Spannungsgeführtes Lithium-Batteriemodell

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1 Spannungsgeführtes Lithium-Batteriemodell Batteriespannungssimulation auf Basis von Entladekurven aus Herstellerdatenblättern Frederik Valentin Werder, Rainer Hunfeld, Dr. Gerhard Valentin Valentin Software GmbH Stralauer Platz 34, Berlin Tel.: , Fax: Einleitung Die Entwicklung des Photovoltaik-Speichermarktes der letzten zwei Jahre in Deutschland zeigt eine klare Tendenz zu Lithium-Batterien ( [1] [2] [3] [4]), die durch ihr Betriebsverhalten sehr gut zu Photovoltaik-Anlagen in der Größenordnung von Eigenheimanlagen passen. Aufgrund des abweichenden elektro-chemischen Verhaltens gegenüber Bleibatterien sind Modellansätze notwendig, die Lithium-Batterien ausreichend genau abbilden können. Anhand eines Beispiels wird ein Ansatz vorgestellt, der die Nenndaten und Entladekurven aus Herstellerdatenblättern nutzt und sich durch eine geringe Rechenintensität auszeichnet. In Abbildung 1 sind als Beispiel die Entladekurven der Zelle NCR-18650E des Herstellers Panasonic dargestellt. Die oberste Kurve ist die Leerlaufspannungskurve der Zelle, die von der Hochschule für Angewandte Wissenschaften Landshut vermessen und zur Verfügung gestellt wurde. Die Datenpunkte der unteren beiden Entladekurven wurden dem Herstellerdatenblatt [5] in ausreichend hoher Auflösung entnommen. Anschließend werden diese Batteriespannungsdaten mittels Ausgleichungsrechnung angenähert. Abbildung 1 Entladekurven und Leerlaufspannungskurve der Zelle NCR-18650E von Panasonic [5]

2 Modellansatz Nach Extraktion der Entladekurvendaten aus den Batterie-Datenblättern werden mit Hilfe der Ausgleichungsrechnung Funktionen an diese angenähert, die den typischen Verlauf einer Batteriespannungskurve über der Kapazität nachbilden können. Dabei handelt es sich um die Zusammensetzung folgender Funktionen: (1) Nernst-Gleichung (2) Exponentialfunktion (3) Aperiodischer Grenzfall In Abbildung 2 sind die Funktionen schematisch dargestellt. Zur Darstellung der wichtigsten Anpassungsmöglichkeiten der Funktionen wurden diese für mehrere Parameterwerte dargestellt. (3) Aperiodischer Grenzfall (1) Nernst-Gleichung (2) Exponentialfunktion Abbildung 2: Schematische Darstellung der Teilfunktionen mit verschiedenen Parametern. Die Spannungsverläufe von Entladekurven beliebiger Zellen folgen dabei grundlegend dem S-förmigen Verlauf der Nernst-Gleichung. Diese wird zu Entladeende mit einer Exponentialfunktion und zu Entladebeginn mit dem aperiodischen Grenzfall angepasst. Als weitere stromabhängige Komponente wird der Spannungsabfall über den Innenwiderstand hinzugefügt. Mit Hilfe dieser zusammengesetzten Näherungsfunktion lassen sich die typischerweise auftretenden Spannungsverläufe von Batteriezellen nachbilden. Die Funktionen und die Parameter wurden wie folgt gewählt: (1) U(x) = E 0 R T x ln ( ) + E z F 1 x a x (2) U End (x) = A exp e B exp x (3) U Beg (x) = (x 0 + (v 0 + x 0 δ) x) e δ x x = Ladezustand R = Universelle Gaskonstante T = Absolute Temperatur F = Faraday sche Konstante z = Ladungszahl E 0, E a, A exp, B exp, x 0, v 0, δ = Parameter Die Teilfunktionen zur resultierenden Näherungsfunktion zusammengesetzt: U Zell (x) = U(x) ± U Ri ± U End (x) ± U Beg (x)

3 Sukzessive Parameterschätzung In Abbildung 3 ist in vier Graphiken die schrittweise Vorgehensweise zur Anpassung der Näherungsfunktion anhand einer Entladekurve beispielhaft dargestellt. Zur Annäherung der Funktionen an die Datenpunkte wurde Gnuplot verwendet [6], das mit dem Levenberg-Marquardt-Algorithmus arbeitet. Es ist zu beachten, dass für die stromabhängige Annäherung der Funktionen je nach Entladestrom zusätzlich der Spannungsabfall über den Innenwiderstand abgezogen werden muss. Abbildung 3: Beispielhafte Darstellung der schrittweisen Vorgehensweise beim Fitten der Entladekurven aus Herstellerdatenblättern. Dies ist in Abbildung 3 nicht explizit dargestellt, da es die generelle Vorgehensweise nicht beeinflusst. Als Erstes wird die Nernst-Gleichung (Gleichung (1)) bei passendem Entladestrom an den linearen Verlauf im mittleren Ladezustandsbereich angepasst, zu sehen oben links. Anschließend wird der Exponentialteil zu Entladeende (oben rechts) und der aperiodische Grenzfall zu Entladebeginn (unten links) an die Datenpunkte angenähert. Das Resultat inklusive der Abweichungen von den Datenpunkten (Residuen) ist unten rechts dargestellt. Dieser Vorgang der Ausgleichungsrechnung wird für weitere Entladekurven (siehe Abbildung 1) wiederholt. Um eine anschließende Interpretation der sich ergebenden Parameterwerte vornehmen zu können muss gewährleistet sein, dass diese im gleichen Wertebereich liegen. Dies wird durch die schrittweise Vorgehensweise bei der Näherungsrechnung erreicht,

4 indem der Abschnitt der Datenpunkte eingeschränkt wird, für den die Näherungsrechnung durchgeführt wird. Aus den angenäherten Funktionen werden anschließend die stromabhängigen Parameter auf funktionale Zusammenhänge untersucht. Abbildung 4 zeigt, dass bei dieser Untersuchung eine Verlaufsinterpretation der gefundenen Parameterwerte vorgenommen wird. Dies ist mit der in diesem Fall geringen Datengrundlage zu begründen. Die stärkste Abweichung der Parameterwerte zu den Näherungsfunktionen fällt bei den Parametern A exp und B exp auf. Diese beiden Parameter erweisen sich als schwer zu handhaben, da sie in der Exponentialfunktion enthalten sind. Als Lösung wurde für den Parameter B exp ein linearer Verlauf angenommen und der Parameterverlauf von A exp angepasst. Abbildung 4: Darstellung der stromabhängigen Parameterwerte und der jeweiligen angenäherten Funktionen. Die sich aus den stromabhängigen Näherungsfunktionen der Parameterwerte ergebende Entladekurvenschar ist in Abbildung 5 dargestellt. Mit Hilfe der stromabhängigen Näherungsfunktion ist es also möglich, die fehlenden Spannungen der Entladekurvenschar zu synthetisieren.

5 Zellspannung in V 4,2 4,0 3,8 3,6 3,4 3,2 3,0 2,8 2,6 0A 10A 20A Ladezustand in % Abbildung 5: Synthetisierte Entladekurvenschar der NCR18650E-Zelle von Panasonic inklusive der Datenblattpunkte und der vermessenen Leerlaufspannungskurve. [5] Anwendung Durch die Verwendung der Entladekurven aus Herstellerdatenblättern ist das Modell auf beliebige Batteriezellen anwendbar. Es lassen sich verschiedene Aktivmaterialkombinationen von Lithium-Zellen anhand der Entladekurven aus Datenblättern abbilden. Es wird das auf Datenblättern basierende Zellverhalten abgebildet. Das Modell lässt neben der Regelung über den Ladezustand eine Spannungsregelung zu, womit sich Betriebsgrenzen wie die Lade- bzw. Entladeschlussspannung einhalten lassen. Zu hohe Leistungsabfragen können von der Batterie zurückgewiesen bzw. reduziert werden. Auf den nur in einem Spezialfall gültigen Peukert-Exponent kann verzichtet werden (siehe [7]), da die durch den Entnahmestrom festgelegte entnehmbare Kapazität in den Entladekurven bereits enthalten ist. Literatur [1] C.A.R.M.E.N. e.v., Marktübersicht Batteriespeicher, Straubing, [2] M. Fuhs, Zwei Jahre Speichermarkt, pv magazine, Nr. 06/2014, pp , [3] T. Thomas, Ein Markt mit Kapazität, Sonne Wind \& Wärme, Nr. 05/2013, pp , [4] Marktübersicht Speichersysteme, PV Magazine, Nr. 06/2014, pp , [5] Panasonic, Datenblatt Panasonic NCR-18650E, [6] Gnuplot Documentation, [7] D. Doerffel und S. A. Sharkh, A critical review of using the Peukert equation for determining the remaining capacity of lead-acid and lithium-ion batteries, Journal of Power Sources, Bd. 155, Nr. 2, pp , April 2006.