Bearbeitung von Modellierungsaufgaben mit und ohne Hilfe digitaler Werkzeuge

Transkript

1 Bearbeitung von Modellierungsaufgaben mit und ohne Hilfe digitaler Werkzeuge

2 Übersicht 1. Der Begriff Modellieren 2. Untersuchungen zum Modellieren 3. Konzept für den Unterricht 4. Modellierungsaufgaben und digitale Werkzeuge

3 Eine Modellierungsaufgabe Was kostet das Verputzen dieses Hauses?

4 Modellbildungskreislauf (nur Vorderseite des Hauses) Reale Situation Reales Modell (1,3 3,3 3, 0 3,3) (1,1 1,4 0,8 1,4) Mathematisches 14,19 2, 66 Resultat 11,53 Realität Mathematik Klassische Sachaufgabe Mathematisches Modell [Blum]

5 Was ist ein Modell? Ein Modell ist ein vereinfachendes Bild eines Teils der Welt. [Ebenhöh] Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes, auf die mathematische Methoden angewandt werden können [Zais & Grund] Ein mathematisches Modell ist jede vollständige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen, die darauf ausgelegt ist, einem anderen Gebilde zu entsprechen. [Aris]

6 Modelle des Modellierens Situationsanalyse Datenbeschaffung Annahmen, Vernachlässigungen Reale Situation Situationsmodell Modellverbesserung Realmodell Modell Lösung Interpretation, Überprüfung Mathem. Modell Informationen Konsequenzen Reale Lösung Mathematische Lösung

7 Verstehen Wahrnehmen Analysieren Situationsmodell Modell entwerfen Vereinfachen Evtl. Daten beschaffen Lesen Orientierung Reales Modell Reale Situation Realität Analysieren, Exploration Organisation, Ziele setzen Vorgehensweise sichten Verstehen Mathematik Mathematisieren Mathematisches Modell Planung Ausführung Ausführen Daten verarbeiten Deduzieren Validieren, Folgerungen für die Situation anstellen, Informationen ermitteln, Transfers versuchen, Bewerten Reales Resultat Kontrolle Ist-Soll-Vergleich Interpretieren Konsequenzen ziehen Folgerungen im Modell anstellen Mathematisches Resultat

8 Übersicht 1. Der Begriff Modellieren 2. Untersuchungen zum Modellieren 3. Konzept für den Unterricht 4. Modellierungsaufgaben und digitale Werkzeuge

9 Untersuchung zum Modellieren Verwendete Aufgaben Haus Zimmer Stau Elefant Glas Brücke

10 Untersuchung zum Modellieren Qualitativ Zwei Schüler/innen Unterschiedliche Schulformen Unbekannte Aufgaben Ohne weitere Hilfe

11 Beispiel: Kategorie Planung Orientierung im Bild Arbeitsschritt vorschlagen / festlegen Notwendigkeit für Berechnungen erkennen Strategie festlegen Schwierigkeit durch das Schrägbild erkennen Mathematische Formen identifizieren

12 Planungsphasen Beobachtung A Beobachtung B

13 Modell entwerfen Vereinfachen Evtl. Daten beschaffen Reales Modell Situationsmodell Reale Situation Realität Mathematik Mathematisieren Verstehen Wahrnehmen Analysieren Orientierung Planung Mathematisches Modell Validieren, Folgerungen für die Situation anstellen, Informationen ermitteln, Transfers versuchen, Bewerten Datenverarbeitung Datenbeschaffung Kontrolle Daten verarbeiten Deduzieren Reales Resultat Mathematisches Resultat Interpretieren Konsequenzen ziehen Folgerungen im Modell anstellen

14 Beobachtungsausschnitt Kontrolle (Plausibilitätsbetrachtung) 16:35 S1: Ich glaub nicht dass das so wenig ist 16:37 S2: Gut dann 16:38 S1: Ehrlich gesagt 16:39 S2: (. ) obwohl wenn wir das mal gucken das das könnte doch hinkommen

15 Beobachtungsausschnitt Kontrolle (Kontrolle der Datenbeschaffung) 11:57 S1: auch zähl noch mal eins 12:02 S2: Das halbe lassen wir erst mal das sind zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn elf zwölf dreizehn vierzehn fuffzehn fuffzehn ein Halb ne

16 Beobachtungsausschnitt Kontrolle (Kontrolle der Planung) 16:51 S2: Die können wir so lassen die Seite oder müssen wir noch etwas abziehen 16:55 S1: Die Tür. haben wir schon 16:56 S2: Die haben wir schon. zwei Fenster haben wir S2 rechnet im Kopf und sagt die Zahlen teilweise auf

17 Übersicht Schwerpunkt Schätzen Vielfache Datenbeschaffung Explizit V I Planung Implizit IV III Schwerpunkt Messen Real II Schwerpunkt Alltagswissen Lokal Multiple Kontrolle Global

18 Reales Modell Realität Mathematik Situationsmodell Planung Verstehen Mathematisches Modell Reale Situation Planung Ausführung Kontrolle Kontrolle Reales Resultat Mathematisches Resultat

19 Ergänzende Untersuchung Variante 1 Variante 2 Variante 3 Die Vorderseite dieses Hauses soll außen verputzt werden. Berechne möglichst genau die zu verputzende Fläche! 388 Schülerinnen und Schüler Klasse 7 Die Vorderseite dieses Hauses soll außen verputzt werden. Berechne möglichst genau die zu verputzende Fläche! In der Zeichnung ist die Vorderseite eines Hauses zu sehen. Die weißen Rechtecke stellen die Fenster dar. Sie haben eine Höhe von 1,30 m. Die grau schraffierten Flächen sollen verputzt werden. Berechne möglichst genau diese Fläche.

20 Erste Ergebnisse Leistungsunterschiede zwischen den Schulformen (deutlicher Unterschied zwischen HS und RS) Leistungsunterschiede bei der Art der Anforderungen (Modellieren weniger stark; Rechnen stärker) Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens (Maßstab GY, Relation HS-E) Variante 1 am interessantesten und Variante 3 am leichtesten Variante 1 kommt fast gar nicht im Unterricht vor (Aufgabe 1 zu 7%) [Petermöller]

21 Schlussfolgerungen für die Forschung Modellieren als Problemlöseprozess betrachten. Bei Modellierungskreislauf Planungsprozesse in den Vordergrund stellen. Nicht alle wichtigen Bausteine im Bearbeitungsprozess können durch den Modellbildungskreislauf beschrieben werden. Besonderes Forschungs-Interesse gilt den impliziten Planern

22 Schlussfolgerungen für den Unterricht Derartige Modellierungsaufgaben können auf unterschiedlichem Niveau gelöst werden und sind für alle Schulformen geeignet. Es gibt unterschiedliche Typen von Lernenden, auf die im Unterricht reagiert werden muss z. B. durch thematisieren von Orientierungsphasen, Diskussion von Vereinfachungen Möglicher Weg: Aufgaben zu Teilkompetenzen verwenden

23 Modellieren ist individuell

24 Übersicht 1. Der Begriff Modellieren 2. Untersuchungen zum Modellieren 3. Konzept für den Unterricht 4. Modellierungsaufgaben und digitale Werkzeuge

25 Konzept für den Unterricht Kompetenz Modellieren Teilkompetenz Validieren Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die im mathematischen Modell gewonnenen Lösungen an der Realsituation Sind 12 m² Außenputz für die Vorderseite realistisch? Das wären 3 m mal 4 m?

26 Teilkompetenzen Indikatoren Vereinfachen Die Schülerinnen und Schüler trennen wichtige und unwichtige Informationen einer Realsituation. Mathematisieren Die Schülerinnen und Schüler übersetzen Realsituationen in Mathematische Modelle (z. B. Term, Gleichung, Figur, Diagramm, Funktion) Rechnen Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit dem mathematischen Modell. Validieren I Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die im Modell gewonnenen Informationen an der Realsituation. Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathematische Modelle für eine Realsituation. Beurteilen Die Schülerinnen und Schüler beurteilen kritisch das verwendete mathematische Modell. Realisieren Die Schülerinnen und Schüler ordnen einem mathematischen Modell eine passende Realsituation zu bzw. finden zu einem mathematischen Modell eine passende Realsituation.

27 Modellierungsaufgabe Wasserturm Diskutiere die Angaben auf der Tafel vor dem Wasserturm auf Norderney!

28 Diagnoseaufgabe zum Validieren ,5 dm dm 3 Anna und Paul haben den Wasserbehälter im Wasserturm unterschiedlich modelliert. Anna: Mein Modell ist besser, denn meine Zahlen passen besser als Pauls! Überprüfe und nimm Stellung. 3 Quader V = a² h Pauls Modell Zylinder V = r² h Annas Modell Teilkompetenzen Vereinfachen Mathematisieren Rechnen 44 85,5 dm Validieren dm Realisieren Kriterien 2 3 Eigenproduktion fördernd Offen Authentisch valide ja ja ja ja ja

29 Modellierungsaufgabe Löschwasserbehälter Bestimme geeignete Maße eines Löschwasserbehälters für den Hubschraubertransport.

30 Diagnoseaufgabe zum Validieren 1. Bestimme die ungefähren Abmessungen dieses Löschwasserbehälters 2. Gib mindestens zwei Wege an, wie du überprüfen kannst, ob dein Ergebnis korrekt ist. Teilkompetenzen Vereinfachen Mathematisieren 1. Rechnen 1. Validieren 2. Realisieren Kriterien Eigenproduktion fördernd 1., 2. Offen 1., 2. Authentisch 1., 2. valide 2.

31 Modellierungsaufgabe Stau Die Sommerferien beginnen häufig mit vielen Kilometern Stau in Deutschland. Im letzten Jahr waren es an einem Wochenende insgesamt 180 km. Wie viele Menschen befanden sich dann vermutlich im Stau?

32 Diagnoseaufgabe zum Vereinfachen Katja und Toni wollen berechnen, wie viele Menschen sich vermutlich in einem Stau der Länge 180 km befinden. Sie haben sich überlegt, welche Informationen wichtig sein könnten. Sie haben eine Liste von benötigten Informationen erstellt. Für welche dieser Informationen würdest du dich entscheiden? Begründe! - Fahrzeuglänge - Wetter - Art des Fahrzeugs - Benzinverbrauch - Bundesland - Abstand zum nächsten Pkw - Anzahl der Fahrspuren - Wochentag - Jahreszeit - Alter des Fahrers - Anzahl der Mitfahrer - Tageszeit - Baustellen - Ferienzeit

33 Diagnoseaufgabe zum Validieren Katja und Toni wollen berechnen, wie viele Menschen sich vermutlich in einem Stau der Länge 180 km befinden. Sie gehen davon aus, dass ein Fahrzeug 10 m Platz auf der Straße benötigt und haben sich folgende Rechnungen überlegt = = Vergleiche die beiden Rechnungen und bewerte sie!

34 Übersicht 1. Der Begriff Modellieren 2. Untersuchungen zum Modellieren 3. Konzept für den Unterricht 4. Modellierungsaufgaben und digitale Werkzeuge

35 Modellieren mit Computereinsatz Beispielproblem Zwei Autos fahren auf zwei sich kreuzenden Straßen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander zu. Ein Auto fährt 60 km/h das andere 50 km/h. Wird ein Unfall geschehen?

36 Modellieren mit Dynamischer Geometrie

37 Modellieren mit Computeralgebrasystem

38 Modellieren mit Tabellenkalkulation

39 Computereinsatz und Realitätsbezug Realität Punkte auf 2 sich schneidenden Problem Geraden Mathematisches Mathematik Mathematische Abstand der Punkte Lösung ist positiv Kreuzungsproblem Reales Problem Dynamische Computeralgebrasystem Geometrie Digitale Medien Autos Aufgaben- stoßen nicht Lösung zusammen Punkt verschiebt Entfernung Schnittpunkt Rechnerproblem der Punkte auf den Kreis-Gerade Geraden Punkte berühren Minimum Rechnerlösung sich beim der Entfernung Verschieben positiv nicht

40 Gute CAS-Aufgaben? Das Problem Welche Kompetenzen überprüft diese Aufgabe? Finde eine Funktion, für die gilt: 3 1 f ( x) dx 0 Begründe! Idee: Symmetrie (?) mit CAS: Werkzeugkompetenzen ohne CAS: inhaltliche Kompetenzen [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

41 Einsatz im Unterricht Der Einsatz von digitalen Werkzeugen im Unterricht ist wünschenswert und notwendig Veranschaulichen von mathematischen Sachverhalten Unterstützen von Entdeckungs- und Lernprozessen Einzug in die Richtlinien [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

42 Einsatz in Prüfungen Mathematische Kompetenzen, die mit digitalen Werkzeugen erworben wurden, kann man auch ohne Werkzeuge messen Gute CAS-Aufgaben für die Prüfung gibt es nicht. Rolle digitaler Werkzeuge ist in der Prüfung eingeschränkt: Explorieren,? [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

43 Unterrichtsentwicklung Der Einsatz digitaler Werkzeuge im Unterricht als Voraussetzung für die Prüfung soll sinnvoll bis unabdingbar sein Prüfungen haben eine starke normative Wirkung auf den Unterricht Zusammenspiel Kompetenzerwerb / Kompetenzüberprüfung sollte für die Lehrenden offensichtlich sein [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

44 Anwendungssituationen Prüfungsaufgaben sollen einen authentischen Mathematikgebrauch darstellen (oder keine Anwendungssituationen) Prüfungsaufgaben kleinschrittiger authentische Anwendungen schwieriger nur Teilschritte des Modellierens bloße Einkleidungen vermeiden Trennung von Kalkül und Modellierung [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

45 Beispiel für (anwendungsfreie) Aufgabenbausteine Symmetrie Schreibe einen Text (15-20 Zeilen) über Symmetrie von Funktionen. Welche Symmetrien gibt es? Wie findet man sie heraus? Welchen Nutzen hat die Kenntnis von Symmetrie für die Arbeit mit Funktionen? [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

46 Beispiel für Aufgabenbausteine mit Anwendungscharakter a) Beschreibe ein Anwendungsbeispiel, in dem die Integralrechnung verwendet werden kann (in Zeilen)! Reflexion von Mathematik im Alltag Keine spezieller Anwendungsbezug vorgegeben Flexibel auf den Unterricht bezogen (trotz Zentralabitur) [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

47 b) i) Diskutiere, welches der folgenden mathematischen Modelle für die Beschreibung des Erdölverbrauchs in Belgien/Luxemburg und Frankreich am sinnvollsten ist: Lineares Wachstum, quadratisches Wachstum, beschränktes Wachstum, exponentielles Wachstum. ii) Das Erdölvorkommen ist beschränkt. Handelt es sich daher auch um beschränktes Wachstum des Verbrauchs aus mathematischer Sicht? Begründe deine Antwort. [Idee: J. Weitendorf] [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

48 Spricht Teilprozesse des Modellierens (z. B. Vereinfachen, Mathematisieren, Validieren, Interpretieren) an Prüfung des ganzen Modellierungskreislauf kann zu Problemen bei der Korrektur führen Modellieren könnte den Einsatz von speziellen digitalen Werkzeugen erforderlich machen Es müssen keine Kontext-Inhalte vorgegeben werden (Informationen in der Aufgabenstellung) ehrliche Trennung von echten Anwendungsproblemen und innermathematischen Überprüfungen [Greefrath, Leuders, Pallack 2008]

49 Verschiedene CAS-Systeme in zentralen Abiturprüfungen Handhabung Rechentechnische Möglichkeiten Rechengeschwindigkeit Unterschiedliche Lösungsmöglichkeiten

50 Rechentechnische Möglichkeiten Beispiel: Die Brücke über den Großen Belt Mitte 1998 wurde in Dänemark eine Verbindung über den Großen Belt eingeweiht. Hauptbestandteil ist die Ostbrücke eine 6790 Meter lange Hängebrücke mit einer Spannweite zwischen zwei Pfeilern von 1624 m. Die Durchfahrtshöhe für den Schiffverkehr beträgt 65m, die Spitzen der Pfeiler bilden mit 254 m Höhe über dem Meeresspiegel die größte Erhebung Dänemarks. Der tiefste Punkt des Kabels zwischen den beiden Pfeilerspitzen liegt ca. 3m über der Fahrbahn. [Mühlenfeld. Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW.]

51 Das Kabel lässt sich annähernd auch durch den Graphen der Funktion g mit b x b x g( x) a ( e e ); a, b 0 beschreiben. Bestimmen Sie a und b x bx bx g( x) a( e e ) g(0) 3 g(812) 189 [Mühlenfeld. Aufgabensammlung Fachdezernenten Mathematik NRW.]

52 Derive 6 Voyage 200 nach längerer Rechenzeit entsprechend. ClassPad (im neuesten Softwareupdate behoben)

53 Folgerungen Viele Eigenschaften von CAS-Aufgaben hängen nicht vom CAS-Einsatz ab (AF, Begründen, Kontext, Mathematisieren). CAS können die Veränderung der Aufgaben beschleunigen. Aufgaben ohne CAS-Einsatz müssen gleichzeitig verändert werden. Die einseitige Veränderung von CAS-Aufgaben verringert die Akzeptanz von CAS in Prüfungen und damit auch im Unterricht. Zur Vermeidung technischer Probleme müssen CAS- Lehrpläne bzw. Vorgaben entstehen.

54 Rückblick und Ausblick Modellierungskompetenzen hängen mit anderen Kompetenzen zusammen (z. B. Problemlösen, Werkzeugeinsatz) Aufgaben zu Teilkompetenzen können Modellieren unterstützen Bedeutung des Computers beim Modellieren nicht unterschätzen Prüfungsaufgaben können Modellierungsanteile im Unterricht etablieren.

55 Mathematik ist spannend und nützlich

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