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1 Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe der Fuzzy-Logik Fuzzy Sets Zugehörigkeitsfunktionen Operationen auf Fuzzy-Mengen Anwendung der Fuzzy-Logik Beispielprogramme Mondlandung Rangiere Pendelwagen Fazit

2 1 Begriffe der Fuzzy-Logik 1.1 Fuzzy Sets Eine Fuzzy-Menge unterscheidet sich vom Mengenbegriff der klassischen Mengenlehre. In letzterer kann ein Element entweder ganz oder gar nicht zu einer Menge gehören. Bei einem Fuzzy-Set dagegen kann die Zugehörigkeit eines Elementes auch unscharf definiert werden: das Element gehört dann zu einem bestimmten Grad zur Menge; dieser wird i.d.r. innerhalb des Intervalls [0; 1] angegeben. Eine Zugehörigkeit von 0.8 bedeutet, das Element gehört sehr zur Menge, während 0.2 bedeuten würde, das Element gehört wenig zur Menge. Auf diese Weise können auch unscharfe Begriffe der Umgangssprache wie sehr, mittel, wenig, etc. mathematisch erfasst werden. Dieser Sachverhalt wird in folgenden Diagrammen nochmals illustriert: Abbildung 1: Unterschied zwischen klassischer Menge (blau) und einer Fuzzy-Menge (orange) 1 An der Abszisse des Diagramms sind verschiedene Werte einer beliebigen Variablen x angetragen. Die Ordinate beschreibt den Zugehörigkeitsgrad eines Elementes zur Menge A bzw. A~. Die blaue Kurze mit ihrem diskreten Sprüngen von 0 nach 1 und 1 nach 0 zeigt, dass bei der klassischen Menge A nur eine scharfe Grenze zwischen den Zuständen ist Element und ist nicht Element gezogen werden kann. Die orangenfarbene Kurze dagegen beschreibt, dass in der Fuzzy-Logik die Zugehörigkeit eines Elementes x zur Fuzzy-Menge A~ kontinuierlich definiert wird und somit unscharf verlaufen kann. 1 Quelle: 1

3 1.2 Zugehörigkeitsfunktionen Die beiden in Abb. 1 dargestellten Graphen gehören zu jeweils einer Zugehörigkeitsfunktion. Diese beschreibt analystisch eine Fuzzy-Menge. Um mit solchen Mengen rechnen zu können, sollten möglichst einfache Funktionen ausgewählt werden. Durch diese können linguistische Werte wie fast genau, etwa zwischen oder ungefähr beschrieben werden: Abbildung 2: Drei Zugehörigkeitsfunktionen zur Darstellung linguistischer Werte 2 Bei der ersten Funktion (ganz links) handelt es sich um eine Dreiecksfunktion. Diese beschreibt, inwieweit Elemente u mit zur Fuzzy-Menge fast genau 10 gehören. In der Mitte befindet sich eine Trapezfunktion. Mit dieser kann die Aussage u befindet sich etwa zwischen 30 und 40 analytisch beschrieben werden. Die rechte Funktion (Gauss- Glocke) sagt aus, dass u ungefähr 70 ist. 1.3 Operationen auf Fuzzy-Mengen Analog zu klassichen Mengen können auf Fuzzy-Mengen Mengenoperationen definiert werden. Beispielhaft sollen hier Vereinigung und Durchschnitt dargestellt werden. Bei der Vereinigung von zwei Fuzzy-Mengen A und B wird der Vereinigungsmenge C (fett dargestellt) jeweils das Element aus A oder B mit dem größten Zugehörigkeitsgrad hinzugefügt: 2 Quelle: img369.gif 2

4 Abbildung 3: Vereinigung von zwei Fuzzy-Mengen 3 Beim Durchschnitt verhält sich die Sachlage umgekehrt. Hier wird im Intervall von u, in dem A und B definiert sind, jeweils das Element mit dem kleineren Zugehörigkeitsgrad zur Schnittmenge C (fett) hinzugefügt: Abbildung 4: Durchschnitt von zwei Fuzzy-Mengen Anwendung der Fuzzy-Logik Die Fuzzy-Logik lässt sich vor allem für Sachverhalte anwenden, für die keine exakte mathematische Beschreibung existiert. Liegt nur eine verbale Beschreibung vor, so kann diese durch linguistische Begriffe mathematisch modelliert werden; dies ermöglicht die Ableitung verwertbarer Aussagen, obwohl ein exaktes mathematisches Modell des Sachverhalts nicht angegeben werden kann. Folgender Vergleich illustriert den Gegensatz zwischen der Anwendung eines exakten mathematischen Modells und der Verwendung unscharfer Begriffe (der Fuzzy-Logik zugänglich). 3 Quelle: 4 Quelle: 3

5 Mathematisches Modell: bei 57,6 km/h und 12,65 m Abstand vom mit 40,6 km/h fahrenden Vordermann muß ich mit 7,7936 m/quadratsec Bremsverzögerung abbremsen Beschreibung mit unscharfen Begriffen: wenn ich etwas mehr als 50 fahre und nur noch wenig Abstand zum Vordermann habe, der noch langsamer fährt als ich, dann sollte ich stark bremsen Hier kann auch ohne die direkte Anwendung physikalischer Gesetz eine (ungefähre) Aussage getroffen werden, nämlich inwieweit der Fahrer das Fahrzeug abbremsen muss. 2 Beispielprogramme In diesem Teil des Berichts geht es um die Benutzung von drei Programmen die mit Hilfe von Fuzzy-Logik versuchen Aufgaben zu lösen.im ersten Programm soll eine Landekapsel möglichst sanft gelandet werden. Im n achsten Programm soll ein auf der Straße zufällig angeordneter Lastwagen rückwärts und möglichst senkrecht abgestellt werden. Im letzten Programm soll ein Pendelwagen an einer bestimmten Stelle über der 0 einer Scala zum stehen kommen. 2.1 Mondlandung Die Anwendung ist ein anschauliches Beispiel wie die Fuzzy Logik funktioniert bzw. funktionieren kann. Es wird versucht eine heruntergleitende Landekapsel auf dem Trabanten der Erde zu landen. Dies wird von verschiedenen Gegebenheiten beeinflusst (Startparameter): 4

6 Abbildung 5: Beispielanwendung Mondlandung Höhe Geschwindigkeit Treibstoff Masse Die Simulation kann per Handregelung durchgeführt werden, wobei man hier nur den aktuellen Schub beeinflussen kann. Als Hilfsanzeige für den manuellen Versuch stehen folgende Werte zur Verfügung: momentane Höhe momentane Geschwindigkeit momentaner Treibstoffstand verstrichene Zeit Ziel ist es nun die Landekapsel so sanft wie möglich zu landen. Dabei muss man unter den gegebenen Umständen mit den zur Verfügung gestellten Ressourcen auskommen. Das Interessanteste dieser Anwendung ist natürlich die automatische Landung der Kapsel per Fuzzyregelung. Verändert wird, wie manuell, nur der aktuelle Schub. Durch rein logische Herangehensweise würde man zu dem Schluss kommen, dass zu einem geeig- 5

7 neten Zeitunkt der Schub immer weiter erhöht wird, bis man eine Punktlandung auf der Trabantenoberfläche hinlegt. Allerdings stellt man beim beobachten der Fuzzyregelung schnell fest, dass zwar der Schub recht spontan mal mehr oder mal weniger stark betätigt wird, jedoch der Vorgang bei gleichbleibenden Parametern nahezu deterministisch abläuft. Kleinere Schwankungen sind eindeutig auf die Ereignisgesteuerte Vorgehensweise der Fuzzy Logik zurückzuführen. Stellt das System z.b. fest, dass die Geschwindigkeit im Vergleich zur Höhe deutlich zu hoch ist, wird der Schub schlagartig hochgeregelt. Die Fuzzy Logik versagt jedoch bei Parametereinstellungen die ein sofortiges und andauerndes hochschalten des Schubes erfordern, um die Kapsel sicher zu landen. Es wird klar, das die Denkweise hierauf nicht abgestimmt ist. Auch hierzu gibt es eine Lösung. Die Denkweise der Fuzzy Logik wird in dieser Anwendung durch Regeln bestimmt. Diese Regeln können vom Benutzer eingestellt werden. Durch experimentieren findet man sehr schnell heraus wie man die zuvor, für die Fuzzy Logik, scheinbar unlösbare Aufgabe dennoch meistern kann. 2.2 Rangiere Das Programm Rangiere ist ein eigenständiges Programm und wird über die gleichnamige Exe-Datei gestartet. Daraufhin erscheint ein Fenster mit einer GUI, wie in der Abbildung auf der nächsten Seite zu sehen ist. Das Programm hat zwei Modi: einen manuellen, genannt Handsteuerung, in dem der Benutzer selbst versuchen kann den LKW in die richtige Position zu bringen, und einen in dem mit Hilfe von Fuzzy-Logik automatisch versucht wird das Ziel zu erreichen. Die Handsteuerung ist einfach, man muss nur mit der Maus über das dafür vorgesehene Feld (Abbildung auf der nächsten Seite, A) um nach links oder nach rechts zu lenken. 6

8 Abbildung 6: Rangiere, Handsteuerung Die Geschwindigkeit mit der der LKW zurücksetzt ist konstant und kann vorher über das Menü Bearbeiten - Startwerte eingegeben werden. Im gleichen Menü können auch der Abstand des Führerhauses und die Lage des LKW als Winkel angegeben werden. Zum automatischen Auswählen der beiden zuletzt genannten Werte kann ein Häkchen in einer Checkbox gesetzt werden. Zum Starten muss nun der Button Truck setzen gedrückt und danach im Menü Bearbeiten auf Start geklickt werden. Der Truck fährt dann so lange, bis die Rotmarkierte Fläche mit dem X erreicht ist. Bis dahin soll der LKW so senkrecht wie möglich zu dieser Fläche ausgerichtet werden. Zur Hilfestellung werden rechts unten in der GUI drei Werte angezeigt: Abstand in m, die Lag in Winkel und der Lenkwinkel. Um den automatischen Modus Abbildung auf der nächsten Seite zu aktivieren muss im Menü Bearbeiten auf Betriebsart umschalten geklickt werden. Damit nach einem weiteren Klick auf Start im Bearbeiten - Menü der Rechner automatisch loslegt, muss vorher noch eine der beiden mitgelieferten *.FUZ Dateien über Datei Öffnen geladen werden. In diesen Dateien sind die Regeln und Mengen, nach denen die Fuzzy-Logik für dieses Problem arbeitet, definiert. Die Fuzzy-Mengen können über Datei-Fuzzymengen zeigen angesehen werden. Die Regeln können über Bearbeiten-Regeln editieren verändert werden. Die Datei Truck1.fuz versucht den 7

9 Abbildung 7: Rangiere, Fuzzyregelung Truck zusätzlich zum Ausrichten so wie möglich am rechten Straßenrand abzustellen. In der Datei Truck2.fuz sind die Regeln so definiert, dass der LKW möglichst in der Straßenmitte geparkt wird. 2.3 Pendelwagen Das letzte Programm ist als Java-Applet realisiert und unter dem Link fh-regensburg.de/~saj39122/gheinz/fuzzy0401.html zu finden. Die Seite ist so aufgebaut, dass dem Benutzer immer erklärt wird was als nächstes zu tun ist. Die dazu vorhandenen Erklärungen sind auf den html-seiten zu sehen die angezeigt werden wenn auf Weiter geklickt wird. Über das Dropdown-Menü Ansicht am oberen Rand des Applets können die verschiedenen Ansichten ausgewählt werden. In der Ansicht Variablen können die vorhandenen Variablen mehreren Fuzzy-Sets zugeordnet werden. Es ist auch möglich selbst neue Variablen zu definieren. In der Ansicht Regeln werden die Regeln zur Fuzzy-Steuerung definiert. Wieder können eigene hinzugefügt werden. Inder Ansicht 3-D-Grafik können unterschiedliche Kombinationen der Variablen zum Überprüfen der Auswirkung 8

10 Abbildung 8: Pendelwagen Applet visualisiert werden. Die Ansicht Grafische Darstellung zeigt eine grafische Darstellung der ausgewählten Fuzzy-Sets. In der Ansicht Animation (Abbildung auf dieser Seite) kann das Ergebnis der Definitionen ansehen werden. Dort Läuft dann die Animation des Pendelwagens ab. Welche Regeln und Sets momentan wie Stark verwendet werden, ist in dieser Ansicht ebenfalls visualisiert. 2.4 Fazit Die Beispielanwendung Mondlandung bildet ein sehr anschauliches Modell der Fuzzy Logik ab. Zudem macht es enormen spaß sich an einer perfekten Landung zu versuchen. Das Programm Rangiere funktioniert tadellos und ist auch intuitiv bedienbar. Die Einarbeitung dauert maximal fünf Minuten. Anders verhält es sich mit dem Pendelwagen- Applet. Die Einarbeitung dauert hier wesentlich länger und ist auch weniger intuitiv. Ohne die vorhandenen Hilfe-Seiten ist eine vernünftige Einstellung der Parameter kaum möglich. 9

11 Abbildungsverzeichnis 1 Unterschied zwischen klassischer Menge (blau) und einer Fuzzy-Menge (orange) Drei Zugehörigkeitsfunktionen zur Darstellung linguistischer Werte Vereinigung von zwei Fuzzy-Mengen Durchschnitt von zwei Fuzzy-Mengen Beispielanwendung Mondlandung Rangiere, Handsteuerung Rangiere, Fuzzyregelung Pendelwagen Applet