Beispiel: Die Strahlung eines schwarzen Körpers

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1 Beispiel: Die Strahlung eines schwarzen Körpers Wir fassen die Strahlung als Gas auf, als Gas von Photonen. Denn auch Photonen üben einen Druck aus, das Gas verfügt über eine innere Energie, etc. Strahlung verhält sich oft wie ein Gas! Auch Photonen haben einen Impuls p, treffen sie auf eine Wand und werden dort reflektiert, so ändert sich ihr Impuls auch um 2p x. Dies entspricht einem Kraftstoß F dt. Die Zeit dt ist gerade die Zeit, die das Photon braucht, um zur Wand zu kommen. Folglich ist die Anzahl Stöße von Photonen mit der Wand gleich der Anzahl Photonen, die die Wand innerhalb von dt erreichen können, nämlich nav x dt, wo n die Teilchenzahldichte bedeutet. Mit P = F/A erhalten wir also den Druck auf eine Wand in x-richtung P x = 2np x v x. Den Druck an jeder Stelle finden wir wieder durch Mittelung aller Impulse und Geschwindigkeiten, PV = N p v /3

2 Nun stellt sich die Frage, was denn für Photonen p v bedeutet? Impuls und Geschwindigkeit zeigen in dieselbe Richtung, die Geschwindigkeit ist natürlich c und folglich (wie für alle relativistischen Teilchen ohne Ruhemasse) E = pc. Also ist der Druck gerade gleich einem Drittel der inneren Energie des Photonengases! PV = U 3 Wir können nun mit Hilfe des ersten Hauptsatzes und unter Anwendung der freien Energie (isochor und isotherm) zeigen, dass die Energiedichte u = U/V proportional zur vierten Potenz der Temperatur ist, u(t) T 4. Denn ( U V ) T = u(t)

3 aus dem ersten Hauptsatz haben wir du = TdS PdV und folglich ( U V ) T = u(t) = T ( S V ) T P. Wir haben bereits gesehen, dass die freie Energie df = SdT PdV ein vollst. Differential ist. Allg. gilt für vollst. Differentiale df df = f f dx + x y dy A y = A(x, y)dx + B(x, y)dy und wegen = B x und somit ( S V ) T = ( P T ) V f 2 x y = f2 y x gilt

4 Dies setzen wir oben ein, ( U V ) T = u(t) = T ( P T ) V P. Wie wir aber schon herausgefunden haben, ist der Druck der Wärmestrahlung gegeben durch p = u/3, womit wir erhalten, dass u = T du 3 dt u 3 du = 4 dt u T lnu = 4 lnt + const. u = const.t 4

5 Die Energiedichte eines Photonengases im thermodynamischen Gleichgewicht ist also proportional zur Temperatur zur vierten Potenz. Die Berechnung der Proportionalitätskonstanten σ erfordert bereits Konzepte aus der Quantenmechanik. Wie realisiert man ein Photonengas im thermischen Gleichgewicht? Hat ein Körper eine Temperatur T, so strahlt er Photonen ab (Im Wesentlichen, weil die ihn konstituierenden Moleküle und Atome sich thermisch bewegen und mit ihnen ihre elektrisch geladenen Elektronen und Kerne. Beschleunigte elektrische Ladung emitieren, wie wir im nächsten Semester sehen werden, elektromagnetische Strahlung, Licht.). Der Körper kühlt ab weil er durch die Strahlung Energie verliert, seine innere Energie nimmt ab. Könnten wir ihm aber alle abgestrahlte Energie wieder zuführen, so würde sich bald ein Gleichgewicht einstellen. Dies kann erreicht werden, indem wir den Körper in einen inwandig verspiegelten Kasten stellen. Es stellt sich heraus, dass die Wände nicht einmal besonders verspiegelt sein müssen, auch sie werden bald im Gleichgewicht mit dem Körper sein und gleichviele Photonen zurückschicken, wie sie absorbieren, genauso, wie dies der

6 Körper auch tun wird. Die Wände und der Körper absorbieren jetzt gleichviele Photonen wie sie absorbieren, sie sind sogenannte schwarze Körper. Eine Realisierung eines schwarzen Körpers ist links gezeigt. Die Strahlung ist innen gefangen, nur ein kleiner Bruchteil der Strahlung kann durch das kleine Loch entweichen. Deshalb befindet sich die Strahlung innen im Gleichgewicht. Strahlung, die von außen nach innen kommt, wir vollständig absorbiert, eine Definition eines schwarzen Körpers. Wir betrachten nun den Bruchteil der Strahlung, der den schwarzen Körper durch ein Loch, welches gerade einen Raumwinkel von 1 steradian aufspanne, verlassen kann. Der Energiefluss durch die Öffnung ist gleich der Energiedichte mal die Lichtgeschwindigkeit (wie jeder Fluss Dichte mal Geschwindigkeit ist) geteilt durch 8π. Ein Faktor 1/2 kommt aus der Überlegung, dass ja nur der Fluss hinaus interessiert (die Schwarzkörperstrahlung ist isotrop), die restlichen

7 4π wegen des Raumwinkels. Der so definierte Strahlungsfluss lautet J = σt 4, wo σ = (19) 10 8 W/m 2 K 4 und heisst Strahlungsgesetz von Stefan-Boltzmann, σ heisst dementsprechend die Stefan-Boltzmann Konstante. Technisch wird ein schwarzer Körper durch eine Anordnung von mehreren Blenden in einem geheizten Rohr realisiert: Heute werden (wesentlich ausgereiftere und kompliziertere) Radiometer u. a. zur Bestimmung der Solarkonstante verwendet:

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9 Solar irradiance [W cm -2 nm -1 ] Fitted black-body spectrum: Solar Spectrum I=( /λ) 5 /(exp(26269/λ) - 1)) Wavelength [Å] Fit and extrapolation Die Solarkonstante beträgt bei 1 AE Entfernung von der Sonne also S 0 = W/m 2. Sie strahlt, wie links gesehen werden kann, in guter Näherung wie ein schwarzer Körper. Übung: Berechne die Temperatur eines Staubkorns im interplanetaren Raum in Abhängigkeit vom heliozentrischen Abstand. [279 K bei 1 AE]

10 Wir können nicht nur die Gleichgewichtstemperatur eines interplanetaren Staubkorns, sondern auch der Erde berechnen. Das Resultat voriger Übung war ja vom Radius unabhängig! Also müsste die Erde eine Gleichgewichtstemperatur von 279 Grad Kelvin aufweisen - das wäre ungemütlich kühl! Insbesondere wäre die Oberflächentemperatur während der Nacht ja 0 K! Das einfache Modell versagt aus verschiedenen Gründen: Die Erde und insbesondere deren Ozeane, hat bzw. haben eine Wärmekapazität. Diese gleicht die täglichen Temperaturschwankungen aus. Der horizontale (meridionale) Wärmeaustausch wird nicht berücksichtigt. Die Erde ist kein schwarzer Körper, sondern hat eine sog.albedo. Der Treibhauseffekt der Atmosphäre wurde nicht berücksichtigt.

11 Die spektrale Form der Schwarzkörperstrahlung Die Wärmestrahlung eines Körpers ist nicht bei jeder Wellenlänge gleich intensiv. Gegen Ende des neunzehnten Jahrhunderts wurde fieberhaft nach einem allgemein gültigen Gesetz für die funktionale Abhängigkeit gesucht. Mit Erfolg hatte man für den langwelligen (niedrigfrequenten) Bereich der Strahlung die Formel I(ω) = 2ω2 πc 3kT gefunden, das sog. Rayleigh sche Strahlungsgesetz. Dies besagt, dass wir für jede Temperatur starke Ultraviolet- und sehr, sehr viele Röntgenstrahlung haben müssten, was unserer Erfahrung widerspricht. Dies war absurd, und die Leute wussten es, konnten aber keine bessere Erklärung finden!

12 Planck gelang es empirisch einen Zusammenhang zu finden, der auch das Wiensche Verschiebungsgesetz erklärte λ max = b/t, wo b = mk. Zwei Monate später hatte er durch das Einführen eines Wirkungsquantums h, welches die Strahlung quantisierte die korrekte Formel gefunden: I(ν) = 2hν3 c 2 1 e hν/kt 1, bzw.in Abhängigkeit von der Wellenlänge I(λ) = 2c2 h λ 5 1 e hc/λkt 1.

13 Das Wiensche Verschiebungsgesetz K λ max = b/t 5000 K log J [a.u.] 2000 K 1000 K 500 K Rayleigh-Jeans Näherung 200 K Wellenlänge [Å]

14 Keine Herleitung der spektralen Form der Schwarzkörperstrahlung Die Idee, wie sich die spektrale Form der Schwarzkörperstrahlung herleiten lässt, folgt aus der Quantenmechanik. Wir stellen uns einen Ofen aus lauter Oszillatoren bestehend vor. Davon sind einige im Grundzustand, andere in einem ersten angeregten Zustand, etc. Aus der Quantenmechanik wissen wir, dass sich die Zustände jeweils um eine Energie E = hν = hω unterscheiden. Uns interessiert nun die über alle Oszillatoren gemittelte Energie - die mittlere Energie des Körpers bzw. der damit im thermischen Gleichgewicht stehenden Strahlung. Wir bezeichnen mit N 0 die Anzahl Oszillatoren im Grundzustand, mit N 1 die Anzahl im ersten angeregten Zustand, etc. In Analogie (die in der Quantenmechanik begründet wird) mit unserer Überle-

15 gung für die barometrische Höhenformel oder die Maxwell-Boltzmann-Verteilung nehmen wir an, dass die Wahrscheinlichkeit, die Energie E = ihν aufzuweisen auch von der Form exp( Energie/kT) ist, nämlich p i = exp( ihν/kt). Damit ist N 1 = N 0 exp( hν/kt), und allg.n i = N 0 exp( ihν/kt). Wir definieren x. = exp( hν/kt). Die totale Energie des Systems stammt aus der Summe der Energien aller Oszillatoren. Vom Grundzustand kommt kein Beitrag, vom ersten angeregten Zustand kommt N 1 hν = N 0 hνx, vom zweiten N 2 2hν = 2N 0 hνx 2,...,N i ihν = in 0 hνx i. Die mittlere Energie des Systems ist also die totale Energie geteilt durch die Anzahl Oszillatoren E = E tot = N ( 0hν 0 + x + 2x 2 + 3x ) N tot N 0 (1 + x + x 2 + x ) = hν i=0 ixi i=0 xi Die auftretenden Summen können einfach berechnet werden. Oben steht x mal

16 die Ableitung nach x von der unteren. Die Ableitung ist eine lineare Operation und kann vor die Summe gezogen werden. Die Summe i=0 x i = 1 1 x kann nun eingesetzt werden und man erhält nach wenig Rechnen die für die Schwarzköperstrahlung wichtige spektrale Abhängigkeit 1 e hν/kt 1. Eine Konsequenz dieser Erklärung ist die Beobachtung, dass Elektronenaustritt aus Oberflächen nicht von der Intensität des Lichtes, sondern von der Frequenz, also der Energie, der Photonen abhängt (Photoeffekt). Die erforderliche Energie des Photons ist E γ > W A, wo W A die Austrittsarbeit des Materials ist.

17 Absorptions- und Emissionsvermögen realer Strahler Die wenigsten Körper sind schwarze Körper. Wie verhalten sich die soeben gefundenen Gesetze für reale Körper? Dazu betrachten wir den Leslieschen Würfel, ein würfelförmiger Behälter mit vier verschieden beschaffenen Seitenwänden. Im Innern befindet sich heißes Wasser, so dass alle Wände dieselbe Temperatur aufweisen. Wir messen die in einen Raumwinkel dω abgestrahlte Leistung dw dt = E df dω. Sie hängt ab vom Emissionsvermögen E der Oberfläche und von der Größe der Fläche df. Die zwar gleich großen, aber verschieden beschaffenen Oberflächen

18 zeigen verschiedene Emissionsvermögen E. Wir definieren das Absorbtionsvermögen einer Fläche A als den Quotienten von absorbierter Strahlung durch auftreffende Strahlung A. = absorbierte Strahlung auftreffende Strahlung. Für einen schwarzen Körper gilt A = 1, er absorbiert die gesamte auf ihn fallende Strahlung. Das hier definierte Absorptionsvermögen ist also gemittelt über alle Wellenlängen. Im thermischen Gleichgewicht müssen Emission und Absorption im Gleichgewicht stehen, und zwar für alle Frequenzen. Bringen wir in einen Hohlraum der Temperatur T einen weiteren Körper derselben Temperatur, so absorbiert er im Frequenzintervall [ν,ν + dν] auf eine seiner Flächen df aus dem

19 Raumwinkel dω die Leistung dw A dt = A ν S νdfdωdν, wo Sν die spektrale Strahlungsdichte bedeutet (oben I(ν) genannt). Gleichzeitig muss er die Leistung dw E = E dt νdfdωdν emittieren, um im Gleichgewicht zu bleiben. Gleichsetzen der beiden Gleichungen liefert das Kirchhoffsche Gesetz E ν A ν = S ν(t). Für einen schwarzen Körper muss also gelten, dass er dasselbe Emissionsvermögen hat, wie die Hohlraumstrahlung derselben Temperatur.

20 Übung: Erhält eine Pfanne auf dem Herd durch Wärmeleitung oder durch Strahlung mehr Leistung zugeführt? Annahme: Die Pfanne liegt an drei Stellen von ca. 0.1 mm 2 auf, der Rest sei durch Luft isoliert.

21 Pfanne Annahmen: Edelstahlpfanne, Durchmesser D = 20 cm. Abstand d zur Herdplatte im Mittel 0.3 mm, Herdtemperatur 400 Grad Celsius. Wärmeleitfähigkeit von Stahl λ S = 14W/(m K), von Luft λ L = W/(m K). Die Fläche der Auflagepunkte A A = 0.3mm 2 ist wesentlich kleiner, als die der Herdplatte zugewandte Fläche der Pfanne A P = π0.1 2 m 2, selbst wenn man mit der Wärmeleitfähigkeit von Stahl gewichtet. ( ) Q t S = λ S d A A (T H T P ) < λ L d A P (T H T P ) = ( ) Q, t L deshalb vernachläßigen wir die Wärmeleitung durch die Auflagepunkte und ver-

22 gleichen nur noch die Wärmeleitung durch die Luft mit der Wärmestrahlung. ( ) Q t H = σa P (T 4 H T 4 P) und Abstrahlung ( ) Q t P = σ(a P +πdh)(t 4 P T 4 U) wo T U = 20 Grad Celsius die Umgebungstemperatur sei. Die Pfanne wird höchstens 100 Grad Celsius warm (weil sie Wasser enthalten soll), womit wir T P = 100 Grad Celsius einsetzen können. Wärmeleitung durch Luft: 816 W, Wärmezustrahlung: 339 W. (In einer realistischeren Rechnung müssten wir die Abkühlung der Pfanne vorallem durch konvektive Strömungen in der umgebenden Luft berücksichtigen.

23 Strahlungsleistung und -intensität Die Leistung einer Strahlungsquelle ist, wie jede Leistung, als die abgestrahlte Energie pro Zeit definiert, Φ = de dt, die Messung ist von verschiedenen Größen abhängig, wie z. B. die Fläche des Messgerätes (Empfänger), Abstand von der Quelle, Orientierung Quelle-Empfänger, etc. Deshalb wird oft die Strahlungsintensität I verwendet, die wir im Folgenden definieren wollen. Dazu stellen wir uns in einem beliebigen Strahlungsfeld ein Flächenelement dσ mit einer Flächennormalen n vor und betrachten die in einer bestimmten Zeit dt durch dσ in einem Winkel ϑ zu n in einen Raumwinkel dω = dω(ϑ, ϕ) tretende

24 Strahlungsenergie in einem Frequenzintervall [ν,ν + dν], de = I ν (ϑ,ϕ)dν cos ϑ dσ dω ϕ n ϑ dω Die Größe I ν (ϑ,ϕ) wird Strahlungsintensität genannt. Sie beschreibt also die Energiemenge, die pro Sekunde in einen Raumwinkel von 1 steradian im Frequenzbereich 1 Hz durch eine zur Richtung (ϑ,ϕ) stehende Fläche von 1 m 2 strömt. Die Umrechnung in eine Abhängigkeit von der Wellenlänge ist nun einfach, denn mit ν = c/λ folgt dν = c/λ 2 ddλ. Nun muss ja gelten dσ I ν dν = I λ dλ und damit I λ = c λ 2I ν.

25 dσ ϑ r ϑ dσ Um die durch einen von dieser Anordnung im Abstand r stehenden Detektor der Fläche dσ gemessene Energiemenge de pro Zeit dt zu bestimmen, betrachten wir die Figur nebenan. Der Detektor dσ füllt von dσ aus gesehen den Raumwinkel dω = cos ϑ dσ /r 2, folglich de = I ν dν cos ϑ dσ dω bzw. de = I ν dν cos ϑ dσ cos ϑ dσ r 2, denn die Betrachtung könnte auch umgekehrt von Detektor zu Quelle geschehen, de = I ν dν cos ϑ dσ dω, was durch die zweite Hälfte der oberen Gleichung ja gerade ausgesagt wird. Insbesondere bedeutet dies auch, dass die Strahlungsintensität vom Abstand unabhängig ist!

26 Dies entspricht nicht unbedingt unserer Erfahrung, dass die Stärke einer Strahlung mit dem Abstand variiert - wer hält sich schon gerne in unmittelbarer Nähe eines Feuers auf! Die Intensität ist eben nicht diese Stärke, diese Größe kann präziser als Strahlungsstrom πf ν definiert werden, als die Energiemenge, die im Frequenzintervall dν in Richtung n durch das Flächenelement dσ tritt. Mit dω = sinϑ dϑ dϕ haben wir π F ν dσ. = π 0 2π 0 dϑ dϕ I ν (ϑ,ϕ) cos ϑ dσ sinϑ. In einem isotropen Strahlungsfeld (wie die Strahlung in einem schwarzen Körper) ist selbstverständlich πf ν = 0. Es ist deshalb sinnvoll, πf ν in zwei Anteile F ν + und Fν zu zerlegen, einen für die Einstrahlung (π/2 ϑ π), einen für die Ausstrahlung (0 ϑ π/2), womit F ν = F ν + + Fν.