Ordnungsrelationen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

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1 Ordnungsrelationen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

2 Geordnete Mengen Eine Relation R A A heißt Ordnung oder Ordnungsrelation, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Ist R eine Ordnungsrelation auf A, dann nennt man (A,R) eine geordnete Menge. Die Namensgebung ist nicht einheitlich. Statt Ordnung sagt man auch Halbordnung, Partialordnung, manchmal teilweise Ordnung. Im Englischen steht neben order auch partial order, neben ordered set auch poset für partially ordered set.

3 Minimal maximal Ist (M, ) eine geordnete Menge und T M eine Teilmenge, dann nennt man ein Element m T ein minimales Element von T, wenn kein Element von T echt kleiner als m ist, wenn also gilt: aus t m und t T folgt m = t. Entsprechend definiert man, was ein maximales Element von T ist.

4 Kleinstes und größtes Element Ist (M, ) eine geordnete Menge und T M eine Teilmenge, dann nennt man ein Element m T das kleinste Element von T, wenn gilt. m t für alle t T Entsprechend definiert man, wann ein Element das größte Element von T ist.

5 Wohlordnung Eine Wohlordnung einer Menge M ist eine lineare Ordnung auf M mit folgender Zusatzeigenschaft: Jede nichtleere Teilmenge von M hat ein kleinstes Element. Das bekannteste Beispiel einer wohlgeordneten Menge ist (N, ), die natürlichen Zahlen mit der vertrauten Ordnung. Die Aussage Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen hat ein kleinstes Element. kann man als eine Form des Induktionsprinzips verstehen.

6 Infimum und Supremum Ist (M ) eine geordnete Menge und T M eine Teilmenge, dann nennt man ein Element m M eine untere Schranke von T, wenn m t für alle t T gilt. Dual definiert man, was eine obere Schranke von T ist. das Infimum von T, wenn m die größte untere Schranke von T ist. Dual nennt man die kleinste obere Schranke (falls eine solche existiert) das Supremum von T.

7 Eindeutig, falls existent Infimum und Supremum müssen also nicht für jede Teilmenge T existieren. Wenn sie existieren, sind sie nach der Definition eindeutig. Man schreibt dann inf T oder T für das Infimum und supt oder T für das Supremum; ist T = {s,t} eine zweielementige Menge, dann sind die Bezeichnungen s t für das Supremum und s t für das Infimum gängig.

8 Vollständiger Verband Eine geordnete Menge, in der jede Teilmenge ein Infimum und ein Supremum hat, nennt man einen vollständigen Verband. Ein wichtiges Beispiel eines vollständigen Verbandes ist die Potenzmenge P(S) einer beliebigen Menge S, geordnet durch die Teilmengenrelation. Das Infimum bekommt man dabei durch den Durchschnitt, das Supremum durch die Vereinigung der beteiligten Mengen.

9 Begriffsverbände sind vollständig Ein weiteres Beispiel eines vollständigen Verbandes liefert jeder Begriffsverband. Zu jeder Teilmenge eines solchen Begriffsverbandes erhält man den kleinsten gemeinsamen Oberbegriff, indem man den Durchschnitt der Begriffsinhalte und dann den zugehörigen Begriff bildet. Entsprechend ist der größte gemeinsame Unterbegriff derjenige Begriff, dessen Umfang der Durchschnitt der beteiligten Begriffsumfänge ist.

10 Ein Spiegelei zubereiten... Was muss man tun, wenn man ein Spiegelei brät? HE Herd einschalten PH Pfanne auf den Herd stellen PE Pfanne heiß werden lassen PF Fett in die Pfanne geben FZ Fett zerlassen EA Ei aufschlagen EP Ei in die Pfanne geben EB Ei gar braten ET Ei aus der Pfanne nehmen ES Ei salzen HA Herd abschalten

11 Precedence Constraints Auf der Menge J := {HE, PH,..., PE} definieren wir eine Relation R mit folgender Bedeutung: i R j : Bevor Schritt j begonnen wird, muss Schritt i beendet sein. durch R := {(HE,PE),(PE,FZ),(FZ,EP),(EP,EB),(EB,ET), (EB,HA),(PH,PE),(PF,FZ),(EA,EP),(EA,ES)}

12 DAGs Eine Eigenschaft solcher Relationen erkennt man sofort: sie sind azyklisch, d.h. sie enthalten keine Folgen (a 0,a 1 ),(a 1,a 2 ),...,(a n 1,a n ) mit a 0 = a n. Insbesondere sind sie irreflexiv. Man spricht auch von einem DAG (directed acyclic graph). Es lohnt sich aber nicht, eine eigene Theorie für DAGs aufzubauen, weil sie mit den Ordnungsrelationen ganz eng verwandt sind.

13 Transitive Hülle Die transitive Hülle einer Relation R ist definiert durch trans(r) := n 1 R n = R R 2 R 3..., wobei R n eine Abkürzung für das n-fache Relationenprodukt von R mit sich selbst steht, also R n := R;R; ;R. }{{} n mal Die transitive Hülle einer Relation R ist die kleinste transitive Relation, welche R enthält.

14 DAGs und Ordnungen Hilfssatz Eine Relation ist genau dann azyklisch, wenn ihre transitive Hülle irreflexiv ist. Daraus folgt: Ist R eine azyklische Relation auf J, dann ist die reflexiv-transitive Hülle trans(r) id J eine Ordnungsrelation. Es ist oft einfacher, diese Ordnungsrelation zu betrachten.

15 Die Spiegelei Ordnung Ei auf den Teller Herd ausschalten gar braten salzen Ei aufschlagen Fett in die Pfanne Ei in die Pfanne Fett zerlassen Pfanne erhitzen Pfanne auf den Herd Herd einschalten