Mathematisches Seminar für LAK, WS Spieltheorie. Helmut Zöhrer ( ) Graz, am 19. November 2014

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1 Mathematisches Seminar für LAK, WS 2014 Spieltheorie Helmut Zöhrer ( ) Graz, am 19. November 2014

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Einführung Was ist Spieltheorie? Was ist ein Spiel? Take-away-Spiele N- und P-Positionen Das Spiel NIM NIM-Addition Satz (NIM-Summe 0) Misère NIM Das Stricherlspiel ii

3 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 Ergebnis Guessing-Game Assoziativität von Stricherlspiel iii

4 1 Einleitung 1 Einleitung Als ich auf der Suche nach einem Thema für die Arbeit in diesem Seminar war, hat mich der Begriff der Spieltheorie sofort gepackt, als ich über ihn gestolpert bin. Das Wort selbst klingt so, als wäre es ein Widerspruch in sich Spiel und Theorie klingen im Vorhinein nicht vereinbar. Mein Interesse war damit geweckt. Die tiefere Befassung mit diesem Thema hat gezeigt, dass es gar nicht notwendigerweise um ausgedachte Spielsituationen geht. Zahllose Beispiele aus dem alltäglichen Leben lassen sich mithilfe der Spieltheorie analysieren und leichter (durchdachter) handhaben. Da es sich hierbei jedoch um ein Seminar für Lehramtskandidaten (des Faches Mathematik) handelt, wird der Hauptfokus auf weniger komplexe schulfreundliche Spiele und deren logische Analyse gelegt. 1

5 2 Einführung 2 Einführung Ein erstes Spiel: Guessing Game Ein interessanter Artikel von Ableitinger und Hauer-Typpelt ([1]), der sich mit den Möglichkeiten, Spieltheorie in den Schulunterricht zu integrieren beschäftigt, behandelt das folgende einfache Ratespiel. Die Regeln: Eine beliebige Anzahl n an Spielern (wobei n 2), wählt gleichzeitig und voneinander unabhängig eine natürliche Zahl k, für die gilt 2 k 100. Es gewinnt jener Spieler, dessen Zahl sich am nähesten an 2 3 des Mittelwertes aller gewählten Zahlen befindet. Welche Zahlen sollten die Spieler erwählen? Praktische Durchführung: Im Jahr 2006 wurde dieses Spiel mit 12 Probanden gespielt und die jeweils gewählten Zahlen wurden tabellarisch festgehalten. Das erzielte Ergebnis ist in der Tabelle rechts (Abbildung 1) zu sehen. Das Spiel wurde hier zweimal gespielt. Beim ersten Durchgang hatten die Spieler kaum Zeit zwischen der Erklärung des Spiels und der Entscheidung für eine Zahl. Die Ergebnisse des ersten Durchgangs wurden (anonym) gesammelt und man gab den Teilnehmern die Möglichkeit sich länger Zeit zu lassen bei der Wahl einer Zahl für den zweiten Durchgang. Dabei wurde das Ergebnis des ersten Spiels nicht bekanntgegeben. Mit Ausnahme von lediglich zwei Spielern haben alle als zweite Zahl eine kleinere als ihre erste angegeben. Daher ist die Siegerzahl im zweiten Spiel auch deutlich niedriger. Niemand hat seine Wahl beibehalten. Für welche Zahl sollte man sich bloß entscheiden, wo man doch unmöglich in seine Gegner hineinschauen kann? Theoretisch lautet die Antwort 2. Spieler 1. Spiel 2. Spiel x 25,9 16,9 Abbildung 1: Ergebnis Guessing-Game Analyse: Man nehme an, jeder Spieler wählt das Maximum (m = 100). Dann wäre auch der Durchschnitt x 0 aller erwählten Zahlen genau 100. Es gilt 2 3 x 0 = 66, 6 und somit wäre die Wahl einer Zahl > 67 sinnlos, da sogar mit dem angenommenen Maximum das Resultat kleiner wäre. Wenn jeder Mitspieler soweit denkt, dann würde auch jeder sein persönliches Maximum m 1 bei 67 ansetzen. Man nehme wiederum an, jeder Spieler entscheidet sich für sein 2

6 2 Einführung persönliches Maximum bei der Zahlenwahl. Der Durchschnitt aller gewählten Zahlen x 1 wäre bei 67 und 2 3 davon würden 44, 6 ergeben. Das persönliche Maximum aller Spieler würde wieder schrumpfen - und zwar auf den Wert m 2 = 45. Führt man diese Überlegung immer weiter, würden die Maxima m i, die sich jeder Spieler selbst setzt, immer kleiner werden. Die Folge der persönlichen Maxima würde also so aussehen: (m i ) 10 i=0 = (100, 67, 45, 30, 20, 13, 9, 6, 4, 3, 2) Nachdem das Maximum, welches nach 10 zu oben analogen Überlegungen sinnvoll wäre, die Zahl 2 wäre, müsste die Überlegungskette nach diesem Schritt beendet werden. Der Grund dafür ist die im Regelwerk verankerte Einschränkung, dass die gewählte Zahl k größer oder gleich 2 sein muss. Folglich müsste ein Spieler, der rational handelt, sich für die Zahl 2 entscheiden. (vgl. [1] 1f) Praxis: Theoretisch klingt soeben vorgestelltes Konzept zwar einleuchtend, wird allerdings beim tatsächlichen Versuch dieses Spiel zu spielen wenig erfolgreich sein. Das kommt daher, dass der Zusammenhang von perfekter Rationalität, welche dieses eben beschriebene rekursive Immer-weiter-Denken bedeutet, und Common Knowledge, welches für das Wissen der Mitspieler untereinander steht, von entscheidender Bedeutung ist. Selbst wenn ein Spieler perfekt rational handelt, sollte nicht die Zahl 2 gewählt werden, außer es ist Common Knowledge (also allgemein bekannt), dass auch alle anderen in selbiger Weise handeln werden. Sogar wenn man annimmt, es würden alle Involvierten rational handeln, ist nicht notwendigerweise gegeben, dass das Common Knowledge ist. Daher könnte man andere verdächtigen, nicht rational zu handeln. Eben dieser Verdacht könnte so denkende Spieler dazu verleiten, nicht die Zahl 2 zu nehmen. In der Praxis kann angenommen werden, dass Mitspieler existieren, die nicht rational handeln und somit das obige Konzept mit den gewählten persönlichen Maxima ohnehin zunichte machen. 2.1 Was ist Spieltheorie? Der Begriff Spieltheorie behandelt die Analyse strategischer Entscheidungssituationen, in denen mehrere Spieler miteinander interagieren, wie Nebel ([2] 2009:4) erklärt. Dabei sei das Resultat eines Spiels von den Entscheidungen der Mitspieler abhängig und alle Spieler sind sich dessen bewusst. Damit stelle sich die Frage nach dem Ergebnis, das sich ergibt, falls alle Spieler rational handeln, d.h. ihren (erwarteten) Nutzen maximieren, wobei sie davon ausgehen, dass ihre Mitspieler ebenso rational handeln, so Nebel ([2]). 3

7 2 Einführung Der Fokus dieser Arbeit wird allerdings auf Spielen liegen, bei denen auch durch perfekt rationales Verhalten beider Spieler a priori entschieden werden kann, ob einer der beiden die Möglichkeit hat einen Sieg zu erzwingen. Für die hier behandelten Spiele existieren also Gewinnstrategien. 2.2 Was ist ein Spiel? Der Begriff des Spiels wird im Folgenden nicht im allgemeinen Sinne des Wortes aufgefasst. Die folgenden Einschränkungen werden für Spiele in unserem Kontext vorgenommen: 1. Ein Spiel ist für zwei Spieler konzipiert. 2. Es wird abwechselnd gezogen. 3. Ein Spiel ist frei von Zufall. 4. Beide Spieler verfügen über volle Information (keine verdeckten Elemente). 5. Es gibt eine endliche Menge an Positionen (Spielstellungen). Eine (nichtleere) Teilmenge davon ist als gültige Startposition gekennzeichnet. Für jede Position gibt es eine (möglicherweise leere) Menge von gültigen Nachfolgepositionen. 6. Das Spiel endet, wenn kein gültiger Zug mehr ausgeführt werden kann. Normal play: jener Spieler, der nicht mehr ziehen kann (also eine leere Menge von Zugmöglichkeiten zur Verfügung hat) verliert. Misère play: jener Spieler, der zuletzt zieht verliert das Spiel. 7. Ein Spiel endet nicht unentschieden. (vgl. [3] 2014:1) 4

8 3 Take-away-Spiele 3 Take-away-Spiele Spiele, bei denen ein vorgegebener Vorrat an Markierungen verkleinert wird, werden allgemein als Take-away-Spiele bezeichnet. Ein erstes Beispiel Die Regeln für ein einfaches Spiel, bei dem Münzen von einem Stapel entfernt werden müssen, lauten: 1. Es gibt zwei Spieler. Wir bezeichnen sie mit I und II. 2. Am Anfang befinden sich 21 Münzen auf dem Stapel. 3. Ein Zug besteht aus dem Entfernen von entweder einer, zwei oder drei Münzen vom Stapel. 4. Die Spieler ziehen abwechselnd, wobei I beginnt. 5. Der Spieler der die letzte Münze vom Stapel nimmt (also den letzten gültigen Zug durchführt) gewinnt das Spiel. Wie kann dieses Spiel analysiert werden? Besteht die Möglichkeit, dass einer der Spieler einen Sieg erzwingen kann? Welcher Spieler hat die bessere Ausgangslage? Hat der, der anfängt, oder der, der nachzieht die besseren Chancen? Welche Strategie könnte man als Spieler verfolgen? Um das herauszufinden, werden wir dieses Spiel von hinten nach vorne aufrollen. Analyse: Wenn nur noch eine, zwei oder drei Münzen übrig sind, kann der Spieler am Zug das Spiel für sich entscheiden, indem er einfach alle Münzen nimmt. Angenommen es sind vier Münzen übrig. Dann muss der nächste Spieler entweder eine, zwei oder drei Münzen auf dem Stapel lassen und sein Gegner würde gewinnen. Folglich würden vier verbleibende Münzen für den nächsten Spieler den sicheren Verlust des Spiels bedeuten. Somit könnte man, wenn man es schafft nach seinem Zug vier Münzen übrig zu lassen, das Spiel für sich entscheiden. Bei 5, 6 oder 7 verbleibenden Münzen hat der nächste Spieler die Chance den Stapel auf vier Münzen zu reduzieren (was, wie zuvor erwähnt, den Spielgewinn bedeuten würde). Bei 8 Münzen auf dem Stapel verbleiben nach dem nächsten Zug eben 5, 6 oder 7, was, wie gesagt dem kommenden Spieler den Sieg einbringen würde. Wird dieses Schema fortgeführt, erkennt man, dass es erstrebenswert ist, dem Gegner eine Anzahl an Münzen auf dem Stapel zu belassen, die der Form 4n (mit n N) entspricht also ein Vielfaches von 4 ist. Gelingt dies, kann nach einem Zug des Gegners wiederum auf 4(n 1) Münzen reduziert werden, indem man 4 k (wobei k {1, 2, 3} 5

9 3 Take-away-Spiele die Anzahl der soeben vom Gegner entfernten Münzen ist) vom Stapel nimmt. Dadurch kommt man durch ständige Wiederholung zu dem Punkt, wo man dem Gegner genau 4 Münzen lässt und, wie oben erläutert, das Spiel gewinnen kann. Für die Ausgangsposition mit 21 Münzen kann der erste Spieler (I), indem er genau eine Münze entfernt, die Anzahl der Münzen auf ein Vielfaches von 4 (nämlich 20 = 4 5) reduzieren und das gerade erklärte Schema nutzen um das Spiel zu gewinnen. II kann ihm so nichts entgegensetzen. (vgl. [4] 2014:3f) Lösungsstrategie: Das gerade vorgestellte Prinzip des von-hinten-aufrollens wird im Allgemeinen als Rückwärtsinduktion bezeichnet. 3.1 N- und P-Positionen In einem Spiel wie dem vorhergegangenen kann man pro Position definitiv vorhersagen, ob der nächste (Next) oder der vorherige (Previous) Spieler die Möglichkeit hat, das Spiel zu seinen Gunsten zu entscheiden. Je nachdem ob der nächste oder der vorherige gewinnen kann, werden alle Positionen in N-Positionen und P-Positionen aufgeteilt. Die Mengen der jeweiligen Positionen P OS N und P OS P würden für das Beispiel also folgendermaßen aussehen: P OS N = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 21} P OS P = {0, 4, 8, 12, 16, 20} Natürlich sind P OS N und P OS P disjunkt es können schließlich nicht der nächste und der vorherige Spieler gleichzeitig gewinnen. Algorithmus um P OS N und P OS P zu erhalten: Die folgenden vier Schritte können ausgeführt werden, um die Mengen P OS N und P OS p aufzubauen: 1. Markiere jede Endposition (also jede Position, von dem aus keine gültigen Züge mehr möglich sind) als P-Position. 2. Markiere jede Position die in einem Zug eine P-Position erreichen kann als N- Position. 3. Finde jene Positionen, deren mögliche Züge allesamt zu N-Positionen führen. Markiere sie als P-Positionen. 4. Werden in Schritt 3 keine weiteren P-Positionen gefunden, halte an; sonst, fahre mit Schritt 2 fort. 6

10 3 Take-away-Spiele Offensichtlich wird die Strategie auf eine P-Position zu fahren von Erfolg gekrönt sein, weil der Gegner von dort nur die Chance hat zu einer N-Position zu gelangen (siehe Schritt 3). Von dort wird wiederum auf eine P-Position gezogen (siehe Schritt 2). Schließlich ist das Spiel an einer Endposition vorüber und nachdem es sich dabei um eine P-Position handelt (siehe Schritt 1), hat man gewonnen. Natürlich gilt jener Gedankengang nur für Spiele im Normal Play. Jene im Misère play erfordern eine leicht abgewandelte Strategie, die allerdings dem selben Muster und Gedankengang folgt. (vgl. [4] 2014:4f) Verallgemeinerung des Beispiels Bei einem Spiel, bei dem n Münzen auf einem Stapel liegen und jeder Spieler pro Zug eine bis m Münzen entfernen darf, würden P OS N und P OS P so aussehen: n P OS P = {k (m + 1) k N 0, k m + 1 } P OS N = {k k n, k N} \ P OS P Mithilfe dieser beiden Mengen lassen sich beliebige Spiele dieser Art entschlüsseln. 3.2 Das Spiel NIM Das zuvor behandelte Spiel mit bloß einem Stapel ist ein Spezialfall des allgemeinen NIM -Spiels. Davon gibt es verschiedene Auslegungen. Die Regeln des klassischen (normal) Spiels sehen wie folgt aus: Gegeben sind k Stapel mit n 1,..., n k Münzen (wobei n i > 0). Ein Spieler kann pro Zug innerhalb eines Stapels beliebig viele Münzen (mindestens eine) entfernen. Gewinn und Verlust sind von den zuvor festgelegten Regeln für Normal play bzw. Misère play abhängig. Zur erfolgreichen Analyse von NIM-Spielen wird hier eine hilfreiche Operation, die NIM-Addition, eingeführt NIM-Addition Um die NIM-Summe von Zahlen ( N 0 ) berechnen zu können, müssen diese zuallererst in Binärdarstellung gebracht werden. Daraufhin führt man eine bitweise Addition (modulo 2) der Binärzahlen aus. Damit fällt der Übertrag auf die nächstgrößere Stelle weg. 7

11 3 Take-away-Spiele Im Prinzip handelt es sich bei der NIM-Addition von zwei Zahlen um nichts anderes als eine exklusive ODER-Verknüpfung (XOR). Dabei wird genau dann der Wert 1 pro Bit ausgegeben, wenn die beiden verglichenen Bits verschieden sind. Wir schreiben als Zeichen für die Operation der NIM-Addition. Die NIM-Summe ist die NIM-Addition aller Zahlen. Bemerkung: N 0 bildet mit der NIM-Addition eine abelsche Gruppe. ist offensichtlich kommutativ. ist assoziativ (siehe Wahrheitstafel [2] unten) 0 ist offensichtlich das neutrale Element. Jedes Element ist selbstinvers. a b c a b (a b) c b c a (b c) Abbildung 2: Assoziativität von Beispiel: sehen: Die Berechnung der NIM-Summe der Zahlen 6 und 15 ist hier zu 6 15 = (2 + 4) ( ) = = Die Bedeutung dieser Methode wird erst bewusst, wenn der folgende Satz formuliert wird Satz (NIM-Summe 0) Genau jede Position mit NIM-Summe 0 ist eine P-Position. Für den Beweis dieses Satzes wird ein Hilfslemma benötigt, welches zuvor bewiesen wird. 8

12 3 Take-away-Spiele Lemma (i) Ist die NIM-Summe einer Position gleich null, dann ist die NIM-Summe nach jedem beliebigen Zug ungleich null. (ii) Nach jeder Position mit NIM-Summe ungleich null kann so gezogen werden, dass die NIM-Summe danach null ist. Beweis (Lemma): (i) Die NIM-Summe ist genau dann gleich null, wenn sie an jedem Bit null ergibt. Das ist äquivalent dazu, dass die Anzahl an Einsern pro Bit gerade ist. Da eine beliebige Anzahl (> 0) an Münzen aus genau einem Stapel entfernt werden muss also genau eine der Zahlen verändert wird wird sich das Bit infolge an mindestens einer Stelle verändern. An eben diesen veränderten Stellen kommt es daher zu einer ungeraden Anzahl an Einsern. Somit ist die NIM-Summe nach dem nächsten Zug verändert. Folglich muss aus einer NIM-Summen-Position gleich null eine ungleich null folgen. (ii) Ist die NIM-Summe ungleich null, existiert ein Bit das eine ungerade Anzahl an Einsern enthält. Insbesondere existiert eines das 1 ist und für das gilt, dass es das sich am weitesten links befindende Bit ist, bei dem die Anzahl an Einsern ungerade ist. Kehrt man ab (inklusive) diesem Bit nach rechts gehend alle Bits dieser einen Zahl an jenen Stellen um, deren NIM-Summe 1 ist, erhält man an allen Stellen eine gerade Anzahl an Einsern. Die NIM-Summe ist gleich null. Beweis (Satz): Ist die NIM-Summe einer Position gleich null, muss der nächste Spieler (N) laut (i) so ziehen, dass die NIM-Summe daraufhin ungleich null ist. Sein Gegner (P) kann nach (ii) wiederum auf die NIM-Summe null stellen. Somit hat P die Möglichkeit, immer wieder auf die NIM-Summe null zu stellen kann also dafür sorgen, dass sein Gegner nie die NIM-Summe null hinterlassen kann. Die Endposition hat NIM-Summe null, weil alle Stapel die Höhe null besitzen. P kann also den letzten gültigen Zug machen und damit das Spiel gewinnen. (indirekt) Ist die NIM-Summe ungleich null, kann der nächste Spieler (N) nach (ii) auf eine Folgeposition mit NIM-Summe null stellen. Laut der Hin-Richtung handelt es sich dabei also um eine N-Position. Bemerkung: Folglich ist es ratsam immer auf eine Null-NIM-Summe zu stellen. Hat man das einmal erreicht, kann man nach seinem nächsten Zug selbiges machen. Somit kann man die NIM-Summe immer zwischen null und einer Zahl ungleich null wechseln lassen. 9

13 3 Take-away-Spiele Da man auf diese Weise den Gegner immer dazu zwingen kann, die Position auf eine NIM-Summe ungleich null zu stellen und die NIM-Summe wenn nur noch ein Stapel vorhanden ist ungleich null ist, kann man auch die verbleibende(n) Münze(n) vom letzten Stapel selbst entfernen. Das bedeutet den Spielgewinn. (vgl. [5]: 117f, [6]: 118f) Misère NIM Werden NIM-Spiele im Misère play gespielt, muss soeben bewiesene Strategie leicht abgeändert werden, um als perfekt zu gelten. Verwende obige Strategie, solange mindestens zwei Stapel mit Höhe > 1 vorhanden sind (und beliebig viele mit Höhe 1). Ist nur noch ein Stapel mit mehr als einem Element vorhanden (und die restlichen bestehen aus genau einem Element), reduziere diesen auf die Höhe 1 oder entferne den Stapel komplett je nachdem was eine ungerade Anzahl an einelementigen Stapeln übrig lässt. Begründung Mit optimaler NIM-Strategie versucht man die NIM-Summe auf null zu stellen. Gelingt das, muss man nie genau einen Stapel mit mehr als einem Element hinterlassen, weil sonst die NIM-Summe ungleich null wäre. Folglich müsste der Gegner das tun. Die angesprochene Reduktion auf eine ungerade Anzahl an Stapeln welche die Höhe eins haben ist deshalb sinnvoll, weil danach abwechselnd ganze Stapel entfernt werden müssen. Verbleibt eine ungerade Anzahl an solchen Stapeln, hat der Gegner bis zum Spielende bei jedem Zug eine ungerade Anzahl an Stapeln zur Verfügung. Er würde also auch den letzten Stapel entfernen müssen und das Spiel somit verlieren. (vgl. [4]: 11) 3.3 Das Stricherlspiel Eine in unseren Breiten bekannte Abwandlung des NIM-Spiels stellt das Stricherlspiel dar. Die Ausgangsposition dieses Spiels ist in Abbildung 3 zu sehen. Die Regeln lauten: Es werden vier Reihen mit je einem, drei, fünf und sieben Strichen gezeichnet. Ein Spieler muss pro Zug eine positive Anzahl an (noch nicht durchgestrichenen) Strichen aus einer Reihe durchstreichen. Abbildung 3: Stricherlspiel 10

14 3 Take-away-Spiele Der Spieler, der den letzten Strich durchstreicht verliert das Spiel. In obiger Definition eines Spiels wurde festgehalten, dass beim Normal play jener Spieler gewinnt, der den letzten Zug tätigt. Hier ist es allerdings so, dass gerade dieser Spieler verliert es handelt sich also beim Stricherlspiel um Misère play. Zurückführen auf NIM: Die Strichreihen lassen sich auf die Stapel des klassischen NIM-Spiels ummünzen und die noch nicht durchgestrichene Anzahl an Strichen pro Reihe entspricht der jeweiligen Stapelhöhe. Wenn man noch die Misère-Eigenschaft in Betracht zieht, lässt sich dieses Spiel mithilfe der bereits getätigten Überlegungen einfach analysieren. Analyse: Wenn man die NIM-Summe der Ausgangslage ermittelt, stellt man fest, dass sie null ist (siehe rechts) = Bekanntermaßen müsste der erste Spieler (A) die NIM-Summe nach seinem Zug auf eine Zahl ungleich null verändern. Das gibt dem Nachziehenden (B) die Möglichkeit die NIM-Summe wieder auf null zu stellen. Folglich könnte B durch optimales Spiel einen Sieg erzwingen. Man sollte also wenn möglich seinem Gegner beim Stricherlspiel den Vortritt lassen. Da der Erstziehende keine perfekte Gewinnstrategie anwenden kann, muss er auf Fehler seines Gegners hoffen. Die für jeden Spieler erstrebenswerten P-Positionen (außer der Ausgangsposition) sind beim Stricherlspiel folgende: Sortiert nach Anzahl der noch vorhandenen Reihen: P OS P = {{1, 2, 4, 7}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 6}, {1, 1, 5, 5}, {1, 1, 4, 4}, {1, 1, 3, 3}, {1, 1, 2, 2}} P OS P = {{2, 5, 7}, {3, 4, 7}, {3, 5, 6}, {2, 4, 6}, {1, 4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 1, 1}} P OS P = {{2, 2}, {3, 3}, {4, 4}, {5, 5}} Alle P-Positionen: P OS P = P OS P P OS P P OS P Man kann sich als Spieler also entweder alle P-Positionen auswendig merken, oder seinen Geist bemühen, um bei jedem Zug die NIM-Summe herauszufinden. Bei einem Spiel wie dem Stricherlspiel mit einer solch geringen Anzahl an Möglichkeiten ist das Merken der erfolgreichen Positionen leicht möglich. Wird die Anzahl der 11

15 3 Take-away-Spiele Reihen erhöht, steigen auch die Möglichkeiten rasant an es müsste also je Zug die NIM-Summe berechnet werden. (vgl. [7]) 12

16 Literatur [1] Christoph Ableitinger und Petra Hauer-Typpelt Spieltheorie im Schulunterricht kann es das spielen? Universität Wien [2] Thomas Nebel Spieltheorie. 2009: Universität Freiburg [3] Oswin Aichholzer, Maria Eichlseder Klassische Themen der Computerwissenschaft, Abschnitt Spieltheorie. 2014: Institut für Softwaretechnologie, TU Graz [4] Thomas S. Ferguson Game Theory, Part I. Impartial Combinatorial Games. 2014: Mathematics Department, UCLA. [5] Jörg Bewersdorff Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen [6] Manfred Dobrowolski Mathematische Exkursionen: Gödel, Escher und andere Spiele [7] Most Wanted Puzzle Solutions How to win at the Nim game