Spieltheorie. Miriam Polzer Miriam Polzer Spieltheorie / 40

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1 Spieltheorie Miriam Polzer Miriam Polzer Spieltheorie / 40

2 1 Grundlagen 2 Minimax und Alpha-Beta-Pruning 3 Nim-Spiele 4 Josephus-Problem Miriam Polzer Spieltheorie / 40

4 Spiel Teil der Definition endliche Menge von Spielern {S 1, S 2,...} Regeln, die allen Spielern bekannt sind Gewinnvektor für jeden möglichen Spielausgang: (Gewinn S 1, Gewinn S 2,..) Wir werden im Folgenden nur 2-Spieler-Spiele betrachten. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

5 BeiSpiel 1: Piles Piles: Regeln gegeben ist ein Haufen mit N Steinen jeder Spieler darf in seinem Zug 2, 3 oder 6 Steine entfernen wer am Zug ist und nicht mehr entfernen kann, hat verloren Miriam Polzer Spieltheorie / 40

6 Piles: Spielbaum Steine : N = 6, bei 0 oder 1 ist das Spiel zu Ende. -6 S 1 (6) -3-2 (1,-1) S 2 (3) S 2 (4) (-1,1) (-1,1) (-1,1) S 1 (2) Gewinnvektor -2 (1,-1) Miriam Polzer Spieltheorie / 40

7 Nullsummenspiel Definition Als Nullsummenspiel bezeichnet man ein Spiel, bei dem die Summe jedes Gewinnvektors 0 ist. Piles ist ein Nullsumenspiel Wir können vereinfachen, da der Gewinn des einen Spielers der Verlust des anderen ist. Ein Spieler will dann die Auszahlung maximieren (Max-Spieler), der andere minimieren (Min-Spieler) Miriam Polzer Spieltheorie / 40

8 Piles: Spielbaum vereinfacht S max (6) S min (3) S min (4) S max (2) -2 Auszahlung 1 Gewinn Min-Spieler: Auszahlung Gewinn Max-Spieler: Auszahlung Miriam Polzer Spieltheorie / 40

9 Strategie Definition Eine Strategie des Spielers S legt für jeden möglichen Spielzustand, bei dem S am Zug ist, fest, für welchen Zug sich S entscheidet. Ein Strategie-N-Tupel ordnet jedem Spieler für ein Spiel eine Strategie zu: (Strategie S 1, Strategie S 2,...) Bei Piles mit N = 6 braucht S max also eine Strategie, die mindestens auf 6 und 2 eine valide Antwort gibt. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

10 BeiSpiel 2: Gefangenendilemma Gefangenendilemma zwei Verbrecher werden unabhängig voneinander verhört Beide können entweder die gemeinsame Tat gestehen oder schweigen, wissen aber nicht, was der andere tut. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

11 BeiSpiel 2: Gefangenendilemma Spieler 1 Spieler 2 Gestehen Schweigen Gestehen ( 8, 8) (0, 10) Schweigen ( 10, 0) ( 1, 1) Spieler 1 entscheidet über Zeile, Spieler 2 über Spalte Beide werden gestehen, weil das unabhängig vom Gegner den größeren Gewinn bringt. immer gestehen ist dominante Strategie Miriam Polzer Spieltheorie / 40

12 Dominante Strategie Definition Eine dominante Strategie, ist eine Strategie, die unabhängig vom Gegner immer den größtmöglichen Gewinn bringt. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

13 Nash-Gleichgewicht Definition Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Strategie-Tupel, bei dem es sich für keinen Spieler auszahlt, (als Einziger) von seiner Strategie abzuweichen. Jedes Tupel aus dominanten Strategien ist auch ein Nash-Gleichgewicht. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

15 Minimax: Theorem Theorem Bei 2-Spieler-Nullsummenspielen mit endlich vielen Strategien gibt es ein V und für jeden Spieler eine Strategie, so dass gilt: Gewinn Max-Spieler: mindestens V Gewinn Min-Spieler: mindestens -V As far is I can see, there could be no theory of games...without that theorem...i thought there was nothing worth publishing until the Minimax Theorem was proved. J. v. Neumann Miriam Polzer Spieltheorie / 40

16 Minimax: Theorem Beobachtungen: Alle Strategietupel, die zu V führen sind Nash-Gleichgewichte des Spiels. Jedes 2-Spieler-Nullsummenspiel mit endlich vielen Strategien ist lösbar. Wenn man perfekte Informationen hat, kann man das Spiel mit optimalen Strategien simulieren, um eine Lösung zu finden. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

17 Minimax: Algorithmus Strategie den eigenen Gewinn maximieren Umsetzung Tiefensuche auf Spielbaum Bottom-Up: Maximum (Max-Spieler) oder Minimum (Min-Spieler) aller Kinder nach oben weiterreichen. Laufzeit O(b d ) b = Verzweigunsgrad, d = Suchtiefe Verbesserung Falls Situationen öfter im Spielbaum vorkommen dynamische Programmierung verwenden Miriam Polzer Spieltheorie / 40

18 Minimax:Beispiel Max-Spieler: Min-Spieler: Miriam Polzer Spieltheorie / 40

19 Minimax:Beispiel 4 Max-Spieler: Min-Spieler: Miriam Polzer Spieltheorie / 40

20 Minimax:Beispiel 4 4 Max-Spieler: Min-Spieler: Miriam Polzer Spieltheorie / 40

25 Alpha-Beta-Pruning Einführung von zwei Werten, die das aktuell beste gefunden Ergebnis speichern: α minimaler Gewinn für Max-Spieler β minimaler Gewinn für Min-Spieler Abbruchbedingung Der aktuelle Teilbaum wird nie gewählt werden wenn: β α Laufzeit Worst-Case: O(b d ) Average-Case: O(b 3d/4 ) Miriam Polzer Spieltheorie / 40

26 Alpha-Beta-Pruning: Algorithmus 1 // I n i t i a l c a l l : a l p h a b e t a ( o r i g i n, depth, i n f, +i n f, t r u e ) 2 3 f u n c t i o n a l p h a b e t a ( node, depth, a, b, maxp) 4 i f ( node i s l e a f ) r e t u r n v a l u e o f node 5 i f maxp 6 f o r each c h i l d o f node 7 a := max ( a, 8 a l p h a b e t a ( c h i l d, depth 1, a, b, not (maxp ) ) ) 9 i f b <= a 10 b r e a k 11 r e t u r n a 12 e l s e 13 f o r each c h i l d o f node 14 b := min ( b, 15 a l p h a b e t a ( c h i l d, depth 1, a, b, not (maxp ) ) ) 16 i f b <= a 17 b r e a k 18 r e t u r n b Miriam Polzer Spieltheorie / 40

27 Negamax: weniger Code 1 // I n i t i a l c a l l : negamax ( o r i g i n, depth, i n f, +i n f, 1) 2 3 f u n c t i o n negamax ( node, depth, a, b, s i g n ) 4 i f node i s l e a f 5 r e t u r n s i g n v a l u e o f node 6 e l s e 7 f o r e a c h c h i l d o f node 8 v a l := negamax ( c h i l d, depth 1, b, a, s i g n ) 9 i f v a l >= b 10 r e t u r n v a l 11 i f v a l >= a 12 a := v a l 13 r e t u r n a Miriam Polzer Spieltheorie / 40

29 Winning/Losing Position Winning Position Eine Situation, die bei richtiger Spielweise unabhängig vom Gegner zum Sieg führt. Losing Position Eine Situation, die es bei richtiger Spielweise des Gegners unmöglich macht, zu gewinnen. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

30 Winning/Losing Position Folgerung Eine Situation ist genau dann Winning Position, wenn es eine mit einem Zug erreichbare Losing Position gibt. Umgekehrt gilt: Aus einer Losing Position ist nie eine Losing Position erreichbar. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

31 Piles: W/L Positions Initale Losing Positions: 0,1 Übergänge: 2,3 oder 6 abziehen Falls dadurch L erreichbar W sonst L N W/L L L W W W L W W W L L W Miriam Polzer Spieltheorie / 40

32 A Game A Game Startposition ist eine Zahl N, die Spieler ziehen abwechselnd von der aktuellen Zahl eine beliebige positive Ziffer dieser Zahl ab. Der Spieler, der 0 herstellt, gewinnt. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

33 A Game: Analyse N L/W L W L W L... Vermutung: N Losing Position N mod 10 = 0 Spielende: 0 mod 10 = 0 noch zu zeigen: aus jeder Winning Position ist eine Losing Position erreichbar und aus einer Losing Position ist niemals eine Losing Position erreichbar Miriam Polzer Spieltheorie / 40

34 A Game: Beweis N ist Winning Position N mod 10 0, N > 0 subtrahiere letzte Ziffer s = N mod 10 (N s) mod 10 = 0 Losing Position erreicht Miriam Polzer Spieltheorie / 40

35 A Game: Beweis N ist Losing Position N mod 10 = 0, N > 0 möglicher Subtrahend s: s [1; 9], s mod 10 [1; 9] (N s) mod 10 = (N mod 10) + ( s mod 10) mod 10 = 0 + ( s mod 10) mod 10 0 keine Losing Position erreichbar Miriam Polzer Spieltheorie / 40

36 Nim Regeln Es gibt N Streichholzhaufen. Jeder Spieler nimmt, wenn er am Zug ist, ein bis alle Streichhölzer von einem Haufen weg. Der Spieler, der das letzte Streichholz entfernt, gewinnt. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

37 Nim: Lösung Lösung Sei n 0,..., n k die Grösse der Haufen Losing-Position n 0... n k = 0 (Nim-Summe) n 0 = 3 (0 1 1) 2 n 1 = 7 (1 1 1) 2 n 2 = 2 (0 1 0) 2 W (1 1 0) 2 Nim-Summe 0 Winning-Position Miriam Polzer Spieltheorie / 40

38 Nim: Beweis der Lösung Winning Position Losing Position erreichbar: höchstwertige Spalte mit ungerade Anzahl Einsen finden eine 1 in dieser Spalte auf 0 setzen in der gewählten Zeile restliche Ziffern so ändern, dass die Nim-Summe 0 ergibt Miriam Polzer Spieltheorie / 40

39 Nim: Beispiel n 0 = 3 (0 1 1) 2 n 1 = 7 (1 1 1) 2 n 2 = 2 (0 1 0) 2 W (1 1 0) 2 n 0 = 3 (0 1 1) 2 n 1 = 1 (0 0 1) 2 n 2 = 2 (0 1 0) 2 L (0 0 0) 2 Miriam Polzer Spieltheorie / 40

40 Nim: Beweis der Lösung Losing Position Keine Losing Position erreichbar: Mindestens eine 1 wird zur 0 geändert, dadurch entsteht eine Spalte mit ungerader Anzahl Einsen. Spielende Ein Spieler hat verloren, wenn er am Zug ist und alle Haufen leer sind: = 0 Miriam Polzer Spieltheorie / 40

41 Misére-Nim Misére Als Misére bezeichnet man eine Spielvariante, bei der es darum geht zu verlieren bzw. den größten Verlust zu machen. Misére-Nim Gleiche Regeln wie Nim, nur verliert der Spieler, der den letzten Stein nimmt. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

42 Misére-Nim Lösung Gleiche Strategie wie Nim, bis auf einen Zug: Wenn durch ihn erstmals nur Haufen der Größe 1 übrig bleiben, stelle ungerade Anzahl an Haufen her. Diese Auswahl hat offensichtlich immer der Spieler, der Nim gewinnen würde. Also sind Winning/Losing Positions gleich wie bei Nim solange ein Haufen größer als 1 existiert. Miriam Polzer Spieltheorie / 40

44 Josephus Flavius Josephus seine Freunde verstecken sich in einer Höhle vor den Römern. Um der Sklaverei zu entgehen beschliessen sie, sich gegenseitig umzubringen. Josephus möchte aber nicht sterben Miriam Polzer Spieltheorie / 40

45 Josephus Sie stellen sich in einem Kreis auf töten reihum ihren linken Nachbarn. Schrittweite: k = 2 An welcher Stelle muss Josephus stehen um zu überleben? Miriam Polzer Spieltheorie / 40

46 Josephus 10 1 Gesucht: Position der Person, die zuletzt übrig bleibt. Gerade Anzahl: neue Position x war vorher auf 2x Miriam Polzer Spieltheorie / 40

47 Josephus 10 1 Ungerade Anzahl: neue Position x war vorher auf 2x + 1 Ende: Lösung direkt: J(1) = Miriam Polzer Spieltheorie / 40

48 Josephus Rekurrenzgleichungen J(1) = 1 (1) J(2n) = 2J(n) 1 (2) J(2n + 1) = 2J(n) + 1 (3) Aufwand: O(log n) Miriam Polzer Spieltheorie / 40

49 Peter Morris Introduction to Game Theory Springer Verlag, Algorithm Games: Tutorial Static&d1=tutorials&d2=algorithmGames Minimax Alpha-Beta-Pruning http: //en.wikipedia.org/wiki/alpha-beta_pruning Miriam Polzer Spieltheorie / 40

50 Frederik Simon Spieltheorie, 18. Juli 2012 Negamax Misére Nim-Games alper1/node11.html Miriam Polzer Spieltheorie / 40