380 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe.

Transkript

1 80 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. durch eine Regelschaar der einen Art geht ; schneidet noch eine der andern aus. Also gehören alle Regeischaaren aus demselben Gebüsche zur nämlichen Art, aus verknüpften Gebüschen zu verschiedenen; beispielsweise die Complexcurven zur ersten, die Complexkegel zur zweiten. Die Leitschaaren der Regeischaaren der ersten Art haben auch einen Strahl in it\ so erhellt, dass das Strahlenfeld % auch in allen consingulären Complexen sich befindet. 781 Wir Hessen bis jetzt d einen beliebigen Strahl von 0 = sein. Es sei nunmehr d ein Strahl des Büschels (E 0, d 0 ), dann fallen (Nr. 558) zwei von den Geraden, welche Doppelstrahlen von 2 werden, in diesen Strahl zusammen, und daher auch zwei von den Cougruenzen des vorigen Falls, welche selbst schon je zwei des allgemeinen Falls vertreten. Das zugehörige Gebüsche [d] = [d 2 ] hat also 4 Fundamental- Gewinde in sich aufgenommen und das andere [dj deren 2. Der Complex ist daher mit: [42]' zu bezeichnen. Wenn endlich (Nr. 559) d in den singulären Strahl. Ordnung sj o gelegt wird, so vereinigen sich alle Doppelstrahlen, so dass scheinbar nur ein einziger Doppelstrahl vorhanden ist, der aber eben ternär ist. Nun sind alle 6 Doppeltangenten -Congruenzen in die Congruenz der Tangenten von 4, welche sich auf diesen Strahl d stützen, zusammengefallen, und das Gebüsche [d] hat alle 6 Fundamental-Gewinde in sich aufgenommen. Dem Complexe kommt die Bezeichnung: [er zu, und die beiden dualen Complexe sind natürlich mit: [42]" und [6]" zu bezeichnen. Die cubischeu Flächen 4, die mit d 0 = % die singulären Flächen von [42]', [6]' bilden, sind in Nr. 558, 559 genauer beschrieben. Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 782 Hat 2 einen Doppelstrahl, so bekommt die Hauptcurve k 5 t im Funktraume 2J ± bei der Caporali'sehen eindeutigen Abbildung (Nr. 711 ff.) einen Doppelpunkt. Unter den Strahlenbüscheln <* von 2 giebt es nämlich einen, S/, welcher den Hauptbüschel (, ) schneidet; sein Scheitel

2 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 81 ist dcoj seine Ebene do. Alle Strahlen dieses Büschels, unter ihnen d, haben denselben Punkt D 1 zum Bilde. Einer durch JD 1 gehenden Ebene ^ von 2 x correspondirt also in 2 eine Congruenz C 2 durch (, ) und also durch d, der somit Doppelstrahl für sie wird; die durch d gehenden Regelschaar - Reihen sind binär: d repräsentirt 2 von den 5 den (, ) schneidenden Büscheln von C 2 5 ; die Ebene x hat mit Jc x 7 ausser D 19 nur noch Schnitte: D x ist Doppelpunkt von \ 5. Wir haben den Kegel. Ordnung K^7 welcher Jc^ aus B i projicirt, und den Büschel (D 1? r x ), der durch die beiden Doppelpunkts- Tangenten bestimmt ist: seine Strahlen treffen jede durch kf gehende Fläche in 2 auf dieser Curve gelegenen Punkten, sie in D x berührend, und sind daher als Sehnen von \ anzusehen. In der vorhin betrachteten C 2 haben wir 2 binäre (durch d gehende) und 6 unäre Regelschaar-Reihen; die eine binäre bildet sich in den Strahlenbüschel (D 1} x ) ab, die andere in den Kegelschnitt-Büschel durch D x und die weitern Schnitte X x von 7q 5 mit f^; die eine von zwei verknüpften unären in den Strahlenbüschel in ^ um einen der drei X 1? die andere in den Kegelschnitt-Büschel, der durch die beiden andern X x geht und in D x die r x berührt. Ferner bilden sich von den 4 binären und 8 unären StrahlenbüseheJn, welche C 2 besitzt, jene, unter denen d befindet, in D x und die Kanten von K ± in x ab. Zu diesen gehört (, ); die übrigen haben zu Bildern die Punkte X 1} ihre Verbindungslinien und die Gerade r^. der sich in D x abbildet, schneidet die andern binären, (, ) und den, welcher 1% 1 zum Bilde hat. Die Strahlen des Kegels sind daher die Bilder der Strahlenbüschel & d, die Strahlen von {D l} r x ) hingegen die Bilder derjenigen Büschel von 2, welche d schneiden. Zu beiden gehört der Strahl ^0 von D x nach dem fünften Punkte T t von Jc 5 x in t ± : eine Trisecante von \ und das Bild des gemeinsamen Strahls von (, ) und ƒ und somit das geradlinige Bild, das d im Continuum rf doch auch zukommen muss. In (D 1? Tj) haben wir eine Involution, in der die Bilder zweier Strahlenbüschel gepaart sind, die je durch denselben Strahl d gehen. hat mit (0, o) ausser d noch einen gemeinsam schneidenden Büschel; daher stützen sich die Bilder der d noch einmal auf Jcj 5 2, den Ort der Punkte, in die sich die Büschel von abbilden, welche (, ) schneiden. Zweimal fällt dieser zweite Büschel d zusammen: die beiden Büschel sind die, welche (Nr. 772) ƒ im engern

3 82 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. Sinne schneiden; Bilder sind die Doppelpunkts-Tangenten, welche also ein Paar in der eben erwähnten Involution bilden. Für jeden der Büschel von JT 2, die ƒ schneiden, ist der zweite Büschel, der ihn und (, co) trifft, stets gefallen; zu ihnen gehören die eben erwähnten beiden d. Wegen des Doppelpunktes D ± hat \ nur noch den Rang 10; jede Trisecante trifft nur 4 Tangenten. Die Involution l x bekommt dadurch 4 Doppelpunkte, zu denen als fünfter (binärer) D t tritt. Sie führen zu den Bündeln, in deren Ebenen sich die Bilder der Regelschaaren der Doppel-Gebüsche befinden. Bei den Ebenen (^ des Bündels D 1 ist aber wohl zu unterscheiden: Die Kegelschnitte durch D 1 und die X lf bei denen also der zweite in D x liegende Punkt ausfällt" und Bündelscheitel wird, sind allein die Bilder der durch d gehenden Regeischaaren, welche das dem D x entsprechende Doppel-Gebüsche erfüllen; die Kegelschnitte hingegen durch nur 2 von den X t und mit t 1 % 1 als gemeinsamer Tangente in T> 1 sind Bilder von Regeischaaren, d schneiden; diese gehören dann je zu dem Gebüsche, das dem Bündel um den dritten Punkt X x correspondit. 0 Wenn P t } wieder die Punkte von \ sind, deren Bündel den Gebüschen der Kegel und der Kegelschnitte von 2 entsprechen, so schneiden die Ebenen durch D 1 P 1 7 bezw. -Z^P^ den Kegel K^ in 2 Kanten, welche Bilder von < > d mit demselben Scheitel oder derselben Ebene sind; geht die Ebene nach so handelt es sich um die Bilder der zweiten Büschel aus dem Scheitel, der Ebene d. Die 4 Berührungsebenen durch DxPf, bezw. D 1 P (X} 1 an K^ führen zu den 4 Büscheln (D, ), bezw. (E 7 d). Der Kegel 4. Ordnung, welcher \ aus a oder P x projicirt, mit 2 Doppelkanten hat 8 doppelte Berührungsebenen; ihre Berührungssehnen mit 5 sind die Bilder der 8 übrigen Büschel (2), ), bezw. (E 7 d). Die Congruenz C 2, welche der Ebene correspondit, ist die in Nr. 772 beschriebene Congruenz (mit einem Kegelschnitte als singulärer Linie), welche durch die den d schneidenden Strahlenbüschel von 2 entsteht. Die Involution der je durch denselben Strahl von d gehenden Büschel bildet sich in eine Involution von Geradenpaaren in t t ab und zwar so, dass die beiden durch d gehenden Büschel die Doppelpunkts-Tangenten, die, welche durch den gemeinsamen Strahl von d und (0, cai) gehen, die beiden Geraden der einzigen Fläche 2. Grades O 2 5 durch Jc l 7 welche in D t sich schneiden, zu Bildern haben: (, co) diejenige, welche Jc^ zweimal trifft, der andere die t t.

4 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 8 Auch die in Nr. 706 ff. beschriebene einzweideutige Abbildung des 78 2 in den Funktraum 2J X wird hier eindeutig, wenn eine der beiden Geraden u, v 7 etwa v, in den Doppelstrahl d gelegt wird (Nr. 774); wir begnügen uns jedoch, die Haupteigenschaften ohne Beweis anzugeben. Durch d und gehen oo 1 Regeischaaren ç du von 2 ; sämmtliche Strahlen einer solchen Regelschaar haben denselben Bildpunkt; der Ort dieser Punkte ist ein Kegelschnitt c 2. Ebenso bilden die Strahlenbüschel d von 2 sich nur in Punkte ab; diese Punkte erzeugen eine Raumcurve 4. Ordnung erster Art S^4, welche den c 2 in 4 Punkten U t begegnet, den Bildern der 4 Strahlenbüschel von 2, die durch gehen. Die Bilder der übrigen Strahlenbüschel von 2 sind die Geraden, welche zugleich c 2 und S^ treffen; die Regeischaaren Q df Q U von 2, welche durch d } bezw. gehen, (im ersten Falle oo, im zweiten oo 2 ) bilden sich in die Treffgeraden (Secanten) von c 2, die Doppelsecanten von js\ 4 ab, eine beliebige Regelschaar aber in einen Kegelschnitt, der sowohl c 2 x, als Sj* zweimal trifft. Die Kegelschnitte in den Berührungsebenen einer durch S^ gehenden Fläche 2. Grades F±, welche c 2 ± zweimal treffen und durch die beiden Punkte von S^ gehen, welche auf der Geraden aus der einen 2 Schaar von F x in der betreffenden Berührungsebene gehen, sind die Bilder der Regeischaaren eines Gebüsches von JT 2 ; ersetzt man die Schaar durch die andere, so ergiebt sich das verknüpfte Gebüsche. Die 4 Kegel des Büschels ($ 4 x ) führen zu den Doppelgebüschen 27s,i,... 27, 4 ; Berührungsebenen" sind die Ebenen durch die Spitze. Der Fläche F 2 d, welche den c 2 enthält, entspricht das Gebüsche der Regeischaaren Q d. Alle Punkte von F 2 d sind Bilder von d, alle Punkte der Ebene y t von c 2 Bilder von u. Einer Congruenz 2 entspricht eine Fläche 4. Ordnung, welche einfach durch S^, doppelt durch c 2 x geht; enthält den Strahl d 7 so löst sich F 2 d ab und es bleibt eine Fläche 2. Grades f 2, die einfach durch c 2 geht und S^4 in 4 Punkten trifft, die in einer Ebene liegen; geht JT auch noch durch ti } so zerfällt die f 2 in die Ebene y x und eine andere Ebene, diejenige, die dem als Gewinde von G in der der Abbildung zu Grunde gelegten Correlation entpricht. Dem Schnitte von 2 mit einem Strahlennetze correspondirt eine Raumcurve 4. Ordnung erster Art, welche dem c 2, so wie der /S^4 je viermal begegnet. Ein beliebiger Kegelschnitt in Z 1 ist das Bild einer Regelfläche 8. Grades in 2, für welche d vierfache, zweifache Erzeugende ist.

5 84 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 784 Handelt es sich nun um einen Complex mit Doppelstrahl rf, der auf der singulären Fläche cuspidal ist: [111], so sind die beiden ^, welche d im engern Sinne schneiden (Nr. 772), zusammengefallen, weil in jedem Punkte von d die beiden Tangentialebenen von, von jeder Ebene durch d die beiden Berührungspunkte sich vereinigt haben; also findet dies (Nr. 782) bei der Caporal i' sehen Abbildung mit den beiden Tangenten des Doppelpunktes T> x von 5 statt; dieser Punkt D x ist ein RücJckehrpunlct der Curve. Infolge dessen ist ihr Rang 9 und die Involution I t hat, ausser dem ternären D 1} nur noch Doppelpunkte, der Complex nur noch Fundamental-Gewinde. In dem nächsten Falle, wo die singulare Fläche die Complexfläche eines allgemeinen Complexes 0 2 für einen singulären Strahl als Träger ist, haben wir in Nr. 777 gefunden, dass der Büschel (S 0, 6 0 ) im Continuum der Büschel d von 2 ein doppelter ist; folglich entspricht s ihm am Kegel K t eine Doppelkante; weil aber die Projectivität zwischen den Punkten von auf d und ihren Berührungsebenen eine ausgeartete mit S 0} 0 als singulären Elementen, so ist der den S d im engeren Sinne schneidende Büschel, also der, welcher sich in die Tangente von D x an Jc 5 x abbildet, der (# 0, 6 0 ). Wenn diese Tangente aber Doppelkante des 1 5 s aus D 1 projicirenden Kegels K x ist, so bedeutet dies, dass der diese Doppelkante bewirkende Doppelpunkt unendlich nahe neben Dj liegt: die Curve \ hat in D ± eine Selbstberührung. Der Rang ist dann 8, und die Involution I x hat, ausser dem quaternären Doppelpunkte D 1} nur noch 2 Doppelpunkte, der Complex nur noch 2 Fundamental-Gewinde, entsprechend der Bezeichnung [411]. Die Verzweigungselemente D und sind, wie wir wissen, den [2, 2] d, die den verschiedenen consingulären Complexen 2 zugehören, und auch der [2, 2] gemeinsam: die Cuspidalel ein ente A A^ ft,... ft der Fläche. In den Fällen [21111] und [111], wo der Punkt D x Doppel- oder Rückkehrpunkt und K t allgemeiner Kegel. Ordnung ist, kommen von den Kanten ^, ^ (Nr. 782) 4 Berührungsebenen und ihre Berührungskanten sind die Bilder der (D, ), {JE ). Bei [411] hat K^ eine Doppelkante bekommen, und jene beiden Kanten senden daher je nur noch 2 Tangentialebenen an K t 9 entsprechend den beiden von S 0) bezw. 6 0 verschiedenen Cuspidalelementen A B, -4 4 ; ft, ft. Wenn nun im weiteren Falle [51] noch A in S 09 ft in <? 0 rückt, so müssen wir daraus schliessen, dass diese Doppelkante von K x eine Rückkehrkante geworden ist. Dies bewirkt wiederum eine weitere Erniedrigung des Rangs von \ h auf 7 und die Verminderung der von verschiedenen Doppelpunkte der Involution I x auf einen einzigen D t

6 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 85 und der Zahl der eigentlichen Fundamental-Gewinde auf ebenfalls ein einziges. Bekommt der Complex noch einen zweiten den ersten schneiden- 785 den Doppelstrahl d 17 so erhält die Curve hf noch einen zweiten Doppelpunkt D M ; und in den Fällen [2211], [21], [] handelt es sich um 2 eigentliche Doppelpunkte, einen Doppelpunkt und einen Rückkehrpunkt, zwei Rückkehrpuukte; der Rang ist 8, 7, 6; und die Involution I x hat 2, 1, 0 von diesen binären, bezw. ternären Doppelpunkten verschiedene Doppelpunkte, der Complex so viele Fundamental- Gewinde. Von der Geraden, die einen D t mit verbindet, gehen gleichgiltig, ob D x getrennte oder vereinigte Tangenten hat 2, bezw. 1 Berührungsebene an \ 5, je nachdçm der andere D t ein Doppel- oder Rückkehrpunkt, also die Verbindungslinie Doppel- oder Rückkehrkante des K t aus dem ersten ist; d. h. wir haben auf einem der beiden Doppelstrahlen 2, bezw. 1 Cuspidalpunkt D, je nachdem der andere nicht cuspidal oder cuspidal ist. Der Kegel 4. Ordnung, welcher \ b aus ± projicirt, hat Doppelkanten, von denen 2 nach den beiden D x gehen; je nach der Art dieser Punkte und der projicirenden Kanten hat der Kegel 4, 2, 1 Doppel-Berührungsebenen; die Sehnen, welche die beiden Berührungspunkte mit Jcj 5 unter einander verbinden, sind die Bilder der 4, 2, 1 W nicht mit einem der Doppelstrahlen incidenten (D, e). Der Punkt P 1 liefert die dualen Ergebnisse. Doppelpunkt und Selbstberührung würden Zerfallen der Curve Jc^ bewirken. In dem Falle [222]', wo die singulare Fläche aus 4 und der 786 Ebene durch ihre unären Geraden d, d 17 d 2 besteht, die dann Doppelstrahlen des Complexes sind, wollen wir als Hauptbüschel (0, coi) der Caporali'schen Abbildung einen von der dritten Art nehmen, dessen Scheitel und Ebene zu 4 gehören. Die Strahlenbüschel (B y ß ) oder kürzer S 0 5, welche ihn schneiden und sich in die Punkte von abbilden, sind entweder von der zweiten Art: 95^ oder von der dritten, und \ b zerfällt infolge dessen. 'In der Congruenz C 2, die einer Ebene ^ von 2J t correspondit, giebt es 2 Strahlenbüschel, welche den (, ) und den in befindlichen schneiden (Nr. 779) und deshalb sind. Daraus folgt, dass die 5^ sich abbilden in die Punkte eines Kegelschnitts Jc 2 t und die übrigen S 0 in die einer cubischen Raum curve \. In diese beiden Curven Jc^ und ^ zerfällt ^5, und damit sie auch so Sturm, Liniengeometrie. III. 25

7 86 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 4 scheinbare Doppelpunkte habe, müssen sie einander in Punkten D 1 begegnen; das sind die Bilder der Doppelstrahlen d, d x, d 2 oder vielmehr derjenigen von den Büscheln rfa, welche (0, m) schneiden. Diese haben ihre Scheitel zugleich auf der Geraden und der Curve. Ordnung, in denen die Ebene m die beiden Theile von schneidet und von deren Punkten die einen und die andern Büschel 5 kommen. Die / bilden eine Congruenz (2, 1) (Nr. 779), also (Nr. 711) die übrigen 9 eine Congruenz (2, ); ihre Ebenen umhüllen den zweiten Tangentialkegel 2. Grades, der aus an / kommt, und daher ist sie die in II, Nr ) besprochene für n =. Alle Büschel 9 befinden sich in dem Gebüsche [mit], das, durch (0, m) gehend, zum Gewinde-Gebüsche G gehört, welches für die Abbildung benutzt wurde; folglich liegt der Kegelschnitt Jc 2 ± in der demselben entsprechenden Ebene des Bildraums. In derselben Ebene it t liegen daher auch die Bildpunkte aller Strahlen von, denn gehört auch zu [ ]\ und die in gelegenen Strahlenbüschel bilden sich in die Geraden von 1 ab, so dass wir eine Correlation zwischen den Feldern und ± haben. Während so die Bilder der Strahlenbüschel in Sehnen von \ 2 sind, sind die der Büschel der zweiten Art, deren Scheitel in liegen, während die Ebenen / tangiren, Sehnen von \ und die der Büschel dritter Art gemeinsame Treffgeraden von \ 2 und Jc^; denn durch einen Punkt von 2J U das Bild eines Strahls von 2, geht eine von jenen und von diesen. Je nachdem eine Regelschaar Q von 2 eine Gerade in hat oder nicht, sendet sie 1 oder 2 Gerade in Büschel $8 ; ihr Bild-Kegelschnitt trifft dann \ 2 in 1 oder 2 Punkten und infolge dessen Jc B ± in oder 2 Punkten; und der fünfte Schnittpunkt seiner Ebene mit \ b, der Scheitel des Bündels, dessen Ebenen die Bilder der zum Gebüsche Q gehörigen Regeischaaren von 2 enthalten, liegt auf 2 oder Jc x. Auf der einzigen Fläche 2. Grades O 2 durch \ b sind die dreimal treffenden Geraden die, welche \ zweimal schneiden; die andern, welche im allgemeinen die Involution I t hervorrufen, treffen \ z und Tc 2 je einmal, und diese Involution I x ist im vorliegenden Falle eine Projectivität zwischen den beiden Curven; sie hat nur binäre Doppelpunkte in den D 1? wir haben kein Fundamental-Gewinde, entsprechend der Bezeichnung [222]'. Der eine von zwei gepaarten Punkten P 1? P/ liegt also immer auf A/, der andere auf 2 \ das eine von zwei verknüpften Gebüschen enthält Regeischaaren mit keinem Strahle in, das andere solche, welche berühren.

8 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. 87 Auf k x liegt P x 7 der Punkt, der dem Gebüsche der Kegel correspondit, auf k 2 w x P x 7 derjenige, der dem Gebüsche der Kegelschnitte entspricht; und hierin unterscheidet sich die Abbildung von der des dualen Complexes mit einem Bündel: [222]". Von der Geraden, welche einen der D x mit P x verbindet, kommt s keine Berührungsebene an k x oder k 2 x ; wir haben keinen Punkt D ausserhalb der Schnittpunkte der d, d x, d 2 (Nr. 780); dagegen kommen aus P x 4 gemeinsame Berührungsebenen von k x und 2 ; ihre Berührungssehnen sind die Bilder der 4 Büschel (D, e) aus den Doppelpunkten von 4. Wird hingegen einer von den D x mit P w x (der auf k 2 liegt) verbunden, so sind 2 Berührungsebenen an k x möglich; wir erhalten 2 mit der betreffenden d incidente Büschel (E } d) (Nr. 780); eine doppelte Berührungsebene aus P 1 ist nicht vorhanden. ö) In den weiteren Specialfällen [42]', [6]' oder [42]", [6]" rücken 2, bezw. alle Punkte D x zusammen. Es erübrigt noch, die Mannigfaltigkeit der verschiedenen bis jetzt be- 787 sprochenen Complexe m ermitteln. Die des allgemeinen [111111] ist 19 (Nr. 616). Die Mannigfaltigkeit eines Complexes 2. Grades ist um 1 grösser als die der singulären Fläche; ferner gehört jede Complexfläche zu oo 6 Complexen (Nr. 627). Wenn ein allgemeiner Complex 2. Grades 0 2 gegeben ist, so giebt es oo 4 Gerade in beliebiger Lage, oo Strahlen, die ihm angehören, oo 2 singulare Strahlen überhaupt, oo 1 singulare Strahlen 2. Ordnung; demnach hat die singulare Fläche der Complexe: die Mannigfaltigkeit: [21111], [111], [411], [51] = 17, = 16, = 15,*) = 14, und die Complexe selbst haben die Mannigfaltigkeit: 18, 17, 16, 15. In eine stationären Ebene d Q eines allgemeinen 2 können wir oo 2 Gerade legen, oo 1 aus dem Büschel (_E 0, d 0 ), eine endliche Zahl von Sd 0 ] somit ist die Mannigfaltigkeit der singulären Fläche von: [222], [42], [6] *) Vergi. Nr. 527, sowie auch Nr , wo umgekehrt aus der Mannigfaltigkeit 17, 16, 15 auf die Mannigfaltigkeit 6 geschlossen wurde. 25*

9 88 Abbildung und Mannigfaltigkeit der bisherigen Complexe. bezw , = 14, 19 6 = 1 und die der Complexe: 16, 15, 14; so dass [6] an [51] sich anschliesst. Die Mannigfaltigkeit der singulären Fläche ( 4, ) von [222] oder, da % durch 4 bestimmt ist, die von 4 ist, wegen der 4 Knotenpunkte, Die singulare Fläche 0 von 2 besitzt oo Tangenten, oo 2 Haupttangenten (oder oo 2 Tangenten, die mit einem dreipunktig berührenden singulären Strahle von JT 2 0 den Berührungspunkt gemeinsam haben) und oo 1 Haupttangenten, bei denen die im nämlichen Punkte berührende zweite Haupttangente singulärer Strahl von 0 2 ist; folglich ist die Mannigfaltigkeit der singulären Flächen, die m den Complexen: [2211], [21], [] gehören, bezw _ 6 = 16, = 15, = 14 und daher die der Complexe: 17, 16, 15. Die Mannigfaltigkeit der ersten dieser Flächen mag noch auf andere Weisen dargethan werden. Dieselbe ist ja ein Specialfall der Fläche 4. Ordnung F* mit einem Doppel-Kegelschnitte, und deren Mannigfaltigkeit ist 21. Sie kann aus einer cubischen Fläche F durch die Geis eriche Transformation (II, Nr. 7, 94) abgeleitet werden und F aus ihr. Die Mannigfaltigkeit von F ist 19, auf ihr giebt es oo 1 Kegelschnitte, die man als Curve \ 2 der Transformation wählen kann, der Punkt kann jeder der oo Punkte des Raums sein, die Grundfläche F 2 dann jede der oo 1 Flächen 2. Grades, welche dem Kegel h 2 längs ~k 2 eingeschrieben sind. Umgekehrt, wenn F* gegeben ist, so ist ihre Doppelcurve als Jc 2 t und auf ihr zu wählen, wenn wir zu einer F gelangen wollen; d. h. jede F* ergiebt sich durch diese Transformation aus 2 + cubischen Flächen, und ihre Mannigfaltigkeit ist: = 21. Oder wir erinnern uns, dass Flächen F* sich ergeben, wenn wir bei der eindeutigen Abbildung eines Gewindes in den Punktraum S x (I, Nr. 202 ff.) die Congruenzen 2. Grades von abbilden (II, Nr. 74). Deren giebt es in oo 1 (Nr. 625). Alle Bildflächen haben die Hauptcurve b 2 der Abbildung zur Doppelcurve; daher giebt es oo 1 Flächen 4. Ordnung mit fester Doppel-