Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik: Eine Studie auf der Basis von Finite-Elemente-Simulationen mit dem Complete Electrode Model

Transkript

1 Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik: Eine Studie auf der Basis von Finite-Elemente-Simulationen mit dem Complete Electrode Model Carsten Rücker 1 Jan Igel 2 Oliver Mohnke 3,4 Thomas Günther 2 1 Universität Leipzig 2 Leibniz-Institut für Angewandte Geophysik Hannover 3 RWTH Aachen 4 Technische Universität Berlin 4. März 2008

2 Motivation Was wir schon immer über den Einfluss von Elektroden in der Geoelektrik wissen wollten. Stahlspieße in der Geoelektrik Nägel, Schrauben und Stifte am Baum oder Modelltrog Pads in der medizinischen EIT Bei der Simulation (Modellierung) und der Rekonstruktion (Inversion) werden diese durch Punktquellen approximiert Wie beinflusst die räumliche Form und der Übergangswiderstand einer Elektrode unsere Messung? C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 2 /19

3 Herangehensweise Definition eines physikalischen Modells Mathematische Beschreibung des Modells und numerische Umsetzung mittels FEM Verifikation der numerischen Lösung mit einer bekannten Lösung Anwendung an einem Beispiel aus der Modell-Geoelektrik C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 3 /19

4 Geoelektrik Randwertaufgabe (σ u) = j in Ω IR 3 ( ) u σ n + αu = 0 auf Γ = Γ O Γ I α = 0 auf Γ O, sonst α = Dey & Morrison(1979) Punktelektroden singuläre Quellfunktion j = Iδ(r r quelle ) cosθ(r n) r nach C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 4 /19

5 Complete Electrode Model nach Cheng et al Shunt-Modell Der Anschluss der Elektrode an das Modellgebiet über diskrete Elektrodenoberfläche Die Stromdichte der Einspeisung wird auf die Oberfläche der Elektrode verteilt Kontaktimpedanz Berücksichtigt den Übergangswiderstand zwischen Elektrode und Umgebung C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 5 /19

6 Das Complete Electrode Modell (CEM) Randwertaufgabe der Geoelektrik mit Elektroden Kontinuitätsgleichung Allgemeine Randbedingung Shunt-Model Kontaktimpedanz z l (σ u) = 0 in Ω IR 3 σ( u n + αu ) R Γ E σ u l n ds = 0 auf Γ = (Γ O Γ I )\Γ E = I l u + z l σ u n = U l, z l in Ωm 2 l = 1...Elektrodenanzahl Zusatzbedingung bei abgeschlossenen Gebieten Z Z j = 0 und u = 0 Γ Γ C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 6 /19

7 Die Finite Elemente Methode Finite Elemente Formulierung u u h = A (E) S = Z N n=1 [ AS + A N n U n = z A V A T V A D Ω E σ N i N j dω mit A (El) z = Z A (El) 1 V = N i d Ω A D = E l Γ El z l z l Z ][ U V l ] [ 0 = I l Γ El 1 z l N i N j d Ω ] C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 7 /19

8 Netzvorbereitung Elektroden Formen durch PLC definierbar z. Bsp. Quader, Zylinder, halbes Ellipsoid kompliziertere Formen durch externe Modellierungsprogramme z. Bsp.: AutoCAD, Blender etc. Tetgen generiert aus PLC das FEM-Netz C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 8 /19

9 FEM-Netz Stromquelle als Punkt Stromquelle als Halbellipsoid C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 9 /19

10 Shunt-Modell Potentialverteilung Logarithmisch äquidistante Äquipotentiallinien Ellipsoid mit Länge 0.5 m Halbachse 0.1 m Stromeinspeisung über Elektrodenoberfläche Potential auf Elektrodenoberfläche konstant C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 10 /19

11 Referenzlösung Linienelektrode nach Sommerfeld (1967) u(x,y,z) = I 8πσ 0 l ln z + l + x 2 + y 2 + (z + l) 2 z l + x 2 + y 2 + (z l) 2 l = Länge der Linie, gilt nur im homogenen Vollraum Ellipsoid-Elektrode nach Militzer and Weber (1985) u(x,y,z) = I 4πσ 0 e ln z + e + x 2 + y 2 + (z + e) 2 z e + x 2 + y 2 + (z e) 2 mit e = l 2 d2 4 l = Länge, d = Durchmesser, gilt im homogenen Halbraum C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 11 /19

12 Vergleich mit der analytischen Lösung für das Ellipsoid fem analytisch Potential u [V] Abstand zur Quelle [m] Error [%] C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 12 /19

13 Lösung mit unterschiedlicher Kontaktimpedanz Kontaktimpedanz 10 6 Ohm m 2 Elektrode wirkt wie leitfähige Inhomogenität Kontaktimpedanz 10 6 Ohm m 2 Elektrodenwirkung ähnlich der eines Hohlraumes C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 13 /19

14 Quantifizierung des Effekts Potential u [V] Kontaktimpedanz Ohm m 2 d=0.2 d=0.1 d=0.05 d=0.02 d=0.01 Pol-Pol Messung zwischen 2 Elektroden mit 0.5 m Länge mit 1 m Abstand, d = Elektrodendicke [m] Kontaktimpedanz Max. Abweichung durch unbekannte Kontaktimpedanz d[m] rel. Diff % % % % % C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 14 /19

15 Probezylinder Probezylinder mit speziellen Elektroden Zylinder 0.8 m, 0.3 m Durchmesser mit 16 Elektroden in einer Ebene Dank an M. Furche (BGR) C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 15 /19

16 Probezylinder: Beispielstudie Geometriefaktoren für verschiedene Separationen Sep. 1 Sep. 2 Sep. 3 Mess XY-Schnitt durch PLC des Probezylinders C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 16 /19

17 Probezylinder: Beispielstudie Geometriefaktoren für verschiedene Separationen Sep. 1 Sep. 2 Sep. 3 Mess Punktq rel. Abweichung zum gemessenen Geometriefaktor Sep. 1 Sep. 2 Sep. 3 Punktq % -3 % -1.8% Potentialverteilung mit Knotenquelle C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 16 /19

18 Probezylinder: Beispielstudie Geometriefaktoren für verschiedene Separationen Sep. 1 Sep. 2 Sep. 3 Mess Punktq z l = z l = Potentialverteilung mittels CEM rel. Abweichung zum gemessenen Geometriefaktor Sep. 1 Sep. 2 Sep. 3 Punktq % -3 % -1.8% z l = % -0.9 % -1.1% z l = % -1.3 % -1.1% C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 16 /19

19 Fazit Der Effekt durch Form und Übergangswiderstand einer Elektrode kann berechnet werden Relativ kleiner Effekt der dadurch unseren bisherigen Näherungen entspricht Speziell bei kleinskaligen Messungen sollte der Effekt berücksichtigt werden Berücksichtigung von leitfähigen Störkörpern (Spundwand, verrohrte Bohrung) im Gebiet mittels CEM möglich Einfache Integration in Inversion durch verbessertes Primärpotential für die Drei-Gitter-Technik C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 17 /19

20 Geoelektrische Profile Linienelektrode Arrays mit 7 Elektroden und 1 m Abstand, variable Stecktiefe geometry effect 0.9 pole pole1 pole pole2 Wenner alpha1 Wenner alpha2 Wenner beta1 Wenner beta2 Dipole dipole electrode length in m Geometrieeffekt in Abhängigkeit zur Stecktiefe C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 18 /19

21 Geoelektrische Profile Ersatzelektrode Arrays mit 7 Elektroden und 1 m Abstand, fixe Stecktiefe 0.4 m pole pole1 pole pole2 Wenner alpha1 Wenner alpha2 Wenner beta1 Wenner beta2 deviation in % point depth in m Genauigkeit der Ersatzquelle gegenüber einer Linienelektrode C. Rücker, J. Igel, O. Mohnke & T. Günther Die Elektrodengeometrie in der Geoelektrik 19 /19