Kapitel 2: Fuzzy Systeme. Inhalt Fuzzy Mengen Fuzzy Relationen Fuzzy Logik Approximatives Schließen Fuzzy Regelung

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1 Kapitel 2: Fzzy Systeme Wintersemester 2006/07 Fndamente der Comptational Intelligence (Vorlesng) Inhalt Fzzy Mengen Fzzy Relationen Fzzy Logik Approximatives Schließen Prof Dr Günter Rdolph Fachbereich Informatik Lehrsthl für Algorithm Engineering Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 2 Steern nd Regeln: Beeinflssng des dynamischen Verhaltens eines Systems in einer gewünschten Art nd Weise Steern Steergröße offene Wirkngskette Steern Steerng kennt Sollgröße nd hat ein Modell vom System Steergrößen können eingestellt werden, so dass System Istgröße erzegt, die gleich der Sollgröße ist Problem: Störgrößen! Soll-Ist Abweichng wird nicht erkannt! Regeln nn: Erkennng der Soll-Ist Abweichng (drch Messng / Sensoren) nd Berücksichtigng bei Bestimmng neer Steergrößen Führngsgröße Sollgröße w y Steerng System Prozess Strecke Annahme: störngsfreier Betrieb Sollwert = Istwert Istgröße Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 3 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 4

2 Regeln Reglergröße Störgrößen d geschlossener Wirkngskreis: Regelkreis Erforderlich: Modell der Strecke als Differentialgleichngen oder Differenzengleichngen gt asgebate Theorie vorhanden w y Führngsgröße Sollgröße Regelng System Prozess Strecke Istgröße Regelgröße Weshalb also Fzzy-Regler? es existiert kein Streckenmodell in Form von DGLs etc (Operator/Mensch hat bisher händisch geregelt) Strecke mit hochgradigen Nichtlinearitäten keine klassischen Verfahren Regelziele sind nscharf formliert ( weiches Umschalten bei Kfz-Getriebe) Regelabweichng = Sollgröße Istgröße Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 5 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 6 Unscharfe Beschreibng des Regelverhaltens IF X ist A, THEN Y ist B IF X ist A 2, THEN Y ist B 2 IF X ist A 3, THEN Y ist B 3 IF X ist A n, THEN Y ist B n X ist A Y ist B wie beim approximativem Schließen Fakt A ist aber keine Fzzy-Menge, sondern scharfe Eingabe nämlich die aktelle Ist-/Regelgröße! Def: Regel k aktiv A k (x 0 ) > 0 Maximmmethode - nr aktive Regel mit höchstem Erfüllngsgrad wird berücksichtigt geeignet für Mstererkennng / Klassifikation Entscheidng für eine Alternative von endlich vielen - Aswahl nabhängig von Erfüllngsgrad der Regel (005 vs 095) - bei Regelng: nstetiger Asgangsgrößenverlaf (Sprünge) Fzzy-Regler führt Inferenzschritt as man erhält Fzzy-Asgabemenge man benötigt aber scharfen Reglerwert für die Strecke (= Fzzy-Menge z scharfem Wert eindampfen ) t Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 7 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 8

3 Y* = { y Y: = hgt(b ) } Maximmmittelwertmethode - alle aktive Regeln mit höchstem Erfüllngsgrad werden berücksichtigt Interpolationen möglich, können aber nicht bentzbar sein wohl nr sinnvoll bei benachbarten Regeln mit max Erfüllng - Aswahl nabhängig von Erfüllngsgrad der Regel (005 vs 095) - bei Regelng: nstetiger Asgangsgrößenverlaf (Sprünge) Y* = { y Y: = hgt(b ) } Center-of-maxima-Methode (COM) - nr extreme aktive Regeln mit höchstem Erfüllngsgrad werden berücksichtigt Interpolationen möglich, können aber nicht bentzbar sein wohl nr sinnvoll bei benachbarten Regeln mit max Erfüllng - Aswahl nabhängig von Erfüllngsgrad der Regel (005 vs 095) - bei Regelng: nstetiger Asgangsgrößenverlaf (Sprünge)?? Sinnvolle Lösng? Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 9 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 0 Schwerpnktmethode (Center of Gravity, COG) Exkrs: Schwerpnkt - alle aktiven Regeln werden berücksichtigt aber nmerisch afwändig gilt hete nr für HW-Lösng Ränder können nicht in Asgabe erscheinen ( work-arond ) Pendant in W keitstheorie: Erwartngswert - bei nr einer aktiven Regel: Aswahl nabh vom Erfüllngsgrad - stetige Verläfe der Asgangsgrößen 3,77 y Dreieck: Trapez: y y 2 y 3 y y 2 y 3 y 4 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 2

4 : Exkrs Schwerpnkt z= y y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 Annahme: Fzzy-Zgehörigkeitsfnktionen stückweise linear y Flächenmethode (Center of Area, COA) gedacht als Approximation von COG seien ŷ k die Schwerpnkte der Asgabemengen B k (y): Ergebnismenge liegt als Pnktseqenz (y, z ), (y 2, z 2 ),, (y n, z n ) vor Fläche nter nd gewichtete Fläche stückweise additiv ermitteln Geradengleichng z = m y + b (y i, z i ) nd (y i+,z i+ ) einsetzen liefert m nd b für jede der n- linearen Teilstrecken Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 3 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 4 Sind Fzzy-Regler eine nee Art von Reglern? Was ist anders bei Fzzy Reglern? Kennfeldregler Regelabweichng e(t) = w(t) y(t) = Sollwert Istwert für jede mögliche Regelabweichng wird Steergröße hinterlegt: dargestellt als Kennlinie e vs (bzw als Kennfeld bei höheren Dimensionen) Bsp: Zweipnktregler =, für e < 0, für e 0 e Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 5 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 6

5 Fzzy-Version des Zweipnktreglers NEG POS IF e=neg THEN =MIN IF e=pos THEN =MAX Fazit: Fzzy-Regler stellen keinen neen Reglertyp dar Fzzy-Regler sind Kennfeldregler typischerweise ist Kennfeld stark nichtlinear e min e max e MIN MAX Ne: Parametrisierng des Reglers: - nicht explizit drch Grafik, Formel, Angabe von Steigng / Knickpnkte - sondern implizit in lingistischer Form drch Festlegng der Zgehörigkeitsfnktionen für Eingangs- nd Stellgrößen e Formlierng der Regelbasis viele Freiheitsgrade! Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 7 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 8 Mamdani-Regler: Bentze R(x,y) = min { A(x), B(y) }, max-aggregation Defzzyfizieren von mit Schwerpnktmethode ergibt Regler-/Steergröße Larsen-Regler: Bentze R(x,y) = A(x) B(y), max-aggregation Defzzyfizieren von mit Schwerpnktmethode ergibt Regler-/Steergröße TSK-Regler Takagi, Sgeno, Kang (ab ca 985) Keine lingistische Variable für Stellgröße IF e =A AND e 2 = A 2 AND AND e n = A n THEN = p 0 + p e + + p n e n p i R sind Parameter keine Defzzifizierng ies mehr man erhält von Regel k einen Vorschlag (k) für Stellgröße Aggregierng: Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 9 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 20

6 TSK-Regler Beispiel: Ato m die Krve lenken M Sgeno & M Nishida (985): Fzzy Control of a Model Car, in Fzzy Sets and Systems 6:03-3 TSK-Regler: Afgaben Bestimmng der lingistischen Terme für Eingangsgrößen 2 Bestimmng der Zgehörigkeitsfnktionen 3 Bestimmng der m (n + ) Parameter bei m Regeln wenn lineare Fnktion Pnkte + 2 wie bisher wie kommt man an die Parameter? nmerische Optimierng (zb evoltionäre Algorithmen) Lernen an Beispielen drch zb neronale Netze Identifikation des Verhaltens eines menschlichen Reglers (protokollieren) wenn via Optimierng: was wären Gütekriterien? Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 2 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 22 Güte von Reglern: Integralkriterien qadratische Regelfläche Güte von Reglern: Kenngrößenkriterien (Beispiele) bleibende Regelabweichng Q = min! Q = e B min! 2 betragslineare Regelfläche Q = min! 2 Abweichng von vorgegebener Überschwingweite Δh* Q = Δh - Δh* min! 3 zeitgewichtete Regelflächen k-ter Ordnng Q = min! Güte von Reglern: Verlafskriterien zb Abweichng von vorgegebenem Sollverlaf y*(t) Q = min! Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 23 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 24

7 Fzzy Hyperbolisches Modell (FHM) Zhang & Qan (2000f) Fzzy Hyperbolisches Modell (FHM) Zhang & Qan (2000f) Zgehörigkeitsfnktionen: Regelbasis: IF x is X x n is X n is U p is U p THEN x i = ± c x ± c xn ±c ± ±c p falls P > N dann +c sonst c positive Konstante Bei m n + p nscharfen Eingängen hat x bis z 2 m nscharfe Regeln! c > 0 Charakteristika: FHM ist nichtlinear 2 Globales Modell (TSK ist lokales Modell) 3 Kann als neronales Netz realisiert werden Kapitel 4 Bsp für Regelbasis: IF x 2 is P x2 THEN x = 4 Parameter as Erfahrngswissen IF x 2 is N x2 THEN x = -4 oder nmerisch optimiert: IF is P THEN x 2 = 2 Mit evoltionären Algorithmen IF is N THEN x 2 = -2 2 Als neronales Netz mit Backpropagation Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 25 Rdolph: FCI (WS 2006/07) Kap 2: Fzzy Systeme 26