ENTWURF. 23 Netzwerkanalyse. Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur. 1 Einführung

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1 23 Netzwerkanalyse Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Universität Duisburg-Essen Zusammenfassung. Die Netzwerkanalyse befasst sich mit der systematischen Anordnung der Beziehungen zwischen den Einheiten in einer Population. Angestrebt werden u. a. Aussagen über verschiedene Aspekte der Beziehungsstruktur in der gesamten Population, über die Abgrenzung von Teilgruppen aufgrund der Beziehungen innerhalb bzw. zwischen den Teilgruppen und vor allem über die strukturelle Einbettung einzelner Einheiten in das sie umgebende Beziehungsnetz. Die Struktur sozialer Beziehungsnetze ist einerseits das Ergebnis sozialer Prozesse und nimmt andererseits Einfluss auf ihren weiteren Verlauf. Beziehungsstrukturen sind somit integraler Bestandteil sozialer Institutionen und Prozesse. Keinesfalls sollten sie als Spezialitäten und gesondert von anderen Analysen behandelt werden. Entsprechend werden wir die Konzepte der Netzwerkanalyse als Messkonzepte für strukturelle Eigenschaften auf den verschiedenen Ebenen eines Beziehungsnetzes einführen. Mit dem Ziel einer Integration von Strukturanalysen in die herkömmlichen Strategien einer theoriegeleiteten Umfrageforschung und verwandter individualistischer Ansätze werden wir uns im Folgenden jedoch auf Akteure und deren soziale Beziehungen als Erklärungsgegenstand konzentrieren. Auf eine Darstellung strikt strukturalistischer Ansätze wird daher in diesem Zusammenhang verzichtet; gleichwohl sollten unsere Ausführungen für eine Mikrofundierung solcher Strukturanalysen hilfreich sein. In der von uns hier eingenommenen Sicht bestehen die Ergebnisse der Netzwerkanalyse also aus neuen Merkmalen, die z. B. die soziale Umgebung von Akteuren oder die interne und externe Beziehungsstruktur u. a. von Teilgruppen, denen die Akteure angehören, beschreiben. Diese Merkmale gehen anschließend genau wie andere Merkmale in die multivariate Analyse ein. 1 Einführung Die Netzwerkanalyse befasst sich mit der systematischen Anordnung der Beziehungen ( Struktur ) zwischen den Einheiten in einer Population. Angestrebt werden u. a. Aussagen über verschiedene Aspekte der Beziehungsstruktur in der gesamten Population, über die Abgrenzung von Teilgruppen aufgrund der Beziehungen innerhalb bzw. zwischen den Teilgruppen und vor allem über die strukturelle Einbettung einzelner Einheiten in das sie umgebende Beziehungsnetz. Andererseits sind die grundlegenden empirischen Daten meist dyadisch-relationaler Art, indem sie sich auf die paarweisen Beziehungen zwischen den Einheiten wie z. B. zwischen Personen beziehen. Mit den Personen, den Paaren von Personen, u. U. umfassenderen Teilgruppen aus drei, vier oder mehr Personen bis hinauf zum gesamten Beziehungsnetz sind in der Netzwerkanalyse deshalb fast immer mehrere Ebenen S in: Christof Wolf & Henning Best, Hg. (2010). Handbuch der sozialwissenschaftlichen Datenanalyse. Wiesbaden: VS Verlag für Sozialwissenschaften

2 576 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur beteiligt. Eine sinnvolle Anwendung der Netzwerkanalyse verlangt daher sorgfältig geklärte Vorstellungen über die angestrebte(n) Ebene(n) der Aussage(n), über den Weg der Daten von der Erhebung auf einer unteren Ebene von z. B. Paarbeziehungen über die Ableitung von Struktureigenschaften in Teilgruppen oder im Gesamtnetzwerk bis zur Zuordnung dieser kollektiven Eigenschaften als Umgebungseigenschaften an die eingebetteten individuellen Einheiten und über die Bedeutungsverschiebungen, die solche Daten bei der u. U. mehrfachen Ableitung kollektiver Eigenschaften auf höheren Ebenen und ihrer anschließenden Zuweisung als kontextuelle Eigenschaften auf der individuellen Ebene erfahren. Zwar treten die genannten Probleme bei Netzwerkanalysen gehäuft auf, sind aber nicht deren Spezialität. Paul F. Lazarsfeld und Herbert Menzel (1961) haben mit ihrem Aufsatz On the Relation between Individual and Collective Properties vor allem unter Bezug zur Umfrageforschung auf diese Probleme aufmerksam gemacht (s. a. Hummell & Sodeur 1992, 1997). Daten über die paarweisen Verbindungen z. B. zwischen Personen werden zumindest aus der Sicht jeweils einer dieser beiden Personen erhoben. Ob die Teildaten unterschiedlicher Berichtspersonen zu einem Gesamtnetz zusammengefügt werden können, hängt vor allem davon ab, ob sich die Zielpersonen aller berichteten, paarweisen Verbindungen über verschiedene Berichtspersonen hinweg identifizieren lassen. Berichten also die Personen A und B jeweils über die Beziehung zu einer Person C, so muss eindeutig festzustellen sein, ob es sich bei den jeweils mit C benannten Zielpersonen um dieselbe Person oder um verschiedene Personen handelt. Selbst in Vollerhebungen überschaubarer Populationen wie z. B. Schulklassen ist eine entsprechende Identifikation der Zielpersonen nur möglich, wenn auf die Anonymisierung der Erhebungsdaten zunächst verzichtet wird. In Bevölkerungsumfragen auf der Basis von Stichproben gilt dagegen in aller Regel eine strikte Anonymisierung. Außerdem würde die Identifikation aller nicht zur Stichprobe gehörenden Zielpersonen d. h. von Zielpersonen aus der gesamten, über die Stichprobe weit hinausgehenden Population auch aus anderen Gründen kaum gelingen. Die befragten Personen können über die mit ihnen direkt verbundenen Zielpersonen hinaus allenfalls Auskunft geben über die Verbindungen ihrer Zielpersonen untereinander. Ohne die Identifikation der jeweiligen Zielpersonen bleiben die Beziehungsaussagen der Befragten deshalb voneinander isoliert. Man spricht von -zentrierten Netzen oder unter Bezug auf die Weite der von den Beziehungsaussagen beschriebenen Umgebungen der Befragten auch von 1-Schritt-Umgebungen (und allenfalls 2-Schritt-Umgebungen ). Das schließt aber keineswegs sinnvolle Vergleiche zwischen den Umgebungen unterschiedlicher Befragter aus, z. B. hinsichtlich der Dichte (Zahl) oder der Art der bestehenden Verbindungen 1. Andere, auf Mehr-Schritt-Umgebungen bezogene Konzepte der Netzwerkanalyse können hier dagegen meist nicht benutzt werden. 1 Konzentriert man sich ausschließlich auf das Netz der Verbindungen unter den von der Berichtsperson genannten Personen (ohne Berichtsperson und ihre Verbindungen), spricht man auch von ihrer first order zone.

3 23 Netzwerkanalyse 577 In diesem Zusammenhang sei eine besondere Form scheinbar -zentrierter Netze erwähnt, die (bei etwas anderer Interpretation) auch in der allgemeinen Umfrageforschung häufiger vorkommt. Es handelt sich dabei um bipartite Netze bzw. Graphen. Während bisher stets Einheiten gleicher Art (z. B. Personen oder Organisationen) gemeint waren, beschreiben bipartite Graphen die Beziehungen zwischen je zwei Einheiten unterschiedlicher Art 2, z. B. die Mitgliedschaften ( Affiliationen ) von Personen in Aufsichtsräten bestimmter Unternehmen. Aus der gemeinsamen Mitgliedschaft verschiedener Personen in einem oder mehreren Aufsichtsräten werden dann indirekt unterschiedlich enge Beziehungen zwischen diesen Personen abgeleitet. Oder je nach Zahl gemeinsamer Mitglieder der Aufsichtsräte zweier Unternehmen wird auf eine unterschiedlich enge Koordination der Strategien zwischen beiden Unternehmen geschlossen (vgl. u. a. Stokman et al. 1985). Auf prinzipiell gleiche Weise (aber weniger offensichtlich) können auch Daten aus Umfragen über genutzte Massenmedien, präferierte Parteien, selbst über akzeptierte Werte als Daten über bipartite Beziehungsnetze aufgefasst werden. Während solche Daten nach der normalen Interpretation als monadische Eigenschaften der befragten Personen gelten, werden sie im Kontext bipartiter Graphen relational als Beziehungen zwischen der jeweils befragten Person () und dem genannten Medium, der Organisation, dem akzeptierten Wert etc. gedeutet. Ähnlich dem Beispiel zu Verbindungen zwischen Aufsichtsratmitgliedern und Unternehmen werden anschließend, auch hier aufgrund der zunächst erhobenen Beziehungen, im bipartiten Graphen Aussagen über unterschiedlich starke Verbindungen zwischen den befragten Personen auf der einen oder zwischen den von ihnen genannten Medien, Organisationen, Werten etc. auf der anderen Seite abgeleitet. 3 In vielen Darstellungen zur Netzwerkanalyse entsteht der Eindruck, dass es sich um ein relativ eigenständiges und abgeschlossenes Gebiet handelt. Demgegenüber versuchen wir hier wie in früheren Darstellungen (Hummell & Sodeur 1992, 1997) der Befürchtung von Franz U. Pappi entgegenzuwirken, dass sich die Analyse sozialer Netzwerke zu einem eigenen Forschungsgebiet entwickeln könnte, das mit den Schwerpunkten der heute praktizierten Sozialforschung nicht viele Gemeinsamkeiten hat (1987, S. 25). Entsprechend werden wir die Konzepte der Netzwerkanalyse als Messkonzepte für strukturelle Eigenschaften auf den verschiedenen Ebenen eines Beziehungsnetzes einführen. Dazu gehört vor allem eine genaue Darstellung der Wege, die dyadisch-relationale Daten von der Erhebung als Verbindungen zwischen individuellen Einheiten über die Zusammenfassung zu Strukturdaten auf höheren Ebenen und wenn Aussagen über Einheiten auf individueller Ebene angestrebt werden der anschließenden kontextuellen Zuordnung zu den Einheiten auf unteren Ebenen nehmen können. Zum Abschluss dieser Einführung soll der über die Ebenen auf- und absteigende Datentransfer nun ausführlicher anhand des schon genannten Lazarsfeld-Menzel-Schemas (1961, hier kurz LMS genannt) erläutert werden. Hier kommt es uns darauf an, die Ähnlichkeiten und vor allem Unterschiede zu beschreiben, die im Prozess des Datentransfers 2 Weshalb man sie oft auch als 2-mode networks bezeichnet. 3 Eine derartige Deutung setzt natürlich eine entsprechende inhaltliche Begründung voraus.

4 578 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur zwischen Ebenen bei den überwiegend monadischen Daten der Umfrageforschung auf der einen und den dyadisch-relationalen Daten der Netzwerkforschung auf der anderen Seite auftreten. Das LMS beschreibt primäre (empirisch erhobene) und sekundär daraus abgeleitete Daten. Auf der Ebene einzelner Elemente bzw. Einheiten, die in diesem Zusammenhang immer als zu bestimmten Kollektiven zusammengefasst gedacht werden, unterscheidet das LMS zwischen folgenden properties of members oder individual properties (ebd., S. 431 ff.): (m1) absoluten Merkmalen, die das Element direkt betreffen; (m2) relationalen Merkmalen, die Beziehungen des Elements zu anderen Elementen betreffen; (m3) komparativen Merkmalen, die absolute oder relationale Eigenschaften des Elements im Vergleich zur Verteilung des Merkmals in der umgebenden Population ( Kollektiv, s. u., c1-c2) betreffen, und (m4) kontextuellen Merkmalen, die Eigenschaften der umgebenden Population oder der sonstigen Umwelt (siehe unten, c1-c3) betreffen und dem jeweiligen Element zugeordnet werden. Auf der Ebene von Kollektiven ( collective properties, ebd., S. 426 ff.) wird unterschieden zwischen (c1) analytischen Merkmalen, die aus den absoluten Eigenschaften (m1) aller einzelnen Mitglieder des Kollektivs durch Berechnung z. B. von Mittelwerten oder anderen Verteilungsmaßen erzeugt werden; (c2) strukturellen Merkmalen, die aus den Beziehungen (m2) aller Mitglieder zu einzelnen oder zu allen anderen Mitgliedern des Kollektivs erzeugt werden, und (c3) globalen Merkmalen, die das Kollektiv als Ganzes betreffen. Unter Bezug auf den oben skizzierten Datentransfer zwischen verschiedenen Ebenen und die hier im Mittelpunkt stehende Netzwerkanalyse erläutern wir die Kategorien des LMS nun näher. Zunächst zu den primär erhobenen Daten (m1), (m2) und (c3): Die absoluten Merkmale (m1) betreffen unmittelbar das individuelle Element. Bei Personen fällt darunter z. B. der Beruf. In der Umfrageforschung würde man dazu auch Merkmale wie regelmäßig gelesene Tageszeitungen (als monadische Eigenschaft der befragten Person, s.o.) zählen. Unter den hier verfolgten Gesichtspunkten wäre ein solches Merkmal dagegen eher als relationales Merkmal, d. h. als Beziehung zwischen Elementen aus zwei Populationen unterschiedlicher Art (Personen und Medien) zu interpretieren. Relationale Merkmale (m2) betreffen (in leichter Abweichung vom LMS) die Beziehungen jeweils zweier individueller Elemente untereinander. Damit sind bereits Kollektive beschrieben, wenn auch nur sehr kleine aus jeweils zwei Elementen (Paare, Dyaden ). Wichtig ist bei unserer Sichtweise, dass durch relationale Merkmale nicht das einzelne Element (in seiner Beziehung zu anderen, so die vereinfachende Deutung im LMS), sondern die Beziehung innerhalb der Dyade beschrieben wird. Globale Merkmale (c3) betreffen das Kollektiv als Ganzes. Ein Kollektiv kann die Zusammenfassung individueller Elemente auf einer höheren Ebene, aber auch die

5 23 Netzwerkanalyse 579 Zusammenfassung bereits früher gebildeter Kollektive oder allgemein die Zusammenfassung von Elementen auf darunter liegenden Ebenen sein. Globale Merkmale eines Kollektivs beziehen sich immer insgesamt auf genau dieses Kollektiv, d. h. ohne Bezug auf Eigenschaften von Einheiten unterhalb oder oberhalb der jeweiligen Kollektiv- Ebene. Betrachtet man z. B. die Ebenen-Hierarchie von Schülern, Schulklassen und Schulen, so bildet die Jahrgangsstufe ein globales Merkmal einer Klasse, die Lage der Schule (z. B. innerstädtisch, ländlich) ein globales Merkmal der Schule usf. Nun zu den sekundären oder abgeleiteten Merkmalen (c1), (c2), (m3) und (m4) des LMS: Analytische Merkmale von Kollektiven (c1) werden aus den absoluten Eigenschaften (m1) aller einzelnen Mitglieder des Kollektivs durch einfache Aggregation wie Summenbildung oder die Berechnung von Mittelwerten oder anderen Verteilungsmaßen erzeugt. Sie sollen also eine Eigenschaft des Kollektivs beschreiben, werden aber indirekt abgeleitet aus Eigenschaften der Elemente, z. B. der Anteil von Katholiken an einer regionalen Bevölkerung (Kollektiv). Durch ebenfalls einfache Aggregation lassen sich auch Kollektiv-Merkmale aus einigen relationalen Merkmalen (m2) ableiten. Wir behandeln solche Merkmale deshalb (in Abweichung vom LMS) ebenfalls wie analytische Merkmale. So kann man etwa die Dichte der Beziehung in einem Kollektiv durch die Zahl der darin vorkommenden paarweisen Verbindungen (im Verhältnis zur Zahl der möglichen Verbindungen) beschreiben. Im ursprünglichen LMS werden alle Kollektiv-Merkmale auf der Basis von relationalen Merkmalen (m2) als strukturelle Merkmale (c2) bezeichnet. Wir verengen den Begriff der strukturellen Merkmale aber auf solche Eigenschaften von Kollektiven, bei deren Ableitung die Anordnung der zugrundeliegenden Verbindungen (relationale Merkmale m2) berücksichtigt wurde. Beispiele dafür sind Art und Ausmaß der Verbundenheit des Beziehungsnetzes im Kollektiv: Dabei spielt die Anordnung der Verbindungen insofern eine Rolle, als es auf die Verknüpfung der einzelnen, paarweisen Verbindungen ankommt und dadurch Verbindungen zwischen je zwei Elementen des Kollektivs über ein, zwei oder mehr Verbindungsschritte entstehen; Ausmaß der Hierarchisierung im Beziehungsnetz des Kollektivs: Hier kommt die Anordnung der Verbindungen dadurch ins Spiel, dass sich hierarchische Strukturen als gleichgerichtete Ketten oder Bäume der einzelnen, paarweisen Verbindungen darstellen. Nur unter solchen (wir nennen sie strukturellen ) Bedingungen unterscheidet sich die Ableitung von Kollektiv-Merkmalen (c2) aus den empirisch erhobenen relationalen Merkmalen (m2) von ihrer einfachen Aggregation zu analytischen Merkmalen (c1). Für die beiden noch ausstehenden Kategorien des LMS, (m3) und (m4), gilt gleichermaßen, dass damit Merkmale von Kollektiven höherer Ebene beschrieben werden, die als Kontext-Eigenschaften der zum Kollektiv gehörenden Elemente, das sind nun Kollektive niedrigerer Ebene oder individuelle Elemente, gedeutet werden. Es handelt sich also immer um die Zuordnung von Eigenschaften von einer höheren an eine darunter liegende Ebene. Bei kontextuellen Merkmalen (m4) in der von Lazarsfeld/Menzel ursprünglich intendierten Form werden die Kontext-Eigenschaften (im LMS: c1-c3, in unserer verengten Fassung nur c1 und c3) den darunter liegenden

6 580 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Einheiten undifferenziert zugeordnet. Das Kontext-Merkmal (m4) gilt damit einheitlich für alle zugehörenden Einheiten des Kollektivs. Alle Befragten aus dem Land X erhalten z. B. dieses globale Merkmal (c3) als nun individuelles Kontext-Merkmal (m4) zugewiesen. Gleiches gilt für das analytische Merkmal (c1) einer Region mit z. B. dem Katholiken-Anteil von x v.h., und zwar unabhängig von der jeweiligen Religionszugehörigkeit der betreffenden Person. Auch das von uns oben beschriebene Maß für die Dichte einer Beziehung im Netz würde entsprechend allen Mitgliedern dieses Kollektivs als kontextuelles Merkmal (m4) einheitlich zugewiesen, ebenfalls unabhängig davon, ob die jeweilige Person mitten im Zentrum eines insgesamt dichten Netzes steht oder isoliert am Rande. Die offenkundigen Beschränkungen dieser Art kontextueller Merkmale (m4) führten Lazarsfeld/Menzel zur Definition einer weiteren Form von Kontext-Merkmalen, bei der eine absolute oder relationale Eigenschaft des individuellen Elements im Vergleich zur Verteilung des Merkmals im umgebenden Kollektiv beschrieben wird. Sie nennen solche kombinierten Eigenschaften komparative Merkmale (m3). Damit kann nun z. B. zwischen Katholiken in mehrheitlich katholischen und mehrheitlich protestantischen Kontexten unterschieden werden. Auf gleiche Weise kann ein kontextuelles Merkmal wie die genannte Dichte des Netzes insgesamt differenziert werden nach der (lokalen) Dichte der individuellen Anbindung einer Person an dieses Netz, beschrieben durch die Zahl (den sog. Grad ; siehe unten) ihrer persönlichen Verbindungen. Tatsächlich wird die Differenzierung kontextueller Eigenschaften in der Netzwerkanalyse (noch) sehr viel weiter getrieben als im Fall der komparativen Merkmale. Wenn man das oben beschriebene Beispiel hierarchischer Strukturen (strukturelles Merkmal (c2)) aufgreift, so erhält im Prinzip jede einzelne Person aufgrund ihrer jeweiligen Stellung in dieser hierarchischen Struktur eine individuell bestimmte (strukturelle) Umgebungseigenschaft zugeordnet. Entsprechend widmet sich ein sehr großer Teil der Literatur zur Netzwerkanalyse solchen Beschreibungen der jeweils individuellen Stellung von Akteuren ( Position ) im sie umgebenden Beziehungsnetz. Nach Ableitung der strukturellen Eigenschaften auf der Ebene von Kollektiven und/oder der Charakterisierung der Struktur im jeweils umgebenden ( bedeutsamen ) Teil des Beziehungsnetzes enden nach unserer Auffassung die Besonderheiten der Netzwerkanalyse. Ihre Ergebnisse gehen genau wie alle anderen entweder direkt erhobenen oder daraus indirekt abgeleiteten Merkmale in eine gemeinsame, meist multivariate Mehrebenen-Analyse ein. 2 Darstellung der Verfahren In diesem Abschnitt behandeln wir nach der Definition einiger grundlegender Begriffe zunächst (2.1) elementare Strukturformen in kleinen Beziehungsnetzen mit nur zwei bzw. drei individuellen Einheiten. An solch kleinen Aggregaten (meist Teile größerer Netze) lässt sich gut demonstrieren, wie unterschiedliche Eigenschaften der Netzstruktur aus den ursprünglichen Daten abgeleitet werden. In diesen einfachen Fällen wird auch deutlich, welche Möglichkeiten der weiteren Verwendung für die abgeleiteten Merkmale bestehen. In den anschließenden Abschnitten behandeln wir dann kurz

7 23 Netzwerkanalyse 581 einige der in der Netzwerkanalyse benutzten Konzepte zur Strukturbeschreibung. Zunächst geht es um (2.2) Formen der strukturellen Einbettung individueller Einheiten in das sie umgebende Beziehungsnetz sowie z. T. daraus abgeleitete Strukturmaße für das Gesamtnetz und schließlich um (2.3) verschiedene Arten der Gliederung eines Beziehungsnetzes in relativ eng bzw. stark verbundene Teilnetze. In allen drei Fällen stellen wir die Kriterien zur Auswahl bestimmter Verfahren der Diskussion voran. Die Entscheidung über die jeweils angemessenen Auswahlkriterien, über das damit gewählte Verfahren zur Netzwerkanalyse und damit in gewissem Umfang auch über das Ergebnis der Analyse muss neben methodischen vor allem inhaltlich-theoretische Gesichtspunkte berücksichtigen. In allen Fällen besteht das Ergebnis der hier präsentierten Form der Netzwerkanalyse aus neu gebildeten Merkmalen, die sich auf Einheiten der jeweils inhaltlich angemessenen Ebene beziehen sollten. Die Netzwerkanalyse erfüllt damit die Funktion der Messung von Struktureigenschaften und stellt eine (eingeschränkte) Messtheorie dar. Die Einschränkung beruht in fast allen Fällen auf dem mangelnden Überschuss an Daten. Es werden zwar Strukturmerkmale abgeleitet, es bleiben aber keine Informationen zur Prüfung der Verträglichkeit von Messtheorie und Daten übrig. Eine Rechtfertigung der Messung kann sich erst später und nur indirekt im Rahmen der Verwendung der Strukturmerkmale in komplexeren Aussagen zeigen. 2.1 Konzepte zur Beschreibung der Netzstruktur in Dyaden und Triaden Die individuellen Einheiten von Beziehungsnetzen werden formal als Knoten (i, j, k... ) bezeichnet. In den Sozialwissenschaften sind dies in der Regel Personen als die handelnden Akteure. Je nach inhaltlichem Interesse können jedoch auch kollektive Akteure wie z. B. Paare von Personen oder sogar ganze Organisationen als Knoten in diesem Sinne definiert werden. 4 Schließlich kann es sich um Kollektive einer mittleren Ebene handeln, die vorher z. B. als Teilnetze aufgrund ihrer internen Verbundenheit (siehe unten, Abschnitt 2.3) oder aufgrund strukturgleicher Einbettung im Netz abgegrenzt wurden (siehe unten, Abschnitt 2.2, Positionen ). Die Verbindungen zwischen den Knoten werden Kanten genannt. Die Kanten können ungerichtet (i j, z. B. die Personen i und j kennen sich) oder gerichtet (i j, z. B. i informiert j) sein. In beiden Fällen kann die Kante zumindest zwei Zustände einnehmen: Entweder existiert die Kante (1) oder drückt einen positiven Wert (+) wie Anerkennung aus oder sie existiert nicht (0) bzw. kennzeichnet eine negative Verbindung wie Ablehnung ( ). In manchen Fällen werden Kanten zusätzlich und differenziert bewertet, z. B. Person i leiht j entweder nichts (Wert 0) oder einen bestimmten Betrag (z. B. 500 ). Wie eingangs betont befasst sich die Netzwerkanalyse mit der Anordnung von Kanten (ihrer Struktur) in Dyaden (2 Knoten), Triaden (3 Knoten), Quadrupeln (4 Knoten) usf. bis hin zum gesamten Beziehungsnetz (n Knoten). Mit der Größe der (Teil-)Netze wächst die Komplexität der möglichen Anordnungen von Kanten. 4 Abgesehen von den eingangs im Zusammenhang mit bipartiten Graphen erwähnten inhaltlichen Spezialfällen wie Medien, Werte etc.

8 582 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Dyaden Sehr einfach zu überschauen sind noch Dyaden: Die Möglichkeiten zur Anordnung der Kanten sind hier eng begrenzt: Bei ungerichteten ( symmetrischen ) Beziehungen besteht eine Verbindung (1 bzw. +) oder sie besteht nicht (0 bzw. ). Bei gerichteten Beziehungen gibt es 4 Möglichkeiten: Keine Verbindung in beiden Richtungen (0 0 bzw. ), eine Verbindung entweder nur in der einen Richtung (1 0 bzw. + bzw. ), nur in der anderen Richtung (0 1 bzw. + bzw. ) oder gleichzeitig in beiden Richtungen (1 1 bzw. + + bzw. ). Wenn man die beiden Knoten der Dyade nicht benennt (d. h. sie nicht durch identifizierende Namen unterscheidet), gibt es im gerichteten Fall drei strukturell unterschiedliche Typen von Dyaden, die sich lediglich in der Zahl der vorhandenen gerichteten Kanten (0,1,2) unterscheiden. Die Anordnung der Kanten in Dyaden wird über die Beschreibung dieser Einheiten hinaus auch zur Kennzeichnung der Struktur von Teilnetzen auf höheren Ebenen bis hinauf zum Gesamtnetz benutzt. Dazu ist die u. U. mehrfache Bildung abgeleiteter Merkmale aus den ursprünglichen empirischen Informationen über einzelne Kanten erforderlich. Ein Beispiel: Die Zahl aller Verbindungen eines Knoten heißt sein Grad (engl. degree ), im gerichteten Fall Innen- bzw. Außengrad je nachdem, ob es sich um eingehende oder ausgehende Verbindungen handelt. Sie sind ein Maß lokaler Dichte. Im Fall ungerichteter oder ausgehender Verbindungen spricht man auch von Zentralität, genauer von degree centrality, da es noch weitere Zentralitätskonzepte gibt (siehe unten, Abschnitt 2.2). Falls die Kanten positiv im Sinne von Wertschätzung oder Freundschaft gedeutet werden können, wird die Zahl der eingehenden Kanten eines Knotens (sein Innengrad) auch als sein Prestige (genauer degree prestige, da es noch weitere Prestigekonzepte gibt) bezeichnet. 5 Bildet man die Summe aller von allen Knoten ausgehenden gerichteten Kanten und bezieht diese auf die Gesamtzahl aller im Netz möglichen gerichteten Kanten, so spricht man von der Dichte des Netzes insgesamt. Bei der Ableitung dieser Netzwerk-Dichte handelt es sich unmittelbar um ein analytisches Kollektivmerkmal (c1), das durch Aggregation über alle Kanten im Beziehungsnetz ermittelt wurde; im Beispiel des Prestige hingegen wurden für jeden einzelnen Knoten Aggregationen nur über alle seine Kanten vorgenommen und die Ergebnisse in einem zweiten Schritt den jeweiligen Knoten als Kontextmerkmal (m4) zugeordnet, nämlich Prestige in einem bestimmten Kontext, der durch das gesamte Beziehungsnetz gebildet wird. Auf ähnliche Weise könnte das Prestige von Personen innerhalb enger gefasster Kontexte ermittelt werden, z. B. innerhalb von Teilnetzen. Mit einer erneuten Aggregation kann nun z. B. die Verteilung des Kontextmerkmals Prestige im gesamten Netz ermittelt werden, die Aufschluss gibt über die interne Differenzierung bzw. Hierarchie unter den Mitgliedern des Beziehungsnetzes. Bei anderer Interpretation der gerichteten Kanten als potentiellen Übertragungsschritten im Kommunikationsprozess kann aus der Verteilung der Zahl eingehender Kanten (im Sinne des LMS ein Kollektivmerkmal (c1) 2. Grades) indirekt auch auf die Verbundenheit (siehe unten, Abschnitt 2.3) des Beziehungsnetzes geschlossen werden (vgl. z. B. scale free networks, Watts 2004). Bei der Nutzung solcher abgeleiteter 5 Entprechend wäre die Zahl der von einem Knoten ausgehenden gerichteten Kanten (sein Außengrad) ein Maß für sein Aktivitäts- oder Kontaktvolumen o. ä.

9 23 Netzwerkanalyse 583 Merkmale darf jedoch (trotz ihrer häufigen Bewährung) nicht vergessen werden, dass oft der Geltungsbereich der ursprünglichen Daten überschritten wird. Im vorliegenden Fall liegen mit den Informationen über die einzelnen Kanten direkt nur Daten über die 1-Schritt-Verbindungen vor, nach der Ableitung des Kollektivmerkmals 2. Grades wird jedoch eine Aussage über Verbindungen im gesamten Netz getroffen. Triaden Triaden bestehen aus jeweils 3 Knoten und den zwischen ihnen vorhandenen ungerichteten bzw. gerichteten Kanten. Bei ungerichteten Beziehungen gibt es in einer Triade 3 unterscheidbare ungeordnete Paare von Knoten, zwischen denen jeweils eine Verbindung vorhanden sein kann oder nicht, und entsprechend 2 3 = 8 mögliche Anordnungen von Kanten. Wenn man die drei Knoten nicht benennt, sich also auf die Struktur der Kanten konzentriert, sind einige dieser 8 Anordnungen strukturgleich. Es bleiben dann noch 4 strukturell unterscheidbare Typen von Triaden, die sich wieder nur durch die Zahl der vorhandenen (ungerichteten) Kanten (0, 1, 2, 3) unterscheiden. Etwas komplizierter wird es bei gerichteten Kanten. Bei 3 Knoten gibt es insgesamt 6 unterscheidbare geordnete Paare von Knoten, zwischen denen jeweils eine Verbindung möglich ist. Die 2 6 = 64 möglichen Anordnungen gerichteter Kanten bilden wieder bei unbenannten Knoten 16 strukturell unterscheidbare Typen von Triaden, die zusammen mit der auf James A. Davis, Paul Holland und Samuel Leinhardt (z. B. Holland & Leinhardt 1975) zurückgehenden M-A-N-Notation in Abbildung 1 auf Seite 584 dargestellt sind. Diese 16 Struktur-Typen sind einmal vertikal nach der Zahl der bestehenden Verbindungen und horizontal nach transitiven und intransitiven Triaden geordnet, wobei in der oberen Hälfte der linken Spalte die Triaden aufgeführt sind, die nur in einem weiteren ( leeren ) Sinne transitiv sind, in der unteren Hälfte hingegen die im strengen Sinne transitiven (vgl. dazu Hummell & Sodeur 1987b). Die 3 Ziffern unterhalb der Struktur-Typen kennzeichnen die Zahl der Verbindungen, getrennt nach M(utual), A(symmetric) und N(ull). Beispielsweise steht links oben in der Abbildung der Struktur-Typ 003 mit 0 gegenseitigen (mutual), 0 einseitigen (asymmetric) und 3 abwesenden (null) Verbindungen. In einigen Fällen sind die Struktur-Typen auf diese Weise noch nicht eindeutig zu unterscheiden. Zusätzlich wird dann ein Buchstabe angefügt: U(p) für aufwärts bzw. weg von der symmetrischen Verbindung (unabhängig davon, ob Mutual oder Null); D(own) für abwärts bzw. hin zur symmetrischen Verbindung; T(ransitive) für eine Strukturform, bei der eine gerichtete Verbindung zwischen 2 Knoten über 2 Schritte durch eine direkte Verbindung in derselben Richtung zwischen diesen beiden Knoten ergänzt wird; schließlich C(yclic) für eine Anordnung der Kanten in der Triade, bei der Verbindungen nur in einer Richtung ( zyklisch ) vorkommen, d. h. entweder als Weg über 2 Schritte (021C) oder über 3 Schritte, wobei der Ausgangspunkt wieder erreicht wird (030C). Die häufige Beachtung von Triaden in der Literatur ist auf die Zusammenhänge zwischen der Struktur der Kanten in den Triaden und der Struktur des gesamten Beziehungsnetzes zurückzuführen. Vor allem aus der Abwesenheit bestimmter Anordnungen der Kanten innerhalb der Triaden wird dabei auf Struktur-Eigenschaften des Netzes geschlossen wie seine Gliederung in Cliquen, deren hierarchische Ordnung oder (in

10 584 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Transitive Triaden Intransitive Triaden U 021D C 030T 030C 111D 111U 120U 120D 120C Abb. 1: 16 strukturell unterscheidbare Typen von Triaden in der M-A-N-Notation (z. B. Holland & Leinhardt 1975) Extremfällen) die Polarisierung des Netzes in nur zwei antagonistische Cliquen. Dazu wird gezählt, wie sich die insgesamt n (n 1) (n 2)/6 Triaden eines Netzwerks aus n Knoten auf die 16 Struktur-Typen verteilen ( Triaden-Zensus ). Vom Ergebnis des Triaden-Zensus lassen sich dann größere oder geringere Näherungen der Struktur des gesamten Beziehungsnetzes an bestimmte Idealtypen ableiten (vgl. dazu Hummell & Sodeur 1987b). Triadische Umgebungen einzelner Knoten In der Literatur werden die oben diskutierten Struktur-Eigenschaften von Triaden nicht selten auch zur Beschreibung individueller Kontexte genutzt. Dieses ist meist keine empfehlenswerte Verwendung: Denn damit werden kontextuelle Merkmale einheitlich allen Mitgliedern des Kollektivs zugeordnet, auch wenn es für deren differentielle Beschreibung gute Gründe gibt. Die Abbildung der 16 Struktur-Typen in Abbildung 1 zeigt, dass viele der Triaden-Typen ihre Knoten auf recht unterschiedliche Weise einbetten. Als Beispiel soll hier nur der Struktur-Typ 021C dienen (oberste Triade in rechter Spalte). Deutet man die gerichteten Kanten als hierarchische Ordnungen, so steht jeweils einer der drei Knoten oben, in der Mitte und unten. Derselbe Struktur-Typ

11 23 Netzwerkanalyse 585 beschreibt also für die 3 zugehörenden Knoten denkbar unterschiedliche Umgebungen. Für die Beschreibung triadischer Umgebungen der einzelnen Knoten im Beziehungsnetz stellen die 16 Struktur-Typen deshalb eine zu starke Abstraktion dar. Die 16 Typen wurden aus den ursprünglich 2 6 = 64 unterschiedlichen Anordnungen unter dem Gesichtspunkt gebildet, dass man auf die namentliche Identifizierbarkeit aller 3 Knoten verzichtet bzw. sie als strukturell austauschbar erklärt. Will man nun aber triadische Umgebungen aus der Sicht der einzelnen Knoten beschreiben, so sind nicht alle 3 Knoten untereinander austauschbar: Einer dieser Knoten steht jeweils im Fokus und die beiden anderen bilden seinen sozialen Kontext. Strukturell austauschbar sind nur jeweils jene beiden Knoten, welche seine Umgebung repräsentieren. Sucht man unter solchen Voraussetzungen unter den insgesamt 64 unterschiedlichen Anordnungen der jeweils 6 möglichen Verbindungen einer Triade wieder nach unterscheidbaren Struktur-Typen, so ergeben sich 36 unterschiedliche triadische Positions-Typen, die eine Person innerhalb einer Triade einnehmen kann (vgl. dazu Hummell & Sodeur 1987a). Diese 36 strukturell unterscheidbaren Typen der Einbettung einer Person in ihre triadischen Umgebungen sind in Abbildung 2 auf Seite 586 dargestellt und folgen einer gegenüber dem Original späteren und wesentlich verbesserten Darstellung von Burt (1990). Entsprechend dem Vorgehen beim Triaden-Zensus kann hier ein Positionen-Zensus gebildet werden. Triadische Positionen jedes einzelnen von n Knoten im Netz werden durch die Menge aller triadischen Umgebungen definiert, die aus jeweils 2 der übrigen Knoten im Netz bestehen. Untereinander sind die beiden Umgebungs-Knoten strukturell nicht unterscheidbar und können ohne Folgen für die Struktur der Umgebung ihre Plätze tauschen. Für jeden der n Knoten wird entsprechend gezählt, wie sich seine (n 1) (n 2)/2 triadischen Umgebungen auf die 36 triadischen Positions-Typen aus Abbildung 2 verteilen. Dieser Zensus kann anschließend zur Ableitung zahlreicher Varianten von Positionsbeschreibungen verwandt werden (vgl. dazu Hummell & Sodeur 1987a; Trappmann et al. 2010). Positionen in der eben beschriebenen Form charakterisieren also Akteure aufgrund ihrer (triadischen) Umgebungen. Damit werden Merkmale abgeleitet, mit deren Hilfe andere Eigenschaften oder Handlungen der Akteure erklärt werden können. Soweit solche Handlungen jedoch auf Veränderungen im Beziehungsnetz gerichtet sind, vor allem den Auf- oder Abbau gerichteter Kanten betreffen, stehen (gerichtete) Kanten im Mittelpunkt des Interesses. Ein Akteur i entscheidet über die von ihm kontrollierten Teile des Beziehungsnetzes, und das ist meist eine der von ihm ausgehenden, gerichteten Kanten (i j). Besteht diese Beziehung zum Zeitpunkt t 1 noch nicht, geht es bei der Entscheidung um einen möglichen Aufbau der gerichteten Beziehung zu j, sonst um einen möglichen Abbau. Soweit von der strukturellen Einbettung im Netz ein Einfluss auf solche Entscheidungen erwartet wird, muss das Explanandum sowohl den Akteur i umfassen wie auch den Gegenstand seiner Entscheidung (i j), also die Beziehung zu j. Aufgrund der bisherigen Diskussion müsste deutlich geworden sein, dass die Positions-Typen mit ihrer Konzentration allein auf den jeweiligen Knoten i (und ohne die Beziehung zu j) keinen geeigneten Kontext beschreiben. Beschränkt man sich wiederum auf triadische Umgebungen, so ist der Kontext der Entscheidungskante i j durch einen jeweils dritten (von den insgesamt verbleibenden n 2) Knoten

12 586 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur s Beziehung mit anderen Personen (Alteri, ) Beziehung zwischen den beiden anderen Personen und keine Verbindung zwischen und zweiseitige Verbindung zwischen und einseitige Verbindung zwischen und Keine oder ausgehende zu (oder ) ausgehende zu und oder eingehende von (oder ) eingehende von und oder zweiseitige mit (oder ) zweiseitige mit und oder Kette A Kette B Kette C Abb. 2: 36 strukturell unterscheidbare Typen der Einbettung von in seine triadischen Umgebungen ( triadische Positions-Typen ); Reihenfolge, Bezeichnung und Nummerierung nach Burt (1990), urspr. Hummell & Sodeur (1987a)

13 23 Netzwerkanalyse 587 k und seine Beziehungen zu i und j gekennzeichnet (siehe unten, Abschnitt 3 sowie Hummell & Sodeur 2010). 2.2 Positionen : Die Klassierung von Knoten aufgrund ähnlicher Muster ihrer strukturellen Einbettung Knoten können durch eine Vielzahl struktureller Eigenschaften charakterisiert werden. Falls mehrere Knoten jeweils die gleiche Kombination solcher Eigenschaften aufweisen, sind sie strukturell nicht unterscheidbar bzw. äquivalent. Aus inhaltlichen Gründen wird man oft auch Knoten als näherungsweise äquivalent betrachten wollen, wenn sie strukturell nur genügend ähnlich sind. Von strukturell äquivalenten bzw. hinreichend ähnlichen Knoten sagt man, dass sie die gleiche (strukturell definierte) Position innehaben oder dass sie positionsgleich sind. Entsprechend ihren Positionswerten können Knoten zu Äquivalenzklassen zusammengefasst ( aggregiert ; kondensiert ) und mit ihrer jeweiligen Äquivalenzklasse identifiziert werden. Nach Reduktion der Knoten auf ihre Äquivalenzklassen (man spricht hier oft auch von Blöcken ) sind dann auf dieser höheren Aggregationsebene die Beziehungen zwischen den Blöcken zu untersuchen. Die Analyse der (in Form von BlockImage-Matrizen oder reduzierter Graphen dargestellten) Beziehungen zwischen den Blöcken nennt man Rollenanalyse (White et al. 1976). Bei der Analyse von Positionen und Rollen werden also Akteure gesucht, die auf gleiche oder ähnliche Weise in das Beziehungsnetz eingebettet sind. Neben ihrer Aggregation zu Blöcken geschehen solche Ordnungen der Akteure nach ihren Positions-Zugehörigkeiten fast immer zu Vergleichszwecken: Unterschiedliche Positionswerte der Akteure werden allein oder in Kombination mit anderen Merkmalen der Akteure entweder zur Erklärung einzelner Eigenschaften oder Handlungen herangezogen oder es wird umgekehrt versucht, die Positions-Zugehörigkeit der Akteure zu erklären (u. a. Wasserman & Faust 1994; Trappmann et al. 2010). Wie auch bei anderen Entscheidungsprozessen dieser Art muss vor einer vergleichenden Analyse von Positionen geklärt werden, welche Aspekte einer Einbettung von Akteuren in die Beziehungsstruktur ihrer Umgebung für die Beschreibung der Positionen bedeutsam sein sollen. Am Anfang steht dabei die Entscheidung, welche inhaltlich definierte(n) Beziehung(en) der Positionsinhaber (z. B. Freundschaft, Kontakthäufigkeit, Anweisungsbefugnis, Informationspflicht) im Mittelpunkt stehen sollen. Nach der Wahl einer inhaltlich bestimmten Beziehung wie zum Beispiel dem Informationsaustausch wird man unterschiedlich differenziert vorgehen können und entweder nur die Existenz von Austauschverbindungen beachten, zusätzlich nach der Richtung (A B, A B, A B) des Informationsflusses unterscheiden oder sogar die Intensität der Informationsflüsse in den verschiedenen Richtungen berücksichtigen wollen. Manchmal wird es auf die Identifikation von Verbindungen zu bestimmten konkreten (d. h. namentlich identifizierbaren) Personen ankommen: Haben also die hinsichtlich ihrer Position zu vergleichenden Akteure gleiche Verbindungen zu denselben Personen? In anderen Fällen mag es genügen, die Übereinstimmung der Verbindungen zu irgendwie gleichartigen Personen festzustellen. Im letztgenannten Fall sieht man

14 588 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Personen als gleichartig an, wenn sie sich in gleichen oder ähnlichen Positionen befinden. Dann ist wiederum festzulegen, unter welchen Bedingungen Positionen als gleich oder ähnlich angesehen werden. Schließlich mögen nur die unmittelbaren (direkten) Verbindungen der Akteure bedeutsam sein, in anderen Fällen auch die Einbettung dieser Verbindungen in ein weiteres Umfeld, das die indirekten Verbindungen der Akteure in 2, 3 oder mehr Schritten umfasst. 6 Einige der genannten Gesichtspunkte gelten auch außerhalb der Netzwerkanalyse auf gleiche Weise, einige sind sinngemäß leicht übertragbar. So ist es plausibel, dass indirekte Verbindungen einer Person über 1, 2, 3... Zwischenstationen irgendwann an Bedeutung verlieren müssen, sowohl aufgrund mangelnder Sichtbarkeit der indirekten Verbindungen über viele Zwischenstationen als auch aufgrund des vermutlich nur geringen Einflusses entfernter Akteure. Es muss also unter inhaltlichen Gesichtspunkten entschieden werden, in welcher Weite gemessen an der Schrittzahl über mögliche Zwischenstationen eine Beziehungs-Umgebung als bedeutsam erscheint. Ausführlicher müssen wir uns nun mit dem Gesichtspunkt der (strukturellen) Gleichartigkeit (im Sinne von Äquivalenz oder abgeschwächt Ähnlichkeit als näherungsweiser Äquivalenz) von Akteuren befassen, zumal sie bei der Entwicklung von wie auch der nachträglichen Entscheidung für verschiedene Verfahren der Positionsanalyse eine große Rolle spielen bzw. gespielt haben. 1. Unter strukturellen Gesichtspunkten 7 wird man zunächst fragen, inwieweit Akteure im Hinblick auf die interessierende inhaltliche Beziehung gleiche Verbindungen zu denselben Personen haben. Demnach würden z. B. zwei Akteure A und B strukturell als umso ähnlicher eingestuft und dementsprechend gleichen oder ähnlichen Positionen zugeordnet, je größer z. B. der Anteil gemeinsamer Freunde an der Zahl der Freunde ist, die beide Akteure insgesamt haben. Es ist offensichtlich, dass ein solches Konzept zur Ermittlung von Positionen nur auf Beziehungen von Akteuren in derselben Population von Kontaktpersonen anwendbar ist. Einige besonders häufig genutzte Verfahren der Positionsermittlung folgen den eben genannten Gesichtspunkten: Alle möglichen Paare von je zwei Akteuren i und j (i, j = 1,2... n) im Netz werden hinsichtlich ihrer z. B. gerichteten, ausgehenden wie eingehenden Kanten zu bzw. von allen anderen Akteuren beschrieben. In einer Population von z. B. n Personen entsteht so eine (n 2n)-Matrix, im Falle von n = 10 also mit 10 Zeilen (Profile der 10 Akteure) und 20 Spalten, von denen die ersten 10 Spalten die ausgehenden und die letzten 10 Spalten die eingehenden Verbindungen kennzeichnen, jeweils mit den Werten 0 (nicht vorhanden) und 1 (vorhanden) bzw. mit einem anderen Wert ( 0) für die Stärke der Verbindung. Zu klären ist dabei zusätzlich, wie mit den evtl. vorhandenen direkten Verbindungen 6 Natürlich können für die Gleichartigkeit von Personen auch andere bedeutsame Merkmale herangezogen werden wie z. B. die monadischen Merkmale Alter, Geschlecht, Bildung usf. 7 In der Netzwerkanalyse hat sich der Begriff der strukturellen Äquivalenz bzw. Ähnlichkeit in der im folgenden erläuterten Weise eingebürgert und ist nicht zu verwechseln mit dem von uns verwandten Strukturbegriff im Sinne der Anordnung von Kanten im Netz.

15 23 Netzwerkanalyse 589 von i nach j und von j nach i zu verfahren ist sowie ggf. mit Verbindungen der Akteure zu sich selbst (i,i) bzw. (j,j). Die anschließende Ordnung der Knoten nach ihren Positions-Zugehörigkeiten erfolgt entweder mit den auch außerhalb der Netzwerkanalyse üblichen Klassifikations- Verfahren oder mit einem Verfahren ( CONCOR, Breiger et al. 1975), das speziell in der Netzwerkanalyse entwickelt und häufig benutzt wurde. Zu Einzelheiten verweisen wir auf die einschlägige Literatur (z. B. Wasserman & Faust 1994; Trappmann et al. 2010). Die Ergebnisse dieser Ordnung werden entweder zur Kennzeichnung der (positionalen) Einbettung der Einheiten oder zur Klassifikation der Einheiten mit ähnlicher Beziehungsstruktur innerhalb und außerhalb dieser Klassen genutzt (vgl. Rollenanalyse ). 2. Die eben genannten Verfahren zur Ermittlung der sogenannten strukturellen Äquivalenz bzw. Ähnlichkeit eignen sich nur zum Positionsvergleich von Knoten in derselben Population. Für Vergleiche zwischen verschiedenen Populationen muss eine stärker generalisierte Beschreibung gefordert werden. Damit ist von einigen Details des eben genannten Vergleichs abzusehen. An die Stelle der Forderung nach gleichen Beziehungen zu denselben Personen tritt dann die Forderung nach gleichen Beziehungen zu nur noch gleichartigen Personen. Es gibt viele Gesichtspunkte, unter denen verschiedene Personen als gleichartig gelten können. Von einem bei der Analyse von Positionen häufig gewählten Gesichtspunkt aus werden Personen dann als gleichartig betrachtet, wenn sie ihrerseits auf gleiche Weise mit gleichartigen Personen verbunden sind; und letztere wiederum sind dann gleichartig, wenn sie auf gleiche Weise mit gleichartigen Personen verbunden sind usf. Am einfachsten wird dieser neue, mit der automorphen Äquivalenz bzw. (abgeschwächt) Ähnlichkeit verbundene Gesichtpunkt verständlich, wenn man sich zur Vereinfachung auf die 1-Schritt-Umgebungen der Akteure beschränkt: Die Äquivalenzforderung gleiche Verbindungen mit gleichartigen Personen verengt sich nun darauf, dass es nur noch auf die Zahl der betreffenden Verbindungen der Akteure ankommt. Die Kontaktpersonen am anderen Ende der Verbindungen gelten per definitionem immer als gleichartig, weil ihre möglicherweise unterschiedlichen Beziehungen vom Standpunkt der betrachteten Akteure 2-Schritt-Beziehungen sind, die als unbedeutsam eingestuft werden und damit auch keine beachtenswerten Unterschiede erzeugen können. Zwei Akteure mit jeweils genau der gleichen Zahl a) asymmetrisch ausgehender, b) asymmetrisch eingehender c) symmetrisch ein- und ausgehender Kanten und damit auch d) der gleichen Zahl von Personen, mit denen sie nicht verbunden sind, gelten also unter dieser Sichtweise als äquivalent, und zwar unabhängig davon, zu welchen konkreten anderen Personen sie Verbindungen haben. Entsprechend kann man auch die 2- oder 3- oder Mehr-Schritt-Umgebung der Akteure für wichtig erachten. Eine sinnvolle Auswahlentscheidung muss auf inhaltlicher Basis getroffen werden. Als Positionsmerkmale in 1-Schritt-Umgebungen ist vor allem das in Abschnitt 2.1 genannte Merkmal Prestige zu erwähnen: Es ist durch die Zahl aller bei einem Knoten eingehenden Kanten gebildet (seinem Innengrad, weshalb man auch von degree prestige spricht), falls die eingehenden Verbindungen positiv zu interpretieren sind. Dieses Merkmal folgt dem Gesichtspunkt der automorphen

16 590 Hans J. Hummell und Wolfgang Sodeur Äquivalenz, da es bei seiner Ableitung nicht darauf ankommt, von welchen Knoten diese Kanten ausgehen, sondern nur auf deren Zahl. Wir erinnern, dass ohne Bezug auf eine positive Deutung der Kanten man auch von Zentralität spricht (engl. degree centrality ) und damit im gerichteten Fall in der Regel die Zahl der ausgehenden Kanten (den Außengrad) meint. Positionen in 2-Schritt-Umgebungen werden in der Literatur nur relativ selten genannt. Beispiele dafür sind auf der Grundlage des oben (Abschnitt 2.1) beschriebenen Positionen-Zensus abzuleiten: Ohne inhaltliche Vorgaben bilden die Häufigkeiten des Auftretens aller 36 Positions-Typen für jeden einzelnen Knoten einen Merkmals-Vektor, der seine (2-Schritt-) Umgebungen hinsichtlich aller möglichen Strukturaspekte beschreibt. Mit Hilfe üblicher Klassifikationsverfahren werden die Knoten dann nach der relativen Ähnlichkeit ihrer Vektoren klassiert (vgl. Trappmann et al. 2010, Kap. 4.2 und 4.8 ). Besser ist u. E. die Vorgabe inhaltlicher Gesichtspunkte durch Auswahl geeigneter Positions-Typen, die im Untersuchungs-Zusammenhang als bedeutsam erscheinen. So beschreiben in Abbildung 2 auf Seite 586 z. B. die Positions-Typen 7, 8, 9, 10 Positionen, in denen die Positionsinhaber (, in jedem der 36 Graphen jeweils links) zwischen zwei anderen Knoten in ihrer Umgebung vermitteln können, da diese keine direkte Verbindung untereinander haben, sondern nur indirekt über verbunden sind. Diese Makler-Positionen können z. B. mit Gegenpositionen verglichen werden, bei denen mangels direkter eigener Verbindungen abhängig ist von der Vermittlung anderer Knoten; hierzu gehören vor allem die Positions-Typen 12, 14, 16. Die restlichen Positions-Typen können entweder weiter differenziert oder gemeinsam einer Restkategorie zugeordnet werden. Da aufgrund des Positionen-Zensus alle (n 1) (n 2)/2 Umgebungen jedes Knotens auf die 36 Positions-Typen verteilt werden, müssen nun nur noch die Häufigkeiten der (im obigen Beispiel 3) Makler-Kategorien zusammengezählt und dem jeweiligen Knoten als Kontext-Merkmal zugeordnet werden. Im Sinne der genannten Kriterien ist dies ein Kontext-Merkmal auf der Basis von 2-Schritt-Umgebungen, das den Gesichtspunkten automorpher Äquivalenz folgt. Für 3- und Mehr-Schritt-Umgebungen sind verschiedene Konzepte zur Positionsbeschreibung entwickelt worden. Wir erwähnen hier nur zwei weitere Zentralitätskonzepte, die entweder die unterschiedliche Nähe der Akteure zu allen anderen Akteuren im Netz betonen ( closeness centrality ) 8 oder die strategische Stellung von Akteuren (z. B. als Makler ) auf den einzigen oder kürzesten Wegen zwischen anderen Akteuren ( betweenness centrality, vgl. u. a. Wasserman & Faust 1994; Trappmann et al. 2010, siehe auch unten, Abschnitt 3). Die hier zur Kennzeichnung der Position einzelner Knoten beschriebenen Maße werden indirekt auch zur Beschreibung von Eigenschaften ganzer Netzwerke herangezogen, indem aus den Daten dieser Einheiten durch Aggregation analytische Merkmale des Kollektivs gebildet werden (etwa Mittelwerte, Streuungen 8 In gerichteten Netzen sind wiederum zwei Unterfälle von closeness centrality zu unterscheiden (siehe unten, Abschnitte 3.3 und 3.4)

17 23 Netzwerkanalyse 591 etc.). Statt z. B. von der Zentralität einzelner Knoten spricht man dann von der Zentralisierung des gesamten Netzes. 3. Die mit dem Gesichtspunkt der automorphen Äquivalenz bzw. Ähnlichkeit eingeführte Abstraktion von den jeweils namentlich identifizierbaren Kontaktpersonen eines Positionsinhabers reicht häufig noch nicht aus, um die inhaltlichen Vorstellungen über gleiche bzw. ähnliche Strukturaspekte von Positionen angemessen zu berücksichtigen. Vergleichen wir die Positionen zweier Akteure anhand der Zahl ihrer Kontakte in 1-Schritt-Umgebungen und nehmen wir an, dass die beiden Akteure sehr unterschiedlich großen Beziehungsnetzen von z. B. n1 = 10 und n2 = 100 Knoten angehören. Die absolute Zahl ihrer Kontakte lässt sich unter dieser Bedingung nicht mehr direkt vergleichen, aber auch relative Häufigkeiten wären angesichts beschränkter Kontakt-Kapazitäten kaum vergleichbar. Eine (noch) weitergehende Abstraktion bei der Beschreibung von Positionen bedeutet im vorliegenden Fall, dass es bei der Unterscheidung zwischen Positionen auch auf die Zahl der Verbindungen bestimmter Art zu gleichartigen Akteuren nicht mehr ankommen darf, sondern nur noch auf deren Existenz oder Nicht-Existenz: Ein Vergleich der Positionen zweier Akteure beschränkt sich nun also auf die Frage, ob bestimmte Strukturaspekte bei beiden (mindestens einmal) vorkommen oder nicht ( gleiche Form der Einbettung), oder ob bestimmte Strukturaspekte bei dem einen nicht und bei dem anderen (mindestens einmal) vorkommen ( verschiedene Form der Einbettung). Konzepte zur Beschreibung dieser Form von Äquivalenz werden in der Netzwerkanalyse als reguläre Äquivalenz bezeichnet. Nach dieser weitergehender Abstraktion sind zwei Akteure äquivalent und gehören damit der gleichen Position an, wenn jeder wichtige Aspekt der beachteten Struktur für beide Akteure entweder gleichermaßen zutrifft oder gleichermaßen nicht zutrifft. Hinsichtlich der früher genannten vier Strukturaspekte direkter Verbindungen zwischen Akteuren in 1-Schritt-Umgebungen ist das wieder sehr einfach: Zwei Akteure nehmen gleiche Positionen ein, wenn sie (unabhängig von der jeweiligen Häufigkeit) hinsichtlich der Existenz oder Nichtexistenz a) asymmetrisch ausgehender, b) asymmetrisch eingehender, c) symmetrisch ein- und ausgehender und d) nicht vorhandener Kanten übereinstimmen. Zur weitergehenden Information über die Konzepte zur Beschreibung regulärer Äquivalenz bzw. (abgeschwächt) Ähnlichkeit verweisen wir wieder auf die Literatur (vgl. u. a. Wasserman & Faust 1994; Trappmann et al. 2010). 2.3 Teilgruppen: Die Identifikation von Teilnetzen intern eng bzw. stark verbundener Knoten In der bisherigen Diskussion kamen vor allem die extremen Enden der Analyse- Ebenen zur Sprache, nämlich die einzelnen Knoten und Kanten auf der einen und die gesamte Population bzw. das gesamte Beziehungsnetz auf der anderen Seite. Unter eher formalen Gesichtspunkten traten mit Dyaden und Triaden auch bereits Zwischenebenen hinzu. Einheiten auf Zwischenebenen spielen im Alltagsleben wie in der Analyse der dort ablaufenden Prozesse eine große Rolle. In der öffentlichen Verwaltung