Fundamente der Computational Intelligence

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1 Wintersemester 2006/07 Fundamente der Computational Intelligence (Vorlesung) Prof. Dr. Günter Rudolph Fachbereich Informatik Lehrstuhl für Algorithm Engineering

2 Kapitel 2: Fuzzy Systeme Inhalt Fuzzy Mengen Fuzzy Relationen Fuzzy Logik Approximatives Schließen Fuzzy Regelung Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 2

3 Steuern und Regeln: Beeinflussung des dynamischen Verhaltens eines Systems in einer gewünschten Art und Weise Steuern Steuerung kennt Sollgröße und hat ein Modell vom System Steuergrößen können eingestellt werden, so dass System Istgröße erzeugt, die gleich der Sollgröße ist Problem: Störgrößen! Soll-Ist Abweichung wird nicht erkannt! Regeln nun: Erkennung der Soll-Ist Abweichung (durch Messung / Sensoren) und Berücksichtigung bei Bestimmung neuer Steuergrößen Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 3

4 Steuern offene Wirkungskette Steuergröße w u y Führungsgröße Sollgröße Steuerung System Prozess Strecke Istgröße Annahme: störungsfreier Betrieb Sollwert = Istwert Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 4

5 Regeln Reglergröße Störgrößen geschlossener Wirkungskreis: Regelkreis d w u y Führungsgröße Sollgröße Regelung System Prozess Strecke Istgröße Regelgröße Regelabweichung = Sollgröße Istgröße Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 5

6 Erforderlich: Modell der Strecke als Differentialgleichungen oder Differenzengleichungen gut ausgebaute Theorie vorhanden Weshalb also Fuzzy-Regler? es existiert kein Streckenmodell in Form von DGLs etc. (Operator/Mensch hat bisher händisch geregelt) Strecke mit hochgradigen Nichtlinearitäten keine klassischen Verfahren Regelziele sind unscharf formuliert ( weiches Umschalten bei Kfz-Getriebe) Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 6

7 Unscharfe Beschreibung des Regelverhaltens IF X ist A 1, THEN Y ist B 1 IF X ist A 2, THEN Y ist B 2 IF X ist A 3, THEN Y ist B 3 IF X ist A n, THEN Y ist B n X ist A wie beim approximativem Schließen Y ist B Fakt A ist aber keine Fuzzy-Menge, sondern scharfe Eingabe nämlich die aktuelle Ist-/Regelgröße! Fuzzy-Regler führt Inferenzschritt aus man erhält Fuzzy-Ausgabemenge B (y) man benötigt aber scharfen Reglerwert für die Strecke Defuzzyfizierung (= Fuzzy-Menge zu scharfem Wert eindampfen ) Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 7

8 Defuzzyfizierung Def: Regel k aktiv A k (x 0 ) > 0 Maximummethode - nur aktive Regel mit höchstem Erfüllungsgrad wird berücksichtigt geeignet für Mustererkennung / Klassifikation Entscheidung für eine Alternative von endlich vielen - Auswahl unabhängig von Erfüllungsgrad der Regel (0.05 vs. 0.95) - bei Regelung: unstetiger Ausgangsgrößenverlauf (Sprünge) B (y) B (y) B (y) 0,5 0,5 0,5 t Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 8

9 Defuzzyfizierung Y* = { y Y: B (y) = hgt(b ) } Maximummittelwertmethode - alle aktive Regeln mit höchstem Erfüllungsgrad werden berücksichtigt Interpolationen möglich, können aber nicht benutzbar sein wohl nur sinnvoll bei benachbarten Regeln mit max. Erfüllung - Auswahl unabhängig von Erfüllungsgrad der Regel (0.05 vs. 0.95) - bei Regelung: unstetiger Ausgangsgrößenverlauf (Sprünge) B (y) B (y) 0,5 0,5 Sinnvolle Lösung? Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 9

10 Defuzzyfizierung Y* = { y Y: B (y) = hgt(b ) } Center-of-maxima-Methode (COM) - nur extreme aktive Regeln mit höchstem Erfüllungsgrad werden berücksichtigt Interpolationen möglich, können aber nicht benutzbar sein wohl nur sinnvoll bei benachbarten Regeln mit max. Erfüllung - Auswahl unabhängig von Erfüllungsgrad der Regel (0.05 vs. 0.95) - bei Regelung: unstetiger Ausgangsgrößenverlauf (Sprünge) B (y) B (y) B (y) 0,5 0,5? 0,5? Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 10

11 Defuzzyfizierung Schwerpunktmethode (Center of Gravity, COG) - alle aktiven Regeln werden berücksichtigt aber numerisch aufwändig gilt heute nur für HW-Lösung Ränder können nicht in Ausgabe erscheinen ( work-around ) - bei nur einer aktiven Regel: Auswahl unabh. vom Erfüllungsgrad - stetige Verläufe der Ausgangsgrößen Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 11

12 Exkurs: Schwerpunkt B (y) 1 Pendant in W keitstheorie: Erwartungswert 1 3,77... y Dreieck: Trapez: y 1 y 2 y 3 y 1 y 2 y 3 y 4 Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 12

13 : Exkurs Schwerpunkt z=b (y) 1 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y Annahme: Fuzzy-Zugehörigkeitsfunktionen stückweise linear Ergebnismenge B (y) liegt als Punktsequenz (y 1, z 1 ), (y 2, z 2 ),, (y n, z n ) vor Fläche unter B (y) und gewichtete Fläche stückweise additiv ermitteln Geradengleichung z = m y + b (y i, z i ) und (y i+1,z i+1 ) einsetzen liefert m und b für jede der n-1 linearen Teilstrecken Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 13

14 Defuzzyfizierung Flächenmethode (Center of Area, COA) gedacht als Approximation von COG seien ŷ k die Schwerpunkte der Ausgabemengen B k (y): Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 14

15 Sind Fuzzy-Regler eine neue Art von Reglern? Was ist anders bei Fuzzy Reglern? Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 15

16 Kennfeldregler Regelabweichung e(t) = w(t) y(t) = Sollwert Istwert für jede mögliche Regelabweichung wird Steuergröße hinterlegt: dargestellt als Kennlinie e vs. u (bzw. als Kennfeld bei höheren Dimensionen) Bsp: Zweipunktregler u = u min,für e < 0 u max, für e 0 u u max e u min Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 16

17 Fuzzy-Version des Zweipunktreglers IF e=neg THEN u=min IF e=pos THEN u=max NEG 1 POS e min e max e MIN 1 MAX u min u u max u u max e u min Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 17

18 Fazit: Fuzzy-Regler stellen keinen neuen Reglertyp dar Fuzzy-Regler sind Kennfeldregler typischerweise ist Kennfeld stark nichtlinear Neu: Parametrisierung des Reglers: - nicht explizit durch Grafik, Formel, Angabe von Steigung / Knickpunkte - sondern implizit in linguistischer Form durch Festlegung der Zugehörigkeitsfunktionen für Eingangs- und Stellgrößen Formulierung der Regelbasis viele Freiheitsgrade! Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 18

19 Mamdani-Regler: Benutze R(x,y) = min { A(x), B(y) }, max-aggregation Defuzzyfizieren von B (y) mit Schwerpunktmethode ergibt Regler-/Steuergröße u Larsen-Regler: Benutze R(x,y) = A(x) B(y), max-aggregation Defuzzyfizieren von B (y) mit Schwerpunktmethode ergibt Regler-/Steuergröße u Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 19

20 TSK-Regler Takagi, Sugeno, Kang (ab ca. 1985) Keine linguistische Variable für Stellgröße u IF e 1 =A 1 AND e 2 = A 2 AND AND e n = A n THEN u = p 0 + p 1 e p n e n p i R sind Parameter keine Defuzzifizierung i.e.s. mehr man erhält von Regel k einen Vorschlag u (k) für Stellgröße u Aggregierung: Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 20

21 TSK-Regler Beispiel: Auto um die Kurve lenken M. Sugeno & M. Nishida (1985): Fuzzy Control of a Model Car, in Fuzzy Sets and Systems 16: Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 21

22 TSK-Regler: Aufgaben 1. Bestimmung der linguistischen Terme für Eingangsgrößen 2. Bestimmung der Zugehörigkeitsfunktionen 3. Bestimmung der m (n + 1) Parameter bei m Regeln wenn lineare Funktion Punkte wie bisher wie kommt man an die Parameter? numerische Optimierung (z.b. evolutionäre Algorithmen) Lernen an Beispielen durch z.b. neuronale Netze Identifikation des Verhaltens eines menschlichen Reglers (protokollieren) wenn via Optimierung: was wären Gütekriterien? Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 22

23 Güte von Reglern: Integralkriterien 1. quadratische Regelfläche Q = min! 2. betragslineare Regelfläche Q = min! 3. zeitgewichtete Regelflächen k-ter Ordnung Q = min! Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 23

24 Güte von Reglern: Kenngrößenkriterien (Beispiele) 1. bleibende Regelabweichung Q = e B min! 2. Abweichung von vorgegebener Überschwingweite Δh* Q = Δh - Δh* min! Güte von Reglern: Verlaufskriterien z.b. Abweichung von vorgegebenem Sollverlauf y*(t) Q = min! Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 24

25 Fuzzy Hyperbolisches Modell (FHM) Zhang & Quan (2000f.) Zugehörigkeitsfunktionen: positive Konstante Regelbasis: IF x 1 is X 1... x n is X n u 1 is U 1... u p is U p THEN x i = ± c x1 ± c xn ±c u1 ± ±c up c.. > 0 falls P > N dann +c.. sonst c... Bei m n + p unscharfen Eingängen hat x bis zu 2 m unscharfe Regeln! Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 25

26 Fuzzy Hyperbolisches Modell (FHM) Zhang & Quan (2000f.) Charakteristika: 1. FHM ist nichtlinear. 2. Globales Modell (TSK ist lokales Modell) 3. Kann als neuronales Netz realisiert werden. Kapitel 4 Bsp. für Regelbasis:. IF x 2 is P x2 THEN x 1 = 4. IF x 2 is N x2 THEN x 1 = -4. IF u is P u THEN x 2 = 2. IF u is N u THEN x 2 = -2 Parameter aus Erfahrungswissen oder numerisch optimiert: 1. Mit evolutionären Algorithmen 2. Als neuronales Netz mit Backpropagation Rudolph: FCI (WS 2006/07) Kap. 2: Fuzzy Systeme 26