Mathematik ganzheitlich unterrichten

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1 Mathematik ganzheitlich unterrichten Mathematik verstehen, behalten und anwenden lernen Konsequenzen für Lerninhalte und Lernmethoden in den Sekundarstufen Prof.Dr. Regina Bruder TU Darmstadt

2 Gliederung Ganzheitlich unterrichten 1.Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? 2.Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte tatsächlich verstanden, behalten und angewendet werden können?

3 MU verschiedene Perspektiven-Lernmethoden Was sich Lernende wünschen und vorstellen: vorurteilsfreie Lehrer/innen, die gut erklären können ernst genommen werden und etwas Sinnvolles lernen (müssen) Lernchancen erhalten toleranter Umgang mit Fehlern und klare Orientierungen ein harmonisches Lernumfeld und gerechte Beurteilungen

4 Lernziele drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik MU was ist wesentlich?-lernmethoden Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und Mathematische Gegenstände... als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art... begreifen. Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten, die über die Mathematik hinausgehen) angewendet werden können? Erscheinungen der Welt um uns... in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen. Vgl. die drei Grunderfahrungen bzgl. Mathematik nach H.Winter 1995

5 Lernziele und inhalte ein Beispiel Verstehen, Behalten und Anwenden können aber was? Gedankenexperiment: Wer ist schneller? Ein Ruderboot auf einem See rudert eine bestimmte Strecke gleichmäßig hin und wieder zurück. Zur gleichen Zeit startet ein gleich starkes Ruderboot auf einem Fluss und fährt die gleiche Streckenlänge genauso wie das andere jedoch einmal flussaufwärts und einmal flussabwärts.

6 Lernziele und inhalte ein Beispiel 1. Für einen 800m-Lauf wird eine bestimmte Zeit anvisiert. Daraus wird die durchschnittliche Rundenzeit t ermittelt. Um sich vom Feld abzusetzen, soll die erste Runde jedoch 10sec schneller sein als bei gleichmäßigem Tempo notwendig wäre. Wie viel Zeit steht dann für die 2.Runde zur Verfügung? 800m-Zeit insgesamt: 2 t 1.Runde: t 10 sec 2.Runde: t + 10 sec Mathematische Beschreibung: Arithmetisches Mittel a + b 2

7 Lernziele und inhalte ein Beispiel Ein Geldverleiher möchte einen durchschnittlichen Zinssatz von 8% pro Jahr erreichen. Er bietet einem Kunden an, im ersten Jahr nur 2% Zinsen zu zahlen, dafür im 2.Jahr dann 14%. Die Zinsen sollen zusammen mit der Rückzahlung des Kapitals am Ende des 2.Jahres fällig werden. Problem: [ 2 ] [ 14 ] [ 8 ] = 11628, 1, , = 1, = 11664, 100 Mathematische Beschreibung: Geometrisches Mittel a b

8 Lernziele und inhalte ein Beispiel Beobachtung: Fragen: Das arithmetische Mittel ist etwas größer als das geometrische Mittel. Ist das immer so? Warum denn? Beschreibungsebene der Mathematik: Vermutung: a + b > a,b pos. reell 2 > a b Begründung durch eine geometrische Interpretation: a b a a + 2 b b

9 Lernziele und inhalte ein Beispiel a a b a + 2 b b a + 2 b > a b Erweiterung: Gibt es einen algebraischen Zusammenhang zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel? Der Kathetensatz ermöglicht eine Verknüpfung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel a + b 2 X = ( ( a b )² 2ab X = a + b

10 Lernziele ein Beispiel Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel a + 2 b a b 3. Für einen Besuch bei Freunden wurde für die Autofahrt eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 100km/h eingeplant. Leider gab es einen Stau, so dass die erste Hälfte der Strecke nur mit einem Schnitt von 50km/h absolviert wurde. Wie schnell hätte auf der zweiten Hälfte gefahren werden müssen, um trotzdem wie vorgesehen am Ziel einzutreffen?

11 Lernziele ein Beispiel Für die Zeit gilt bei konstanter Geschwindigkeit : Fahrzeit 1. Hälfte + Fahrzeit 2.Hälfte = Gesamtzeit t 1 + t 2 = t gesamt t = s v s s 2 2 s + = 50 v 100 s s s + = 100 2v 100 Interpretation: Die für den Gesamtweg geplante Zeit ist bereits nach der 1.Weghälfte abgelaufen!

12 Lernziele ein Beispiel Was ist das für ein Mittelwert? Für die Geschwindigkeit gilt: Dann gilt für die Durchschnittsgeschwindigkeit über die beiden Weghälften: Und mit t = s v v v = = t v s + t v 1 2 s 2 1 s + s 2 v 2 = s t Vereinfacht ergibt sich: v = v v 1 2 Harmonisches Mittel

13 Fragen: Wo liegt das harmonische Mittel im Vergleich zu den beiden anderen Mittelwerten? Beschreibungsebene der Mathematik: v Termumformung von zu v = v v 1 2 = v v 2 2vv 1 2 = + v v + v v a + b > 2 a b > a b a b

14 - Mittelwerte im Mathematikunterricht Weitere Mittelwerte: Quadratisches Mittel und Kubisches Mittel a + b a + b mit Anwendungen: - Standardabweichung - Wann ist ein Weinbecher halb voll? *Weiterung: Konstruierbarkeit der Winkeldreiteilung

15 Lernziele Folgerungen für den Lehrplan? Was soll durch Mathematikunterricht von der Mathematik verstanden, behalten und angewendet werden können? Funktion von Mathematik zur Aufklärung struktureller Unterschiede in realitätsbezogenen Situationen erkennen Der Begriff Mittelwert besitzt verschiedene Ausprägungen Beispielkontexte und Visualisierungen als Merkhilfen Mittelwerte als mathematische Modelle begreifen und in verschiedenen Kontexten wiedererkennen und nutzen

16 Was ist das Wesentliche... Themenfelder für vernetztes Lernen Anwendungslinien als Stützen der Curriculumspirale Umgehen mit Geld... Anteile beschreiben und vergleichen (Brüche, Dreisatz, Prozentrechnung, Streckenteilung/Goldener Schnitt...) Optimieren Entfernung unzugänglicher Punkte bestimmen Zuordnungen beschreiben (Wachstum/Zerfall) Beziehungen zwischen Zahlen und Figuren beschreiben Visualisierungen (Mittelwerte...) Kongruenz Ähnlichkeit... Figuren erzeugen in Ebene und Raum Zufall beschreiben...

17 Gliederung erste Zusammenfassung Was ist das Wesentliche, das im MU verstanden, behalten und angewendet werden sollte? Wie kann man Mathematik so lernen, dass die Inhalte verstanden, behalten und angewendet werden können? Themenfelder für vernetztes Lernen als Lernangebot Katalog orientiert an fundamentalen Ideen der Mathematik und relevanten Anwendungsfeldern Schwerpunkte ausfiltern anhand eines semantischen Netzes (Sachanalyse) Binnendifferenzierende Aufbereitung mit offenen Aufgabenformaten

18 Aufgaben für nachhaltiges Lernen Welche Sichtweisen auf Aufgaben haben Sie? Welche Aufgabentypen sind zentral für nachhaltiges Lernen? Basiswissen sichern mit geeigneten Aufgaben für - verstandene Grundlagen (Lernprotokoll, Expertenmethode) und - intelligentes Üben und Vernetzen (Kopfübung und Führerschein) Individualisierte Lernangebote durch offene Aufgaben (Trichtermodell, Blütenmodell, Lösungswegevielfalt)

19 Aufgaben für nachhaltiges Lernen Welche Sichtweisen auf Aufgaben haben Sie? Aufgaben vergleichen verschiedene Blickwinkel: -Didaktische Funktion -Schülertätigkeit, Motivationspotenzial erkennen, beschreiben, verknüpfen, anwenden/ausführen, begründen, interpretieren -Mathematischer Gehalt -Aufgabentyp (acht Zieltypen), Aufgabenformat -Schwierigkeitsgrad (Formalisierung, Komplexität, Bekanntheit, Ausführungsaufwand)

20 Aufgabentypen für nachhaltiges Lernen Aufgabenformate und -typen Gege- Transfor- Gesuchbenes mationen tes X X X gelöste Aufgabe ( stimmt das?) X X - einfache Bestimmungsaufgabe - X X einfache Umkehraufgabe X - X Beweisaufgabe, Spielstrategie X - - schwere Bestimmungsaufgabe, auch: open ended tasks, Variation - - X schwierige Umkehraufgabe - X - Aufforderung, eine Aufgabe zu erfinden (-) - - offene Problemsituation (Trichtermodell)

21 Was sind offene Aufgaben? Geschlossen formuliert, aber viele Lösungswege (Vergleich und Würdigung der Lösungswege schwierig) Claudia nimmt die Hälfte der Murmeln aus ihrem Sack und behält sie für sich. Dann gibt sie zwei Drittel der Murmeln, die noch im Sack waren, Peter. Sie hatte jetzt sechs Murmeln übrig. Wie viele Murmeln waren am Anfang im Sack gewesen? Wahlaufgaben-Beispiele: (*) Keks-Aufgabe: Alexa und Gerd bekommen zusammen insgesamt 26 Kekse geschenkt. Zwei Essen sie sofort auf, den Rest wollen sie teilen. Alexa soll doppelt so viele bekommen wie Gerd, weil sie lange krank war. Wie viele Kekse bekommt jeder? (**) Altersaufgabe: Eine Mutter sagt zu ihrer Tochter: Als ich geboren wurde, war Oma 21 Jahre alt. Als du geboren wurdest, war ich 21 Jahre alt und heute sind wir beide zusammen gerade 21 Jahre älter als Oma. Wie alt sind Tochter, Mutter und Oma?

22 Ein geschlossenes Einstiegsproblem wird schrittweise erweitert, verallgemeinert in diesem Sinne geöffnet: Blütenmodell (z.b. PISA-Aufgaben) Familie Müller wandert mit ihren beiden kleinen Kindern auf einem Rundweg über 12km im Odenwald und plant dafür 4h ein. Eine Stunde nach ihrem Start tropft es bei Herrn Mufflig durch die Decke. Müllers Waschmaschine ist defekt! Herr Mufflig läuft aufgebracht den Müllers mit 5km/h hinterher. Wann und wo wird er Müllers treffen können? Würdest du auch hinterherlaufen? - Variationen

23 Trichtermodell - Gruppenarbeit, Projektarbeit arbeitsteiliges Vorgehen z.b. bei Modellierungen: * wie lange dauert ein Wasserwechsel im Schwimmbad? -** Vereinsbeitrag neu festlegen aber gerecht! Ein Sportverein hat 3500 Mitglieder, davon 2000 Jugendliche. Diese zahlten bisher 5 Monatsbeitrag, die Erwachsenen 7. Die gesamten Beitragseinnahmen müssen auf monatlich erhöht werden. Wie sollen die Beiträge neu festgesetzt werden? - ** Im Märchen vom Froschkönig musste die goldene Kugel herunterfallen gibt es Alternativen, so dass das Märchen weiter gehen kann? - *** Modellierung einer Autobahnausfahrt

24 Zielkonkretisierung für Mathematikaufgaben Was zeichnet eine Mathematikaufgabe aus, die nachhaltiges Lernen fördert? - reichhaltige Tätigkeiten auf verschiedenen Ebenen (erkennen, beschreiben, verknüpfen, ausführen, begründen, interpretieren) - verschiedene/neue Sichtweisen auf Inhalte, Vernetzungen - Erlernen von heuristischen Strategien möglich - können verschiedene Formate besitzen: geschlossen offen Mit versch. Lösungswegen...als Blütenmodell...als Trichtermodell

25 Typisierung nach den Handlungsbedingungen in Verbindung mit den Zieltypen Ziel: Ein Aufgabenset für einen Lernbereich bilden Grundaufgaben Abwandlungen von Grundaufgaben, insbesondere Umkehraufgaben Erweiterungen von Grundaufgaben Komplexaufgaben mit Standardcharakter mit Problemcharakter Problemstellungen (offen)

26 Ziel: Ein Aufgabenset für einen Lernbereich bilden Grundaufgabe geg: ges: Gleichung einer linearen Funktion Graph (Intervall evtl. vorgeg.) Lösungswege: 2 Möglichkeiten - Abwandlung einer Grundaufgabe Skizziere lineare Funktionen f(x)= mx + n mit a) m > 0, n > 0,5 b) m < -2, n >1

27 Ziel: Ein Aufgabenset für einen Lernbereich bilden Erweiterung einer Grundaufgabe Welche Bedingungen müssen die Gleichungen zweier linearer Funktionen erfüllen, damit a) die Bilder zusammen fallen, b) die Geraden parallel verlaufen, c) sich die Bilder in genau einem Punkt schneiden?

28 Ziel: Ein Aufgabenset für einen Lernbereich bilden Komplexe Aufgabe (Standard elementare Teilaufgaben) Zwei lineare Funktionen mit dem Anstieg 2 und 0,5 schneiden einander in P(0;4). a) Stelle beide Funktionen in einem KS dar. b) Gib für beide Funktionen je eine Gleichung an. c) Ermittle die Nullstellen beider Funktionen. Komplexe Aufgabe (geschlossenes Problem) Gegeben seien g(x)= -x 1 und f(x)= mx + 2. Gesucht ist m so, dass sich f und g im II.Quadranten schneiden.

29 Lehr- und Lernkonzepte Wesentliche Bedingungen für das Entstehen von Lernhandlungen: Lernaufgaben Handlungsaufforderungen: WAS? WARUM das? Orientierungsgrundlagen für die erforderlichen Handlungen WIE kann ich vorgehen?

30 Lernziele Lernaufgaben - Unterrichtsmethoden Verstehen behalten anwenden können erfordert: Zielklarheit: Ausgangsniveau: Vergewissern, ob die gestellten Lernziele mit den individuellen Lernaufgaben übereinstimmen Vergewissern, ob die Lernenden eine realistische Chance haben, die Lernaufgabe zu bewältigen Eine geeignete Unterrichtsmethode: Lernprotokoll

31 Unterrichtsmethode Lernprotokoll ein Beispiel Beispiel für ein Lernprotokoll (Klasse 9): 1. Wie kann man die Länge einer unzugänglichen Strecke bestimmen, wenn ein Maßband und ein Winkelmessgerät zur Verfügung stehen? (Einführungsbeispiel erläutern) 2a) Stelle zur gegebenen Strahlensatzfigur zwei passende Gleichungen auf! (Zeichnung vorgeben) 2b) Zeichne eine Strahlensatzfigur, für die folgendes gilt: x : 20 = (x + 40) : 28 (Umkehraufgabe) 3. Welche Fehler können passieren, wenn man die Strahlensätze für Berechnungen anwendet? 4. Wann kann man Strahlensätze anwenden und wann nicht? Gib jeweils ein Beispiel an!

32 Unterrichtsmethode Lernprotokoll Argumente für Lernprotokolle zu Beginn oder am Ende einer Unterrichtsstunde ohne Hilfsmittel: - alle Lernenden werden angesprochen und gefordert mit geringem Zeitaufwand - Verbalisierung von Vorstellungen - Verständnisprobleme können frühzeitig erkannt und repariert werden Empfehlung Das erste Lernprotokoll einsammeln und kommentieren, aber nicht bewerten jedoch mit der Klasse besprechen und gemeinsam Konsequenzen ziehen...

33 Handlungsorientierungen aber wie? Verstehen, behalten und anwenden können moderne und altbekannte Unterrichtsmethoden modulare Arbeitsplanung semantische Netze (mind map) Aufgabenkonzept für eine Unterrichtseinheit mit offenen Aufgaben zur Binnendifferenzierung Blütenmodell, Trichtermodell, verschiedene Lösungswege permanente Wiederholung (Kopfübung, Mathematikführerschein, Wissensspeicher anlegen) math. Methodentraining (Heuristik) und Selbstregulation Methodenreflektion (Lernprotokolle) Teilhandlungen ausbilden (für Problemlösen und sprachlichlogische Bildung)

34 Zusammenfassung: Rückblick und Ausblick Einige Defizite des Lernens und Lehrens Der Unterricht ist üblicherweise zu inhaltszentriert und zu wenig verständnisorientiert. Verschiedene Aufgabenformate einsetzen! Der Unterricht ist paradoxerweise zu oft leistungszentriert und zu selten lernorientiert. Lernprotokolle! Themenfelder... Der Unterricht ist zu stark auf ein neues Thema fixiert und vernachlässigt systematisches Wiederholen. Kopfübungen und Führerscheine!

35 Quellennachweis: Winter, H. : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung, In: Mitteilungen der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik Nr. 61, 1995, S Ferner sei verwiesen auf Bruder, Regina: Lernen, geeignete Fragen zu stellen. Heuristik im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren 115 (2002), S.4-8 Mathematik lernen und behalten. In: Heymann, H.-W. (Hrsg.): Lernergebnisse sichern. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 10, S Verständnis für Zahlen, Figuren und Strukturen. In: Heymann, H.-W.(Hrsg.): Basiskompetenzen vermitteln. PÄDAGOGIK 53 (2001), Heft 4, S Konzepte für ein ganzheitliches Unterrichten.- In: mathematik lehren 101 (2000), S Mit Aufgaben arbeiten.- In: mathematik lehren 101(2000), S Eine akzentuierte Aufgabenauswahl und Vermitteln heuristischer Erfahrung - Wege zu einem anspruchsvollen Mathematikunterricht für alle.-in: Flade/Herget (Hrsg.): Mathematik lehren und lernen nach TIMSS - Anregungen für die Sekundarstufen.- Volk und Wissen 2000 Elementares Können wachhalten. Führerscheine im Mathematikunterricht.Friedrich Jahresheft 2000, S