Dynamiksimulation von Zahnriemengetrieben mit ungleichförmiger

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1 Dynamiksimulation von Zahnriemengetrieben mit ungleichförmiger Übersetzung Umschlingungsgetriebe mit ungleichförmiger Übersetzung bei Zahnriementrieben Dipl.-Ing. Peter Kelm Schaeffler KG, Herzogenaurach Umschlingungsgetriebe mit ungleichförmiger Übersetzung sind in der Technik schon seit sehr langer Zeit bekannt. In Kettentrieben wurden sie bereits seit Ende des 19. Jahrhunderts [1] eingesetzt. Anwendungen bei Zahnriementrieben finden sich seit ca [2]. Das Auslegungsziel ist im Bereich der Industrieanwendungen häufig - bei konstanter Antriebsdrehzahl - ein definierter ungleichmäßiger Bewegungsablauf, z.b. um Güter schnell an z.b. eine Verarbeitungseinrichtung heranzubringen, den eigentlichen Arbeitsschritt dann aber relativ langsam ausführen zu können. Bei den dort eingesetzten Zahnriemengetrieben handelt es sich meist um Zwei- Scheiben-Triebe ohne automatisches Spannsystem, bei denen die eine unrunde Scheibe durch den zu realisierenden Bewegungsablauf bzw. die beabsichtigte Übersetzungsschwankung definiert ist. Eine zweite unrunde Scheibe mit komplexer Kontur ist dabei erforderlich, um die geometrische Umschlingungslänge in jeder Betriebsstellung konstant zu halten. Da diese zweite Scheibe in ihrer Geometrie direkt von der Form der ersten Scheibe abhängt, sind für die Bestimmung der Scheibenkontur spezielle Auslegungsverfahren erforderlich [3, 4]. 1 Funktionsweise Im Gegensatz zu den oben genannten Anwendungen von ungleichförmig übersetzenden Umschlingungsgetrieben, in denen die gezielte Erzeugung einer ungleichförmigen Bewegung im Vordergrund steht, soll mit dem Einsatz im Steuertrieb eines Kraftfahrzeugs eine Reduktion der Torsionsschwingungen im Nockenwellenantrieb erreicht werden. Anregungsquellen für Drehschwingungen ergeben sich dabei allein schon aus der Funktionsweise eines Verbrennungsmotors: Im unteren Betriebs- Drehzahlbereich ist dies im Wesentlichen die aus dem Verbrennungsprozess resultierende Drehungleichförmigkeit der Kurbelwelle, bei höheren Motordrehzahlen die aufgrund der Ventilbetätigung ungleichförmigen Momente aus dem Ventiltrieb. Weitere Beiträge zur Drehschwingungsanregung leisten ungleichförmige Antriebsmomente von Zusatzaggregaten wie z.b. Hochdruckpumpen. Zusammen bewirken sie einen Positionierfehler ( timing error ) zwischen Kurbelwelle und Nockenwellen, der sich negativ auf das Verbrauchs- und Emissionsverhalten des Motors auswirkt. Die resultierenden Kraftvariationen beanspruchen zudem das Zugmittel und verringern die Lebensdauer des Getriebesystems. Eine Weiterentwicklung dieser konventionellen Steuertriebe sind sogenannte ID2-Steuertriebe, bei denen mindestens eine Scheibe unrund ausgeführt ist. Durch diese unrunden Scheiben erfährt ein solches Antriebssystem Schwingungsanregungen, die aus der Scheibenform resultieren. Durch diese zusätzliche Anregung lassen sich oben genannten Anregungsanteile bei geschickter Wahl von Unrundheit und Phasenlage minimieren (Auslöschung bei der Überlagerung phasenverschobener 1

2 Schwingungen). Die für signifikante Verbesserungen der Funktion notwendigen Unrundheiten sind dabei klein gegenüber denen in den genannten Industrieanwendungen. Zudem muss (über ein Arbeitsspiel) ein Übersetzungsverhältnis von 2:1 zwischen Kurbelwelle und Nockenwelle(n) eingehalten werden. Auch konstruktiv unterscheiden sich die Automobil- und Industrieanwendungen: In der Regel sind Steuertriebe als Mehrscheibentriebe mit automatischen Spannsystemen ausgeführt. Wegen der Spanneinheit und den verhältnismäßig geringen Übersetzungsschwankungen kann auf den Einsatz einer Kompensationsscheibe verzichtet werden. Zudem kann durch günstige Wahl der Umschlingungswinkel an den unrunden Scheiben die stellungsabhängige Veränderung der Umschlingungslänge als zusätzliche Anregungsquelle vermieden werden. Die im Folgenden beschriebene Methodik ist grundsätzlich auch auf andere Anwendungsfälle mit schwankenden An- oder Abtriebsmomenten übertragbar. 2 Bestimmung der Scheibengeometrie Eine Voraussetzung für den Aufbau einer Dynamiksimulation für Umschlingungsgetriebe mit unrunden Rädern ist eine geeignete Konturbeschreibung. Eine geschlossene mathematische Beschreibung ermöglicht die analytische Berechnung der Ableitungen und stellt so eine wesentliche Erleichterung sowohl bei der Integration in ein Simulationsprogramm wie auch im praktischen Einsatz dar. Eine Formulierung auf Basis eines Kreises mit einer überlagerten Störung in Form einer Fourierreihe erfüllt diese Voraussetzungen ideal und bietet darüber hinaus die Möglichkeit, auch mehrere beliebige Störungsordnungen flexibel zu kombinieren. Folgende Formel für den veränderlichen Radius liegt der Auslegung zugrunde: Hierbei sind r mittel der mittlere Radius, t der Laufparameter ( 0...2π ), die Unrundheitsamplitude und n die Scheibenordnung, d.h. die Anzahl der Erhebungen bzw. Vertiefungen auf dem Scheibenumfang. Die zu beeinflussende Anregungsordnung bestimmt direkt die Ordnung der Scheibe. So ist im Falle eines Viertaktmotors mit vier Zylindern, dessen Motorhauptordnung (2. Ordnung bezogen auf die Kurbelwellendrehzahl) beeinflusst werden soll, eine Scheibe zweiter Ordnung notwendig. Das exakte Einhalten des Übersetzungsverhältnisses zwischen Kurbel- und Nockenwelle ist, wie bereits eingangs erwähnt, funktionsrelevant. Der Umfang des unrunden Rades in der Wirkebene muss somit exakt dem des runden Rades entsprechen. Die Rad-Störungsform wird dabei über die Störungsamplituden, die Ordnung und die Phasenlagen vorgegeben. Der mittlere Radius wird anschließend so berechnet, dass der Umfang der unrunden Kontur dem der runden Scheibe entspricht. So ergibt sich zum Beispiel für ein rundes Rad mit 21 Zähnen bei 9.525mm Teilung ein Teilkreisradius von 31.83mm. Ein unrundes Rad mit einer Durchmesserdifferenz von 5 mm in 4. Ordnung hat dagegen bei gleichem Umfang einen mittleren Radius von 31.64mm (Bild 1). 2

3 Bild 1: Radkontur 4. Ordnung. Pfeile kennzeichnen die Lage und Orientierung der Mittellinien der Zahnlücken Eine weitere Forderung ist, dass das Zugmittel im Umschlingungsbogen immer auf der Scheibe aufliegen soll. Mathematisch entspricht dies der Forderung danach, dass die Krümmung der Scheibe nicht negativ werden darf. Der vorgeschlagene Auslegungsweg macht es leicht, diese Forderung analytisch zu überprüfen. Weiterhin kommt der korrekten Positionierung, Ausrichtung und Profilierung der Zähne eine große Bedeutung bei der Auslegung von unrunden Rädern zu, um unnötige Belastungen des Zugmittels im Kontakt mit dem Rad zu vermeiden. Die Lage der Zahnlückenmitten wird der Kontaktkinematik folgend analytisch über die Bogenlänge zwischen den Zahnlücken bestimmt. Dieses Verfahren führt auch bei großen Unrundheiten zu korrekten Ergebnissen. Für Kettentriebe muss aufgrund der vom Zahnriemen abweichenden Kinematik (Polygoneffekt) die Sehnenlänge verwendet werden. Die Zähne des Zugmittel sollten möglichst unverzerrt in die unrunde Scheibe einlaufen, um dieses nicht unnötig zu beanspruchen. Der dargestellte Weg trägt dem Rechnung indem die Ausrichtung der Zähne so erfolgt, dass die Mittellinie eines Zahns senkrecht zur Tangente an die unrunde Kontur steht. Durch eine positions- und somit radiusabhängige Variation des Zahnprofils wird sichergestellt, dass der Einlauf optimal erfolgt. 3 Erweiterung des Dynamiksimulationsmodells Die folgenden Betrachtungen setzen auf bekannte MKS-Modellvorstellungen auf [5, 6, 7]. Notwendig ist im Wesentlichen eine Erweiterung der Formulierung der Zugmitteldehnung, die Berücksichtigung der permanenten Veränderung der Getriebegeometrie und die effiziente Berechnung des Gesamtgleichungssystems. Im Fall ideal runder Räder können in der Berechnung zahlreiche Vereinfachungen vorgenommen werden: Die Trumgeometrie zwischen ortsfesten runden Scheiben bleibt näherungsweise konstant, die Länge und Positionierung der Umschlingungsbögen ebenfalls (Bild 2). 3

4 Bild 2: Geometrische Größen im Umschlingungsgetrieben mit runden Rädern Die Dehnung eines Trums des Zugmittels lässt sich in diesem Fall vereinfacht formulieren: mit der Referenz-Trumlänge l und der Trumdehnung: Bei Berücksichtigung unrunder Scheiben fällt die Formulierung komplexer aus (Bild 3). Bild 3: Trumgeometrie zwischen unrunden Rädern Für die Riemendehnung gilt der gleiche Zusammenhang wie oben, nur die Berechnung der Längenänderung ergibt sich in diesem Fall zu: 4

5 Die enthaltenen Integrale müssen für jeden Zeitschritt gelöst werden. Statt sie während der Simulation jeweils neu zu berechnen, können sie alternativ vorab bestimmt und in einer Tabelle abgelegt werden, um dann zur Berechnungszeit darauf zuzugreifen und so den Zeitaufwand zu reduzieren. Die Veränderung der Trumgeometrie erfordert im Fall großer Unrundheiten eine numerische Bestimmung der Anfangs- und Endpunkte der Trume zu jedem Simulations-Zeitpunkt. Für kleine Unrundheiten kann die Geometrie analog zur Formulierung der runden Räder als konstant angenommen werden. 4 Anwendungsbeispiel Als Beispiel aus der Praxis soll an dieser Stelle der Steuertrieb eines Vierzylinder-Pkw-Motors (Bild 4)dienen. Zwei obenliegende Nockenwellen (3, 4) werden von der Kurbelwelle (1) aus angetrieben. Diese ist mit einem unrunden Ritzel 2. Ordnung ausgestattet, dessen Kontur stark vergrößert dargestellt ist. Die Differenz zwischen kleinstem und größtem Durchmesser liegt bei 2.75 mm. Auf der Zugtrumseite befindet sich eine Umlenkrolle (2), im Leertrum das automatische Spannsystem (5) und eine Wasserpumpe (6). Bild 4: PKW-Steuertrieb mit unrundem Kurbelwellenrad (ID 2 -Steuertrieb) 5

6 Konventionell mit rundem Kurbelwellenrad ausgeführt, weist der Steuertrieb in den Verdrehwinkeln zwischen Kurbelwelle und Nockenwelle eine Resonanzstelle bei ca /min mit Verdrehwinkelamplituden bis zu 2 NW auf (Bild 5 links). Mit der unrunden Kurbelwellenscheibe gelingt es, die Amplituden über den gesamten Drehzahlbereich auf Werte unter 0.5 NW abzusenken (Bild 5 rechts). Bild 5: Verdrehwinkel zwischen Kurbelwelle und Nockenwellen ohne (links) und mit ID 2 (rechts) Über eine Parameteranalyse über die Amplitude und die Phase der Rad-Unrundheit wurde die Radform per dynamischer Simulation optimiert. Als Optimierungsziel wurde dabei das Minimum der resultierenden Spannerkraft im beobachteten Resonanzpunkt definiert. Die Simulationsergebnisse zeigen, dass der Bereich der Kraftreduktion vor allem von der Wahl der Phasenlage abhängig ist. Bei ungünstiger Einbaulage steigt dabei die resultierende Spannerkraft über das Niveau des Rundrad-Steuertriebs an. Der Wert des Kraftmaximums wird im Wesentlichen von der Variation der Unrundheitsamplitude bestimmt. Bei einer Durchmesserdifferenz von ca mm ist die Spannerkraft minimal. Für die gegebenen Betriebsbedingungen wird bei Amplituden unterhalb dieses Werts nicht das Potential des unrunden Rades ausgenutzt, bei Werten darüber tritt Überkompensation auf. Bild 6: ID 2 -Steuertrieb: Einfluss von Amplitude und Phasenlage auf die resultierende Spannerkraft (3500 1/min) 6

7 5 Zusammenfassung Der Einsatz ungleichförmig übersetzender Getriebe im Steuertrieb (ID 2 ) verbessert entscheidend die Funktion und Lebensdauer dieses Antriebssystems. Die Auslegung dieser Systeme stellt dabei aufgrund der zusätzlichen Systemparameter der Scheibenform- und Anordnung hohe Anforderungen an den Entwickler. Daher kommt der softwaregestützten Systemauslegung besondere Bedeutung zu. Dieser Artikel stellt eine Methodik vor, nach der unrunde Räder in Mehrkörperdynamik- Simulationsprogrammen berücksichtigen werden können. Implementiert in eine Dynamiksimulation wird so der zur erfolgreichen Anwendungsentwicklung notwendigen Zeit- und Kostenaufwand minimiert. Im Verbund mit Optimierungsverfahren kann rechnerisch in kurzer Zeit eine optimale Lösung erarbeitet werden. Weitergehende Vorteile ergeben sich sofern man benachbarte Komponenten, im Falle eines PKW- Steuertriebs z.b. Nockenwellenversteller und Ventiltrieb, in die Simulation einbezieht, da diese Komponenten aufeinander rückwirken. Quellen Dieser Beitrag wurde auf der 11. Tagung Zahnriemengetriebe am Institut für Feinwerktechnik und Elektronik-Design der TU Dresden, ( ) gehalten. [1] Griffith, G; Howard, J.: Vorrichtung zum Verhindern des Durchhängens der Treibkette bei elliptischen Kettenrädern. Patentschrift Nr , Kaiserliches Patentamt Berlin (1898) [2] Rahe, W.: Umschlingungsgetriebe mit periodisch veränderlicher Übersetzung. Patentschrift DE C2, Deutsches Patentamt München (1994) [3] Frenken, E.: Ungleichförmig übersetzende Zahnriemengetriebe. Fortschritt-Berichte VDI Reihe 1 Nr. 272, VDI-Verlag Düsseldorf (1996) [4] Wyrwa, K.: Auslegung von Unrund-Zahnradpaaren, Unrund-Zahnriemengetrieben und Kurven- Rollenstern-Getrieben. Fortschritt-Berichte VDI Reihe 1, Nr. 347, VDI-Verlag Düsseldorf (2001) [5] Kelm, P.; Solfrank, P.: Zur Dynamiksimulation des PKW-Nebenaggregatetriebs. VDI-Berichte Nr. 1467, S. 271/290, VDI-Verlag Düsseldorf (1999) [6] Kelm, P.; Rettig, F.: Analyse von transversalen Riemenschwingungen bei PKW Aggregatetrieben. VDI-Berichte Nr Düsseldorf (2003), S. 169/183 [7] Kelm, P.; Pflug, R.: Dynamische Simulation von PKW-Steuertrieben. Tagungsband zur 8. Tagung Zahnriemengetriebe am Institut für Feinwerktechnik der TU Dresden, Dresden (2003) 7

8 Autor Dipl.-Ing. Peter Kelm Schaeffler KG Industriestraße 1-3 D Herzogenaurach Tel.: +49 (0) 9132/82-0 Fax: +49 (0) 9132/ Internet: 8