= 0 ). Daraus folgt E= - grad ϕ (ϕ skalares

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1 Physikalisches Anfängerpraktikum, Fakultät für Physik und Geowissenschaften, Universität Leipzig E 5a Elektrische Felder Aufgaben Es soll der Verlauf der Potentiallinien zwischen zwei ebenen Elektroden (Plattenkondensatormodell) gemessen werden. Die Äquipotential- und die Feldlinien sind graphisch darzustellen und ihr Verlauf ist zu diskutieren. Die Spannungsverteilung zwischen zwei konzentrischen Elektroden (Modell des Zylinderkondensators) ist zu messen. Der radiale Verlauf des elektrischen Potentials soll mit der Theorie verglichen und die radiale Feldverteilung diskutiert werden. 3 Ermitteln Sie den Verlauf der Äquipotentiallinien zwischen einer keilförmigen und einer ebenen Elektrode (Modell des Blitzableiters)! Die Diskussion des Feldlinienverlaufes soll anhand einer graphischen Darstellung erfolgen. Zusatzaufgabe: Messen und diskutieren Sie die Abhängigkeit der Spannung längs der geraden Verbindungslinie zwischen zwei scheibenförmigen Elektroden! Literatur Physikalisches Praktikum,. Auflage, Hrsg. D. Geschke, Elektrizitätslehre,.0.,. Gerthsen Physik, H. Vogel, 0. Auflage, Bergmann-Schaefer, Lb. der Experimentalphysik, Elektrizität und Magnetismus, Bd. Zubehör Spannungsquelle, Digitalmultimeter, Elektrodenmodelle Schwerpunkte zur Vorbereitung - Definition der elektrischen Feldstärke, elektrische Fluss- und Verschiebungsdichte, Satz von Gauß - Potentialbegriff der Elektrostatik, Zusammenhang zwischen Potential und elektrischer Spannung sowie zwischen elektrischem Feld und Potential - Bilddarstellung von Äquipotentialflächen und Feldlinien - Influenz von Ladungen, Spiegelung von Ladungen - Einfluss von Dielektrika auf den Feldlinienverlauf - Elektronenlinsen Hinweise zu den Grundlagen Unterschiedliche Vektorfelder, wie elektrostatische Felder, Stromfelder in homogenen Leitern aber auch Strömungsfelder in inkompressiblen Flüssigkeiten, sind einander ähnlich, sofern sie wirbelund quellenfrei sind. Dadurch lassen sie sich durch dieselben Differentialgleichungen beschreiben. Bei elektrostatischen Feldern (keine Ladungen im Feld, keine Wirbel) gelten für die Feldstärke E die Operatorgleichungen div E = 0 und rot E =0 ( Eds = 0 ). Daraus folgt E= - grad ϕ (ϕ skalares Potential) und ϕ = 0 (Laplacesche Differentialgleichung). Völlig analoge Gleichungen lassen sich für die elektrische Stromdichte in homogenen Leitern mit der konstanten nicht vom Ort abhängigen Leitfähigkeit σ beim Fehlen von Wirbeln, d. h. von veränderlichen Magnetfeldern, aufstellen: j= σe, div j = 0, rot j = 0. Oft existieren praktische Fälle, in denen es keine geschlossenen mathematischen (numerische) Lösungen gibt. Dann helfen oft nur Modellversuche weiter, in denen man z. B. die Potentialverteilung (Stromdichteverteilung) ebener Elektrodenkonfigurationen ermittelt, wobei die S

2 entsprechenden dreidimensionalen Felder dann geeignete Symmetrien besitzen müssen. In der Praxis verwendet man häufig leitendes Spezialpapier (imprägniert mit Graphit und Aluminiumstaub) als flächenhaften Leiter, auf das die Elektroden aufgeschraubt oder mit einer Silberlösung aufgezeichnet sind. In diesem Versuch sollen die Potentialverteilungen (Feldverteilungen ) für verschiedene Elektrodenanordnungen ausgemessen werden. Die Elektroden werden an eine konstante vorgegebene Spannung angeschlossen. Zur Ermittlung des Potentialverlaufes wird mit einer Messsonde die Oberfläche des Kontaktpapiers abgetastet und die Spannungsdifferenz zwischen einer der beiden Elektroden und einem Punkt zwischen ihnen mit einem hochohmigen Voltmeter (Innenwiderstand R i >0 MΩ) gemessen. Der Spannungswert entspricht dem Potential am Messpunkt in Bezug auf die mit dem Messgerät verbundene Elektrode. Dadurch erhält man die Äquipotentiallinien, die eigentlich die Flächen gleichen Potentials repräsentieren. Die elektrischen Feldlinien sind dann die zu diesen Flächen orthogonalen Kurvenscharen. In den verschiedenen Versuchsanordnungen sind die Elektroden als Äquipotentialflächen zu betrachten, die an allen Stellen gleiches Potential besitzen. Diese Bedingung wird praktisch dadurch erfüllt, dass die elektrische Leitfähigkeit zwischen den Elektroden vernachlässigbar gegenüber der Leitfähigkeit der Elektrodenmodelle ist. Zur Vermeidung von Beschädigungen des Kontaktpapiers ist dieses nicht mit den Fingern zu berühren und beim Abtasten nicht zu zerkratzen! Bei Aufgabe ist der Verlauf der Äquipotentiallinien zwischen zwei ebenen Elektroden mit dem Abstand d zu ermitteln und das elektrische Feld in Bezug auf seine Homogenität zu überprüfen. Dazu werden längs der mittleren Verbindungsachse der Elektroden (x-koordinate) an acht verschiedenen Punkten die Spannungen U(x) gemessen. Die Potentialverteilung kann durch eine lineare Gleichung in der allgemeinen Form U( x) = ϕ( x) = a+ b x () beschrieben werden. Es ist zu prüfen, ob die Parameter a und b der Ausgleichsgeraden mit den experimentellen Bedingungen konsistent sind. Anschließend sind für eine Seite oberhalb oder unterhalb der Verbindungsachse zwei charakteristische Potentiallinien zu messen, um den inhomogenen Potentialverlauf außerhalb der Elektroden zu erkennen. Der Verlauf der Äquipotentiallinien ist graphisch darzustellen und der erwartete Feldlinienverlauf soll schematisch eingezeichnet werden. Bei Aufgabe ist die Spannungsverteilung (Potentialverteilung) im Modell eines Zylinderkondensators in Bezug auf die Innenelektrode zu messen. Das Modell besteht aus zwei konzentrischen Elektroden, innere Kreisscheibe mit dem Radius r i und äußerer Kreisring mit dem Innenradius r a. An den Elektroden liegt die Spannung U 0 an. Es ist zu erwarten, dass die Äquipotentiallinien Kreise um das Zentrum der Elektrodenanordnung sind, da die Elektroden als Zylinderoberflächen Äquipotentialflächen entsprechen. Mit Hilfe der Potentialtheorie erhält man U 0 r U ( r) = ln. () ra ri ln ri Leiten Sie Gl.() unter Verwendung des Satzes von Gauß her. Die radiale Verteilung der elektrischen Feldstärke E(r) im Zylinderkondensator erhält man aus der Ableitung du(r)/dr. Diskutieren Sie die Abhängigkeit E(r). Wegen der Rotationssymmetrie der Anordnung genügt es,

3 die Messungen längs eines beliebigen Radius zu realisieren. Zur Erhöhung der Genauigkeit sollen die Messungen von U(r) längs vier verschiedener, um etwa 90 versetzter Radien vom Mittelpunkt nach außen erfolgen. Die gemittelten Spannungswerte sind graphisch in einem einfachlogarithmischen Koordinatensystem mit der Ordinate U(r) und der Abszisse lnr und darzustellen. Mit der gemessenen Spannung U 0 und den ermittelten Radien r i und r a ist der theoretische Verlauf nach Gl.() zu berechnen und in das Diagramm einzuzeichnen. Abb. (schematisch) Zur Messung der Äquipotentiallinien am Elektrodenmodell eines Zylinderkondensators Bei Aufgabe 3 ist der Verlauf der Äquipotentiallinien am zweidimensionalen Modell einer positiv geladenen spitzenförmigen Elektrode gegenüber einer negativ geladenen ebenen Elektrode zu ermitteln. Für geeignete Spannungswerte sind die Punkte gleichen Potentials in ausreichend kleinen Abständen zu messen, um den charakteristischen Potentialbzw. Feldlinienverlauf nahe der Spitze zu erfassen. Längs der Symmetrieachse s zwischen der Elektrodenspitze und der ebenen Elektrode sind weitere Werte U(s) zu messen (Abb. ). Abb. Elektrodenmodell 'Blitzableiter' Es sind die Äquipotentiallinien sowie die Feldlinien graphisch darzustellen. Mit der Darstellung U(s) als Funktion von s soll die Änderung der elektrischen Feldstärke diskutiert werden. Dazu ist über den Anstieg der Tangente du(s)/ds der Betrag der elektrischen Feldstärke nahe der ebenen und der spitzenförmigen Elektrode zu bestimmen. Bei der Zusatzaufgabe ist die Spannungsverteilung U(x) längs der geraden Verbindungslinie (Koordinate x) zwischen zwei entgegengesetzt geladenen, scheibenförmigen Elektroden (Radius r) zu messen (Abb. 3). Es ist zu überprüfen, ob die gemessene Spannungsverteilung U(x) derjenigen zweier geladener Kugeln rd ( r) U( x) = U0 + x d x r d oder der Potentialverteilung scheibenförmiger Elektroden (3) 3

4 d x ln x U ( x) = U + 0 (4) r ln d r genügt. Dazu stellen Sie die Messwerte U(x) graphisch dar und berechnen für ausgewählte x-werte die U(x)-Werte nach Gl.(3) und Gl.(4), die ebenfalls das Diagramm eingezeichnet werden. Versuchen Sie, die Gleichungen (3) und (4) durch die Überlagerung der jeweiligen elektrischen Felder der beiden Elektroden (Punktladung bzw. Flächenladung) und nachfolgender Integration herzuleiten. Abb. 3 Zur Messung von zwei scheibenförmigen Elektroden Abb. 4 3D-Darstellung einer Potentialverteilung 4

5 Abb. 5 Feldlinienbilder für verschiedene Elektrodenanordnungen JAVA-Applet Elektrisches Feld von Punktladungen, 5