Technische Mechanik Kinematik und Kinetik

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1 Technische Mechanik Kinematik und Kinetik

2 Günther Holzmann Heinz Meyer Georg Schumpich Technische Mechanik Kinematik und Kinetik 11., überarbeitete Auflage Mit 315 Abbildungen, 138 Beispielen und 172 Aufgaben Überarbeitet von Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller und Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer

3 Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller Hochschule Niederrhein Krefeld, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Günther Holzmann Esslingen, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer Hamburg, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Georg Schumpich (verst.) Hannover, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Heinz Meyer (verst.) Osnabrück, Deutschland Prof. Dr.-Ing. Conrad Eller vertritt die Lehrgebiete Mechanik und Finite-Element-Methoden im Fachbereich Maschinenbau und Verfahrenstechnik der Hochschule Niederrhein, Krefeld. Seine Forschungsinteressen liegen auf dem Gebiet der statischen und dynamischen Stabilität mechanischer Strukturen. Prof. Dr.-Ing. Hans-Joachim Dreyer lehrte Technische Mechanik, Leichtbaustatik und Finite Elemente im Fachbereich Fahrzeugtechnik der Hochschule für Angewandte Wissenschaften und außerdem Technische Mechanik im hochschulübergreifenden Studiengang Schiffbau in Hamburg. ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 1969, 1972, 1976, 1979, 1983, 1986, 1990, 2000, 2006, 2010, 2012 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Lektorat: Thomas Zipsner, Ellen Klabunde Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

4 Vorwort Der vorliegende Teil 2 des dreibändigen Lehrbuches Technische Mechanik behandelt die Kinematik und Kinetik. Das Buch richtet sich an Studierende der Ingenieurwissenschaften sowie an den in der Berufspraxis stehenden Ingenieur. Großer Wert wurde auf eine klar strukturierte und verständliche Darstellung des Lehrstoffes gelegt. Anschaulichen Herleitungen galt dabei der Vorzug gegenüber rein theoretischen Ableitungen. Die Kinematik und Kinetik bilden die Grundlage für die Behandlung zeitvarianter Problemstellungen der Mechanik. Die Kinematik ist die Lehre von den Bewegungen, wobei die während des Bewegungsvorgangs wirkenden Kräfte nicht berücksichtigt werden. In der Kinetik hingegen werden die durch die einwirkenden Kräfte verursachten Bewegungsänderungen verfolgt. Im vorliegenden Band werden zunächst die Grundgleichungen der Kinematik des Massenpunktes und des starren Körpers entwickelt. Ergänzt werden diese Betrachtungen durch die kinematischen Beziehungen zur Beschreibung der Relativbewegung. Ein zentrales Problem der Kinetik ist das Aufstellen der Bewegungsgleichungen. Dem Anfänger bereitet die zweckmäßige Wahl eines Koordinatensystems und die damit verbundene Festlegung der Vorzeichen in den Bewegungsgleichungen vielfach Schwierigkeiten. Ausgehend vom 2. Newtonschen Grundgesetz bzw. dem daraus abgeleiteten Prinzip von d Alembert werden die einzelnen Schritte erläutert, die zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen führen. Zahlreiche Problemstellungen der Kinetik lassen sich vorteilhaft mit Hilfe der Erhaltungssätze (Energiesatz, Impulserhaltungssatz, Impulsmomenterhaltungssatz) lösen. Die genannten Sätze werden ausführlich hergeleitet und ihre Anwendung in der Kinetik anhand von aussagekräftigen Beispielen dokumentiert. Eine besondere Bedeutung in der Ingenieurpraxis besitzen die mechanischen Schwingungen, die im letzten Kapitel behandelt werden. Nach der Einführung in die freien und erzwungenen Schwingungen von einfachen Feder-Masse-Systemen werden die Untersuchungen auf Koppelschwinger erweitert. Hieran anschließend werden die Torsions- und Biegeschwingungen von Wellen behandelt, und der für den Ingenieur wichtige Begriff der biegekritischen Drehzahl wird erklärt. Das didaktische Konzept des vorliegenden Buches besteht darin, dass jeweils nach einer verständlichen Einführung in die theoretischen Grundlagen der Lehrstoff anhand von aussagekräftigen Beispielen erklärt und vertieft wird. Die zahlreichen Übungsbeispiele am Ende jedes Abschnittes bieten die Möglichkeit, den erlernten Stoff im Selbststudium zu vertiefen. Hamburg / Krefeld, im Juli 2005 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller

5 Vorwort zur 11. Auflage Im Vordergrund der Bearbeitung zur vorliegenden 11. Auflage des Bandes Kinematik und Kinetik stand die weitere Verbesserung des Buchlayouts. Die bereits in der 10. Auflage begonnene Überarbeitung der Bilder wurde fortgesetzt, so dass nun alle Darstellungen der Abschnitte 1 bis 7 als Computergrafiken vorliegen. Sämtliche Abschnitte des Buches wurden sorgfältig durchgesehen und die dabei entdeckten Fehler korrigiert. Konstruktive Anregungen der Leser wurden bei der Überarbeitung berücksichtigt. Wir danken allen Benutzern des Buches, von denen wir Hinweise und Vorschläge zur Verbesserung erhielten. Für weitere Anregungen zur Weiterentwicklung des Buches sind wir stets dankbar. Ein besonderer Dank gilt auch dem Verlag Springer Vieweg für die gewährte Unterstützung und insbesondere Herrn Thomas Zipsner vom Lektorat Grundlagen Technik für die angenehme Zusammenarbeit. Hamburg / Krefeld, im September 2012 Hans-Joachim Dreyer Conrad Eller

6 Inhalt Vorwort... Vorwort zur 10. Auflage... Formelzeichen (Auswahl)... V VI XI 1 Kinematik des Punktes Eindimensionale Kinematik, Bewegung eines Punktes auf gegebener Bahn Bogenlänge, Bahngeschwindigkeit, Bahnbeschleunigung Kinematische Diagramme Gleichförmige Bewegung Gleichförmig beschleunigte Bewegung Ungleichförmige Bewegung Aufgaben zu Abschnitt Allgemeine Bewegung eines Punktes Ortsvektor, Bahnkurve Geschwindigkeitsvektor Beschleunigungsvektor Bahn- und Normalbeschleunigung Aufgaben zu Abschnitt Bewegung auf kreisförmiger Bahn Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Beschreibung der Kreisbewegung in kartesischen Koordinaten Gleichförmige Kreisbewegung Gleichförmig beschleunigte Kreisbewegung Anwendungen der Kreisbewegung Aufgaben zu Abschnitt Beschreibung der ebenen Bewegung eines Punktes in Polarkoordinaten Kinetik des Massenpunktes Das Newtonsche Grundgesetz Das Grundgesetz und die Axiome der Kinetik Das Grundgesetz in Komponentenform Bemerkungen zum Lösen von Aufgaben der Kinetik Bewegung bei konstanter Bahnkomponente der Kraft Prinzip von d Alembert Bahnkomponente der Kraft abhängig vom Ort, freie Schwingungen Aufgaben zu Abschnitt Arbeit, Energie, Leistung Arbeit einer Kraft Energie Arbeitssatz und Energieerhaltungssatz Leistung einer Kraft, Wirkungsgrad Aufgaben zu Abschnitt Bewegung eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium

7 VIII Inhalt Widerstandsgesetze Fall eines Körpers in einem ihn umgebenden Medium Aufgaben zu Abschnitt Impulssatz, Impulsmomentsatz Impuls, Impulssatz Impulsmoment, Impulsmomentsatz Kinematik des Körpers Ebene Bewegung eines starren Körpers Momentanpol, Polbahnen Aufgaben zu Abschnitt Geschwindigkeits- und Beschleunigungszustand einer Scheibe Momentanpol als Geschwindigkeitspol Satz von Euler Maßstäbe und Konstruktion der Normalbeschleunigung Aufgaben zu Abschnitt Kinematik der Relativbewegung Führungs- und Relativbewegung Absolut- und Coriolisbeschleunigung Aufgaben zu Abschnitt Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz Impuls- und Impulserhaltungssatz Impulsmoment, Impulsmomentsatz Bewegung bei veränderlicher Masse Raketenbewegung Aufgaben zu Abschnitt Kinetik des Körpers Allgemeine Bewegung. Körper als Grenzfall eines Massenpunktsystems Drehung eines starren Körpers um eine feste Achse Grundgesetz für die Drehbewegung, Impulsmomentsatz Grundgesetz für die Drehung um eine feste Achse Massenträgheitsmomente einfacher Körper Massenträgheitsmomente um parallele Achsen, Satz von Steiner Reduzierte Masse, Trägheitsradius Anwendungen des Grundgesetzes für die Drehbewegung Impulsmomentsatz bei Drehung um eine feste Achse Zentrifugalmomente, Hauptachsen, Hauptträgheitsmomente Anwendungen des Impulsmomentsatzes. Dynamische... Auflagerreaktionen. Auswuchten Resultierende Trägheitskraft, Trägheitsmittelpunkt Aufgaben zu Abschnitt

8 Inhalt IX Arbeit, Energie und Leistung bei der Drehbewegung Arbeit Kinetische Energie Arbeitssatz Potenzielle Energie, Energieerhaltungssatz Leistung Aufgaben zu Abschnitt Ebene Bewegung eines starren Körpers Bewegungsgleichungen Impulsmomenterhaltungssatz Aufgaben zu Abschnitt Kinetik der Relativbewegung Aufgaben zu Abschnitt Energie, Arbeit und Leistung bei allgemeiner und ebener Bewegung Kinetische Energie Leistung Arbeit Arbeitssatz, Leistungssatz, Energieerhaltungssatz Aufgaben zu Abschnitt Drehung eines starren Körpers um einen festen Punkt Impulsmomentsatz Der geführte symmetrische Kreisel Aufgaben zu Abschnitt Stoß Allgemeines, Definitionen Gerader zentraler Stoß Elastischer Stoß Plastischer Stoß Wirklicher Stoß Gerader exzentrischer Stoß gegen einen drehbar gelagerten Körper, Stoßmittelpunkt Aufgaben zu Abschnitt Mechanische Schwingungen Grundbegriffe Freie ungedämpfte Schwingungen Freie Schwingungen mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung Aperiodische Bewegung Freie gedämpfte Schwingung Aperiodischer Grenzfall Erzwungene Schwingungen Erregung über eine Feder Erzwungene Schwingungen durch Fliehkrafterregung Koppelschwingung. Schwingungstilger

9 X Inhalt 7.5 Schwingungen von Wellen Torsion einer einfach besetzten Welle Biegekritische Drehzahl der mit einer Scheibe besetzten Welle Die mit mehreren Scheiben besetzte Welle Schwingungen kontinuierlicher Systeme Aufgaben zu Abschnitt Anhang Lösungen zu den Aufgaben Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Weiterführende Literatur Stichwortverzeichnis Hinweise auf DIN-Normen in diesem Werk entsprechen dem Stande der Normung bei Abschluss des Manuskriptes. Maßgebend sind die jeweils neuesten Ausgaben der Normblätter des DIN Deutsches Institut für Normung e.v. im Format A 4, die durch den Beuth-Verlag GmbH, Berlin und Köln, zu beziehen sind. Sinngemäß gilt das Gleiche für alle in diesem Buche angezogenen amtlichen Bestimmungen, Richtlinien, Verordnungen usw.

10 Formelzeichen (Auswahl) A Fläche F R, F R resultierende Kraft A, B, C Integrationskonstanten F S Seilkraft a Beschleunigung F t, F n Bahn- und Normalkomponente a Beschleunigungsvektor der Kraft a abs absolute Beschleunigung F W Widerstandskraft a B, a C,... Beschleunigung der Punkte F x, F y, F z skalare Komponenten der Kraft B, C,... f st statische Auslenkung einer a CB Rotationsbeschleunigung des Feder Punktes C bezüglich B G Gleitmodul a Cor Coriolisbeschleunigung g Fallbeschleunigung a F Führungsbeschleunigung H Heizwert a n Normal- oder Zentripetal- h Höhe beschleunigung I axiales Flächenmoment a r Radialbeschleunigung 2. Grades a rel Relativbeschleunigung I p polares Flächenmoment a S Schwerpunktbeschleunigung 2. Grades a t Tangential- oder Bahn- I x, I y, I z Flächenmoment bezüglich der beschleunigung x-, y- und z-achse a x, a y, a z skalare Komponenten des i Trägheitsradius Beschleunigungsvektors i Übersetzungsverhältnis a Umfangsbeschleunigung J Massenträgheitsmoment c Federkonstante J red reduziertes Massenträgheitsc d Drehfederkonstante moment c g Ersatzfederkonstante J S Massenträgheitsmoment c W Widerstandsbeiwert bezogen auf den Schwerpunkt d Durchmesser J x, J y, J z Massenträgheitsmoment E Energie, Elastizitätsmodul J, J, J bezüglich der x-, y- und z-achse E k kinetische Energie bzw. der -, - und -Achse E p potenzielle Energie J xy, J yz, J zx Zentrifugalmoment E pf potenzielle Energie der Feder J, J, J Zentrifugalmoment E ph potenzielle Energie der Lage j imaginäre Einheit e r, e, e z Einsvektoren des Zylinder- (s. DIN 1302) e t, e n, e b koordinatensystems k Dämpfungskonstante Einsvektoren des natürlichen L Impulsmoment Koordinatensystems, Tangenten-, L 0, L S Impulsmoment bezüglich eines Normalen- und Binormalen- festen Punktes 0 und bezüglich Einsvektor des Schwerpunktes e x, e y, e z Einsvektoren des kartesischen l Länge F, F Koordinatensystems l red reduzierte Pendellänge Kraft, Kraftvektor M, M Drehmoment, Drehmoment- F A Auftriebskraft vektor F F Fliehkraft M K Kreiselmoment F G, F G Gewichtskraft M x, M y, M z Komponenten des F h, F r Haft-, Gleitreibungskraft Drehmomentvektors F q Querkraft m Masse

11 XII Formelzeichen (Auswahl) m a Beschleunigungsmaßstabsfaktor v S, v S stationäre Sinkgeschwindigkeit, m L Längenmaßstabsfaktor Schwerpunktgeschwindigkeit m red reduzierte Masse v x,v y,v z skalare Komponenten des m v Geschwindigkeitsmaßstabsfaktor Geschwindigkeitsvektors m Maßstabsfaktor für die W Arbeit Durchbiegung W N Arbeit der Kräfte ohne n = 1/T Drehzahl, Frequenz, Potenzial Schwingungszahl W n, W v Nutz- und Verlustarbeit P Leistung W z zugeführte Arbeit P e, P i effektive und indizierte Leistung w Durchbiegung, Auslenkung P n, P v, P z Nutz-, Verlust- und zugeführte eines Balkens p, p Leistung x, y, z Koordinaten Impuls, Impulsvektor p x, p y, p z des skalare Komponenten = Winkelbeschleunigung q Impulsvektors,,,, Winkel Ortsvektor von bewegtem = 1/c Einflusszahl Bezugspunkt aus Abklingkonstante R Erdradius Wirkungsgrad r Ortsvektor m, th mechanischer, thermischer r Radius Wirkungsgrad r S Schwerpunktabstand = / 0 Dämpfungsgrad S a, S v, S 1... Strecke, durch die eine Beschleunigung, logarithmisches Dekrement eine Geschwindigkeit, eine Schubstangenverhältnis Länge usw. in der Zeichnung dargestellt Gleitreibungszahl ist 0 Haftzahl s Ortskoordinate r Roll- bzw. Fahrwiderstands- T Schwingungsdauer zahl t Zeit z Zapfenreibungszahl u Geschwindigkeit, Treibstrahl-,, Koordinaten v, v geschwindigkeit Krümmungsradius Geschwindigkeit, Dichte Geschwindigkeitsvektor F1, K, L Dichte von Flüssigkeit, v A Geschwindigkeit am Anfang Körper, Luft des ersten Stoßabschnitts Normalspannung v abs absolute Geschwindigkeit Integrationsvariable v B, v C... Geschwindigkeit der Punkte Drehwinkel, Nullphasenwinkel B, C,... Winkel, Neigungswinkel der v CB Rotationsgeschwindigkeit des Biegelinie Punktes C bezüglich B = Winkelgeschwindigkeit, auch v F, v rel Führungs- und Relativ- kritische geschwindigkeit 0 konstante Winkelgeschwindigkeit, v P, v E, v W Geschwindigkeit nach dem Kennkreisfrequenz plastischen, elastischen und d Eigenkreisfrequenz wirklichen Stoß r Resonanzfrequenz v r, v Radial- und Umfangsgeschwindigkeit

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