SEMINAR Die konjugierte Funktion. Barbara Pisanec

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1 SEMINAR Die konugierte Funktion Barbara Pisanec 10. Mai 2006

2 Einleitung Mein Seminar handelt von der so genannten konugierten Funktion, ihren grundlegenden Eigenschaften und zugehörigen Rechenregeln (und zwar alles im Eindimensionalen). Die Nummerierung entspricht der des Buches Convex Analysis and Minimization Algorithms Band I von Jean-Baptiste Hiriart-Urruty und Claude Lemaréchal, aus dem auch die Grundlage des Textes sowie die Abbildungen und stammen. Vorab noch ein paar Definitionen und Bezeichnungen, die im Verlauf des Textes benötigt werden: Definitionsbereich von f: dom(f) := {x R : f(x) R} Inneres von dom(f): int(dom(f)) f konvex x, y, λ (0, 1) : f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y) Graph von f: gr(f) := {(x, r) : x R und r = f(x)} Epigraph von f: epi(f) := {(x, r) : x R und r f(x)} Conv(R) = {f : epi(f) ist eine konvexe Menge über R R} f Conv(R), abgeschlossen lim inf x x0 f(x) f(x 0 ) x 0 R Conv(R) = {f : f ist abgeschlossen und konvex } Abschluss von f: cl(f) := sup s,r {sx r : sy r f(y) y R} Konvexe Hülle von f = co(f) g minorisiert f g(x) f(x) x R Involution = selbstinverse Abbildung (z.b. x x, x 1 x ) s Subgradient von f s f = {s : f(y) f(x) + s T (y x) y R} f 1-koerziv f(x) x + für x Infimalfaltung: (f 1 + f 2)(x) := inf{f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 ) : x 1 + x 2 = x} 1

3 6.0 Einführung in die Theorie der konugierten Funktionen DEFINITION Für s R wird die konugierte Funktion von f definiert durch s f (s) := sup {sx f(x) : x dom(f)}. (6.0.1) In der Literatur ist die Konugierte auch bekannt unter den Bezeichnungen Fenchel-Transformierte, (benannt nach dem deutschen Mathematiker Moritz Werner Fenchel ( 03. Mai 1905, 24. Januar 1988)), Legendre-Fenchel- Transformierte, Young-Fenchel-Transformierte, oder (etwas differenzierter) konugiert konvexe Funktion, konugiert konkave Funktion (f (x, s) = inf y {s T y f(x, y) : y R}) oder auch Polfunktion. Da sx eine endliche Zahl ist, kann x ganz R durchlaufen dadurch wird das Supremum nicht geändert; statt (6.0.1) kann man nun die wesentlich einfachere Form schreiben: f (s) = sup [sx f(x)]. (6.0.2) x R BEMERKUNG Man kann (6.0.2) auch noch weiter umformen, und gelangt so zum folgenden (gegenteiligen) Ausdruck: inf [f(x) sx], (6.0.3) x eine Zahl, die sicherlich nicht + ist. Folglich nimmt das Gegenteil f (s) Werte in R {+ } an. Außerdem wird f (s) als eine konvexe Funktion von s gesehen (dazu später mehr). In der Tat bedeuten (6.0.1), (6.0.2) - oder auch (6.0.3): f (s) = sup {sx r : (x, r) epi(f)}. (6.0.4) Diese letzte Schreibweise hat zwei Vorteile: Sie unterdrückt zum einen die f(x) Operation; und zum anderen (und sehr viel wichtiger): Sie interpretiert die Konugations Operation als das Supremum einer linearen Funktion [l s (x, r) := sx r] über einer abgeschlossen konvexen Menge im R 2. (6.0.4) zu berücksichtigen ist edoch ziemlich schwer; die Versionen (6.0.1) oder (6.0.2) werden im Allgemeinen vorgezogen. Von (6.0.4) kann man aber die geometrische Interpretation übernehmen. Dafür betrachtet man für gegebene s und r die affine Funktion a s,r, definiert durch x a s,r = sx r (x R), und die zugehörige Gerade gr(a s,r ) im R 2. Aufgrund der Geometrie eines Epigraphen gibt es zwei Arten von r für ein gegebenes s: Solche, die klein genug 2

4 sind, so dass a s,r f gilt; und ene, die so groß sind, dass a s,r (x) > f(x) für einige x gilt. Ihre gemeinsame Grenze ist das spezielle r = f (s), und zwar wenn die Gerade gr(a s,r ) über epi(f) liegt, oder epi(f) stützt. Ein Spezialfall ist s = 0; hier erhält man: f (0) = inf {f(x) : x R}. (6.0.5) Für ein Minimierungsproblem betrachtet man generell das Verhalten von f(x) für x, da dies auch wichtig für die Bestimmung von dom(f) ist. Seien x 0 dom(f) und s f(x 0 ); dann bildet die entsprechende optimale Gerade gr(f) eine Tangente an den Punkt (x 0, f(x 0 )), mit f (s) = sx 0 f(x 0 ) für das gegebene s BEISPIEL: exp(x) Um nun einen kleinen Eindruck von einer Funktion und ihrer Konugierten zu bekommen, hier ein Beispiel: f(x) = exp(x) f (s) = sup x [sx exp(x)] Definiere h(x) := sx exp(x). h (x) = s exp(x). h (x) =! 0 s = exp(x) ln( s ) = x. f (s) = s ln( s ) exp(ln( s )) = s ln( s ) s, d.h. s ln(s) s, s > 0, f (s) = 0, s = 0,, s < 0. ( dom(f) und dom(f ) müssen nicht unbedingt übereinstimmen.) 3

5 Wird die Konugierte von f noch einmal konugiert, erhält man als Ergebnis die Bikonugierte von f: f (x) := (f ) (x) = sup {sx f (s) : s dom(f )}. Die Transformation f f ist die (eindimensionale Version der) so genannten Fenchel-Transformation, und ist eng verwandt mit der Legendre- Transformation (wofür allerdings die Differenzierbarkeit der Funktion vorausgesetzt wird). 4

6 6.1 Basis-Eigenschaften der Konugierten Die Definition (6.0.1) impliziert direkt die folgende Relation: sx f(x) + f (s) x dom(f), s dom(f ), (6.1.1) (auch Young-Fenchel-Ungleichung oder Fenchel-Young-Ungleichung genannt) SATZ Sei f Conv(R). Dann gilt: die Konugierte von f ist eine abgeschlossene konvexe Funktion (also f Conv(R)), die Bikonugierte von f bildet ihren Abschluss (d.h. f = cl(f)). BEWEIS Die Funktion f nimmt nach Konstruktion ihre Werte in R { } an. Der Definitionsbereich ist nicht leer. Um die Konvexität und Abgeschlossenheit zu zeigen, bastelt man sich am besten eine Familie (f ) J von abgeschlossenen konvexen Funktionen, so dass ein x 0 R mit sup J f (x 0 ) < + existiert. Dann gilt für f = sup J f : f Conv(R). Jetzt braucht man die Form (6.0.4) um f zu definieren: f (x) = sup s,r {sx r : r f (s)}. (6.1.2) Nach Definition von f bedeutet r f (s) das gleiche wie y dom(f) : r sy f(y) d.h. sy r f(y) Mit anderen Worten, (6.1.2) kann folgendermaßen geschrieben werden: f (x) = sup s,r was äquivalent zum Ausdruck cl(f) ist. {sx r : sy r f(y) y dom(f)} Wenn man eine Funktion f konugiert, betrachtet man die Menge aller affinen Funktionen, die sie minorisiert. Dies ist ebenso die Menge aller affinen Funktionen, die cl(f) minorisieren. Es folgt, dass f und cl(f) die gleiche Konugierte haben: Ab etzt gilt also, dass die konvexe Funktion f abgeschlossen ist. Dann zeigt die Beziehung f = f (auch bekannt unter dem Satz von Fenchel-Morau), dass die Legendre-Fenchel-Transformation eine Involution in Conv(R) ist (d.h. selbstinverse Abbildung: f 1 = f) SATZ Sei f Conv(R). Dann gilt: sx = f(x) + F (s) x dom(f), s f(x) (6.1.3) s f(x) x f (s) (6.1.4) 5

7 BEWEIS Es gilt: f (s) = inf {f(x) sx : x R} Definiert man sich eine Funktion g s : x f(x) sx aus ConvR, so hat diese ihr Infimum in x 0 g(x), d.h. f (s) = f(x) sx s f(x). Dies impliziert, dass s dom(f ) ist, und kann wie in (6.1.3) geschrieben werden. Wird das gleiche Ergebnis auf f (abgeschlossen) angewandt, erhält man was wieder (6.1.3) ergibt, da f = f. x f (s) sx = f (s) + f (s), Die Eigenschaft (6.1.3) besagt, dass die Paare (x, s) R 2, für welche die Ungleichung von Young-Fenchel (6.1.1) zur Gleichung wird, exakt den Graphen von f bilden. Im Hinblick auf (6.1.4) erhält man also die Abbildung f durch Invertieren von f, d.h. durch Spiegelung des Graphen an der Geraden s = x (siehe FIGUR (6.1.1)) BEMERKUNG Die obige Umkehr-Eigenschaft zeigt einen neuen und viel nützlicheren Weg auf, die Konugierte zu berechnen: Man differenziert f um f zu erhalten, invertiert dann das Ergebnis und integriert es, um f (bis auf eine additive Konstante) zu erhalten. Kurz gesagt: Df und Df sind zueinander invers. 6

8 6.2 Differenzieren der Konugierten In diesem Abschnitt wird nun versucht, die folgende Frage zu beantworten: Welche Differentiationsmöglichkeiten können von f erwartet werden und braucht man dafür von f etwas mehr als nur Konvexität? Sei s 0 int(dom(f )). Betrachte die Aussage Nach SATZ bedeutet dies f ist differenzierbar in s 0. eindeutige Lösung für die Gleichheit (in x) : f(x) s 0, (6.2.1) was durch die Schlüsseleigenschaft f ist monoton wachsend im Definitionsbereich, (6.2.2) impliziert wird (in dem Sinne, dass f(x 1 ) < f(x 2 ) für x 1 < x 2 ). Diese letzte Eigenschaft ist äquivalent zu f ist streng konvex (6.2.3) Damit erhalten wir: SATZ Sei f streng konvex. Dann ist f differenzierbar im Inneren des Definitionsbereichs und s int(dom(f )) gilt: wobei x(s) die eindeutige Lösung von ist. BEWEIS Df (s) = x(s), s f(x) oder sx f(x) = f (s) oder min x [f(x) sx] Dass f differenzierbar in int(dom(f )) ist, folgt aus der obigen Aussage. Definiere nun g(x, s) := f(x) + f (s) sx und sei für beliebige x, s R : g(x, s) 0. Dann erhält man für gegebene x, s R mit sx = f(x) + f (s) (d.h. g(x, s) = 0) das Minimum von g. Fixiert man s = s 0, so ist g(x, s 0 ) nach x differenzierbar mit 0 = d dx g(x, s 0) = f (x) s, also ist s f(x). Analog für x: Sei f in s differenzierbar. Fixiert man nun x = x 0, dann ist g(x 0, s) nach s differenzierbar mit 0 = d ds g(x 0, s) = f (s) x, also ist x = f (s). 7

9 BEMERKUNG Die Umkehrung von SATZ gilt nicht, wenn f im Inneren des Definitionsbereichs differenzierbar ist, aber f nicht streng konvex. Ein Gegenbeispiel: { 1 f(x) := 2 x2, x 1 x 1, (6.2.4) 2, x 1 und ihre Konugierte: { 1 f (s) = 2 s2, s s2 + 1 [ 1,1] (s) = +, s > 1. Die einzige Erklärung dafür ist, dass (6.2.2) nicht aus (6.2.1) folgt. Genauer gesagt, verschiedene x 1 und x 2 dürfen einen nicht-leeren Durchschnitt f(x 1 ) f(x 2 ) s 0 haben, sofern s 0 Rand(dom(f )). Einige zusätzlichen Annahmen sind also notwendig, um einen solchen Fall auszuschließen SATZ Sei f : R R streng konvex, differenzierbar und 1-koerziv (d.h. f(x) x Dann gilt: (i) f besitzt die gleichen Eigenschaften, und s R: (ii) es existiert eine eindeutige Lösung der Gleichung Df(x) = s, (iii) f (s) = s(df) 1 (s) f((df) 1 s). + ). BEWEIS Als erstes fordert man, dass die 1-Koerzivität von f (welche äquivalent zu f (1) = f ( 1) = + mit f (d) f(x := lim 0+td) f(x 0) t + t ist) bedeutet: Tatsächlich gilt für x > 0: lim Df(x) = x + Df(x) lim x f(x) f(0). x Df(x) = + Für x + konvergiert die rechte Seite gegen f (1); f (1) = + impliziert also Df(x) +. Um die Umkehrung zu zeigen, sei x + in der Ungleichung Df(x) f(x + 1) f(x) f (1), welche aus der Eigenschaft der wachsenden Steigung stammt. Der gleiche Beweis funktioniert analog für x und begründet die obige Forderung. Aufgrund der Äquivalenz zwischen (6.2.2) und (6.2.3) sieht man, dass Df eine Biektion von R auf R ist; ihre Umkehrung (Df) 1 = Df ist ebenfalls eine. Damit folgt die Behauptung. 8

10 6.2.3 BEISPIEL: cosh(x) Die Funktion f(x) = cosh(x) erfüllt die Voraussetzungen von SATZ Die Inverse zu Df(x) = sinh(x) ist Df (s) = (sinh) 1 (s). Man erhält ohne weiteres eine Veranschaulichung von (iii): f (s) = s(sinh) 1 (s) 1 + s 2. Die 1-Koerzivität von f, die durch (i) impliziert wird, ist edoch auf den ersten Blick nicht sichtbar. Man betrachte nun das (komplexere) Problem der zweifachen Differentiation von f : BEISPIEL Die folgende Funktion ist konvex, 1-koerziv und überall zweimal differenzierbar: { 0, falls x 1, f(x) = 1 3 ( x 1)3, sonst. Dennoch existiert von f (s) = 2 3 s s in s = 0 noch nicht einmal die erste Ableitung. (Es existieren viele weitere Beispiele, die verdeutlichen können, dass sich die Differenzierbarkeit von f nicht immer auf f überträgt. Diese würden edoch den Rahmen dieses Seminars sprengen.) 9

11 Der tiefere Grund hierfür ist, dass das Konzept von f den gesamten Definitionsbereich von f betrachtet, also einen globalen Charakter hat. Daher ist die Glattheit von f eine trickreiche Angelegenheit SATZ Angenommen, f Conv(R) ist zweimal differenzierbar in x 0 mit D 2 f(x 0 ) > 0. Dann ist f ebenso zweimal differenzierbar in s 0 = Df(x 0 ) und es gilt: BEWEIS D 2 f (s 0 ) = 1 D 2 f(x 0 ). Als erstes fordert man, dass f differenzierbar in s 0 mit Ableitung x 0 ist. Tatsächlich ist x 0 f (s 0 ) nach (6.1.4). Bleibt noch für beliebiges x f (s) zu zeigen: x x 0 1 s s 0 D 2 f(x 0 ) > 0 für s s 0. Dazu benutzt man, dass aus s f(x) und mit Hilfe des Differenzenquotienten der zweiten Ableitung folgt: also: f(x + h) Df(x) h h 0 D 2 f(x), s s 0 x x 0 D 2 f(x 0 ). Mit x x 0 und D 2 f (s 0 ) = s s 0 folgt die Behauptung. Als Resultat lässt sich die folgende Vermutung aufstellen: f Conv(R) ist überall in int(dom(f)) zweimal differenzierbar mit D 2 f > 0. Dann besitzt f die gleichen Eigenschaften, edoch nur in der Bildmenge Df(int(dom(f)). Eine einseitige Version von SATZ kann ebenso wie in SATZ geschrieben werden. Die globale Version, die man durch die C 1 -Parametrisierung von SATZ 6.2.1: Df = (Df) 1, erhält, lautet: KOROLLAR Angenommen, f ist 1-koerziv, zweimal differenzierbar in R und überall gilt D 2 f > 0. Dann besitzt f die gleichen Eigenschaften und es gilt: D 2 f = 1 D 2 f (Df) 1 10

12 BEWEIS Der Beweis ist analog zum Beweis von SATZ Zur Illustration siehe BEISPIEL 6.2.3: D 2 f(x) = cosh(x) und D 2 f (s) = 1 + s 2. 11

13 6.3 Rechenregeln Der letzte Abschnitt befasst sich schließlich mit dem Effekt einiger Operationen auf die konugierte Funktionen genauer gesagt mit der Infimal-Faltung und der Abschluß-Konvexifizierung SATZ Seien f 1 und f 2 zwei (abgeschlossene) konvexe Funktionen, die von einer gemeinsamen affinen Funktion minorisiert werden. Dann gilt: BEWEIS Für s R gilt: BEMERKUNG (f 1 + f 2) = f 1 + f 2 (6.3.1) + (f 1 2) (s) = sup {sx inf 1(x 1 ) + f 2 (x 2 )]} x x 1+x 2=x = sup x 1+x 2=x [s(x 1 + x 2 ) f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 )] = sup x 1,x 2 [s(x 1 + x 2 ) f 1 (x 1 ) f 2 (x 2 )] = sup x 1 [sx 1 f 1 (x 1 )] + sup x 2 [sx 2 f 2 (x 2 )] = f 1 (s) + f 2 (s) Ein weiteres Resultat ist: Wenn f 1 und f 2 zwei abgeschlossene konvexe Funktionen sind und in einem gemeinsamen Punkt endlich sind, dann gilt: (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2. (6.3.2) Um dies zu beweisen, überprüft man, ob die zwei Funktionen f 1 und f 2 die Voraussetzungen von SATZ erfüllen, und ob ihre Konugierten f 1 und f 2 sind; hieraus folgt dann: (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2. Berechnet man nun die Konugierte von beiden Seiten, bekommt man direkt (6.3.2), da die Infimal-Faltung (zumindest im Eindimensionalen) abgeschlossen ist. In höheren Dimensionen können edoch Schwierigkeiten bei der Ausführung von (6.3.2) auftreten, da dort die Abgeschlossenheit der Infimal-Faltung nicht mehr gewährleistet ist. Betrachtet man erneut den Spezialfall s = 0, so erhält man die folgende interessante Beziehung: inf [f 1(x1) + f 2 (x)] = (f 1 + f 2 ) (0) x R = inf s R [f 1 (s) + f 2 ( s)], 12

14 welche als (die eindimensionale Version von) Fenchel s Dualitäts-Theorem bekannt ist aber auch hier gilt dies nicht für mehrere Variablen. Die Formulierungen (6.3.1) und (6.3.2) zeigen, dass die Addition von Funktionen und ihre Infimal-Faltung zueinander duale Operationen sind. Die Supremums- Operation ist komplexer: Sie ist dual zu einer Operation, die bisher noch nicht vorgekommen ist, nämlich die Berechnung der abgeschlossenen konvexen Hülle einer nicht-konvexen Funktion. In der Tat ist die Konvexität von f keineswegs notwendig, um die Konugierte (6.0.1) zu definieren. Allerdings braucht man hierfür noch gewisse Voraussetzungen. Das Ergebnis ist sinnvoll, sobald gilt: (i) f ist nicht identisch + (sonst wäre f ) (ii) f wird minorisiert von einigen affinen Funktionen (sonst wäre f + ). Kurz gesagt: Die Konugations-Operation kann perfekt auf ede Funktion f angewendet werden, die die Bedingungen (i) und (ii) erfüllt. Betrachtet man nochmal den Beweis zu SATZ 6.1.1, sieht man, dass die Bikonugierte von f das punktweise Supremum von allen affinen Funktionen ist, die f minorisieren. Der Eipgraph von f erscheint als die konvexe Hülle von epi(f) (wie in FIGUR angedeutet). Im Hinblick auf diese Bemerkung kann nun eine bessere Notation benutzt werden: f = cl(co(f)) = cof. (6.3.3) Diese letzte Funktion erscheint als die Abschluss-Konvexifizierung von f, d.h. die größte abgeschlossene und konvexe Funktion, die f minorisiert (normalerweise gilt: cof f) SATZ Sei {f } J eine Folge von Funktionen nicht identisch +, die alle von einer gemeinsamen affinen Funktion minorisiert werden. Dann erfüllt die Funktion f := inf J f die Bedingungen (i) und (ii), und ihre Konugierte ist (inf f ) = sup(f ). (6.3.4) 13

15 BEWEIS Zu (i): Zu (ii): f + J = inf f < +. Zu (6.3.4): J : f wird minorisiert von einer gemeinsamen affinen Funktion = inf f wird minorisiert von einer affinen Funktion. sup [f ] = sup = sup x = sup x = sup x = (inf [sup x [sup [sx + sup [sx inf [f ]) [sx f ]] [sx f ]] [ f ]] [f ]] KOROLLAR Sei {g } J eine Folge von Funktionen in Conv(R), und es werde angenommen, dass ein x 0 mit sup J g (x 0 ) < + existiert. Dann gilt: BEWEIS (sup g ) = co(inf g ) SATZ angewandt auf f = g ergibt (inf g ) = sup g = sup g. Die Behauptung folgt aus (6.3.3), wenn von beiden Seiten die Konugierte berechnet wird BEISPIEL: Minimierungsproblem Gegeben seien zwei beliebige Funktionen ϕ und c aus der gleichen beliebigen Menge Y aus R. Betrachte die (abgeschlossene und konvexe) Funktion R x g(x) := sup {xc(y) ϕ(y) : y Y }, (6.3.5) wobei angenommen wird, dass g(x 0 ) < + für einige x 0 R gilt. Mit Hilfe der Notation g y (x) := xc(y) ϕ(y) y Y, x R 14

16 kann SATZ anwendet werden, um g zu berechnen. Man erhält direkt g (s) = co [ inf y Y g y(s)], (6.3.6) so dass die Konugierte von eder Funktion g y einfach zu bestimmen ist: { gy(s) ϕ(y), s = c(y) = sup x [(s c(y))x + ϕ(y)] = +, sonst. Diese Berechnung ist in der Optimierung von Interesse: Betrachte das (abstrakte) Minimierungsproblem mit einer Nebenbedingung inf ϕ(y) c(y)=s, y Y (6.3.7) Hier ist die rechte Seite der Nebenbedigung durch s R parametrisiert. Der optimale Wert ist eine Funktion mit einem Parameter, etwa P (s) (gewöhnlich die Werte-Funktion oder auch Rand-Funktion genannt). Diese Funktion kann umgeschrieben werden: P (s) = inf {g y(s) : y Y }. Man bedenke, dass P keine spezielle Struktur besitzt, da keine Voraussetzungen an Y, ϕ, c gestellt wurden, außer dass g + (in (6.3.5)). Nichtsdestotrotz besagt (6.3.6), dass die abgeschlossene konvexe Hülle von P die Konugierte von g ist: g = co(p ). Insbesondere wenn P abgeschlossen und konvex ist, erhält man aus (6.0.5): In Anlehnung an (6.3.7) bedeutet dies: inf g = g (0) = P (0). sup inf [ϕ(y) xc(y)] = inf{ϕ(y) : c(y) = 0} x R y Y Die abgeschlossene konvexe Hülle einer Funktion ist ein wichtiges Obekt für die Optimierung, obwohl sie nicht einfach zu berechnen ist. Ein Grund dafür ist, dass die Minimierung von f bzw. die Minimierung von co(f) äquivalente Probleme sind im folgenden Sinne: x minimiert f [x minimiert co(f) und co(f(x)) = f(x)] Es kann sogar noch mehr gezeigt werden: THEOREM Sei f : R R eine differenzierbare Funktion mit Ableitung Df. Dann gilt: x minimiert f über R Df(x) = 0 und co(f(x)) = f(x), in diesem Falle ist co(f) differenzierbar und minimal in x. 15

17 BEWEIS Die Bedingung Df(x) = 0 ist bekanntlich notwendig, um die differenzierbare Funktion f zu minimieren. Mehr noch: Die (konstante) affine Funktion, definiert durch l(x) f(x), minimiert f (da l co(f(x))) und stimmt mit f in x überein (da l(x)) = co(f(x)). Umgekehrt: x erfülle Df(x) = 0 und co(f(x)) = f(x). Da co(f) f, gilt nun: co(f(x + h)) co(f(x)) h Sei h 0, dann erhält man: f(x + h) f(x) h h > 0. D + co(f(x)) Df(x) = 0 f(x) f(x (mit D + f(x 0 ) := lim 0) f(x) f(x x x0 x x 0 und D f(x 0 ) := lim 0) x x0 x x 0 ). Auf der anderen Seite erfüllt die konvexe Hülle co(f) die Bedingung D co(f) D + co(f); damit gilt Dco(f(x)) = 0 und cof ist minimal in x, ebenso wie f. Damit x (= stationärer Punkt von f) auch ein Minimum von f ist, muss co(f(x)) = f(x) erfüllt sein. Das Beispiel in FIGUR hilft beim Verstehen der letzten Eigenschaft: Die Funktion (x 2 1) hat die Minima ±1, und 0 ist ausgeschlossen. Es ist bemerkenswert, dass die Bedingung Df(x) = 0 rein lokal ist und keinen Hinweis zur Minimalität von x gibt, geschweige denn zur Maximalität. Angenommen, f habe nur eine einseitige Ableitung; wenn die stationäre Bedingung Df(x) = 0 ersetzt wird durch D f(x) 0 D + f(x), dann gilt THEOREM nicht mehr (siehe den rechten Teil von FIGUR 6.3.1). Im Gegensatz dazu hat die Bedingung co(f(x)) = f(x) globalen Charakter. 16

18 Inhaltsverzeichnis 6.0 Einführung in die Theorie der konugierten Funktionen BEMERKUNG BEISPIEL: exp(x) Basis-Eigenschaften der Konugierten SATZ SATZ BEMERKUNG Differenzieren der Konugierten SATZ SATZ BEISPIEL: cosh(x) BEISPIEL SATZ KOROLLAR Rechenregeln SATZ SATZ KOROLLAR BEISPIEL: Minimierungsproblem THEOREM