Grundlagen der Fuzzy-Logik

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1 Grundlagen der Fuzzy-Logik Seminarvortrag Julian Górny Matrikelnummer:

2 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 2

3 Einleitung Bestimmte Sachverhalte in Prozessen lassen sich nicht scharf beschreiben Es können nur vage oder unscharfe Aussagen dazu getroffen werden Gewünscht ist eine Technologie zur Verarbeitung von unsicherem Wissen Fuzzy-Logik = Theorie des unsicheren Schließens Fuzzy-Logik wurde 1965 von Lotfi A. Zadeh begründet Stellt eine Möglichkeit dar, auf Basis von unscharfen Informationen, Entscheidungen zu treffen Seite 3

4 Einleitung: Beispiel Entscheidungsfindung für die Problemstellung: Gilt ein bestimmter Mann als ein großer Mann oder nicht? Modellierung von M nach klassischem Ansatz Fuzzy-Menge Regel: Wenn ein Mann 1,80 m oder größer ist, dann ist er ein großer Mann. Definiere M = x x 1,80 die Menge der großen Männer Klassischer Ansatz { } Es werden ausschließlich zwei Fälle betrachtet Ein Mann gehört zur Menge M (Zugehörigkeitsgrad 1) und ein Mann gehört nicht zur Menge M (Zugehörigkeitsgrad 0) Ansatz im Sinne der Fuzzy Logik Möglichkeiten für den Zugehörigkeitsgrad eines Elementes zur Menge M gehen über die Werte 1 und 0 hinaus Männer die z. B. als mittelgroß beschrieben werden weisen einen Zugehörigkeitsgrad zwischen 0 und 1 auf, hier 0,7 Modellierung von M nach unscharfem Ansatz Seite 4

5 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 5

6 Grundlagen: Fuzzy-Mengen und Zugehörigkeitsfunktionen Fuzzy-Mengen bilden die Grundlage der Fuzzy-Theorie Sie werden auf einer Grundmenge G durch eine Abbildung µ : G [0,1] beschrieben [KAHL95] µ wird auch als Zugehörigkeitsfunktion bezeichnet Beispiel: Temperatur einer Flüssigkeit Die Gestalt einer Zugehörigkeitsfunktion hängt von dem Anwendungsgebiet und des zu übermittelnden Informationsgehalts ab Seite 6

7 Grundlagen: Beispiele für Zugehörigkeitsfunktionen Trapez-, Dreiecks- und Gaußfunktionen gehören zu den mit am häufigsten verwendeten Funktionen zur Modellierung von Fuzzy-Mengen Trapezfunktion Dreiecksfunktion Trapezfunktion: Dreiecks-Funktion: µ ( x;a,b,c,d ) µ ( x;a,b,c ) 0, x a, b a = 1, d x, d c 0, 0, x a, = b a d x, d c 0, x a a x b b x c c x d x d x a a x b b x c x d Gaußfunktion Gaussfunktion: ( ) µ x;σ,c = e ( x c) 2σ 2 2 Seite 7

8 Grundlagen: Operationen auf Fuzzy-Mengen Genauso wie in der booleschen Logik, sind auch in der Fuzzy-Logik Operationen zur Verknüpfung von Fuzzy- Mengen definiert [KAHL95] Vereinigung zweier Fuzzy-Mengen: [ 0,1] mit ( µ µ )( x) : MAX( µ (x), µ (x)) µ 1 µ 2 : G 1 2 = 1 2 Schnitt zweier Fuzzy-Mengen [ 0,1] mit ( µ µ )( x) : MIN(µ (x), µ (x)) µ 1 µ 2 : G 1 2 = 1 2 Das Komplement einer Fuzzy-Menge µ C : G [ 0,1] mit ( x) : = 1 µ ( x) µ C Seite 8

9 Grundlagen: Fuzzy-Implikation (1) Für die Regelung von Prozessen ist die Formulierung von Regeln notwendig Als Wenn-Dann -Relationen definierte Regeln werden als Fuzzy-Implikationen bezeichnet Bestandteile von Fuzzy-Implikationen sind Fuzzy-Mengen Beispiel: Erweiterung des Beispiels Temperatur einer Flüssigkeit um die linguistische Variable Wärmezufuhr mit fünf linguistischen Termen Seite 9

10 Grundlagen: Fuzzy-Implikation (2) Beispiel: Formulierung von Fuzzy-Regeln zur Regulierung der Wärmezufuhr für eine Flüssigkeit in Abhängigkeit von ihrer Temperatur R 1 Regel : WENN Temperatur = niedrig DANN Wärmezufuhr = hoch WENN-Teil einer Regel = Prämisse DANN-Teil einer Regel = Konklusion Seite 10

11 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 11

12 Fuzzy-Controller: Aufbau Quelle: vernändert nach [KAHL94] Seite 12

13 Fuzzy-Controller: Fuzzifizierung Fuzzifizierung beschreibt das Überführen eines scharfen Eingangswertes in einen Fuzzy-Wert Ohne Fuzzifizierung ist keine Auswertung der in der Regelbasis hinterlegten Fuzzy-Regeln möglich Beispiel: Fuzzifizierung der scharfen Werte o und T 58 C 2 = T 1 = 28 o C T 2 Für und T ergeben sich die Fuzzy-Werte 1 o Fuzzifizierung * T1 = 28 T1 = (0,0.85,0,0,0) o Fuzzifizierung * T = 58 T ( 0,0,0.5,0.15,0) 2 2 = * T 1 und * T 2 Seite 13

14 Fuzzy-Controller: Inferenzmechanismus (1) Der Inferenzmechanismus dient zur Auswertung der Regeln einer Regelbasis bezüglich eines Fuzzy-Wertes Beispiel: Definition einer weiteren Regel zur Regulierung der Wärmezufuhr: R 2 : WENN Temperatur = mittel DANN Wärmezufuhr = mittel Auswertung der Regeln R 1 und R 2 bezüglich der o Fuzzifizierung des scharfen Wertes T = 45 C T = = = 45 o C * T = ( µ sehr _ niedrig( T ),µ niedrig( T ),µ mittel ( T ),µ hoch ( T ),µ sehr _ hoch ( T) ) ( 0,0.25,0.75,0,0 ) Seite 14

15 Fuzzy-Controller: Inferenzmechanismus (2) Die Auswertung der Regeln gibt Aufschluss darüber, inwieweit eine Regel erfüllt ist Fuzzy-Ausgangs- Mengen Es Ergeben sich für jede Regel ein Erfüllungsgrad und die dazugehörige Fuzzy-Ausgangs-Menge R i H i Seite 15

16 Fuzzy-Controller: Defuzzifizierung (1) Defuzzifizierung beschreibt den Vorgang, aus den Ausgangs-Fuzzy-Mengen den entsprechenden scharfen Ausgangswert zu bestimmen Am häufigsten verwendetes Defuzzifizerungs-Verfahren: Die Schwerpunkt -Methode ( Center of Gravity ) Bestimme den Schwerpunkt der Ergebnis-Fuzzy-Menge, die sich aus der Vereinigung der einzelnen Ausgangs- Fuzzy-Mengen ergibt Ergebnis-Fuzzy-Menge o für den Wert T = 45 C Seite 16

17 Fuzzy-Controller: Defuzzifizierung (2) Die exakte Formel zur Bestimmung des Schwerpunktes einer Fläche, lautet: y res = 0 yµ 0 µ res res ( y) ( y) dy dy In der Praxis ist die Funktion, die die Fläche begrenzt, nicht gegeben Aus diesem Grund werden die Integrale approximiert: y m i= 1 res = m i= 1 y H i H i i Für den scharfen Eingangswert T = 45 C ergibt sich somit der scharfe Ausgangswert y res = 55,55% o Seite 17

18 Fuzzy-Controller: Typisierungen Es gibt verschiedene Möglichkeiten Fuzzy-Controller zu entwerfen Oben beschriebenes Fuzzy-Inference-System (FIS) ist vom Typ Mamdani Die wesentlichsten Unterschiede zwischen den FIS liegen im Inferenzmechanismus und der Defuzzifizierung Neben FIS vom Typ Mamdani werden noch FIS vom Typ Takagi, Sugeno und Kang (TSK) häufig verwendet Wesentliche Unterschiede zwischen Mamdani und TSK- FIS sind: Konklusionen von TSK-Regeln bestehen aus scharfen Werten TSK-FIS benötigen keine komplizierten Defuzzifizierungsverfahren Grundlage für die Bestimmung der Konklusionen von TSK-Regeln bilden Testdaten Seite 18

19 Fuzzy-Controller: FIS nach Mamdani Quelle: [KAHL94] Seite 19

20 Fuzzy-Controller: FIS nach Takagi, Sugeno und Kang Quelle: verändert nach [JANG95] Seite 20

21 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 21

22 Anwendungsbeispiel: Fuzzy Control of a Model Car (1) Ziel ist es, ein Fahrzeug kollisionsfrei und ohne heftige Lenkbewegungen entlang einer Strecke fahren zu lassen Hierfür wurde ein FIS vom Typ TSK implementiert Quelle: [SUGE85] Die für das FIS notwendigen Eingangsgrößen sind: x 1 : Abstand des Fahrzeugs zur rechtwinkligen Kurve x 2 : Abstand zur inneren Wand x 3 : Ausrichtung des Fahrzeugs (Winkel) x 4 : Abstand zur äußeren Wand Die Ausgangsgröße y des FC, gibt die Änderung der Winkelstellung des Lenkrades an Seite 22

23 Anwendungsbeispiel: Fuzzy Control of a Model Car (2) Die Eingangsgrößen x1,..., x 4 stellen die Linguistischen Variablen dar Generierung von Testdaten anhand von Simulationen Testdaten geben einen Hinweis für die Wahl der Parameter der jeweiligen Zugehörigkeitsfunktion Es werden 20 Regeln aufgestellt, für die die jeweiligen Koeffizienten jeweils anhand der Testdaten bestimmt werden Übergebe dem Programm die linguistischen Variablen, Zugehörigkeitsfunktionen und Regeln Starte Programm Seite 23

24 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 24

25 Fazit und Ausblick Mit Hilfe von FC ist es möglich bestimmte Prozesse anhand von unscharfen Informationen zu steuern Auf Fuzzy-Logik basierende Lösungen können ohne großen Aufwand realisiert werden Oben vorgestellte Zugehörigkeitsfunktionen sind jeweils von mehreren Parametern abhängig Es stellt sich somit die Frage: Welche Auswahl von Parametern liefert eine optimale Lösung des FIS? Eine Antwort darauf sind Neuronale Netze Auf Basis von Testdaten, können mit Hilfe von neuronalen Netzen geeignete Parameter für die Zugehörigkeitsfunktionen von TSK-FIS bestimmt werden Seite 25

26 Quellen [KAHL94] [JANG95] [SUGE85] Kahlert, J; Frank, H.: Fuzzy Logik und Fuzzy Control. Braunschweig/ Wiesbaden 2. Aufl.: Vieweg, 1994 Jang, R. J.-S.; Sun, C.-T.: Neuro-Fuzzy Modelling and Control. In: Proceedings of the IEEE, 1995, S Sugeno, M.; Nishida, M.: Fuzzy Control of Model Car. In: Fuzzy Sets and Systems 16. Amsterdam/ New-York/ Oxford 1. Aufl.: North-Holland Publishing Company, 1985 Seite 26

27 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Haben Sie Fragen? Seite 27

28 Gliederung 1 Einleitung 2 Grundlagen 3 Fuzzy-Controller 4 Anwendungsbeispiel 5 Fazit und Ausblick Seite 28