1.2.4 Elektrisches Feld und Potential

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1 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Elektrisches Feld und Potential Hier gibt es rein formal eine große Übereinstimmung mit den Formeln, die wir für das Schwerefeld einer Masse kennengelernt haben. Anstelle der Masse m tritt die Ladung q. F (P) = f* (q 1 q 2 /r2 ) (r/r) Unterschiedlich ist das Vorzeichen, denn während sich Massen anziehen, stoßen sich gleichnamige Ladungen ab. Für die Größe f* hat man im SI-System: f*= 1/4 π ε 0 = 8, V m/a s mit ε 0 = 8, A s/v m. Die Einheit der Ladung q im SI-System ist q = 1 Coulomb = 1 A s. Analog zum Schwerefeld ist die Kraft F, mit der sich zwei Ladungen anziehen, gegeben durch F = q 2 E mit E = f* (q 1/r 2 ) (r/r) Das Potential U (Einheit: Volt) ist gegeben durch: U = f* (q 1 /r) 1 Volt = 1 V = 1 m 2 kg s 3 A 1. Dies ist auch eine abgeleitete Größe. Das elektrische Feld wird in V/m = 1 m kg s 3 A 1 angegeben, die Größe hat keinen eigenen Namen. Während das luftelektrische Feld in der Größenordnung V/m und größer sein kann, sind die elektrischen Felder im Erdboden von der Größenordnung µv/m... mv/m, d.h. um viele Größenordnungen kleiner und oft schwierig zu messen. Die Komponenten des statischen E-Feldes einer Ladung q in den 3 Raumrichtungen kann man durch Ausdrücke beschreiben, die wir schon vom Schwerefeld her kennen, z. B. E x = grad x U = grad (f* (q/r))= f* (q/r 2 ) ( x ξ )/r 1.3 Wegintegrale der Feldstärke Durch eine Quelle Q (Masse, Dipol, Ladung) sei in einem Raum ein Feld gegeben. Zwischen den Aufpunkten P 1 und P 2 bilden wir z.b. für ein elektrisches Feld die Summe der Beiträge E ds = E ds cos(< E,ds) längs einer beliebigen Strecke von P 1 nach P 2, die aus den Wegelementen ds besteht. Abbildung für die Bildung des Wegintegrals Wege senkrecht zum lokalen Feld liefern keine Beiträge, weil cos 90 = 0. Das Wegintegral E ds reduziert sich daher auf ein Integral E dr. Man erhält daher: E ds = E dr = f* (q/r 2 ) dr = f* q(p 2 )/r(p 2 ) + f* q(p 1 )/r(p 1 ) = U (P 2 ) + U (P 1 ) = U = : Spannungsdifferenz Der Weg von P 1 nach P 2 selbst spielt dabei offenbar keine Rolle. Für das Wegintegral im Falles des Schwerefeldes erhalten wir analog die Schwerepotentialdifferenz W zwischen den Punkten P 1 und P 2. g ds = g dr = f* (m/r 2 ) dr = f* m(p 2 )/r(p 2 ) f* m(p 1 )/r(p 1 ) = W (P 2 ) W (P 1 ) = W 1

2 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Bei einem geschlossenen Weg, z.b. in Form einer Schleife, ist das Wegintegral g ds bzw. E ds = 0. Dies ist typisch für konservative Felder, wie das Schwerefeld und das Coulombfeld. Bei induzierten elektrischen Feldern (siehe Maxwell'sche Gleichungen) sind die geschlossenen Wegintegrale E ds von P 1 zurück über einen beliebigen Weg nach P 1 nicht gleich Null, sondern hängen vom Weg und der damit aufgespannten Fläche ab. 1.4 Integralsätze Fluß durch eine Fläche hindurch In ähnlicher Weise wie bei den Wegintegralen kann man auch den Fluß Φ von Feldern durch eine Fläche hindurch über Flächenintegrale der Form Φ = E df betrachten. Auch hier verschwinden die Beiträge derjenigen Flächenelemente df = n df, die mit den lokalen Feldkomponenten einen Winkel von 90 bilden. Φ = E df = E df cos (<E,df) Ableitung eines Flächenintegrals, Fluß Φ Anstelle des hier verwendeten elektrischen Feldes betrachten wir im Folgenden die Felder g, B und E: a) Anwendung auf das Schwerefeld Für den Fall des Schwerefeldes erhalten wir: Φ g = g df = g n df = f* (dm/r 2 ) df = f* (dm/r 2 ) df = = f* (dm/r 2 ) 4 π r 2 = f* 4 π dm = G 4 π dm = G 4 π M, mit f* = G als Gravitationskonstante. Daraus können wir z.b. aus der Integration der Vertikalkomponente des Schwerefeldes eines geologischen Störkörpers die Masse des Störkörpers ableiten (siehe Skript, Gauß'sches Theorem). b) Anwendung auf das Magnetfeld Die tangentiale Feldkomponente B t liefert keinen Beitrag. Man kann den Fluß durch eine Kugeloberfläche um einen Dipol mit Hilfe der Formel für die radiale Komponente B r des Feldes in folgender Weise darstellen: Φ M = B r df = f* ( µ 0 2 m cosϑ/r 3 ) df = ( µ 0 f* 2 m/r 3 ) 2 π r 2 cosϑ sinϑ dϑ π = ( µ 0 f* 4 π m/r ) (1/2) sin 2 ϑ (zwischen den Grenzen π und 0) = 0. 0 Der Fluß Φ M ist gleich Null: Φ M = 0. Das gleiche gilt für Summen von Dipolen und Dipole in einer geordneten Kombination ( s. Multipole). 2

3 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Auch für das Erdmagnetfeld ist der Fluß Φ M = 0. Dies ist ein Beweis dafür, daß es magnetische Monopole wahrscheinlich nicht gibt. c) Anwendung auf das elektrische Feld In analoger Weise zum Schwerefeld gilt für den Fluß des elektrischen (Coulomb)- Feldes E c : Φ E = E df = E c n df = f* (q/r 2 ) df = = f* (q/r 2 ) df = f* (q/r 2 ) 4 π r 2 = f* 4 π q Befinden sich innerhalb der geschlossenen Fläche keine Ladungen, oder gleich viel positive wie negative Ladungen, so ist der Fluß gleich Null Gauß scher Satz, Laplace-Gleichung und Poisson-Gleichung Von Gauß stammt der Integralsatz a df = div a dv a: Vektorfelder, z.b. g, E und B bzw. H. Der Satz ist insbesondere gültig, wenn die Vektoren konservative Felder (Schwere-, Magnet- und elektrische Felder) darstellen. Mit Hilfe des Gauß'schen Satzes ist es möglich, Volumenintegrale, die wir bei der Berechnung der Störfelder kennengelernt haben, in Oberflächenintegrale überzuführen. Auf der linken Seite des Gauß'schen Satzes erkennen wir den Fluß Φ, auf der rechten Seite ein Volumenintegral. a) Anwendung auf das Schwerefeld Für das Schwerefeld g = grad W erhalten wir folgende Beziehungen: g df = 4 π f* M = div g dv = div grad W dv. Mit M = σ dv folgt: div grad W = W = 4 π f* σ. Nach Komponenten ausgeschrieben ist: W = 2 W/ x W/ y W/ z 2 = W xx + W yy + W zz = 4 π f* σ. Im Falle W 0 spricht man von der Poisson-Gleichung, im Falle W = 0 von der Laplacegleichung. W = 2 W/ x W/ y W/ z 2 = W xx + W yy + W zz = 0 In der Geophysik sind meist die Aufpunkte (Meßpunkte P) außerhalb der Massen, Ladungen und Dipole, sodaß von der Laplace-Gleichung W=0 ausgegangen werden kann. Sie wird uns mehrfach begegnen. b) Anwendung auf das Magnetfeld Für das Magnetfeld hatten wir schon abgeleitet, daß der Fluß Φ M verschwindet. Es gilt dort: 3

4 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Φ M = B df = 0 = div B dv. Es ist: div B = 0 und div H = 0. Von dieser Beziehung werden wir auch bei den Maxwell'schen Gleichungen Gebrauch machen. Sie gilt in der Magnetostatik ganz allgemein. c) Anwendung auf das elektrische Feld Für Coulombfelder sehen Poisson- bzw. Laplace-Gleichung analog zum Fall der Gravimetrie wiefolgt aus: div grad U = U = 4 π f* q U = 0 (Poisson-Gleichung) und (Laplace-Gleichung) Bei speziellen Problemen sind die kartesischen Koordinaten unpraktisch. Für solche Fälle kann man die Laplace- und Poisson- Gleichung auch in Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten (s. Skript) darstellen Lösungen der Laplace-Gleichung Die Lösung der Laplacegleichung erfordert eine Funktion, die wenigstens 2 Mal in den 3 Raumrichtungen differenzierbar sein muß. 2 W/ x W/ x W/ z 2 = 0 Wie man durch eine einfache Übung zeigen kann, ist die Funktion 1/r und beliebige Potenzen davon eine Lösung der Laplacegleichung. Folie mit Beweis, daß 1/r eine Lösung der Laplace-Gleichung ist. Einen allgemeinen Lösungsansatz erhält man durch die Anwendung der Methode der Trennung nach Variablen der Form: W(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) Einfacherer Fall: Annahme, daß W in einer Richtung konstant bleiben soll. Dann ist zum Beispiel die Ableitung 2 W/ y 2 = 0. In diesem Fall reduziert sich die Laplacegleichung auf: 2 W/ x W/ z 2 = 0 Lösungsansatz: Trennung nach Variablen in der Art: W(x,z) = X(x) Z(z). W(x,z)/ x = Z(z) ( X(x)/ x) und 2 W(x,z)/ x 2 = Z(z) ( 2 X(x)/ x 2 ). Entsprechend ist 2 W(x,z)/ z 2 = X(x) ( 2 Z(z)/ z 2 ). Zweimaliges Differenzieren, Einsetzen in die Laplacegleichung und Division mit W(x,z) = X(x) Z(z) liefert: [1/X(x)] 2 X(x)/ x 2 + [1/Z(z)] 2 Z(z)/ z 2 = 0 Mit den Ansätzen X(x) = cos (m x) oder sin (m x) und Z(z) = e mz erhält man nach Ausdifferenzieren und Einsetzen die Bestätigung, daß die beiden Ansätze zum Erfolg führen (s. Skript). 4

5 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Eine allgemeine Form der Lösung der Laplace-Gleichung sieht wiefolgt aus: W = cos (m x) e mz bzw. W = sin (m x) e mz Auch Summen dieser Einzellösungen sind Lösungen der Laplace-Gleichung: W(x,z) = [A m cos (m x) + B m sin (m x)] e mz In ähnlicher Weise kann man auch die Lösungen für die Potentiale in der Magnetik und in der Elektrik darstellen. Anwendungen der Laplacegleichung in der Geophysik: * Berechnung höherer Ableitungen ( z. B. W zzz = W zxx W zyy ) * Fourier-Analyse und Fourier-Synthese * Filterverfahren * Fortsetzung von Potentialfeldern in andere Ebenen hinein * Kugelfunktionsentwicklungen (siehe später) 1.5 Poisson'sche Beziehung Sie verknüpft die Störfelder im Außenraum von Massen, die gleichzeitig auch noch eine Magnetisierung haben. Dazu nutzt man aus, daß in den Formeln für das Potential einer Masse mit der Magnetisierung M und für das Schwerefeld einer Masse der Dichte σ jeweils das Volumenintegral grad (1/r) dv auftritt. Die beiden Beziehungen sehen wiefolgt aus: und: V M = f* M M grad (1/r) dv (Potential des Magnetfeldes) g = + f* G σ grad (1/r) dv (Schwerefeld einer Masse) Durch Substitution des Volumenintegrals grad (1/r) dv = g / f* G σ erhält man für das magnetische Potential dann: V M = [ f* M /( f* G σ ) ] [ M g ] Daraus ergibt sich das B-Feld zu: B = + µ 0 [ f* M /( f* G σ ) ] grad [ M g ] Um das Magnetfeld zu erhalten, muß man das Schwerefeld in Richtung der Magnetisierung ableiten und mit dem Vorfaktor multiplizieren. Beispiele werden wir bei der Behandlung der magnetischen Anomalien kennenlernen. 1.6 Kugelfunktionsentwicklung von Potentialfeldern, Multipole Kugelfunktionen oder Legendre-Polynome Hier können nur einige wenige Aspekte der Kugelfunktionen kurz angerissen werden, die zum Verständnis der Grundvorlesung bei der Darstellung des globalen Schwerefeldes und 5

6 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Magnetfeldes notwendig sind. Zum Thema Kugelfunktionen gibt es auch eine umfangreiche Literatur, auf die im Skript hingewiesen wird. Hier beschäftigen wir uns zunächst einmal nur mit den sogenannten zonalen Kugelfunktionen. Diese zeigen nur eine Abhängigkeit vom Winkel ϑ. Die Potentiale (und Felder) in der Gravimetrie, Magnetik und Elektrik zeigen alle eine Abhängigkeit von 1/r bzw. von Potenzen von 1/r. In der Magnetik kommt noch eine Winkelabhängigkeit (von cosϑ) hinzu. Die Legendre-Polynome erhält man durch eine Taylor Entwicklung des Ausdrucks 1/r bzw. 1/e. Abbildung für die Ableitung der Legendre-Polynome Dabei stellt man e nach dem Cosinus-Satz wie folgt dar: Die Reihenentwicklung von 1/e nach Potenzen von (r/a) n e 2 = r 2 + a 2 2 r a cosϑ bzw. (a/r) n sieht dann wiefolgt aus: 1/e = (1/a) (r/a) n P n (cosϑ) für a > r und 1/e = (1/a) (a/r) n P n (cosϑ) für a < r. Die ersten Koeffizienten P n (cosϑ) ergeben sich aus der folgenden Tabelle: n = 0 P 0 (cosϑ) = 1 n = 1 P 1 (cosϑ) = cosϑ = µ n = 2 P 2 (cosϑ) = (1/4) (3 cos 2ϑ + 1) = (1/2) (3 µ 2 1) n = 3 P 3 (cosϑ) = (1/2) (5 µ 3 3 µ)... Tabelle mit den Koeffizienten P n (cosϑ) Abbildung von Kugelfunktionskoeffizieten mit Nullstellen Abbildung von Kugelfunktionen höherer Grade und Ordnungen Abbildung mit tesseralen, zonalen und sektoriellen Kugelfunktionen Bei komplizierten Verteilungen der Quellen in einem Volumen zeigen die Felder im Außenraum neben der Abhängigkeit von cosϑ auch eine azimutale Abhängigkeit von λ. Auf solche komplizierten Kugelfunktionen werden wir bei der Darstellung des Schwerepotentials und des Magnetfeldes der Erde später noch stoßen Multipole in der Magnetik Wir konnten zeigen, daß sich ein Dipol durch die Kombination zweier entgegengesetzt geladener Monopole in einem infinitesimal geringen Abstand voneinander formal darstellen läßt. Für das magnetische Potential erhielten wir dabei die Beziehung: V Dipol = f* M m Dipol grad Q (1/r) = f* M m Dipol cosϑ (1/r 2 ) In analoger Weise können wir nunmehr zwei Dipole mit entgegengesetzter Orientierung hintereinander anordnen und nach dem gleichen Formalismus wiederum dessen Potential im Punkt P ausrechnen. Abbildung zur Ableitung des Potentials eines Quadrupols 6

7 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Ein solcher Quadrupol hat folgendes Potential: V Quadrupol = lim f* [ m Dipol1 cosϑ /r mdipol2 cosϑ /r 2 2 ] Dabei lassen wir wieder den Abstand e der beiden Dipole gegen Null gehen. Mit m Dipol1 = m Dipol2 = m Dipol und ähnlichen Darstellungen von r 1 und r 2 durch r ½ e cosϑ bzw. r + ½ e cosϑ erhalten wir schließlich: V Quadrupol = f* (m Dipol e) 2 cos 2 ϑ / r 3 = f* m Quadrupol 2 cos2 ϑ / r 3 mit m Quadrupol = (m Dipol e). In ähnlicher Weise hatten wir das Dipolmoment als Produkt (p e) von Polstärke p Abstand e der fiktiven magnetischen Pole definiert. Das Potential kann, in gleicher Weise wie bei der Ableitung des Dipols, auch durch eine Differentiation der Quellpunktkoordinaten in Richtung der Dipolachse (s. Skript) dargestellt werden. Man erhält dann den Koeffizienten P n (cosϑ) der nächst höheren Kugelfunktion. Es tritt dann die 2-fache räumliche Ableitung von 1/r in Richtung der Quadrupolachse auf. Ein ähnlicher, aber recht komplizierter Weise kann man die Potentiale und Felder komplizierter Multipole darstellen. Wenn alle Dipole und Multipole axial angeordnet sind, erhält man die zonalen Kugelfunktionen, die nur eine Abhängigkeit von cosϑ aufweisen. Senkrecht dazu angeordnete Diplole und Multipole führen auch zu azimutalen Variationen der Potentiale und Felder (tesserale und sektorielle Kugelfunktionen). Abbildung mit tesseralen und anderen Kugelfunktionen, mit Intensitäten Umgekehrt kann man beliebige Felder auf eine Kugeloberfläche durch Kugelfunktionen verschiedener Art sowie Grad (Potenzen von 1/r) und Ordnung (als Funktionen von ϑ und λ) darstellen, wovon in der Geophysik vielfach Gebrauch gemacht wird (Schwere- und Magnetfeld, Wärmestrom). Vertiefung: siehe Spezialliteratur und Spezialvorlesung. 1.7 Maxwell'sche Gleichungen (MG) Sie werden in der Physik vertieft behandelt. In der Geophysik gibt es jedoch Besonderheiten, die zu berechtigten Vernachlässigungen in einzelnen Fällen führen, auf die hingewiesen werden soll. In der Differentialform sehen die MG wiefolgt aus: rot H = (1/µ 0 ) rot B = j + D/ t und rot E = B/ t Es gelten dabei die schon früher abgeleiteten Beziehungen div B = 0 und div D = q (Poisson-Fall) bzw. div D = 0 (Laplace-Fall). Materialkonstanten, die wir später in den Kapiteln Magnetik und Geoelektrik noch definieren werden, sind: 7

8 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite σ : elektrische Leitfähigkeit; µ r : Permeabilitätszahl; ε r : Dielektrizitätszahl; χ : magnetische Suszeptibilität; µ 0 und ε 0 : magnetische bzw. elektrische Feldkonstante; j : Stromdichte. Ferner gelten das allgemeine Ohm'sche Gesetz: j = σ E sowie folgende andere Beziehungen: D = ε E = ε 0 ε r E ; B = µ H = µ 0 µ r H ; µ r = 1 + χ. Die beiden MG sehen dann wie folgt aus: rot B/µ = σ E + ε E/ t und rot E = B/ t Anwendung des Operators rot auf die 1. Gleichung, und die Nutzung der Identität rot rot a = grad div a div grad a sowie der bekannten Bedingung div B = 0 führen dann für das E-Feld und das B-Feld zu zwei Wellengleichungen, mit deren Hilfe die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Untergrund beschrieben werden kann. Die beiden Feldkonstanten µ und ε bestimmen dabei die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, während hauptsächlich die elektrische Leitfähigkeit σ für die Dämpfung der Wellen verantwortlich ist (s. Skript, Ausbreitung einer 1-dimensionalen Welle). E σ µ E/ t ε µ 2 E/ t 2 = 0 B σ µ B/ t ε µ 2 B/ t 2 = 0 Ausbreitungsgeschwindigkeit c der Welle ist: c = (ε µ) 1/2 Die Dämpfung der Wellen hängt (s. zweiter Term) vom Produkt (σ µ) ab. Mit einem harmonischen Ansatz der Form E (r,t) = Re E (r,ω) e iωt bzw. B (r,t) = Re B (r,ω) e iωt erhält man: E = i σ µ ω E ε µ ω 2 E und B = i σ µ ω B ε µ ω 2 B Die elektrische Leitfähigkeit σ des Untergrundes ist meist recht hoch, die Frequenzen f der Signale aber recht niedrig. Deshalb kann man in der Geophysik von folgender Näherung ausgehen: σ >> ε ω = ε 2 π f Die Wellengleichungen gehen dann in die einfacheren Diffusionsgleichungen der Form über, weil der zweite Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden kann. Im Abschnitt Geoelektrik wird dies gezeigt werden. div grad E = E = σ µ E/ t div grad B = B = σ µ B/ t bzw. div grad E = E = i σ µ ω E div grad B = B = i σ µ ω B Die magnetische Permeabilität µ bzw. Suszeptibilität χ = µ 1 spielt bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im geologischen Untergrund, von wenigen Ausnahmen (stark magnetische Erzkörper) abgesehen, keine Rolle. Entscheidender ist die elektrische Leitfähigkeit σ. 8

9 C:\soffelskript\POT_02_12.docBibliothek Seite Bei Radarverfahren sind die Frequenzen im Bereich von Giga Hertz (10 9 Hz). Dann können die zweiten Terme auf der rechten Seite nicht mehr vernachlässigt werden, weil σ bis < als ε ω = ε 2 π f. 9