Die theoretischen Grundlagen (Elektrostatik) wurden im 1. Kapitel bereits behandelt.

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1 ELEK_02_12.docBibliothek Seite Vierpunkt Verfahren zur Widerstandsmessung Klassisch bestimmt man den Widerstand eines Körpers (z.b. eines Drahtes) unter Verwendung des speziellen Ohm schen Gesetzes: R=U/I, R in {Ω=V/A}. Der Widerstand R ist dabei abhängig von dem spezifischen Widerstand ρ in Ωm sowie von der Länge und der Querschnittsfläche des Drahtes. Aus dem allgemeinen Ohm schen Gesetz j = σ E = E/ρ bzw. ρ = E/j kann das spezielle Ohm sche Gesetz R = U/I gewonnen werden, wenn für die Umrechnung folgende Größen verwendet werden: j = A/m 2, E = Volt/m, ρ = Volt m/a = Ω m. Um in der Geophysik den spezifischen Widerstand des Untergrundes zu bestimmen, kann man i.a. nicht in den Körper eindringen oder Stücke aus ihm herausschneiden, sondern man muß ρ von der Oberfläche aus bestimmen. Hierfür wurden die Mehrpunktverfahren entwickelt. Die theoretischen Grundlagen (Elektrostatik) wurden im 1. Kapitel bereits behandelt Elektrische Punktquellen im Vollraum und an Grenzflächen isotroper und homogener Körper Wir betrachten, unter Nutzung der Ableitungen aus Kapitel 1, eine Punktladung Q und den Fluß des elektrischen Feldes j df durch eine Kugeloberfläche mit der Punktladung im Zentrum. Abbildung zur Ableitung der Formel für den Vollraum Es ist: Strom I = Stromdichte j x Fläche = j df = j 4 π r 2 und j = I / 4 π r 2 Mit E = grad U und j = (1/ρ) E ist j = (1/ρ) U/ r U/ r = ρ j = I ρ/4 π r 2 U(P) = I ρ/4 π r = [I ρ/4 π] (1/r) Die Potentialdifferenz zwischen 2 Punkten P 1 und P 2 ist gegeben durch: U 1,2 = U(P 2) U(P 1 ) = (I ρ/4 π) ( 1/r 2 1/r 1 ) und somit ρ = 4 π [ U 1,2 / I ] / [ 1/r 2 1/r 1 ] Sofern man sich in einem Vollraum befindet, kann man durch die Einspeisung eines Stroms I in den Untergrund (z.b. durch Bohrungen) und die Messung der Potentialdifferenz zwischen 2 Meßpunkten die Größe ρ bestimmen. Die Formel ist auch bei Messungen im Bergwerk verwendbar. a) Messungen an der Oberfläche eines Halbraums, Grenzbedingungen Der Halbraum unten (Boden) leitet der Strom wesentlich besser als der obere Halbraum (Luft). In der Nähe der Grenze verlaufen die Feldlinien des elektrischen Feldes einer Punktladung nicht mehr radial nach außen, sondern biegen in der Nähe der Grenze ab und verlaufen parallel zur Grenze. Verlauf der elektrischen Feldlinie nahe der Grenze Boden/Luft. In der Grenze gilt folgende Grenz bzw. Stetigkeitsbedingung: 1

2 ELEK_02_12.docBibliothek Seite Die Vertikalkomponente von j muß in der Grenzfläche stetig sein, während sich die Horizontalkomponente unstetig ändern kann, so können z. B. parallel zur Grenze im Leiter beliebig große Ströme fließen, in der Luft ist I = 0. Es muß also sein: j z = σ E z = σ grad z U = 0. Die Grenzbedingung bewirkt, daß an der Grenze Leiter/Nichtleiter sich keine Ladungen stauen können, vielmehr werden sie seitlich abgeleitet. Die Grenzbedingung, die an der Grenze Leiter/Nichtleiter plausibel erscheint, gilt natürlich auch an Grenzen verschieden guter Leiter im Innern der Körper. Die Grenzbedingung wird erfüllt, wenn man der Ladung Q im unteren Halbraum eine virtuelle Spiegelladung Q* im oberen Halbraum entgegensetzt. Ladung Q im unteren und Spiegelladung Q* im oberen Halbraum Die Entfernungen r zur Ladung und r* zur Spiegelladung sind gegeben durch: r = [(x ξ) 2 + (y η) 2 + (z ζ)2 ] und r* = [(x ξ) 2 + (y η) 2 + (z+ζ)2 ] Für das Potential wird die Summe der Potentiale der Ladung Q und der Spiegelladung Q* angesetzt: U(P) = [I ρ/4 π] [1/r + 1/r*] Im Rahmen einer Übungen läßt sich überprüfen, ob dieser Ansatz die Stetigkeitsbedingung j z = σ E z = σ grad z U = 0 in der Grenzfläche erfüllt. Die Potentialdifferenz zwischen den Meßpunkten P 1 und P 2 ist: U = U(P 2 ) U(P 1 ) = [I ρ/4 π] [1/r 2 + 1/r 2 * 1/r 1 1/r 1 *] Hat man zwei Quellen Q + und Q im Vollraum in der Nähe der Grenze, so kommt noch eine zweite Spiegelladung (die von Q ) hinzu) und es ergibt sich folgender komplizierter Ausdruck für das Potential: U=U(P 2 ) U(P 1 ) = = [I ρ/4 π] [(1/r 2+ +1/r 2+ * 1/r 2 1/r 2 *) (1/r 1+ +1/r 1+ * 1/r 1 1/r 1 *)] = [I ρ/4 π] [1/L 2 1/L 1 ] = [I ρ/4 π] [1/L 1,2 ] Daraus ergibt sich ρ = 4 π ( U/I) L 1,2 An den Punkten Q 1,2 wird der Strom I eingespeist, während an den Punkten P 1,2 die Spannungsdifferenz U abgegriffen wird. Bei kommerziellen Apparaturen werden nach einer international eingeführten Nomenklatur mit A und B die Stromeinspeisungen, und mit M und N die Spannungsabgriffe bezeichnet. Grundprinzip der Vierpunktmethode, Q 1,2 und S 1,2 im Vollraum Wenn Quell und Aufpunkte an der Oberfläche liegen, so sind die Distanzen zu den Ladungen Q und zu den Spiegelladungen Q* gleich groß, wodurch sich die Formel für das Potential vereinfacht. Anstelle des Faktor 4π tritt ein Faktor 2π auf. Es ist: 2

3 ELEK_02_12.docBibliothek Seite U=U(P 2 ) U(P 1 ) = [I ρ / 2 π ] [1/L 1,2 ] Daraus ergibt sich: ρ = 2 π ( U/I) [1/r 2+ 1/r 2 1/r /r 1 ] 1 = 2 π ( U/I) L 1,2 Grundprinzip der Vierpunktmethode, Q 1,2 und S 1,2 in der Fläche b) Besondere Elektrodenanordnungen Durch eine besondere Anordnung der Elektroden in der Oberfläche vereinfachen sich die oben abgeleiteten Beziehungen für die Potentialdifferenzen zum Teil in verblüffender Weise und führen zu einfachen Formeln. Wenner Anordnung, Definition der Meßgrößen Die Quellen Q + und Q sowie die Punkte P 1 und P 2 liegen in einer Linie und haben jeweils den Abstand a voneinander. Es ergibt sich die einfache Formel (Ableitung: s. Skript): ρ = 2 π ( U/I) a Schlumberger Anordnung, Definition der Meßgrößen Die Quellen Q + und Q sowie die Punkte P 1 und P 2 liegen in einer Linie zentrisch zu einem Mittelpunkt, aber in unterschiedlichen Abständen L bzw. S. Es ergibt sich die einfache Formel (Ableitung: s. Skript): ρ = ( U/I) (π/4) [(L 2 S 2 )/S] Dipol Dipol Anordnung, Definition der Meßgrößen Die Quellen Q und die Aufpunkte P bilden zwei Dipole im Abstand a in Reihe. Die Distanz der beiden Dipole beträgt n a. Die Formel für ρ lautet: ρ = ( U/I) π [n (n + 1) (n + 2) a] Diverse Vierpunkt Anordnung mit Formeln für ρ Diskussion der Vor und der Nachteile der einzelnen Anordnungen Potentialverteilung bei inhomogenem, anisotropem Untergrund Die elektrische Leitfähigkeit σ bzw. ihr Kehrwert 1/σ = ρ sind in diesem Fall nicht mehr als Skalar zu betrachten, sondern als Tensor 2. Stufe, wie schon früher erwähnt. Das elektrische Feld und der Strom sind in diesem Fall nicht mehr exakt parallel zueinander. Es ist möglich, über Modellannahmen aus den anisotropen Meßgrößen von σ repräsentative Mittelwerte zu berechnen. Eine ausführliche Diskussion überschreitet aber den Rahmen einer Grundvorlesung. Hier sei auf das Skript und Spezialvorlesungen verwiesen. 3

4 ELEK_02_12.docBibliothek Seite Geschichteter Untergrund (1D Leitfähigkeitsverteilung) 1D Leitfähigkeitsverteilung, geschichteter Untergrund, Cagniard Fall Wenn man in einem solchen Fall z.b. mit einer Wenner Anordnung ρ bestimmen möchte, so fällt auf, daß der sich aus den Messungen ergebende Wert von der Auslage (Wert a) abhängt. Die bisherige Theorie ist also nicht mehr gültig. Neben der Grenzfläche Boden/Luft gibt es weitere Grenzflächen im Innern des Modells, an denen der Wert für ρ sich sprunghaft verändert. Auch an diesen internen Grenzflächen gilt die Stetigkeitsbedingung für j z. Für eine Ladung Q gibt es nicht nur eine Spiegelladung Q* oberhalb der Grenze Boden/Luft, sondern auch an der Grenze der Schicht 1 zur Schicht 2. Diese Spiegelpunkte werden wieder an sämtlichen anderen Grenzflächen gespiegelt, sodaß man es letztlich mit unendlich vielen Spiegelpunkten zu tun hat, die allerdings immer größere Abstände r zum Punkt P besitzen. Einfachster Fall: Deckschicht der Dicke d mit ρ = ρ 1 über einem Halbraum mit ρ = ρ 2. Deckschicht über einem Halbraum mit Mehrfachspiegelung von Q Das Potential U(P) im Punkt P kann für das Modell einer Deckschicht über einem Halbraum durch folgende Reihenentwicklung dargestellt werden (Ableitung: siehe Spezialliteratur, und altes Skript): U(P) = [ I ρ / 4 π ] [1/r 0 + 1/r 0 + K/r 1 + K/r 1 + K2 /r 2 + K2 /r ] Dabei ist K = (ρ 2 ρ 1 ) / (ρ 2 + ρ 1) Wenn Q und P in der Ebene z = 0 liegen, so vereinfacht sich die unendliche Summe zu folgendem Ausdruck: U(P) = [ I ρ / 4 π ] [1/r Kn / (r 02 + (2nd) 2 ) ] Für eine Wenner Anordnung erhält man als Potentialdifferenz zwischen den Punkten P 1 und P 2: U(P) = [ I ρ / 2 π a ] [1 + 4 Kn / ( 1 + (2nd/a)2 ) 2 K n / ( 1 + (2nd/2a)2 ) ] Daraus kann man wieder eine Formel für ρ gewinnen. Die Skizzierung, geschweige denn die Herleitung solcher Formeln übersteigt den Rahmen einer Grundvorlesung. Das ist insbesondere der Fall, wenn sich der Untergrund aus mehreren horizontalen Schichten unterschiedlicher Leitfähigkeit σ aufbaut (n Schichten Fall). Hier sei auf Spezialliteratur und Spezialvorlesungen verwiesen. Noch schwieriger werden die Formeln, wenn 2D Modelle oder gar 3D Modelle behandelt werden. Solche Modelle können nur mit sehr großem Rechneraufwand bearbeitet werden Meßgeräte in der Geoelektrik Im Vergleich zu den z.t. recht komplizierten Geräten in der Gravimetrie und in der Magnetik ist das eigentliche Meßgerät der Geoelektrik recht einfach. Es besteht aus einer bzw. zwei Sonden und einem hochohmigen, sehr empfindlichen Voltmeter zur möglichst leistungslosen Messung von Potentialdifferenzen U zwischen den Punkten P 1 und P 2. Die leistungslose Messung ist 4

5 ELEK_02_12.docBibliothek Seite notwendig, damit über das Meßgerät mit einem eventuell niedrigen Innenwiderstand des Voltmeters keine Kurzschlußverbindung zwischen P 1 und P 2 aufgebaut wird, die das Stromsystem im Boden verändern könnten. Die Sonden zum Abgriff der Spannungen zwischen den Punkten P 1 und P 2 sind sogenannte unpolarisierbare Elektroden folgender Bauart: Prinzip einer unpolarisierbaren Elektrode Einzelkomponenten: Plastik oder Glasrohr, semipermeable Membran für den Kontakt zum Meßpunkt, konzentrierte CuSO 4 Lösung, CuSO 4 Kristalle, Kupferstab. Durch die konstante Potentialdifferenz Kupfer konzentrierte CuSO 4 Lösung wird gewährleistet, daß keine Änderungen dieser Grenzpotentiale während der Messung auftreten und daß nur die Potentialdifferenzen zwischen den Punkten P 1 und P 2 gemessen werden, unabhängig von der Richtung des (kleinen) elektrischen Stroms. Für besondere Anwendungen (Messung bei sehr tiefen Temperaturen, bei großer Langzeitstabilität) gibt es auch Elektrodensysteme mit andern Metallen und ihren Salzen (z.b. Ag AgCl). Moderne hochohmige Digitalvoltmeter garantieren eine nahezu leistungslose Messung von U bis in den Bereich µv. 5