SANTIAGO CALATRAVA. Modellierung einiger Werke mit GAM. Fachbereichsarbeit aus Darstellende Geometrie. erstellt von Mader Christoph

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1 SANTIAGO CALATRAVA Modellierung einiger Werke mit GAM Fachbereichsarbeit aus Darstellende Geometrie erstellt von Mader Christoph unter Betreuung von Mag. Harald Wittmann Klasse 8b 2004/2005 Bundesrealgymnasium Lienz

2 Vorwort: Der Architekt Santiago Calatrava wurde am 28. Juli 1951 in Valencia geboren. Die Grund- und Realschule besuchte er in Valencia. Mit 8 Jahren besuchte er die Arts and Crafts School, wo er zu zeichnen und zu malen begann. Mit 13 Jahren kam er dank seiner Eltern als Austauschschüler nach Paris. Später reiste er auch in die Schweiz. Nach Abschluss der High school schrieb er sich in die Escuela Tecnica Superior de Arquitectura ein, welche eine relativ neue Einrichtung war. Dort absolvierte er sein Diplomstudium der Architektur und belegte einen Fortgeschrittenenkurs in Urbanismus. Während dieser Zeit unternahm er unabhängige Projekte mit anderen Teilnehmern des Kurses und publizierte zwei Fachbücher über die Architektur von Valencia und Ibiza schrieb er sich in die ETH, eine Bundesfachhochschule in Zürich, ein erhielt er den Doktortitel der technischen Wissenschaften. Während dieser Zeit heiratete er auch seine Frau, die er in Zürich kennen lernte. Sie war Jurastudentin. Anschließend wurde er Assistent an der ETH und konzipierte bereits kleinere Aufträge wie das Dach einer Bücherei oder Balkone von privaten Wohnsitzen. Er begann auch an Wettbewerben teilzunehmen. Seinen ersten Sieg errang er 1983 für das Design und die Konstruktion des Stadelhofen Bahnhofs in Zürich, die Stadt, in der er sein erstes Büro einrichtete entwarf und konstruierte er die Bach de Roda-Brücke für die Olympischen Spiele in Barcelona. Sie war der Beginn seiner Brückenprojekte, die seinen Namen international bekannt machten. Er eröffnete noch zwei weitere Büros, eines in Paris 1989 und eines in Valencia Die Ausstellung seiner Arbeiten begann 1985 mit neun Skulpturen im Kunstmuseum in Zürich und 1993 folgten auch zwei Einzelausstellungen. Seine größte Ausstellung fand in den Jahren 2000/2001 in Florenz statt. Der Titel damals: Santiago Calatrava: Artist, Architect, Engineer. Ähnliche Ausstellungen waren 2001 in Dallas und Athen zu sehen. Seine aktuellen Projekte: Calatrava wurde ausgewählt Christ die Lichtkathedrale für die römisch-katholische Diözese von Oakland, und das Symphonie Zentrum für das Atlanta Symphonie Orchester in Atlanta, Georgia, zu entwerfen. Für seine Arbeit erhielt er eine beeindruckende Menge an Auszeichnungen und Preisen, welche eine seitenlange Auflistung fordern würden. Santiago Calatrava ist ein beeindruckender Architekt, der es perfekt versteht seinen Projekten ein wenig Leben einzuhauchen. Er selbst meint: Es gibt zwei Arten von Architektur. Solche, die der Gravitation gehorcht, und solche, die ihr entgegenwirkt. Seine Architektur zählt zweifellos zur zuletzt Genannten und so werde ich nun versuchen Ihnen ein paar der atemberaubenden Ideen Calatravas näher zu bringen. 2

3 Index: Vorwort: Der Architekt 1 Brunnen am Cathedral Square / Los Angeles (1996) 1.1 Analysieren der Bilder 1.2 Die Längen der einzelnen Masten 1.3 Die Abstände zwischen den einzelnen Masten 1.4 Warum 0.99 und Die Konstruktion Das Grundgerüst Die Masten Die Überlappung der Drehachsen Der Schönheit zuliebe Die Animation 1.6 Das abgeschlossene Projekt Skulptur aus Birnbaumholz (1996) 2.1 Analysieren der Bilder 2.2 Parallele Vorgehensweisen zu und 88, weitere Erläuterungen 2.4 Die Konstruktion Das Grundgerüst Die zweite Seite des Grundgerüsts Die Drehmasten Der Schönheit zuliebe Die Animation 2.5 Das abgeschlossene Projekt Stadtzentrum Alcoy / Spanien ( ) 3.1 Analysieren der Bilder 3.2 Überlegungen zu den Masten 3.3 Die Drehwinkel 3.4 Die Konstruktion Die Masten Die Verkleidungen Die durchsichtigen Scheiben Die Animation 3.5 Das abgeschlossene Projekt Anhang

4 1 Brunnen am Cathedral Square / Los Angeles 1.1 Analysieren der Bilder: Die Grundfläche dieses Brunnens am Cathedral Square in Los Angeles bildet ein Kreis. Zwei Strecken werden von zwei dicht nebeneinander liegenden Punkten des Kreises im 45 Winkel zur Grundfläche bis über den Mittelpunkt des Kreises gezogen. Von diesen beiden dicht nebeneinander liegenden Strecken gehen jeweils 20 Masten im rechten Winkel aus, sie schneiden die Grundfläche auf der Kreislinie. Aus den verschiedenen Bildern geht hervor, dass jeder der 40 Masten nach oben schwenkbar ist und sich dadurch das Bild eines fliegenden Vogels ergibt. 4

5 1.2 Die Längen der einzelnen Masten: Nach Wahl eines geeigneten Koordinatensystems (siehe Abbildung) hat der Punkt P0 die Koordinaten (0/s/s) auf der Strecke s1. s ist hier eine Variable mit den Werten von 0.05 bis P1 muss auf der Kreisbahn liegen. Da OP0P1 ein rechtwinkliges Dreieck ist, muss die y- Koordinate von P1 genau 2 s betragen und weil der Kreis in der Grundfläche liegt, beträgt der Wert der z-koordinate 0. Die x-koordinate erfordert nun etwas mehr an mathematischen Aufwand. Ich verwende das rechtwinklige Dreieck P1SM welches in der Grundfläche liegt. Die Länge der Kathete auf der y-achse beträgt 2 s 1, da der y-wert von P1 2 s und der Radius des Kreises 1 beträgt. Die Länge der Hypotenuse beträgt denselben Wert wie der Radius des Kreises, nämlich 1. Die 2. Kathete, der x-wert von P1, beträgt dann 1 2 ( 2 1 ) s + 4s 1 = 2 s s 2 s = Beispiel: Ich wähle s = 0.5: daraus folgt: P0 mit Koordinaten (0/0.5/0.5) und 2 P1 mit ( / / 0) = (1 / 1 / 0) In meiner Konstruktion wähle ich für s die Werte 0.05, 0.1, 0.15, 0.9, 0.95, 0.99, wodurch sich 20 Masten ergeben. Verwendete Abkürzung: ( 2 s 1) = z s1 P0 O 1 M x1 z S P1 5

6 1.3 Die Abstände zwischen den einzelnen Masten: Um die richtigen Abstände der Masten genau bestimmen zu können betrachtete ich das Grundgerüst im Aufriss. Bei diesem Objekt lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck erkennen. Durch das Messen der Punkte, an denen die einzelnen Masten die Hypotenuse schneiden, ergibt sich der Wert von a aus der z-koordinate. Da es sich auch um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, ist a gleich b. Die Länge der jeweiligen Hypotenuse c ergibt sich nun entweder durch Anwenden des Pythagoreischen Lehrsatzes oder durch Umformen des Sinus. Hier mit Hilfe des Sinus: Gegenkathete a sin α = = daraus folgt: Hypotenuse c a c = bzw. c = a 2 sinα Mast a c 1 0,5 0, ,41 3 1,5 2, ,83 5 2,5 3, ,24 7 3,5 4, ,66 9 4,5 6, , ,5 7, , ,5 9, , ,5 10, , ,5 12, , ,5 13, ,9 14 α c a a=b Die Variable a entspricht der Variablen s von

7 1.4 Warum 0.99 und 88 : Ich wähle den letzten Wert der Grundstrecke, die später von einem Masten überlagert wird, mit s = 0.99, wobei die logische Weiterführung, nämlich s2 = s , den Endwert 1 ergeben hätte. Diese von mir beabsichtigte Abweichung ist dadurch zu erklären, dass zwei Masten mit Endwert 1, mit einem x-abstand von 0.2, parallel verlaufen würden. Durch diese zu genaue Konstruktion entstand beim Betrachter der Eindruck, dass etwas nicht stimmen konnte. Bei 0.99 statt 1 entsteht dieser Eindruck nicht und das gesamte Projekt sieht korrekter aus. Die 88 Drehwinkel, statt den logischer erscheinenden 90, entstanden durch die zuvor bereits erwähnte Abweichung von Bei einem Endwert von 1 würde sich normalerweise ein Drehwinkel von 90 ergeben um beide Endmasten in die Horizontale zu drehen. Allerdings sind 90 bei einem Endwert von 0.99 zu viel und die Masten drehen sich über den Horizont. Durch Probieren gelangte ich zum Schluss, dass ein Drehwinkel von 88 das beste Ergebnis liefert. Die beiden roten Linien stellen die von mir für die endgültige Konstruktion ausgewählten Linien mit 0.99 als Endwert dar. Die grünen Linien stellen die Drehachsen dar, die schwarzen Linien die eigentlichen Endmasten bei Endwert 1. 7

8 1.5 Die Konstruktion: Das Grundgerüst: Das Grundgerüst setzt sich aus einem Kreis in π1, r = 1 und einer Strecke von P1 (0/0/0) nach P2 (0/1/1) zusammen. Der Kreis wird nach seiner Konstruktion um 1 in y- Richtung verschoben, dadurch wird die Strecke zur Drehachse. Nun werden die Masten benötigt. Ich wählte eine Variable s = a, wobei a den Werten von bis 0.99 entspricht, und die Variable x1 ( 2 s s, in GAM: 2*sqrt(s-s*s)), sie ist der x-wert des jeweiligen Punktes. Im Grundgerüst bestehen die sich drehenden Masten noch aus Strecken, jede mit den Koordinaten P0 (0/s/s) und P1 (x1/2*s/0). So werden die Grundstrecken für die ersten 20 schwenkbaren Masten erstellt. Um nicht mit zu kleinen Werten zu arbeiten, wird das fertige Grundgerüst um den Faktor 10 vom Ursprung aus gestreckt. Da bei der Animation der 40 Masten um nur eine Drehachse Probleme entstanden, verschob ich den ersten Teil des Grundgerüsts um 0.1 in x-richtung und spiegelte diesen an π2. Der Kreis wird aus dem Grundgerüst gelöscht, da er kein eigentlicher Bestandteil des Projekts ist. 8

9 1.5.2 Die Masten: Insgesamt werden 40 Masten benötigt, 20 auf der linken, 20 auf der rechten Seite. Alle 40 Masten sind in meiner Konstruktion um 88 schwenkbar. Die Masten bestehen jeweils aus zwei Teilen: der obere wird später in einen Spalt am Drehmasten aufgenommen, der untere ist zur Gänze sichtbar. Beide Teile bestehen aus Drehzylindern. Der obere, kleinere Teil hat den Radius r1 = 0.05 und die Höhe h1 = 0.6. Diese Werte verändern sich nicht. Der untere Teil hat den Radius r2 = 0.1 und die Höhe h2 = l (l = die Gesamtlänge des jeweiligen Mastes an der Strecke des Grundgerüsts gemessen). Der kleinere Teil wird nun auf der Oberseite des größeren Teils befestigt (Befehl Vereinigung ). Zum Schluss wird noch eine Strecke mitten durch den gesamten Mast gelegt um ihn anschließend besser über das Grundgerüst legen zu können. Die Masten werden nun in die richtige Position gebracht. Dazu benutzte ich den Befehl Bewegen. Zum Bewegen nutzte ich die vorher von mir in die Masten eingebaute Strecke, ihre Endpunkte legte ich genau über die Endpunkte der Strecken im Grundgerüst, insgesamt 20-mal. Die fehlenden 20 Masten auf der anderen Seite konstruierte ich durch den Befehl Spiegeln an Ebene. Zum Abschluss dieses Schrittes werden alle nicht mehr benötigten Grundstrecken entfernt. Im Bild sind nun nur noch die 40 Masten und die beiden Drehachsen zu sehen. 9

10 1.5.3 Die Überlappung der Drehachsen: Um die beiden Drehachsen aus dem Grundgerüst nicht zu zeigen, entschied ich mich dazu sie mit einem Drehzylinder zu verkleiden. Aus diesem Drehzylinder werden in den unter Punkt 1.4 bereits erläuterten Abständen Quader (x = 0.1, y = 0.3, z = 3) ausgeschnitten. Nun erklärt sich auch der kleinere Drehzylinder an jedem Ende der 40 Masten. Diese können sich in diesen Schlitzen frei bewegen. An das Ende dieses Drehzylinders wird aus optischen Gründen noch ein Drehkegel (r = 0.4, h = 1) gesetzt. Die beiden Teile werden mit Hilfe des Befehls Vereinigung zu einem Teil zusammengefügt. Dieser fertig gestellte Mast wird nun um 45 um die x-achse gedreht und über die beiden Drehachsen aus dem Grundgerüst gelegt. 10

11 1.5.4 Der Schönheit zuliebe: Um das gesamte Projekt etwas ansehnlicher darzustellen, konstruierte ich zwei Drehzylinder, der erste in der Größe des ursprünglichen Grundkreises (r = 10), der zweite mit einem um 3 Einheiten größeren Radius, beide mit Höhe h = 1. Mit dem Befehl Differenz konstruierte ich einen Ring. Weiters modellierte ich zwei Kugeln in entsprechenden Größen. Eine nutzte ich um den äußeren Rand zu formen, die andere um an der Innenseite des Ringes eine Art Becken entstehen zu lassen. Nun vereinigte ich diese entstandene Form mit dem vorher konstruierten Drehmast. Um eine ebene Grundfläche dieser Figur zu erhalten konstruierte ich noch einen Quader (50/50/10) und verschob diesen so, dass er unter der zuvor konstruierten Figur zu liegen kam. Zum Abschluss dieses Schrittes konstruierte ich noch die Differenz Die Animation: In diesem Projekt sind noch zwei Strecken des Grundgerüsts vorhanden. Sie bilden die nun benötigten Drehachsen und werden vom Drehmast (siehe 1.5.3) verdeckt. Ich wähle nun also eine Variable s = 0..1, Für die ersten 20 Masten, die vorne liegen, wähle ich die erste Drehachse mit P1 (0.1/0/0) und P2 (0.1/10/10). Der Drehwinkel beträgt 88*s. Dasselbe gilt für die restlichen 20 Masten, ihre Drehachse ist allerdings um 0.2 in x-richtung nach hinten verschoben, also P1 (-0.1/0/0) und P2 (-0.1/10/10). Durch diese Animation ergibt sich beim Betrachter mit etwas Fantasie das Bild eines fliegenden Vogels. 11

12 1.6 Das abgeschlossene Projekt: In GAM: Als VRML-Datei im Microsoft Internet Explorer: 12

13 2 Skulptur aus Birnbaumholz 2.1 Analysieren der Bilder: Die Grundfläche dieser Skulptur ist ein Kreis. Wenn man eine Gerade durch den Mittelpunkt legt, erhält man zwei Punkte. Von diesen gehen zwei Masten im 45 Winkel auf π1 in Richtung Kreismittelpunkt aus. An beiden Masten hängen je 20 nach oben drehbare Masten, alle 40 Masten sind nach links gerichtet. 13

14 2.2 Parallele Vorgehensweisen zu 1: Da in diesem Objekt Vorgehensweisen aus 1 (ab Seite 4) verwendet werden, verweise ich nun kurz auf diese. *) Um die Längen der einzelnen Masten zu bestimmen, nutzte ich das gleiche Verfahren wie in 1.2 (Seite 5). *) Die Abstände zwischen den einzelnen Masten für die Aufnahmeschlitze stammen von 1.3 (Seite 6) und 88, weitere Erläuterungen: Die Erläuterungen aus 1.4 sind in diesem Beispiel noch mit dem Problem zu ergänzen, welches entsteht, wenn ich wie in einen Mast über die Drehachsen legen will. Wähle ich nämlich einen kompletten Drehzylinder so überlappt dieser den letzten drehbaren Mast. Deshalb müssen die zwei Drehmasten in diesem Beispiel entweder sehr dünn sein oder der x-abstand muss größer sein. Ich entschied mich also dazu, die Drehmasten der Längsachse nach auseinander zuschneiden, wodurch ich dieses Problem lösen konnte. Die zwei grünen Linien stellen die späteren Drehachsen dar. Die zwei schwarzen Linien stellen die eigentlichen Endmasten bei Endwert 1 dar. Die roten Linien stellen die von mir gewählten Endmasten mit Endwert 0.99 dar. 14

15 2.4 Die Konstruktion: Das Grundgerüst: Das Grundgerüst setzt sich auch hier aus einem Kreis und einer im 45 Winkel zu π1 stehenden Strecke zusammen. Nach der Konstruktion und Bewegung der Masten an ihre ersten 20 Endpunkte wird die eben konstruierte Seite um in x-richtung verschoben. Das Grundgerüst ist nun aber noch nicht komplett, denn in diesem Beispiel gibt es zwei Drehachsen und 40 Masten. Das Erstellen der zweiten Seite bedarf allerdings einiger weiterer Überlegungen. 15

16 2.4.2 Die zweite Seite des Grundgerüsts: Beim Erstellen der zweiten Seite ist es nun wichtig die Drehmasten zu beachten. Wählt man sie zu groß, entsteht eine Überlappung der beweglichen Masten mit dem gegenüberliegenden Drehmast. Die zweite Seite wird nun mit dem Befehl Drehen erstellt. Ich wähle die Drehachse mit P1 (0/10/15), P2 (0/10/-5) (hier blau) und lasse das Entstandene um 180 drehen und dabei kopieren. P1 P2 Dieses Objekt bildet nun das Grundgerüst, dieses Mal allerdings bereits mit den 40 später nach oben schwenkbaren Masten. Es werden jetzt noch die blaue Drehachse und der schwarze Kreis in π1 entfernt. 16

17 2.4.3 Die Drehmasten: In diesem Beispiel gibt es zwei Drehmasten. Um sie zu formen, wähle ich wieder einen Drehzylinder, allerdings erfährt er eine Veränderung zu Nachdem ich die Schlitze für die Aufnahmeteile an den 40 Masten konstruiert habe, wird der Drehzylinder in der Länge geteilt. Dies geschieht mit dem Befehl trennen (ebener Schnitt). Dazu verschiebe ich den Zylinder so, dass er im Grundriss betrachtet mit seiner Längsachse genau auf der y-achse zu liegen kommt und wähle als Schnittebene die yz-ebene. Die Ebenengleichung lautet also 1*x + 0*y + 0*z = 0; kurz: x = 0. Anschließend wird der Teil ohne Aufnahmeschlitze gelöscht. Der Rest wird um 45 um die x-achse gedreht und anschließend um 180 gedreht und kopiert, wie die 20 Masten und die Drehachse zuvor. Diese zwei halben Drehzylinder werden nun noch in die richtige Position gebracht Der Schönheit zuliebe: Um auch dieses Beispiel etwas ansehnlicher zu gestalten setzte ich unter die bis jetzt entstandenen Objekte einen Quader Q1 mit x = 22, y = 22, z = 1. Dann konstruierte ich noch einen Quader Q2 mit x = 22, y = 22, z = 0.6 und einen Quader Q3 mit x = 21, y =21, z = 0.6. Die Zentren der beiden Letzteren legte ich übereinander und bildete die Differenz, dadurch erhielt ich einen Ring, den ich anschließend aus Q1 ausschnitt. 17

18 2.4.5 Die Animation: Die Animation in diesem Beispiel ist ähnlich der des Ersten. Die 40 Masten werden wie zuvor um 88*s gedreht, wobei s auch diesmal wieder mit 0..1,0.05 gewählt wird. Um den Drehwinkel positiv wählen zu können, trägt die erste Drehachse die Koordinaten P1 (-0.05/0/0) und P2 (-0.5/10/10), die zweite Drehachse hat die Koordinaten P1 (0.05/20/0) und P2 (0.05/10/10). P2 P1 P1 Hier sieht man die 40 Masten in ihrer Endposition nach der Drehung. Die grünen Linien stellen die Drehachsen dar. Die Endpunkte der Drehachsen liegen in diesem Bild so nahe beisammen, dass ich sie zu einem Punkt zusammenfasste, nämlich P2. In Wirklichkeit liegen die beiden Achsen jedoch parallel zueinander und zur y-achse mit einem x-abstand von

19 2.5 Das abgeschlossene Projekt: In GAM: Als VRML-Datei im Microsoft Internet Explorer: 19

20 3 Stadtzentrum Alcoy / Spanien 3.1 Analysieren der Bilder: Auf diesen Bildern kann man erkennen, dass es 13 Masten gibt, die sich an einer Achse in π1 mit unterschiedlichen Winkeln nach oben drehen. Die Seiten sind durch Scheiben und eine komplexere Verkleidung an der Hinterseite begrenzt. Die hintere Verkleidung sieht aus als wäre sie aus einer Kugel herausgeschnitzt worden. Vorne hingegen besteht die Verkleidung nur aus je einem Drehzylinder und einem dreiseitigen Prisma. 20

21 3.2 Überlegungen zu den Masten: Die Masten sehen auf den Bildern aus wie Bananen. Sie besitzen eine geringe Krümmung und an ihren Enden sind sie etwas dünner als in der Mitte. Sie sind an einer ebenen Fläche abgeschnitten und in unterschiedlichen Winkeln nach oben schwenkbar. In diesem Bild sieht man die bereits fertig konstruierten Masten. Sie reihen sich entlang der roten Strecke und die Abstände zwischen ihnen betragen genau die Hälfte der Breite eines der Masten. 3.3 Die Drehwinkel: Da sich die Masten auf den Vorlagen in unterschiedlichen Höhen befinden, und ich annehme, dass die Vorlagen das Objekt in Anfangs - und Endposition darstellen, gehe ich davon aus, dass es in diesem Beispiel sechs verschiedene Drehwinkel gibt. Ich wählte sie mit 25, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 55, 50, 45, 40, 35 und wieder 25 von links nach rechts gesehen. Der Mast in der Mitte dreht sich am weitesten nach oben, also 60, die Drehwinkel der anderen Masten nehmen dann nach links und rechts jeweils 5-mal um 5 und 1-mal um 10 ab. Alle diese Werte sind Schätzwerte. 21

22 3.4 Die Konstruktion: Die Masten: Die 13 Masten konstruierte ich, indem ich einen Drehzylinder mit r = 20 und h = 19 um - 90 um die x-achse drehen ließ, ihn anschließend mit einem zweiten Drehzylinder mit r = 23 und h = 19 so überlappte, dass die richtige Form der Masten entstand. Dann wendete ich den Befehl Differenz an. Um die Masten unten eben abzuschneiden konstruierte ich einen Würfel mit Kantenlänge 50, verschob ihn passend und wandte wieder den Befehl Differenz an. So erhielt ich eine Art Gewölbebogen. Ich konstruierte also 12 Quader mit x = 40, y = 0.5 und z = 10. Sie verschob ich so, dass ich 13 Masten mit Breite 1 und zwischen den Masten jeweils den Abstand 0.5 erhielt. Nun waren diese Objekte alle noch miteinander verbunden. Ich musste sie also trennen um sie einzeln animieren zu können. Dazu nutzte ich den Befehl trennen (ebener Schnitt). Als Schnittebene wählte ich die xz Ebene und änderte den d - Wert nach jedem trennen um 1.5. Also 1, 2.5, 4, 5.5, 7, 8.5, ; ich wiederholte dies, bis alle Masten voneinander getrennt waren. 22

23 3.4.2 Die Verkleidungen: In diesem Beispiel trenne ich zwei Verkleidungen, die hintere und die seitlich nach vorne verlaufende. Die hintere Verkleidung: Ich konstruierte zwei Drehzylinder, den einen mit dem Radius 20, den anderen mit dem Radius 24. Ich bildete die Differenz der beiden um einen Ring zu erhalten. Dieser Ring wurde in der Hälfte geteilt und ein Teil gelöscht. Dann legte ich einen Quader über den Ring, drehte ihn um 10 nach oben und schnitt somit den Ring passend ab. Nun setzte ich noch einen weiteren Halbring an die Unterseite des eben konstruierten Ringes und schnitt auch diesen mit einem um 30 gedrehten Quader ab. Nach der Vereinigung der beiden Halbringe entstand der hintere Teil der Verkleidungen: 5 Abschnitt Abschnitt Die vordere Verkleidung: Zuerst konstruierte ich einen Drehzylinder mit r = 18 und h = 0.1. Ich schnitt ihn nach unten hin passend ab und drehte ihn, nachdem ich ihn kopiert und an seinen Bestimmungsort verschoben hatte, nach links und nach rechts. Dann konstruierte ich einen Quader mit x = 5, y = 5, z = 0.3. Ich konstruierte noch einen zweiten Quader und schnitt den ersten im 45 Winkel in der Mitte durch. An die längere, nach oben zeigende Seite setzte ich einen Drehzylinder mit r = 0.3 und h = 7. Die gesamte Verkleidung: Auf dem rechten Bild kann man gut erkennen, dass die zwei dünnen Drehzylinderteile um je 5 von ihrer normalen Lage entfernt sind. Es ist auch gut ersichtlich, dass der hintere Teil der Verkleidung aus 2 Drehzylindern zusammengesetzt ist. 23

24 3.4.3 Die durchsichtigen Scheiben: Um die Scheibenverkleidungen durchsichtig erscheinen zu lassen bediente ich mich eines Umwegs, da es eigentlich nicht möglich ist einen Körper in GAM durchsichtig darzustellen. Also verschob ich die Scheiben um *s in x-richtung. Da im Export als VRML-Datei die Option besteht, die animierten Objekte durchsichtig erscheinen zu lassen, wählte ich diese mit 80% Durchsichtigkeit aus. Die Verschiebung um solch einen geringen Wert wie ist im komplettierten Objekt nicht zu erkennen. Da sich diese geringe Verschiebung immer wiederholt, erscheinen die Scheiben schlussendlich als beinahe durchsichtig. Daraus ergab sich allerdings das Problem, dass alle animierten Objekte mit 80-prozentiger Durchsichtigkeit dargestellt wurden. Also öffnete ich die VRML-Datei mit dem Microsoft Editor und stellte die Durchsichtigkeit, in der Datei als transparency bezeichnet, bei den Masten auf 0. Der von mir veränderte Wert ist hier rot unterlegt Die Animation: Die Animation in diesem Beispiel fällt eher einfach aus. Die 13 Masten werden in sieben verschiedenen Winkeln nach oben gedreht, von 25*s über 35*s und 40*s bis 60*s für den Masten in der Mitte. Nun fehlen noch die teilweise transparenten Scheiben. Sie werden einfach um *s in x-richtung verschoben. Als Animationsvariable wird wieder s = 0..1,0.05 gewählt.

25 3.5 Das abgeschlossene Projekt: In GAM: Als VRML-Datei im Microsoft Internet Explorer: 25

26 Anhang: Alle drei zuvor erklärten Projekte wurden von mir mit GAM konstruiert und animiert. Meine gesamte Arbeit kann auf der beigelegten CD betrachtet werden. Es folgt eine kurze Einweisung: Inhalt der CD: *) die Fachbereichsarbeit als Word-Dokument *) die drei animierten Projekte Mit dem Pivoron Plug-In in jedem Microsoft Internet Explorer darstellbar *) eine von mir programmierte Homepage Auf ihr finden sich die Fachbereichsarbeit als pdf-datei und die drei animierten Projekte *) Adobe Reader 6.0 Er ist notwendig für die korrekte Darstellung der Fachbereichsarbeit auf der Homepage *) Pivoron Plug-In Es ist notwendig um die animierten Projekte auf der Homepage darzustellen *) GAM Das Programm, mit dem ich die Projekte konstruiert und animiert habe Erklärungen zur CD: *) Um die Fachbereichsarbeit in Microsoft Word zu betrachten, öffnen Sie das Dokument Fachbereichsarbeit aus Darstellende Geometrie.doc. Es befindet sich im gleichnamigen Ordner. *) Um die Homepage zu betrachten müssen Sie den Ordner Homepage öffnen und anschließend die darin enthaltene Master Datei öffnen. Um die animierten Projekte auf der Homepage betrachten zu können, müssen Sie das Pivoron Plug-In und den Adobe Reader installieren. Sie befinden sich im Ordner Zubehör. *) Um die Projekte einzeln in GAM zu betrachten, öffnen Sie den Ordner GAM und anschließend die Datei GAM.exe. Jetzt öffnen Sie noch die gewünschte Datei aus den Ordnern Fachbereichsarbeit aus Darstellende Geometrie und Projekt 1, Projekt 2 oder Projekt 3. Die Dateinamen lauten: PROJEKT 1.PRO, PROJEKT 2.PRO und PROJEKT 3.PRO. *) Um die einzelnen VRML Dateien zu betrachten, öffnen Sie diese in den zuletzt genannten Ordnern. Die Dateinamen lauten: VRML 1.wrl, VRML 2.wrl und VRML 3.wrl. Quellen: *) Buch aus dem Kunsthistorischen Museum in Wien: Santiago Calatrava Wie ein Vogel / Like a bird *) Santiago Calatrava Homepage: 26