein Ende des Baumes sind Wenn vom Punkt Nummer i l Äste anfangen, die Ende des Baumes sind, steht im Ausdruck c l i Satz Sei ein s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren mit Ordnung p gegeben Dann gilt: s i= b i c q i = q für q =,2,,p Beweis Betrachte fx,y = x q, y = mit exakter Lösung yx = xq q Runge-Kutta: y = h b i c i h q und es gilt y yx = Oh p+ hq q hq b i c q i = Oh p+ = h q q s i= b ic q i = Oh p+ Es folgt: q b i c q i = q =,,p 6 Adaptive Steuerung von Einschrittverfahren Ziel: h an die Abbildung anzupassen, um optimale Fehlerkontrolle zu kriegen Alles in kurz Gegeben: Toleranz Tol, um den lokalen Fehler abzuschätzen 2 Man betrachtet eine numerische Approximation y 3 Falls der Fehler kleiner als Tol: OK Sonst: integriere weiter Satz: Richardson-Extrapolation Um den lokalen Fehler abzuschätzen, benutzt man: eine numerische Lösung mit Schrittweite 2h: y 2 = y + hφx,y,h = y + hφx,y,h + Φx,y + hφx,y,h,h eine numerische Lösung mit zwei Schritten der Schrittweite h: ŷ = y + 2hΦx,y,2h Seien yx die C 2 -Lösung von AWP und y = y +hφx,y,h ein Einschrittvefahren der Ordnung p Für y 2 = y + hφx,y,h und ŷ gilt: yx + 2h y 2 = y 2 ŷ 2 p + Ohp+2 Zusätzlich ist ŷ 2 := y 2 + y 2 ŷ 2 p eine Approximation von yx + 2h der Ordnung p + Beweis Sei zx die exakte Lösung durch x,y Es gilt weiter: yx + h y = Cx,y h p+ + Oh p+2 zx + 2h y 2 = Cx,y h p+ + Oh p+2 Taylor: Cx,y h p+ = Cx,y h p+ + Oh p+2 Das heisst: zx + 2h y 2 = Cx,y h p+ + Oh p+2 zz: := yx + 2h zx + 2h = Cx,y h p+ + Oh p+2 = yx zx + hfx + h,yx + h fx,zx + h2 2 yx + 2h zx + 2h = yx y + hfx,yx fx,y + h2 2 = Cx,y h p+ + Oh p+2 + hfx,yx fx,y + h2 2 fx,yx fx,y yx + yx = f y x,yx y yx + Oh p+ lokalen Fehler einsetzen: = f y x,yx Cx,y h p+ + Oh p+ das zz folgt direkt Nun: yx + 2h y 2 = yx + 2h zx + 2h + zx + 2h y 2 = 2 Cx,y h p+ + Oh p+2 folgt mit den obigen beiden Also: yx + 2h ŷ = Cx,y 2h p+ + Oh p+2 und yx + 2h y 2 = 2Ch p+ + Oh p+2 Wir nehmen die Differenz: y 2 ŷ = 2Ch p+ 2 p + Oh p+2

6 6 FABIAN LUKAS MÜLLER oder 2Ch p+ y 2 ŷ 2 p Das heisst: yx + 2h y 2 = y 2 ŷ 2 p + Ohp+2 oder yx + 2h = y 2 + y 2 ŷ 2 p + Ohp+2 und yx + 2h =: ŷ 2 + Oh p+2 Richardson-Extrapolation: Algorithmus Gegeben seien η min,η max,tol,x,y,h Berechne y 2,ŷ,err = y 2 ŷ 2 p,h opt siehe unten 2 Falls: err < Tol: x = x + h y = ŷ 2 h = h opt 3 Falls: err Tol: h := h opt und gehe damit zu Punkt Richardson-Extrapolation: Wahl von h opt Wir verlangen, dass errh opt = Tol Bekannt ist: Ch p+ = err Ch p+ opt = Tol h p+ opt = Tol h p+ err Tol Daraus folgt: h opt := h p+ err ist die optimale Schrittweite Für die Steuerung in einem bestimmten Intervall h opt [η min,η max ] definiere mit vorgegebenem Sicherheitsfaktor : In den Übungen: = 9, η max = 5, η min = 2

7 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 2 Mehrschrittverfahren für Anfangswertprobleme Motivation Ein Runge-Kutta-Verfahren braucht viele Auswertungen von f Wir wollen Verfahren mit höherer Ordnung bei wenigsten Auswertungen von f Idee Adams 855 Verwende die Information von früheren Zeitschritten Definition: lineares k - stufiges Mehrschrittverfahren Ein lineares k-stufiges Mehrschrittverfahren ist gegeben durch die Formel LMV α i y n+i = h β i f n+i mit h = x end x N und x j N j= = x + jh N j=, f n+i = fx n+i,y n+i und α i,β i R Koeffizienten mit α k und α + β > Bemerkungen linear : linear in f nicht wie Runge-Kutta β k = : Verfahren ist explizit β k : Verfahren ist implizit: y n+k = η n+k + h β k α k f n+k ist durch eine Fixpunktiteration zu lösen α k : Um y n+k zu berechnen nehme y n+k = α k α + β > : sonst ist α k = β k = und ein k-schrittverfahren kann ein Einschrittverfahren sein Definition: Rückwärtsdifferenzen Die Rückwärtsdifferenzen m f n sind definiert als { f n = f n m f n := m f n m f n Es ist leicht zu zeigen, dass δ j f[x n,x n,,x n j ] = j f n j!h j 2 Explizite Adams-Verfahren Herleitung des expliziten Adams-Verfahren Sei x < x < < x l < x l+ < eine Zerlegung des Intervalls [x,x end ] mit x j = x + jh Nehme an, dass wir k konsekutive Approximationen kennen: y n,y n,,y n k+ mit y j yx j Wir integrieren das Anfangswertproblem: yx n+ = yx n + x n+ x n ft,ytdt Ersetze ft,yt im Integranden durch das Interpolationspolynom p durch die Punkte f n k+,,f n vom Grad k und integriere es exakt Wende dazu die Newtonformel an: pt = k j j= t x n i δ j f[x n,x n,,x n j ] Definiere γ j := j j! s + ids = s+j j ds Übungen Unser Verfahren lautet nun mit t = x n + sh: y n+ = y n + h Zusammenfassend erhalten wir: Das explizite Verfahren von Adams-Bashforth: k px n + shds = y n + h γ j h j j f n h j k y n+ = y n + h γ j j f n γ j = j= s + j j ds j=

8 8 FABIAN LUKAS MÜLLER 22 Implizite Adams-Verfahren Herleitung des impliziten Adams-Verfahren Wir betrachten das Polynom p vom Grad k so, dass p x j = f j für j = n +,n,,n k +, aber f n+ ist unbekannt Das Verfahren lautet y n+ = y n + h x n+ x n p tdt xn+ Newton sagt: y n+ = y n + h k Es gilt: γ j := j= x n j i + sds = t x n+ kdt δ j f[x n+,,x n+ j ] ds j s+j 2 j Zusammenfassend erhalten wir: Das implizite Verfahren von Adams-Moulton: y n+ = y n + h γj j f n+ s + j 2 γj = ds j Bemerkungen zu den Adams-Verfahren Um das Adams-Bashforth-Verfahren zu benutzen brauchen wir die k Werte y n k+,,y n, welche man mit einem Einschrittverfahren berechnet Für die Adams-Bashforth-Verfahren, benutzt man das Interpolationspolynom auch ausserhalb des Intervalls [x n k+,x n ] Nicht gut! Das Adams-Moulton-Verfahren ist implizit, also löse eine nichtlineare Gleichung des Typs y n+ = η n + hβf n+ 23 Die Prädiktor-Korrektor-Verfahren Problem Um ein Adams-Moulton-Verfahren zu benutzen, muss man eine nichtlineare Gleichung lösen: j= FPI y n+ = η n + hβf n+ Beispiel k=2 y n+ = y n + h 2 5f n+ + 8f n f n, also gilt hier: η n = y n + h 2 8f n f n Alles Bekannte β := 5 2 Koeffizient vor dem Unbekannten Idee Man berechnet eine erste Approximation mit einem expliziten Verfahren und man korrigiert diese Werte mithilfe von FPI Hierbei muss man FPI nicht optimal lösen, da y n+ schon eine Approximation ist für yx n+ Algorithmus P: Prädiktor: ŷ n+ := y n + h k j= γ j j f n Adams-Bashforth E: Evaluation: ˆfn+ := fx n+,ŷ n+ C: Corrector: y n+ = η n + hβ ˆf n+ E: Evaluation: f n+ = fx n+,y n+ C: Corrector: y n+ = η n + hβ ˆf n+ Man bekommt die so genannten PEC-Verfahren, falls wir mit ˆf n+ stoppen oder die PEC m -Verfahren in der Praxis m = oder m = 2, falls man m-mal korrigiert

9 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9 24 Die BDF-Verfahren Backwards-Differentiation-Formulas Konstruktion Statt die f j zu interpolieren, benützen wir die Werte y j Man sucht qt ein Polynom vom Grad k so, dass qx j = y j, j = n +,,n + k Da y n+ noch nicht bekannt, verlange, dass q x n+ = fx n+,qx n+, dh dass qt die DGL löst an der Stelle t = x n+ Wie für Moulton, Newton liefert: j qt = t x n+ j δ j y[x n+,x n,,x n+ j ] Beispiele j= Jeder Term in der Summe enthält den Faktor t x n+ so, dass man die Ableitung von q an der Stelle x n+ berechnen kann: q x n+ = j x n+ x n+ i δ j y[x n+,,x n+ j ] =!f n+ j= i= Das ist mit obiger Formel für die dividierten Differenzen das Selbe wie: j= j j y n+ = hf n+ k=: y n+ y n = hf n+ implizites Eulerverfahren k=2: 2 3 y n+ 2y n 2 y n = hf n+ k=3: 6 y n+ 3y n y n 3 y n 2 = hf n+ Bemerkungen Wie man sieht, sind diese Verfahren implizit Diese Verfahren werden oft für steife Differentialgleichungen benutzt 25 Ordnung eines Mehrschrittverfahrens Definition Lokaler Fehler: Sei yx die exakte Lösung von AWP Wir setzen: y i := yx i für i = n,n+,,n + k und definieren den lokalen Fehler als yx n+k y n+k Ordnung: Ein Mehrschrittverfahren LMV hat Ordnung p, falls yx n+k y n+k = Oh p+ Lemma Sei I die N N-Identitätsmatrix Sei y = fx, y mit f stetig differenzierbar mit invertierbarer Jacobimatrix f y x,y Der lokale Fehler erfüllt: f yx n+k y n+k = α k I hβ k y x n+k,η Lyx,x n,h Mit Ly,x,h := α i yx + ih h β i y x + ih

10 FABIAN LUKAS MÜLLER Beweis Mit k exakten Startwerten lautet das Verfahren LMV: k k α i yx n+i + α k y n+k = h β i fx n+i,yx n+i + hβ k f n+k Es folgt: Lyx,x n,h = α k yx n+k y n+k hβ k y x n+k f n+k Mit dem Mittelwertsatz DR folgt: Lyx,x n,h = α k yx n+k y n+k hβ f k y x n+k,η yx n+k y n+k f Schliesslich folgt: Lyx,x n,h = α k I hβ k y x n+k,η yx n+k y n+k, woraus die Behauptung folgt Bemerkungen Im Wesentlichen entspricht α k Lyx,x k,h dem lokalen Fehler Ordnung p α k Lyx,x n,h = Oh p+ Definition: Erzeugende Polynome Für das Verfahren LMV definieren wir zwei Polynome, die erzeugenden Polynome: ζ := α i ζ i, Satz Folgende Bedingungen sind äquivalent: σζ := β i ζ i Das lineare Mehrschrittverfahren LMV hat Ordnung p 2 α i = und α i i q = q β i i q q =,p 3 e h hσe h = Oh p+ für h ζ 4 logζ σζ = Oζ p für ζ Beweis 2 Serie 6, Aufgabe 2 3 Einerseits, per Definitionem von L hat man: Le x,,h = α i e ih h i= β i e ih = e h hσe h Andererseits kriegt man durch Taylorentwicklung von yx + ih = yx + ihy x + : Lyx,x,h = α i yx + h q q! yq x α i i q q β i i q q woraus folgt: Le x,,h = α i + q h q α i i q q q! β i i q 3 2: e h hσe h = Oh p+ Mit : Le x,,y = Oh p+ und mit 2: α i = und α i i q = q β i i q, woraus 2 folgt 2 3: Mit 2: Le x,,h = Oh p+ e h hσe h = Oh p+ 2

11 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 4: Setze ζ := e h oder logζ = h Approximativ: logt t, wenn t klein 3 ζ logζσζ = Ologζ p+ ζ logζ σζ = Ologζp+ ζ logζ σζ = O p für ζ Definition: Konsistenz eines Verfahrens LMV hat Ordnung p = k α i = und k α i i = k β i = und = σ 26 Null-Stabilität Motivation Dahlquist 956 Man sucht ein k-schrittverfahren mit maximaler Ordnung Sind diese Methoden brauchbar? Beispiel k = 2 Wir suchen ein explizites Verfahren LMV mit α 2 := normiert mit maximaler Ordnung: y n+2 + α y n+ + α y n = hβ f n + hβ f n+ Nach dem obigen Satz hat man Ordnung p wenn p + Gleichungen zutreffen Da wir 4 Parameter haben ist p 3 Übungen: Das Verfahren mit Ordnung p = 3 lautet y n+2 + 4y n+ 5y n = h4f n+ + 2f n Man wendet es auf das Problem y = y, y = an und bekommt: y n hy n hy n =, was man eine Differenzengleichung nennt Man möchte jetzt y : n N y n finden, das sie erfüllt ist für alle n Ansatz: y n = ζ n für ein ζ R Man setzt den Ansatz oben ein und bekommt: ζ hζ 5 + 2hζ n =, also ζ = oder ζ hζ 5 + 2h = Die Wurzeln dieses anderen Polynoms sind ζ = + h + Oh 2 und ζ 2 = 5 + Oh, ie ζ n und ζn 2 lösen für alle erlaubten n die Differenzengleichung Die allgemeine Lösung ist dann y n = c ζ n + c 2ζ2 n für durch Anfangswerte y = exp,y = exph bestimmte Konstanten c,c 2 Für grosse n ist c 2 5 n dominant und die Lösung explodiert Allgemeiner Wir haben Interesse am Verhalten der numerischen Approximation der exakten Lösung für n, h für ein konstantes hn DG Aus LMV bekommen wir für h die Differenzengleichung: α i y n+i = Um diese Gleichung zu lösen, mache Ansatz y n = ζ n für ein ζ R und wir bekommen: Bemerkungen ζ n α i ζ i = Also suchen wir die Wurzeln des erzeugenden Polynoms ζ i= Der Lösungsraum ist linear, ie falls η,η 2 Wurzeln von sind, dann ist y n = c η + c 2 η 2 eine Lösung von DG für alle c,c 2 R Falls die Wurzel η doppelt ist, dann sind η n und nη n zwei linear unabhängige Lösungen von DG

12 2 FABIAN LUKAS MÜLLER Satz Seien η i m i= Wurzeln aus mit Multiplizitäten l i Dann ist die allgemeine Lösung von DG m y n := p j nηj n j= wobei p i ein Polynom vom Grad l i Beweis normiere das Verfahren auf α k = Zuerst: k = Dann ist DG y n+ + α y n = Wir suchen die allgemeine Lösung: y n+ = α y n y n = α n y Untersuche ζ = ζ + α =! ζ = α ist Nullstelle y n = y α n = pnζ n mit pn = y Polynom vom Grad Nun: k = 2 y n+2 + α y n+ + α y n = Allg Lösung: setze z n+ = [y n+2 y n+ ] T und wir haben α α z n+ = =: Az n Wir iterieren: z n = A n z Berechne die Jordanzerlegung von A = V JV Damit folgt: z n = V J n V Falls A zwei Eigenwerte: J ist diagonal und z n = [c λ n +c 2λ n 2 D λ n +D 2λ n 2 ] und es folgt: y n = D λ n + D 2λ n 2 λ Falls λ EW von A mit Vielfachheit 2 ist, dann ist J = und λ λ n nλ z n = V n λ n V z = [c λ n + c 2 nλ n D λ n + D 2 nλ n ] man erhält dann mit D 2 := λ D 2 : y n = D + D 2 nλ n Man zeigt jetzt, dass die Wurzeln von die EW von A sind: = detλi A = deta λi = λ 2 + α λ + α = λ Schlussendlich: y n = p nη n + p 2nη2 n oder y n = pnη n k 3: Übungen Definition: Stabilität Das lineare Mehrschrittverfahren LMV heisst stabil, falls die Wurzeln von folgende Bedingungen erfüllen: Falls ˆζ = hat man ˆζ Falls in diesem Falle ˆζ =, so ist ζ ˆζ, also ist die Wurzel einfach Bemerkungen Wenn LMV stabil ist, bleibt die Approximation der Lösung beschränkt für h Man sagt auch Null-stabil oder D-stabil D wie Dahlquist Erfüllt ein Verfahren diese Bedingungen nicht, dann ist es instabil Beispiel Für ein Adams-Verfahren haben wir ζ = ζ k ζ, also sind die Wurzeln und und ist einfache Wurzel Satz Das k-schritt-bdf-verfahren ist stabil für k =,,, 6 aber instabil für k > 6 Beweis Ansatzweise in den Übungen Satz: Erste Dahlquist-Schranke, 956 Die Ordnung p eines stabilen k-schrittverfahrens LMV erfüllt: p k + 2 k gerade p k + k ungerade ohne Beweis p k falls β k α k

13 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3 27 Konvergenz der Mehrschrittverfahren Annahme für das Kapitel: Das Problem AWP hat eine eindeutige Lösung auf einem Intervall [x,x N ], ie f ist stetig auf D := {x,y x [x,x N ], y yx b} für ein b R und f ist lipschitzstetig: fx,y fx,z L y z für alle x,y D und mit L R > Wir betrachten ein LMV k α iy n+i = h k β if n+i Für x n = x + n h notieren wir y h x n := y n Definition: Konvergenz Das LMV konvergiert, falls für alle AWP mit unserer Annahme gilt yx y h x für h und für alle x [x,x N ] wenn die Startwerte erfüllen yx + ih y h x + ih für i =, k 2 Das LMV konvergiert mit Ordnung p N, falls für alle Anfangswertprobleme AWP ein C R > und ein h R > existiert mit: yx y h x C h p h h x [x,x N ] wenn die Startwerte erfüllen yx + ih y h x + ih Ch p für h klein genug und i =,,k Satz: konvergent ist stabil und konsistent Wenn ein lineares Mehrschrittverfahren konvergiert, dann gilt: Das LMV ist -stabil 2 Das LMV ist konsistent Beweis Betrachte y =,y =, exakte Lösung ist -Abbildung Durch Kontraposition: Nehme an, dass unser Verfahren instabil ist, ie das Polynom ζ hat eine Nullstelle ζ mit ζ > oder ζ 2 = mit Vielfachheit von ζ 2 > Man weiss, dass y j = hζ j und y j = hjζ j 2 die Differenzengleichung k α iy n+i = lösen für j =,, Die Startwerte konvergieren gegen die exakte Lösung, also: lim hζ j = j =,,,k h lim hjζ j 2 = j =,,,k h Aber die numerische Approximationen yh x = hζ x h und yh 2 = x h ζ x h 2 divergieren für fixes x R: lim h y h x =, da ζ > lim h y2 h x =, da ζ 2 = Instabile Verfahren sind nicht konvergent, also sind konvergente Verfahren stabil 2 Betrachte y =, y =, exakte Lösung y Nehme an, unser Verfahren sei konvergent Die Differenzengleichung lautet dann: α k y h x + kh + α k y h x + k h + + α y h x = Nehme in dieser Gleichung h und erhalte wegen Konvergenz a k + α k + + α = =, also ist die erste Vss für Konsistenz erfüllt Betrachte y =,y =,exakte Lösung yx = x und wende unser Verfahren darauf an k α iy n+i = h k β if n+i = h β i = hσ Behauptung: y j = jh κ oder y h = x κ erfüllt obige Gleichung κ = σ Beweis: i α in + ih κ = hσ n κ α i + κ α i i i = σ n κ + κ = σ κ = σ

14 4 FABIAN LUKAS MÜLLER Und mit Konvergenz folgt: x = yx = lim h y h x = x κ κ = σ = Formulierung eines LMV als Einschrittverfahren obda: y R,f : R 2 R,α k = Normierung Idee: Wir definieren implizit ein Vektorfeld durch ψ : R k R k x n,y n,y n+,,y n+k ψx n,y n,,y n+k k k ψ := β i fx n+i,y n+i + β k f x n+k,h ψ α i y n+i Nun lautet unser LMV y n+k = k α iy n+i + hψ Definiere noch den Vektor Y n := y n+k y n+ y n T, womit folgt: Y n+ = y n+k y n+2 y n+ T = α k α k 2 α =: AY n + hφx n,y n,h und dies ist fast ein Einschrittverfahren y n+k y n + h ψx n,y n Lemma Sei yx die exakte Lösung unseres Problems AWP Definiere den Vektor Ŷn als Ŷ n := AY x n + hφx n,y n,h mit Y x n := yx n+k yx n T auf der exakten Lösung Wenn das LMV Ordnung p hat, dann folgt: Y x n+ Ŷn+ Ch p+ oder: das Einschrittverfahren hat Ordnung p Beweis Y x n+ Ŷn+ = y x n+k + α k y x n+k + + α y x n hψ x n,y x n,h T k = α kyx n+k h T k β ifx n+i,yx n+i = Lxn,Y x n,h T = Oh p+ T, da das LMV Ordnung p hat Lemma 2 Wenn das LMV konvergiert so gibt es eine Norm so dass A Beweis Ü Theorem Das LMV ist stabil und konsistent Das LMV konvergiert Beweis siehe obiger Satz Adaption des Konvergenzbeweises von Kapitel Korollar Falls das LMV Ordnung p hat und falls die Startwerte gegen die exakte Lösung konvergieren mit Oh q, dann hat man: Beweis Ü yx n y n C h minp,q h h,x n [x,x N ]

15 3 Definition und Motivation NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 5 3 Steife Differentialgleichungen Beispiel Das AWP ẏ = λy + λe t,y = y besitzt die Lösung yt = e t + y e λt Für λ << ist yt e t Für λ =,y = wenden wir explizites und implizites Euler mit Schrittweite h = 2 k,k = 2j,j = 2,3,4,5,6 Das explizite Eulerverfahren oszilliert stark und ist nicht brauchbar Im Gegenteil, funktioniert das implizite Eulerverfahren sehr gut! Definitionen: Steife Differentialgleichung nach Curtis/Hirschfelder 952 Eine steife Differentialgleichung ist eine Gleichung, wo bestimmte implizite Verfahren viel besser funktionieren als explizite Verfahren 32 Stabilität gewöhnlicher Differentialgleichungen Definition: Lyapunov-Stabil Die Lösung yt,t,y der Gleichung AWP ist Lyapunov-stabil : Die Lösung existiert für alle t t ε > δ > so, dass man y mit y < δ hat t t : yt,t,y + y yt,t,y < ε Definition: Asymptotisch stabil Die Lösung von AWP heisst asymptotisch stabil : Die Lösung ist Lyapunov-stabil Es existiert ein δ > so, dass für alle y < δ gilt: Beispiel ẏ = λy Für λ < ist y asymptotisch stabil Für λ = ist y stabil Für λ > ist y instabil lim yt,t,y + y yt,t,y = t Lemma Eine Lösung yt von ẏ = Ay + g ist stabil die Lösung z von ż = Az ist stabil Beweis Setze zt := yt,t,y + y yt,t,y zt erfüllt ż = Az: żt = Ayt,t,y + y + gt Ayt,t,y gt = Ayt,t,y + y yt,t,y = Azt Jetzt: yt,t,y ist stabil : ε > δ > mit: y mit y < δ gilt: yt,t,y + y yt,t,y < ε ε so, dass zt < ε : Die Lösung z ist stabil Bemerkungen Dasselbe für asymptotisch stabil und instabil Man redet, da es nur auf die Stabilität der -Abbildung ankommt, von Stabilität einer Gleichung Theorem Wir betrachten ẏ = Ay mit A R n n mit Eigenwerten λ i n i= ẏt = Ayt ist stabil Rλ i i =, n Rλ i < i {, n} mit dimjordanblock zu λ i > 2 ẏ = Ay asymptotisch stabil Rλ i < i {,,n} Beweis Serie 9 Definition: Kritischer Punkt Betrachte ẏt = ft,yt Man nennt y ŷ einen Gleichgewichtszustand oder kritischen Punkt von f, wenn ft,ŷ = t [ˆt,T]

16 6 FABIAN LUKAS MÜLLER Theorem Seien f C und ŷ Gleichgewichtszustand von f Falls die Eigenwerte λ von Dfŷ die Bedingung Rλ < erfüllen, dann ist y ŷ asymptotisch stabil Falls die Eigenwerte λ von Dfŷ die Bedingung Rλ > erfüllt, dann ist y ŷ instabil ohne Beweis Bemerkung Achtung: Man kann nichts aussagen, falls Rλ = Beispiel: ẏ = y 2 hat kritischen Punkt aber y ist instabil ẏ = y 3 hat kritischen Punkt aber y ist asymptotisch stabil 33 Stabilitätsgebiete für explizite Runge-Kutta-Verfahren Motivation Sei ψx eine glatte Lösung von AWP Wir linearisieren f durch Taylor: y = fx,y ψ + ψ = fx,ψx + f y x,ψxy ψx + Wir setzen ỹx := yx ψx Dann: ỹ x = fx,ψx + f y x,ψx ỹx + fx,ψx x,ψx ỹx + = f y Betrachte das approximierte Problem ỹ = f y x,ψxỹx mit f y x,ψ =: Jx die Jacobimatrix von D yf x,ψx Wir setzen Jx auf eine Konstante J und nehmen an, dass J diagonalisierbar ist, also: ẏt = J yt Mit y := Tz bekommen wir: z = T y = T Jy = T JTz oder besser So kommen wir auf żt = Λzt mit Λ = T JT Diagonalform von J Definition: Dahlquist-Testgleichung Die Dahlquist-Testgleichung ist das Anfangswertproblem y = λy, y = und λ C Beispiel: Expl Euler Was geschieht mit dem expliziten Eulerverfahren? y n+ = y n + hλy n = + hλy n = = + hλ n y =: Rhλ n y Setze z := hλ und bekomme: y n = Rz n y mit Rz = + z Die numerische Lösung explodiert nicht Rz Lemma: Stabilitätsfunktion von expliziten RK-Verfahren Für ein explizites RK-Verfahren b,a,c ist die Stabilitätsfunktion Rz gegeben durch das Polynom Rz = + zb T I za wobei b := b,b 2,,b s T A := a ij i,j=,,s :=,, T Beweis RK-Verfahren: Y i := y + h s j= a ijfy j und y = y + h s i= b ify i Wir setzen Y := Y Y s T und z := hλ Erhalte Y = y + zay und y = y + zb T Y Aus der ersten Gleichung: I zay = y und dann y = y + zb T I za y = + zb T I za y = Rzy

17 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 7 Bemerkung Die numerische Approximation eines expliziten Runge-Kutta-Verfahrens bleibt beschränkt, falls Rz Definition: Stabilitätsgebiet S := {z C Rz } heisst Stabilitätsgebiet eines Runge-Kutta- Verfahrens Definition: A-Stabilität Wir sagen, dass ein Verfahren A-stabil ist, falls das heisst, dass Rz für z mit Rz {z C Rz } =: C S Bemerkungen Die exakte Lösung von y = λy, y = ist yt = expλt Sie ist beschränkt für λ C mit Rλ Man will nun eben auch, dass die num Approximation diese Eigenschaft hat Beispiel Euler: Rz = +z und S := {z C +z } ist ein Kreis um mit Radius Ein explizites Runge-Kutta-Verfahren kann nicht A-stabil sein, weil S beschränkt ist Das heisst man muss aufpassen, dass die Schrittweite h so gewählt ist, dass hλ = z S und für solche Werte ist die Approximation beschränkt 34 Stabilitätsgebiet für lineare Mehrschrittverfahren Motivation: ϑ-methode Die ϑ-methode lautet für ϑ [,] y n+ = y n + h ϑfy n + ϑfy n+ zum Beispiel: ϑ = : expl Euler ϑ = : implizites Euler = AM = BDF ϑ = 2 : Trapezregel=AM Die Stabilitätsfunktion ist gegeben durch Rz = ϑz ϑz Um S zu zeichnen, betrachten wir S: Rz = + ϑz = ± ϑz, also z = oder z = 2 Wir sehen, dass für ϑ < 2 ein kleines Stabilitätsgebiet resultiert, für ϑ = 2 ist S = C also A-stabil für ϑ > 2 ist C \ S ein Kreisgebilde in C+, also A-stabil 2ϑ Definition: Stabilitätsgebiet Wir definieren für ein LMV das Stabilitätsgebiet als S := {µ C ζ µσζ = ζ für Multiplζ =, ζ < sonst} Bemerkungen Für µ = : Nullstellen von ζ =, also ist Stabilität im Sinne von Kapitel 2 äquivalent zur Bedingung S Deshalb heisst diese Art von Stabilität auch -Stabilität Falls µ = hλ S, dann ist {y n } N n= beschränkt Theorem Falls das LMV explizit ist, dann ist S beschränkt und das Verfahren kann nicht A-stabil sein Beweis Seien ζ µ,,ζ k µ die Nullstellen von ζ µσζ Wir haben α k µβ k ζ ζ µ ζ ζ k µ = ζ µσζ oder ζ ζ µ ζ ζ k µ = ζ µσζ α k Wir nehmen ξ C fest mit σξ Falls ζ j µ für j =,,k, dann hat man ξ ζ µ ξ ζ k µ c für ein von µ unabhängiges c R Aber > c für µ gross genug, also S ist beschränkt ζ µσξ α k Bemerkungen Die Adams-Bashforth-Verfahren sind nicht A-stabil

18 8 FABIAN LUKAS MÜLLER Lemma: Rand von S S erfüllt S Γ mit Γ : [,2π] C ϑ eiϑ eine geschlossene Kurve in σe iϑ C Beweis Betrachte S Falls µ S ζ C, ζ = so, dass ζ µσζ = Also: ϑ [,2π mit expiϑ = ζ und e iϑ µσe iϑ = Es folgt: { } S µ C µ = eiϑ σe iϑ Überprüfe noch, ob innen oder aussen Bemerkungen Γ nennt man root locus curve Die Nullstellen hängen stetig von µ ab Was geschieht mit den Adams-Moulton-Verfahren? y n+ y n = h k j= γ j j f n+i x = x 2 x und σx = k j= γ j xk j x j k = : Implizites Euler, A-stabil k = : Trapezregel, A-stabil k 2? Lemma: Stabilität Adams-Moulton-Verfahren Für k 2 hat das Polynom σx eine Nullstelle x mit Betrag x > S ist dann beschränkt und die AM-Verfahren sind nicht mehr A-stabil Für den Beweis nützliche Tatsachen γ j < für j 2 k j= γ j > für k 2 3 k γ j 2j < für k 2 Beweis Wir zeigen zuerst, dass ζ Nullstelle von σ existiert für AM-Verfahren mit ζ >, dann dass ein solches Verfahren nicht A-stabil sein kann Man hat k σ > und wir haben k σ = k k j= γ j k j 2 j = k j= γ j 2j < nach Es folgt: ζ, mit k σζ = Also ist ζ Nullstelle von σ mit σ > Für µ gross genug sind die Nullstellen von µ σ ungefähr gleich der Nullstellen von σ Aus obiger Überlegung hat man eine Nullstelle x mit x > gefunden und das Verfahren kann nicht A-stabil sein, weil S beschränkt Stabilität der BDF-Verfahren Das BDF-Verfahren der Stufe k ist k j= j j y k+ = hf k+ k = : Implizites Euler, A-stabil k = 2: Auch A-stabil: 3 2 y n 2y n + 2 = hf n Wir haben x = 3 2 x2 2x + 2 und σx = x2 Also: Γϑ = 3 2 2e iϑ + 2 e 2iϑ Wir zeigen jetzt, dass RΓϑ ϑ [, 2π]: RΓϑ = 3 2 2cosϑ + 2 cos2ϑ = 3 2 2cosϑ + cos2 ϑ 2 = cosϑ 2 ϑ [,2π] Also: C S und S unbeschränkt also A-stabil

19 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 9 Theorem: Zweite Dahlquist-Schranke 963 Für ein konvergentes LMV gilt: A-stabil Ordnung p 2 2 Falls A-stabil und Ordnung 2: Fehlerkonstante c 2 3 Das einzige A-stabile lineare Mehrschrittverfahren mit p = 2 und c = 2 Definition: Aα-Stabilität Ein LMV heisst Aα-stabil für < α < π 2, falls S α := {µ C arg µ α} S Beispiel: Aα-Stabilität der BDF-Verfahren k α π π Bemerkung Für ẏ = λy mit λ R ist BDF A-stabil 35 Stabilitätsgebiet für implizite Runge-Kutta-Verfahren Ziel: Suche A-stabile Verfahren mit Ordnung p 3 Definition Für s, a ij,c j,b j R ist k i := f x + c i h,y + h s j= a ijk j, i =,,s y := y + h s j= b jk j ein s-stufiges Runge-Kutta Verfahren ist die Trapezregel Bemerkungen Falls a ij = j i: explizit Falls a ij für ein j i: implizites Verfahren und in jedem Schritt muss man eine nichtlineare Gleichung lösen Teuer! Beispiel: s = 2 Das Verfahren sei gegeben durch das Tableau k = fx,y und k 2 = f x + h,y + 2 k + k 2 = fx,y Also: y = y + h 2 k + k 2 und wir erhalten die Trapezregel A-stabil Nun konstruieren wir Verfahren höherer Ordnung Definition: Kollokationspolynom Das Kollokationspolynom ux vom Grad s zu den Stützstellen c c 2 c s ist gegeben durch die Bedingungen { ux = y u x + c i h = f x + c i h,ux + c i h für i =,,s Dh u löst die Gleichung y = fx,y exakt an den Punkten x + c i h,,s Definition: Kollokationsverfahren Sei u das Kollokationspolynom zu Stützstellen c i s i= Das Kollokationsverfahren zur Lösung eines Anfangswertproblems AWP ist gegeben durch die Vorschrift y = ux + h Satz Ein Kollokationsverfahren mit Stützstellen c i s i= ist ein s-stufiges Runge-Kutta-Verfahren mit: a ij = ci l j τdτ und b i = l i τdτ für i,j =, s und mit l j τ := i j τ c i c j c i j-tes Lagrangepolynom Beweis Übungen Satz Falls eine Quadraturformel b i,c i mit b i = l iτdτ für i =, s Ordnung s + m hat, dann hat unser Kollokationsverfahren Ordnung p = s + m ohne Beweis

20 2 FABIAN LUKAS MÜLLER Gaussquadratur Die Gauss-Quadratur ist gegeben durch die Bedingungen: c i sind Nullstellen des Legendre-Polynoms P s 2x und sie hat die Ordnung 2s Es folgt, dass unser RK-Verfahren maximale Ordnung p = 2s hat Beispiel s = : Mittelpunktregel Radau-Verfahren Wir nehmen die Radau-Quadratur, dh c i sind die Nullstellen des Polynoms P s 2x + ap s 2x und a ist so, dass entweder c = oder c s = Diese Quadraturen haben Ordnung 2s, also hat unser Verfahren auch Ordnung p = 2s Beispiel s = : Implizites Euler Lobatto-Verfahren Wir nehmen die Knoten c i als Nullstellen von P s 2x P s 2 2x, also ist c = und c s = Ordnung ist 2s 2 Beispiel s = 2: Trapezregel Nun wollen wir die Stabilitätsgebiete der Kollokationsverfahren untersuchen Lemma: Stabilitätsfunktion der RK-Verfahren Die Stabilitätsfunktion Rz eines s-stufigen RK-Verfahrens c,a,b ist gegeben durch Rz = + zb T I za 2 Rz = deti za+zbt deti za = Pz Qz mit Polynomen P, Q wobei z = hλ, b = b,,b s T, A = a ij, =,,, T Beweis Gleicher Beweis wie für explizite 2 Wir wenden unser RK auf ẏ = λy, y = an und suchen Rz mit y = Rzy = Rz Wir bekommen g i = y + h s j= a ijfg j für i =, s und y = y + h s j= b jfg j Setze g := g g s T und z := hλ g = y + zag und y = y + zb T g I za g zb T = y y = 3 Cramer: Rz = y = det det, mit Zeile := Zeile Zeile 2 Beispiele Beispiel : Gauss mit s = c = 2 = a, b = Pz = deti za + zb T = z 2 + z = + z 2 Qz = deti za = z 2 Mit Lemma: Rz = 2+z 2 z Beispiel 2: Trapezregel s = 2 Hier kommt das selbe raus wie bei Gauss s = Theorem Die Verfahren von Gauss, Radau oder Lobatto sind A-stabil ohne Beweis Konsequenz In der Praxis: Implizites Euler oder Radau IIa: Das Beste zur Zeit ist Radau 5 s =

21 4 Erste Beispiele NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2 4 Geometrische numerische Integration: Eine Einführung Problem für das ganze Kapitel D R n offenes Gebiet, f : D R n Betrachte das AWP y = fy, yt = y Definition: Fluss Der Fluss ϕ t y = yt = yt,t,y ist der Wert der Lösungskurve an der Stelle t für jene Lösung y mit yt = y Ziel: Der Fluss ϕ t hat geometrische Eigenschaften Suche also numerische Verfahren mit denselben Eigenschaften Beispiele Falls die Lösung periodisch, symmetrisch, oder falls es eine Invariante gibt Pendel: Sei q der Ausschlagwinkel Die Hamiltonfunktion {ṗ ist Hp,q = p2 2 cosq = H q = sinq Die Bewegungsgleichung lautet dann q = H p = p Es folgt also: q = sinq siehe auch Kapitel Man hat Hpt,qt = Hp,q t > t : d H dthpt,qt = p ṗ + H H q q = p H q Es folgt: Hpt,qt ist konstant + H q H p = Weiter gilt: detϕ tp,q = detϕ p,q wobei ϕ tp,q := ϕt p,q p,q Physikalisch heisst das, dass die Fläche erhalten bleibt Numerische Approximation: Wir wenden das explizite und das symplektische Eulerverfahren auf obiges Problem an, sowie die Mittelpunktregel Man sieht, dass nur für letztere der beiden Verfahren die Fläche auch erhalten bleibt 42 Symplektische Abbildungen Hamilton sche Differentialgleichung Für d N und H : R 2d R betrachten wir die Hamilton sche Differentialgleichung H {ṗk = H q k p,q q k = H p k p,q k =,,d Definition: Symplektisch Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum Wir definieren eine Bilinearform ω auf V durch ω : V 2 V v,w v T Idd Jw wobei J := Id d Eine differenzierbare Abbildung f : V V heisst symplektisch, falls ωdf p v,df p w = ωv,w p V bzw falls Df T p JDf p = J p V Eine lineare Abbildung A : V V heisst symplektisch, falls ωav,aw = ωv,w folgt, da für ein lineares g gilt Dg g

22 22 FABIAN LUKAS MÜLLER Bemerkungen Betrachte R 2d mit Koordinaten p,q R d Seien η = η p,η q,ζ = ζ p,ζ q R 2d linear unabhängig Eindimensionaler Fall: Sei d = Betrachte das Parallelogramm P R 2 aufgespannt von ζ und η Die orientierte Fläche des Parallelogramms ist ωζ,η = detζ,η = ζ p η q ζ q η p Mehrdimensionaler Fall: Wir betrachten die Summe der orientierten Flächen der Projektionen von P auf Koordinatenebenen: d d ωζ,η = detζ i,η i = ζ p i ηq i ζq i ηp i = d Id ζt Jη wobei J := d Id d d i= i= Im Fall dimv = gilt für eine lineare Abb A: A symplektisch Fläche des Parallelogrammsv,w = Fläche des ParallelogrammsAv,Aw, also haben wir hier Flächenerhaltung Satz von Poincaré Sei U R 2d offen, H : U R zweimal stetig differenzierbar Dann gilt: Für alle t R ist der Fluss ϕ t y der Hamilton schen Differentialgleichung ẏ = J Hy eine symplektische Abbildung Beweis Um die Behauptung zu zeigen, beweisen wir zuerst, dass ϕ ty T Jϕ ty konstant ist, dann, dass es J ist Notation: ϕ ty := Dϕ t y =: ϕt y y d dt ϕ ty = d dt y ϕ t y = y d dt ϕ ty = y J Hϕ t y = J 2 Hϕ t y y ϕ t y, wobei 2 die Hessematrix ist d Es folgt: dt ϕ t y = J 2 Hϕ t y ϕ t y und damit d dt ϕ t y T Jϕ t y = d dt ϕ t y T Jϕ t y + ϕ t y T J d dt ϕ t y = ϕ ty T 2 Hϕ t y T J T Jϕ ty + ϕ ty T JJ 2 H ϕ ty = ϕ ty T { 2 H J T J + JJ 2 H } ϕ ty = Bemerkung: J T J = Id Endlich ϕ y T Jϕ y = Id T JId = J, da ϕ y = y 43 Symplektische Integratoren Definition: Symplektischer Integrator Ein numerisches Verfahren y = Φ h y heisst symplektisch, falls DΦ h T y JDΦ h y = J Beispiele Symplektisches Eulerverfahren Mittelpunktregel Störmer-Verlet Die Gauss-Runge-Kutta-Verfahren Satz Falls man ein symplektisches Verfahren auf eine Hamilton-Gleichung anwendet, dann bleibt die Approximation der Gesamtenergie Hp,q für sehr sehr lange Zeiten fast erhalten: mit p die Ordnung des Verfahrens ohne Beweis Hp n,q n = Hp,q + Oh p,

23 NUMERIK DER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 Anhang A Liste wichtiger Verfahren Explizites und implizites Eulerverfahren: explizit: y n+ = y n + hfx n,y n implizit: y n+ = y n + hfx n+,y n+ Symplektisches Eulerverfahren: Für ein System u n+ = u n + hf u n,v n+ v n+ = v n + hf 2 u n,v n+ Störmer-Verlet: Für ein System { u = fv v = u { u = f u,v v = f 2 u,v rechnen wir: û = u n + h 2 fv n v n+ = v n + hû u n+ = û + h 2 fv n+ Verfahren von Heun: k = fx n,y n, k 2 = f x n + h,y n + hk und y n+ = y n + h 2 k + k 2 rechnen wir: oder 2 2 Verfahren von Runge/Mittelpunktregel: k := fx n,y n, k 2 := f x n + h 2,y n + h 2 k und oder 2 2 Klassisches Runge-Kutta 4: y n+ = y n + hk Adams-Bashforth LMV: y n+ = y n + h k j= γ j j f n, wobei γ j = Adams-Moulton LMV: y n+ = y n + h k j= γ j j f n+, wobei γ j = BDF LMV: k j= j j y n+ = hf n+ Trapezregel LMV, k = 2: y n+ = y n + h 2 f n+ + f n Milne/Simpson LMV, k = 3: y n+ = y n + h 3 f n+ + 4f n + f n s+j j s+j 2 j ds ds