Z 50. Z O Z Int Z Komma Z Real Ziffer Komma Ziffer

Transkript

1 10 Endliche Automaten 10.1 Einführungsbeispiele Beispiel 1: Warenautomat Ein Flasche Cola kostet 1,50. Münzen zu 1 und 50 ct werden angenommen. Cola und evtl. Restgeld werden ausgegeben. Auch der Rückgabeknopf funktioniert. Beispiel 2: erkennender Automat 23 55,782-0, , sind Beispiele für gültige Fließkomma - Konstanten ohne Exponent (real bzw. double), ,4,5 +250, sind in diesem Sinne keine gültigen Zeichenfolgen. Ein Automat soll eine Zeichenfolge daraufhin untersuchen, ob sie gültig ist. Der Versuche einer Programmierung mit if then Kaskaden wird schon bei diesen einfach gehaltenen Bespielen misslingen. Die Reaktion des Automaten auf eine weitere Eingabe (Geldstück oder Ziffer/Zeichen) hängt offensichtlich davon ab, was vorher geschah. Man muss also Zustände betrachten, die von der Eingabe verändert werden. Diese Übergänge kann man als Graph veranschaulichen. 1

2 10.2 Zustandsdiagramme Beim Cola Automat wird als Zustand angeben, wie viel Geld man eingeworfen hat: Z oder R Z O Ausg. Cola / oder 100 oder R Ausg. Cola / Cola + 50 / 100 Z 100 An den Pfeilen notiert man die Eingaben (und die jeweiligen Ausgaben) Beim Fließkomma Konstanten Erkenner gibt man an, was bereits erkannt worden ist: + / - Z + - Ziffer Z O Z Int Z Komma Z Real Ziffer Komma Ziffer Ziffer Ziffer Ziffer steht für 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 (eigentlich 10 Pfeile) Für die Realisierung ist noch ein Fehlerzustand wichtig, der bei allen nicht erlaubten Eingaben aufgesucht wird und in dem der Prozess dann verbleibt. 2

3 10.3 Definition Unter einem deterministischen endlichen Automaten versteht man ein Konstrukt bestehend aus a) einer (endlichen) Menge von Eingabezeichen (Eingabe-Alphabet), In den Beispielen sind das 100, 50, R 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, +, -, Komma b) einer (endliche) Menge von Zuständen, In den Beispielen sind das Z 0, Z 50, Z 100 Z 0, Z + -, Z Int, Z Komma, Z Real, Z Fehler c) einer Überführungsfunktion, die für jeden Zustand und für jedes Eingabezeichen den Folgezustand angibt. Die Überführungsfunktion wird durch den Zustandsgraphen dargestellt; daraus kann man etwa ablesen: Z 50, 100 Z O (+Ausgabe Cola) Z + -, 9 Z Int d) einem Anfangszustand Z 0 (im Zustandgraph durch einen Pfeil dargestellt), e) einer Menge von Endzuständen (Doppelkreise im Zustandsgraph) In den Beispielen sind das kein Endzustand vorhanden Z Int und Z Real f) einer (endliche) Menge von Ausgabezeichen (Ausgabe-Alphabet) In den Beispielen sind das Cola, 50, 100, nichts keine Ausgabe g) einer Ausgabefunktion, die für jeden Zustand und für jedes Eingabezeichen das Ausgabezeichen angibt. Aus dem Zustandsgraphen kann man etwa ablesen: Z 100, 50 Cola keine Ausgabe 3

4 10.4 Klassen von Automaten Bei endlichen Automaten werden verschiedene Klassen unterschieden: Deterministischer (determinierter) endlicher Automat ohne Ausgabe: Akzeptor Deterministischer (determinierter) endlicher Automat mit Ausgabe: Übersetzer, Scanner Nichtdeterministischer (nichtdeterminierter) endlicher Automat ohne Ausgabe: Akzeptor Nichtdeterministischer (nichtdeterminierter) endlicher Automat mit Ausgabe: Übersetzer Deterministisch (determiniert) nennt man einen endlichen Automaten, wenn eine Eingabe einen eindeutigen Zustandsübergang aus einem Zustand bewirkt. Nichtdeterministisch (nichtdeterminiert) nennt man einen endlichen Automaten, bei dem spontane Zustandsübergänge ohne Eingaben möglich sind bzw. der Übergang von einem Zustand über eine Eingabe in einen neuen Zustand nicht eindeutig ist. Es handelt sich dann nicht um eine Überführungsfunktion, sondern allgemeiner um eine Relation. Nichtdeterministische Automaten ermöglichen es im Gegensatz zu deterministischen Automaten, grundsätzlich mit einem Ende - Zustand auszukommen. Dies ist für die theoretische Informatik eine bedeutsame Vereinfachung, vor allem, da Automaten leicht hintereinander geschaltet werden können. Bedeutung haben Nichtdeterministische Automaten vor allem in dem Zusammenhang, dass mit ihnen eine schnelle Übertragung einer regulären Grammatik in einen Automaten möglich ist. Sie lassen sich jedoch nicht ohne Weiteres auf einem Computer darstellen. Akzeptoren sind endliche Automaten, die sich entweder am Ende einer Eingabefolge in einem Ende - Zustand befinden und damit die Eingabefolge akzeptieren oder sich am Ende einer Eingabefolge nicht in einem Ende - Zustand befinden und damit die Eingabefolge nicht akzeptieren. Übersetzer oder Scanner sind endliche Automaten, die zusätzlich zum Akzeptieren Ausgaben erzeugen. Bei Akzeptoren entfallen natürlich Ausgabe-Alphabet und Ausgabefunktion. Demnach handelt es sich bei dem Cola Automaten um einen Übersetzer, der Geld in Cola umwandelt und bei dem Fließkomma Konstanten Erkenner um einen Akzeptor. Beide Automaten sind deterministisch. 4

5 10.5 Aufgaben Entwerfen Sie für die folgenden Spracherkennungsprobleme Automaten (Akzeptoren). Notieren sie die Bestandteile a) e) aus der Definition. An Stelle von c) zeichnen Sie den Übergangsgraphen. 1) Alle Bitstrings, in denen eine gerade Anzahl von Einsen vorkommt. 2) Alle Bitstrings, in denen keine zwei Einsen aufeinander folgen. 3) Alle Bitstrings, die gerade Länge haben. 4) Alle Bitstrings, die interpretiert als Dualzahl durch zwei teilbar sind. 5) Bei der seriellen Datenübertragung kommen Fehler vor. Um eine gewisse Kontrolle zu ermöglichen, sendet man nach einer bestimmten Anzahl von Bits ein Kontrollbit. Man kann dieses z.b. so wählen, dass die Anzahl der Zeichen 1 im Datenwort immer gerade ist. Hat das Datenwort z.b. die Länge 4, so wird die Information 110 durch das Zeichen 0 ergänzt, während 010 durch 1 vervollständigt wird. Es soll nun ein Automat angegeben werden, der die Korrektheit des übertragenen Wortes prüft. 6) Bezeichner (in einer Programmiersprache) beginnen mit einem Buchstaben und dürfen nur Buchstaben und Ziffern enthalten. Geben Sie einen Akzeptor an, der prüft, ob es sich bei einer Zeichenkette um einen Bezeichner handelt Überführungsfunktion als Tabelle beim Cola-Automaten R Z 0 Z 50 Z 100 Z 0 Z 50 Z 100 Z 0 Z 0 Z 100 Z 0 Z 0 Z 0 Hier noch die Ausgabefunktion: R bei dem Fließkomma Konstanten Erkenner 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 +, - Komma Z 0 Z Int Z +, - Z Fehler Z +, - Z Int Z Fehler Z Fehler Z Int Z Int Z Fehler Z Komma Z Komma Z Real Z Fehler Z Fehler Z Real Z Real Z Fehler Z Fehler Z Fehler Z Fehler Z Fehler Z Fehler Z 0 Nichts Nichts Nichts Z 50 Nichts Cola 50 Z 100 Cola Cola

6 10.7 Implementation Eingabealphabet, Ausgabealphabet und Zustandsmenge In Delphi kann man diese Mengen als Aufzählungstypen darstellen: Warenautomat type teingabe = (e50, e100, er); tausgabe = (a50, a100, acola, anichts, acola50); tzustand = (z0, z50, z100); Fließkomma Konstanten Erkenner type teingabe = (e0, e1,.., e9, eplus, eminus, ekomma); tzustand = (z0, zplusminus, zint, zkomma, zreal, zfehler); Überführungsfunktion und Ausgabefunktion Im Interface werden die Funktionen definiert: interface type tautomat = class(tobject) Zustand :tzustand; Constructor Create; Destructor Destroy; override; function Ueberfuehrung (pzustand:tzustand; peingabe:teingabe) : tzustand; function Ausgabefunktion (pzustand:tzustand; peingabe:teingabe) :tausgabe; end; für die Implementation gibt es zwei Möglichkeiten: a) die Tabelle der Überführungsfunktion als Array darstellen implementation function tautomat.ueberfuehrung (pzustand:tzustand; peingabe:teingabe) : tzustand; Const Tabelle: Array[tZustand, teingabe] OF tzustand = ((z50,z100,z0),(z100,z0,z0),(z0,z0,z0)); Begin Ueberfuehrung := Tabelle [pzustand,peingabe]; End; b) geschachtelte case Anweisungen verwenden: implementation function tautomat.ueberfuehrung (pzustand:tzustand; peingabe:teingabe) : tzustand; Begin case peingabe OF E50: case pzustand OF z0: Ueberfuehrung:=z50; z50: Ueberfuehrung:=z100; z100: Ueberfuehrung:=z0; end; E1: case pzustand OF z0: Ueberfuehrung:=z100; z50,z100: Ueberfuehrung:=z0; end; ERueck: Ueberfuehrung:=z0; 6

7 End; End; End; Die Implementation der Ausgabefunktion erfolgt entsprechend. In einem Delphi Programm werden die beiden Funktionen von Ereignisbehandlungsmethoden (bt50click o. ä.) aufgerufen immer zuerst die Ausgabefunktion aufrufen, da die Überführungsfunktion den Zustand ändert!! der aktuelle Zustand wird gespeichert und aufgrund der Ausgabe werden entsprechende Reaktionen (Colaflasche kommt) programmiert. Beispiele: Colaautomat, Kaffeeautomat als Delphi Projekte 10.8 Pattern Matching als Anwendung endlicher Automaten Unter dem Problem des Pattern-Matching versteht man die Suche nach einem oder allen Vorkommen eines Suchwortes in einem Text. bzw.: Gesucht werden ein oder alle Vorkommen der Zeichenkette y in einer Zeichenkette x. Beispiel: Wir suchen das Suchwort 1101 im Text Ein erster Ansatz ( brute force ) wird den Beginn des Suchwortes an jeder Stelle des Textes vermuten und mit geschachtelten Schleifen arbeiten: for i := 1 to length(text) do begin gefunden := true; for j := 1 to length(suchwort) do if Text[i+j-1] <> Suchwort[j] then gefunden := false; if gefunden then Ausgabe(i-j); end; Der Aufwand des Verfahrens liegt dabei in der Größenordnung Länge(Text) * Länge(Suchwort). 7

8 Wir konstruieren nun einen endlichen Automaten für die Suche nach Dazu notieren wir, wie viele passende Zeichen wir schon gefunden haben: 0 z0 z1 z2 z / (Ausgabe gefunden ) Ein Programm mit diesem Automaten wird jedes Zeichen des Textes nur einmal vergleichen (Aufwand in der Größenordnung Länge(Text) ) und zu dem jeweiligen Zustand wechseln. Aufgaben: 1. Entwerfen Sie einen Automaten für das Suchwort In der Anlage finden sie ein Programm, das zu einem Suchwort einen Automaten erzeugt und für die Suche benutzt. Die Überführungstabelle wird in einem Memo-Feld dargestellt. Auch hierzu eine Aufgabe: Erweitern Sie das Programm dahingehend, dass auch überlappende Vorkommen des Suchwortes gefunden werden. 3. Konstruieren Sie einen endlichen deterministischen Automaten, der das Wort ANANAS in einem beliebigen Skript erkennt Entwerfen Sie einen Automaten, der Wörter der Form Donau*schaft erkennt. Bemerkungen zu den Aufgaben: Wenn es darum geht Wörter in einem Text zu finden, gibt es effizientere Algorithmen (Boyer - Moore) Wörter mit Wildcards wie * lasssen sich auch als reguläre Ausdrücke formulieren. Reguläre Ausdrücke definieren reguläre Sprachen und diese kann man als endliche Automaten realisieren. 8

9 10.9 Kellerautomaten Wie überprüft man, ob in einem Programm die begin end Schachtelung (bzw. { } - Schachtelung) korrekt ist? Wie stellt man fest, ob in einem Term jede geöffnete Klammer wieder geschlossen wird? Beide Probleme sind auf das Erkennen einer Sprache L = { 0 n 1 n n 1 } zurückzuführen. Diese Sprache ist nicht regulär; sie kann von endlichen Automaten nicht erkannt werden, weil ein solcher Automat beliebig viele (n) Zustände haben müsste, und dort die Anzahl etwa der geöffneten Klammern zu speichern. Also benötigt man einen zusätzlichen Speicher, der in der Größe nicht begrenzt ist. Es gengt dabei, diesen Speicher in Form eines Kellers (Stack, Stapel) zu verwalten, bei dem nur an einem Ende Informationen eingefügt, gelesen und entfernt werden können. Definition Ein (nichtdeterministischer) Kellerautomat besteht aus: a) einer (endlichen) Menge E von Eingabezeichen (Eingabe-Alphabet), b) einer (endlichen) Menge Z von Zuständen, c) einer (endlichen) Menge K von Kellerzeichen (Keller-Alphabet), d) einer Überführungsrelation, die für einen Zustand z 1 in Verbindung mit einem Eingabezeichen e und einem gelesenen Kellerzeichen k einen Folgezustand z 2 und eine zu schreibende Folge von Kellerzeichen kw angibt. e) einem Anfangszustand Z 0 (im Zustandgraph durch einen Pfeil dargestellt), f) einem Anfangskellerzeichen k 0 g) einer Menge L von Endzuständen (Doppelkreise im Zustandsgraph) Die Elemente der Überführungsrelation nennt man auch Anweisungen und schreibt sie in der Form: z 1 e k z 2 kw (KW ist ein Kellerwort evtl. mehrere Kellerzeichen) Da es sich um eine Relation handelt, gibt es nicht für alle z 1 e k eine Anweisung (der Automat stoppt in diesem Fall), und für manche z 1 e k kann es mehrere Anweisungen geben. Der Automat stoppt auch, wenn der Keller leer ist. Das Eingabewort muss vollständig gelesen sein, damit es erkannt wird, und der Automat muss anschließend in einem Endzustand stoppen. 9

10 Beispiel: Ein Kellerautomat, der die oben betrachtete Sprache L = { 0 n 1 n n 1 } erkennt, bestehe aus a) dem Eingabe-Alphabet E = {0,1} b) der Zustandmenge Z = { z 0, z 1, z 2 } c) dem Keller-Alphabet K = {k 0, k 1 }, e) dem Anfangszustand z 0 f) dem Anfangskellerzeichen k 0 g) der Endzustandsmenge L = {z 2 } und d) der Überführungsrelation mit den Anweisungen z 0 0 k 0 z 0 k 1 k 0 z 0 0 k 1 z 0 k 1 k 1 z 0 1 k 1 z 1 ε ε ist das leere Wort z 1 1 k 1 z 1 ε z 1 ε k 0 z 2 k 0 Der Erkennungsablauf für das Eingabewort : Eingabe ε Zustand z 0 z 0 z 0 z 0 z 1 z 1 z 1 z 2 Keller k 0 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 k 0 k 0 k 0 k 1 k 1 k 1 k 0 k 0 k 1 k 0 k 0 10

11 10.10 Autoedit Kostenlos zu beziehen über oder in Google Automaten autoedit eingeben. (Benötigt MS-XML 4.0 kann auf der selben Seite heruntergeladen werden) Unter dem Menupunkt Help kann man als Sprache Deutsch einstellen. Der Einführungsassistent lässt den Benutzer die Schritte zur Erstellung eines Automaten beispielhaft durchlaufen. DEA Deterministischer endlicher Automat NEA Nichtdeterministischer endlicher Automat DKA Kellerautomat Man kann nach Festlegung von Typ und Alphabet einen Automaten auch durch Zeichnen des Übergangsgraphen erzeugen: Zustände (der erste ist der Startzustand) Übergänge (Pfeile) durch Anklicken der beiden Zustände Labels (Beschriftungen der Übergänge durch Elemente des Alphabets) Der erstellte Automat kann auf Gültigkeit überprüft werden. Bei der Simulation kann man den Automaten eine Folge von Eingabezeichen abarbeiten lassen. Beim Exportieren wird auch gleich eine entsprechende Grammatik erzeugt 11

12 10.11 JFLAP Download unter (Auf meinem Rechner musste ich nach dem Auspacken von jflap.jar noch eine Batch-Datei erzeugen mit dem Inhalt javaw -classpath "JFLAP.jar" JFLAP um JFLAP starten zu können) Endliche Automaten gibt man grafisch ein Die Simulation findet man unter Input Unter Convert to Grammar kann man die Eingabe einer passenden Grammatik üben oder sie sich gleich anzeigen lassen. 12