2. Arithmetik Lernumgebungen

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2 2. Arithmetik Lernumgebungen 39

3 Balken und Winkel auf der Zwanzigertafel 2.1 Balken und Winkel auf der Zwanzigertafel Thema: Addition, Rechengesetze Stufe: Zweite Hälfte des 1. Schuljahres bis zum 3. Schuljahr Dauer: 2 bis 3 Unterrichtsstunden Material: Balken (2 Felder) und Winkel (3 Felder) aus Holzwürfeln oder Pappe, Kopiervorlagen Zahlenpaare auf der Zwanzigertafel, Zahlentripel auf der Zwanzigertafel, ggf. Kopiervorlage Hundertertafel. (s. S. 217) Im Bild sind Zahlenpaare mit einem Balken abgedeckt. Stellt einander Rätsel mit Balken, zum Beispiel: 413 wurde abgedeckt. Welche anderen Zahlen könnten auch noch abgedeckt sein? 4Die Summe der beiden abgedeckten Zahlen ist 31. Welche Zahlen sind abgedeckt? 2. Schreibe alle Zahlenpaare auf, die du mit einem Balken abdecken kannst. Berechne die Summe von möglichst vielen Zahlenpaaren. Wie viele solcher Zahlenpaare gibt es wohl? 3. Arbeite nun mit einem Winkel. Schreibe alle Zahlentripel auf, die du abdecken kannst. Berechne wo möglich die Summe der drei Zahlen. Wie viele Zahlentripel gibt es wohl? 4. Wiederhole Aufgabe 2 und 3 mit der Hundertertafel. Worum geht es Wie in den meisten Lernumgebungen bewegen sich die Kinder in einem fachlich offenen Rahmen: Arbeiten sie mit Balken oder auch mit Winkeln bzw. mit zwei oder mit drei Summanden? Ist das Notieren der Rechnungen systematisch oder eher zufällig? Werden auch Additionen berücksichtigt, deren Berechnung Schwierigkeiten bereitet? Werden alle Summen berechnet oder konzentriert 40

4 Arithmetik man sich auf das Finden von Zahlenpaaren? Wird der Zahlenraum sogar über die Zwanzigertafel hinaus erweitert? Zahlenpaare mit einem Balken Die Schülerinnen und Schüler bilden Zahlenpaare, indem sie jeweils zwei neben- oder untereinander liegende Zahlen auf der Zwanzigertafel abdecken. Beim Stellen und Lösen von Rätseln in Partnerarbeit orientieren sie sich im Zahlenraum bis 20, indem sie benachbarte Zahlen bestimmen (Nachbarzahlen oder Zahlen mit gleichem Einer). Zudem beschäftigen sie sich operativ mit Ergänzen und Zerlegen sowie mit Addieren und Subtrahieren. Durch eine möglichst systematische Suche nach vielen Zahlenpaaren beschäftigen sie sich auch mit kombinatorischen Fragestellungen. Mit einem Balken können auf der Zwanzigertafel bei waagrechter Anordnung folgende Zahlenpaare und Summen gebildet werden: = 3, = 5, = 7, = 9, = 11, = 13, = 15, = 17, = 19, = 23, = 25, = 27, = 29, = 31, = 33, = 35, = 37, = 39 Wird der Balken senkrecht gelegt, entstehen die Summen = 12, = 14, = 16, = 18, = 20, = 22, = 24, = 26, = 28 und = 30. Zwischen 11 und 31 sind alle Summen außer 21 ( kann nicht gelegt werden) möglich. Zu einer vorgegeben Summe ist die Lage des Balkens auf der Tafel jeweils eindeutig. Diese beiden Strukturmerkmale können zur Bildung von Rätseln genutzt werden. Die Summe von nebeneinanderliegenden Zahlen ist jeweils um eins größer als das Doppelte der kleineren Zahl bzw. um eins kleiner als das Doppelte der größeren Zahl. Bei waagrechtem Balken ist die Summe jeweils ungerade. Bei senkrechtem Balken ist die Summe jeweils gerade und um zehn größer als das Doppelte der kleineren Zahl. Die Eigenheiten der Summen sowie die Möglichkeit, die Lage der Paare und der Summen systematisch zu verändern, sind die wesentlichen Strukturmerkmale dieser Lernumgebung. Zahlentripel mit einem Winkel Winkel können in vier verschiedenen Lagen auf die Zwanzigertafel gelegt werden. Diese können jeweils ausgehend von der kleinstmöglichen Summe neun Mal um ein Feld nach rechts geschoben werden. Dabei wird die Summe der drei zugedeckten Felder jeweils um drei größer. Insgesamt sind also 36 verschiedene Positionen möglich (s. Abb. S. 42). Die Summen 24, 27, 30, 33, 36 und 39 können jeweils auf zwei verschiedene Arten gelegt werden, so dass insgesamt 30 verschiedene Summen möglich sind. Sie liegen zwischen 14 und 49. In diesem Intervall lassen sich lediglich die Summen 16, 19, 22, 41, 44, 47 nicht erreichen. Wie kann man vorgehen? Die Lehrperson deckt mit einem Balken waagrecht und senkrecht nebeneinander liegende Zahlenpaare auf einer Zwanzigertafel ab. Sie nennt eine der beiden Zahlen oder die Summe. Die Kinder bestimmen die abgedeckten Zahlen zuerst mit, später auch ohne Blick auf die Zwanzigertafel. Die Kinder erhalten nun je einen Balken aus Würfeln oder Pappe, um selbst Zahlenpaare abzudecken. Zuerst stellen sie einander Rätsel. Danach probieren sie alleine, möglichst viele verschiedene Zahlenpaare abzudecken. Diese werden als Addition notiert und wo möglich die Summen berechnet. Man kann die Kinder darauf hinweisen, dass sich systematisches Vorgehen bzw. Verschieben des Balkens lohnt. Eine Herausforderung ist es, die maximale Anzahl an Zahlenpaaren zu bestimmen und die entstehende Summenfolge zu untersuchen und zu beschreiben. Die schnelleren Schülerinnen und Schüler arbeiten mit einem Winkel, mit dem sie Zahlentripel abdecken. Auch sie suchen systematisch nach möglichst vielen Zahlentripeln und bestimmen die Summen. Durch ein systematisches Vorgehen entsteht eine stark strukturierte Summenfolge. Umbruch hat sich geändert daher bitte sämtliuche Verweise kontrollieren 41

5 Balken und Winkel auf der Zwanzigertafel Zahlentripel und mögliche Summen Mögliche Summen bei Auflage eines Balkens auf die Zwanzigertafel Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) Einfache Lösung zu Zahlenpaaren Melanie geht unsystematisch an die Aufgabe heran und findet dennoch eine große Anzahl von Zahlenpaaren, deren Summe sie richtig berechnet. Sie löst einige schwierige Additionen (z.b = 35), einige einfachere Additionen (z.b ) lässt sie aus. Man könnte Melanie auffordern, die Additionen zu ordnen. Dadurch würde die Struktur des Päckchens sichtbar und das Berechnen der Summen einfacher. 42

6 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) Anspruchsvolle Lösung zu Zahlenpaaren Nathalie hat den Balken zuerst an beliebigen Stellen senkrecht auf die Zwanzigertafel gelegt, die entsprechenden Additionen notiert und die Summen mehrheitlich korrekt berechnet. Ab der fünften Addition wird sichtbar, dass sie das Paar auf der Horizontalen tendenziell von rechts nach links bewegt und ihr Vorgehen allmählich systematisiert. Nach der Addition = 3 (Spalte rechts) notiert sie systematisch die restlichen vertikalen Zahlenpaare. So gelingt es ihr, alle möglichen Zahlenpaare zu finden (die Summe 28 hat sie zwei Mal notiert). Luca geht die Aufgabe an, indem er die Paare in Dreiergruppen gruppiert (2 vertikal und ein horizontal liegendes Paar). Nach jeder Dreiergruppe verschiebt er den Balken um zwei Felder nach rechts, wobei er in horizontaler Lage jede zweite Addition auslässt (2 + 3; 4 + 5; ). Alle Summen berechnet er korrekt. 43

7 Balken und Winkel auf der Zwanzigertafel Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) Das Vorgehen von Marco ist demjenigen von Luca ähnlich. Auch er geht sehr systematisch vor und findet 20 (von insgesamt 28) Additionen. Im Unterschied zu Luca operiert er vorerst mit waagrechtem Balken, bevor er alle zehn Additionen mit vertikal liegendem Balken findet. Lauro löst die Aufgabe zu den Paaren vollständig und korrekt. Er stellt drei strukturierte Päckchen mit zehn (1 + 2,, ), nochmals mit zehn (1 + 11,, ) und mit neun Additionen (2 + 3, ) auf. Dass er sich dabei eher an innermathematischen Gesetzmäßigkeiten als an der Zwanzigertafel orientiert, zeigt sich darin, dass er die Addition berücksichtigt, obwohl sie mit dem Balken nicht gelegt werden kann. Einfache Lösungen zu Zahlentripeln Nathalie legt den Winkel eher zufällig. Die abgedeckten Zahlen addiert sie jeweils korrekt. Ihr Päckchen enthält sowohl die kleinstmögliche ( = 14) als auch die größtmögliche Summe ( = 49). 44

8 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) Leonie erstellt Zahlentripel in drei Spalten und berechnet die Summen, jedoch nicht alle richtig. Sie geht bei der Bildung der Additionen in jeder Spalte systematisch von links nach rechts vor. Dreht den Winkel aber nicht immer in der gleichen Art. Anspruchsvolle Lösung zu Zahlentripeln Luca geht auch beim Bilden der Tripel sehr systematisch vor. Zuerst legt er den Winkel auf den ersten Viererblock bestehend aus den Zahlen 1, 2, 11, 12 und notiert die vier möglichen Additionen mit diesen Zahlen. Das Vorgehen wiederholt er mit den Blöcken 3, 4, 13, 14 sowie 5, 6, 15, 16. Zur Heterogenität Kinder mit einfachen Lösungen beschränken sich auf Additionen mit dem Balken. berechnen einige (evt. einfachere) Summen. stützen sich bei den Additionen auf die Zwanzigertafel. suchen und nutzen Ansätze zu systematischem Vorgehen. Kinder mit anspruchsvollen Lösungen beschäftigen sich mit Aufgaben zu Paaren und Winkeln. gehen systematisch vor und finden alle möglichen Additionen. erweitern die Aufgabe auf die Hundertertafel. arbeiten auch ohne Zahlentafel. erkennen Strukturen und führen sie weiter. 45

9 KOPIERVORLAGE Name: Klasse: Datum: Zahlenpaare auf der Zwanzigertafel Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

10 KOPIERVORLAGE Name: Klasse: Datum: Zahlentripel auf der Zwanzigertafel Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

11 Muster an der Maltafel 2.2 Muster an der Maltafel Thema: Multiplikation, Zahlenmuster Stufe: 3. bis 5. Schuljahr Dauer: 2 bis 6 Unterrichtsstunden Material: Einmaleins-Tafel Auf der Einmaleins-Tafel gibt es viel zu entdecken. 1. Wähle aus den Aufgaben a) bis e) den Ausschnitt aus der Maltafel und überprüfe das entsprechende Beispiel. 2. Berechne weitere Beispiele. 3. Beschreibe und begründe deine Feststellungen. a) Produkte von nebeneinander liegenden Feldern einer Zeile Beispiel: 4 1 = 4 zu 5 2 = 10 zu 6 3 =18 usw. b) Produkte von übereinander liegenden Feldern einer Spalte Beispiel: 10 7=70 zu 9 8 =72 zu 8 9 =72 usw. c) Die vier Eckfelder eines Rhombus: Die Summe der nebeneinander liegenden Felder mit der Summe der beiden Felder oben und unten Beispiel: = = = = c eb ea e d d) Die Summe der Produkte der vier direkten Nachbarfelder eines Feldes. Dabei wird jeweils die Summe der gegenüberliegenden Felder gebildet. Beispiel: = = = = 42 e) Die Differenz der Produkte in Feldern, die zur Mittelachse symmetrisch liegen Beispiel: = = 22 oder = = 44 48

12 Arithmetik Worum geht es? Die Mal-Tafel ist eine strukturierte Darstellung der insgesamt hundert Multiplikationen des Einmaleins. Beim Vergleich von Produkten werden Gesetzmäßigkeiten sichtbar. Diese können die Schülerinnen und Schüler erforschen, beschreiben und begründen. Dank der Auseinandersetzung mit zahlreichen Multiplikationen erlaubt diese Lernumgebung insbesondere auch das Automatisieren des kleinen Einmaleins Die Lernumgebung offeriert eine Vielzahl von Gesetzmäßigkeiten und Mustern, aus denen die Kinder auswählen können. a) Die Differenz der Produkte von nebeneinander liegenden Feldern nimmt innerhalb einer Zeile von links nach rechts jeweils um zwei zu = = = = = = = = = = = 16 b) Die Differenz der Produkte von übereinander liegenden Feldern vergrößert sich innerhalb einer Spalte von oben nach unten um jeweils zwei = = = = = = = = = = = 5 c) In einem Rhombus von 2 2 Feldern ist die Summe der Produkte der nebeneinander liegenden Felder um eins größer als die Summe der Produkte der übereinander liegenden Felder = = 60 (a b) + (a + 1) (b + 1)= ab + ab + a + b + 1 = 2ab + a + b = = 59 (a + 1) b + a (b + 1) = ab + b + ab + a = 2ab + a + b Bei größeren Rhomben unterscheidet sich die Summe der Produkte der vertikal gegenüberliegenden Eckfelder von der Summe der Produkte der horizontal gegenüberliegenden Eckfelder um 4 (3 3 Rhombus), um 9 (4 4 Rhombus) oder um 16 (5 5 Rhombus), also um die Quadratzahlen. d) Ein Feld hat jeweils vier direkte Nachbarn, die sich jeweils paarweise gegenüberliegen. Die Summe dieser beiden Produktpaare ist jeweils gleich = = 42 (a b) + (a + 2) b = 2ab + 2b = = 42 (a + 1) (b 1) + (a + 1) (b + 1) = ab a + b 1 + ab + a + b + 1 = 2ab + 2b e) Die Differenzen der Produkte von Feldern, die vertikal verlaufenden Mittelachse symmetrisch liegen, sind jeweils Vielfache von = = = 30 8 = 22 a b (11 b) (11 a) = a b a + 11b a b = 11(a + b 11) Wie kann man vorgehen? Die vorliegende Lernumgebung kann zur Vertiefung des Einmaleins und von Strukturen zur Multiplikation im 3. bis 5. Schuljahr bei Bedarf auch mehrere Male eingesetzt werden. Beim Erforschen der Strukturen berechnen die Schülerinnen und Schüler nicht nur viele Produkte, sondern erhalten auch die Gelegenheit, Gesetzmäßigkeiten zu entdecken, zu beschreiben und zu begründen. Vor der Inszenierung entscheiden wir uns für eine oder zwei der fünf vorgeschlagenen Aufgabe. An der Einmaleins-Tafel zeigen wir den Kindern, welche Merkmale wir untersuchen wollen. Es empfiehlt sich, einige Felder zur Illustration zu bestimmen und anzufärben, die gefärbten Produkte an die Wandtafel zu schreiben und zu berech- 49

13 Muster an der Maltafel nen und so die Untersuchung anzuregen. Für die Einzelarbeit erhalten die Schülerinnen und Schüler eine Mal-Tafel. Dort färben sie die zu untersuchenden Felder an und vergleichen die Produkte aufgrund der Fragestellung. Sobald die Schülerinnen und Schüler in Einzelarbeit einige Beispiele berechnet haben, werden sie einzeln aufgefordert, die Aufgaben und die Ergebnisse zu vergleichen und zu beschreiben. Dieser Hinweis kann den Lernenden auch schon zu Beginn der Arbeit gegeben werden. Nun tauschen die Schülerinnen und Schüler ihre festgehaltenen Entdeckungen und Erklärungen zu den Mustern aus. Bei der Arbeit zu Mustern innerhalb einer Zeile oder Spalte ist der Hinweis wesentlich, die Produkte systematisch von oben nach unten bzw. von links nach rechts zu berechnen. Schnell rechnende Schülerinnen und Schüler werden zur Untersuchung weiterer Strukturmerkmale ermutigt. Dokumente aus der Erprobung Dokumente zur Struktur b (Spaltenmuster): Produkte von übereinander liegenden Feldern einer Spalte Sonst steht die Klassenstufe in der Überschrift Flavio (4. Klasse) hat mehrere Spalten untersucht und die Differenzen zwischen den benachbarten Produkten berechnet. Das Muster, nach dem die Produkte sich verändern, wird gut sichtbar. Melanie, Michelle und Michi (4. Klasse) beschreiben die Zusammenhänge zwischen den Produkten innerhalb einer Spalte. Melanie (oben) erkennt, dass die Produkte von oben nach unten vorerst größer und nach der Mittelzeile entsprechend kleiner werden. Außerdem bemerkt sie, dass die Differenzen innerhalb einer Spalte immer gerade bzw. immer ungerade sind. Michelle beschreibt die gleiche Erkenntnis etwas ausführlicher. 50

14 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung Dokumente zu b (Spaltenmuster): Produkte von übereinander liegenden Feldern einer Spalte Michi (4. Klasse) stellt zusätzlich die geraden bzw. ungeraden Differenzen zwischen Produkten in einen Zusammenhang mit den Faktoren. Er schreibt wenn die erste Rechnung gerade ist, sind die Unterschiede auch gerade. Er erkennt, dass die Differenzen von geraden Produkten auch immer gerade sind. Sonst steht die Klassenstufe in der Überschrift (Hier allerdings unterschiedliche Klassenstufen) Rebekka (3. Klasse) hat fast alle Produkte der Einmaleins-Tafel berechnet. Danach beschreibt sie die Zusammenhänge zwischen den Produkten innerhalb einer Spalte. Sie begründet die ungeraden Differenzen damit, dass in diesen Spalten der eine Faktor gerade und der andere ungerade ist. Wenn innerhalb einer Spalte jeweils zwei gerade mit zwei ungeraden Faktoren abwechseln, sind die Differenzen zwischen den Produkten ungerade. Zudem beschreibt sie die Regelmäßigkeit, nach der sich die Produkte einer Spalter verändern: der eine Faktor wird größer, der andere Faktor kleiner, das Produkt wird bis zur Mitte größer, dann kleiner. Simon (3. Klasse) untersucht je drei Spalten links und rechts der Mitte. Er berechnet die Differenzen sowohl der Produkte einer Spalte als auch zwischen benachbarten Spalten. Seine Feststellungen begründet er aber nicht

15 Muster an der Maltafel Dokumente aus der Erprobung (3. Klasse) Dokumente zu c (Rhombusmuster): In einem 2 2 Rhombus die Summe der Eckfelder links und rechts mit der Summe der Eckfelder oben und unten vergleichen. Rebekka (3. Klasse) stellt ihre Rechnungen übersichtlich dar. Es ist auffällig, dass die Differenz zwischen zwei Zeilen jeweils eins beträgt. Tabea (3. Klasse) erkennt, dass die Summe der nebeneinander liegenden Produkte um eins größer ist als die Summe der übereinander liegenden Felder. Lucy (3. Klasse) hat die Rhomben sukzessive vergrößert. Sie hat an mehreren Beispielen die Summe der Produkte in den Eckfeldern links und rechts mit der Summe der Produkte in den Eckfeldern oben und unten verglichen. Dabei werden die Quadratzahlen sichtbar. Timon (3. Klasse) hat die Differenzen zwischen den Summen von einander gegenüberliegenden Feldern in verschieden großen Rhomben untersucht. Er hat festgestellt, dass die Differenzen den Quadratzahlen entsprechen. Zur Heterogenität Kinder mit einfachen Lösungen berechnen Produkte. orientieren sich auf der Maltafel. konzentrieren sich auf ein Muster bzw. eine Gesetzmäßigkeit. entdecken Gesetzmäßigkeiten und Muster durch den Vergleichen mehrerer Beispiele. Kinder mit anspruchsvollen Lösungen beschreiben viele Muster und Gesetzmäßigkeiten fest. beschreiben und begründen Muster und Gesetzmäßigkeiten. übertragen Muster und Gesetzmäßigkeiten auf andere Ausschnitte der Maltafel. variieren und ergänzen Muster (z. B. durch Vergrößerung des Untersuchungsbereichs). 52

16 KOPIERVORLAGE KOPIERVORLAGE Name: Klasse: Datum: Maltafel Name: Klasse: Datum: Maltafel Da die Aufteilung,mit der Rombe auf einer DIN-A5 Seite besser aussieht, uns eine halbe Seite aber nicht hilft, würde ich vorschlagen in diesem Fall zwei Kopiervorlagen auf eine Seite zu platzieren, so kann der Leherer gleich in doppelter Ausführung kopieren Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

17 Strukturierte Päckchen 2.3 Strukturierte Päckchen Thema: Addition und Subtraktion Stufe: 1. bis 4. Schuljahr Dauer: 2 bis 4 Unterrichtsstunden Material: Aufgabe auf dieser Seite für Klasse 2, Kopiervorlage für Klasse 3 und 4 Strukturierte Päckchen Klasse 2 1. Berechne die Resultate der Päckchen. Führe sie weiter. Notiere die 10. und die 20. Rechnung? Wie hast du sie gefunden? = = = = = 5. + = 6. + = 7. + = = = = = = = = 5. + = 6. + = 7. + = = = Timo 2. Erfinde selber ein Päckchen. Tausche es mit einer Partnerin oder einem Partner aus. 3. Erfinde ein Päckchen, bei dem die Summen immer um 5 größer werden. 4. Erfinde ein Päckchen, bei dem die 5. Rechnung 50 ergibt = = = = = = 6. + = 7. + = = = 0. + = = = = = = 6. + = 7. + = = = 0. + = 1. + = 2. + = 3. + = 4. + = 5. + = = 7. + = = = 54

18 Arithmetik Worum geht es? Die meisten Lehrmittel jüngeren Datums enthalten bei der Erkundung und Vertiefung mathematischer Operationen strukturierte Päckchen. Diese werden aber häufig nur abgearbeitet, indem die Resultate lediglich berechnet, notiert und kontrolliert werden. Die vorliegende Lernumgebung zeigt das Potential von strukturierten Päckchen für die Grundschule auf. Strukturierte Päckchen sind Ausgangspunkt für mathematische Tätigkeiten, die weit über das Training von Kenntnissen und Fertigkeiten hinausgehen. Die einzelnen Rechnungen werden systematisch verändert, so dass Strukturen entstehen, die erforscht, fortgesetzt, ausgestaltet, abgeändert und selber erzeugt werden können. Indem sich die Lernenden mit den Zusammenhängen innerhalb eines Päckchens beschäftigen, vertiefen sie ihr Strukturierte Päckchen für eine 1. Klasse Unstrukturiertes Päckchen = = = = = Auch bei einfachen strukturierten Päckchen lassen sich zahlreiche Strukturen nutzen und entdecken: 4Die Summen nehmen in Zweierschritten zu. 4Sie sind immer gerade. 4 Die Summen sind jeweils doppelt so groß wie die Zahl zwischen den beiden Summanden (z. B = 10 =5 + 5 / = 12 = 6 + 6). 4Das Doppelte der Aufgabennummer vermehrt um 8 ergibt jeweils die Summe. 4 Die beiden Summanden nehmen von Rechnung zu Rechnung um eins zu und sind jeweils beide gerade oder ungerade. 4 Bei der 496. Rechnung wird der Tausenderraum verlassen. 4 Die Aufgabenreihe lässt sich beliebig lange fortsetzen. Die Lernenden arbeiten an weiterführenden und differenzierenden Aufträgen, bei deren Bearbeitung sie weitere strukturelle Zusammenhänge entdecken können. Beispiele: 1. Führe das Päckchen weiter. (Dabei werden viele Kinder den vertrauten Zahlenraum sprengen.) 2. Wie lautet die 7. / die 10. / die 20. Rechnung in diesem Päckchen? 3. Erfinde ein ähnliches Päckchen. 4. Erfinde ein Päckchen, bei dem die Summen von Rechnung zu Rechnung um drei größer werden. 5. Erfinde ein Päckchen, mit den Summen 6, 8, 7, 9, 8, 10, 6. Erfinde ein Päckchen, bei dem das 10. Resultat 50 ergibt. 7. Erfinde eine eigene Zahlenreihe und schreibe dazu ein Päckchen auf = = = = = 14 Bei unstrukturierten Päckchen besteht zwischen den einzelnen Rechnungen kein Zusammenhang. Viele Schülerinnen und Schüler verfolgen bei solchen Übungen meistens nur ein Ziel: Möglichst schnell die vorgegebenen Rechnungen lösen. Schülerinnen und Schüler, die solche Übungen gelöst haben, erhalten häufig weitere gleichartige Übungsaufgaben mit gleich bleibendem Anforderungsniveau. 55

19 Strukturierte Päckchen Verständnis zu Zahlenräumen und Operationen. Strukturierte Päckchen in Lehrmitteln können mit weiterführenden Aufträgen jederzeit gut zu Lernumgebungen erweitert werden. Die untenstehende Tabelle zeigt den möglichen Nutzen strukturierter Päckchen in Abgrenzung zu unstrukturierten Päckchen für das Lernen beispielhaft auf. Wie kann man vorgehen? Eine Startrechnung (Rechnung 0) sowie die erste verwandte Rechnung stehen an der Tafel. Die Rechnungen werden nummeriert, da sich so Strukturen einfacher erkennen und beschreiben lassen. Die Kinder vergleichen nun die beiden Rechnungen. Anschließend werden sie aufgefordert, die erste Rechnung nach dem gleichen Prinzip zu verändern und so die zweite Rechnung zu finden. Die Kinder bestimmen die nächsten Rechnungen, die ebenso an der Tafel notiert werden. Ein weiteres klärendes Gespräch vertieft das Bewusstsein für die Strukturen: 4 Passen nun alle Rechnungen an der Tafel zueinander oder bestehen Unstimmigkeiten zwischen den Additionen? 4 An welcher Stelle stehen die einzelnen Rechnungen und wie lässt sich die fünfte Rechung finden? 4 Wie bestimmt man die zehnte oder die zwanzigste Rechnung, ohne alle Rechnungen aufzuschreiben? Diese und weitere Fragen können die Kinder aber auch in Einzelarbeit bearbeiten. Falls die Lernenden zum ersten Mal Strukturen in einem Päckchen nutzen, können die Additionen auch geometrisch dargestellt werden. Zusammenhänge werden so auch bildhaft sichtbar = = = = 13 Die Arbeit wird mit einigen strukturierten Päckchen weitergeführt (Aufgabe 1). Die Schülerinnen und Schüler berechnen die Resultate und führen das Päckchen einige Rechnungen weiter. Nicht alle müssen sich auf die Sprünge von der siebten zur zehnten Rechnung bzw. von der zehnten zur zwanzigsten Rechnung einlassen. Lernende, die sich mit solchen Sprüngen beschäftigen, können ermutigt werden, fehlende Rechnungen zu notieren. Einigen Schülerinnen und Schülern gelingt es so, die zwanzigste oder eine noch weiter unten stehende Rechung zu finden. Wer mindestens zwei dieser Päckchen erfolgreich bearbeitet hat, wird aufgefordert eigene Päckchen zu erfinden, die sich dann ebenso weiterführen lassen. In der Erprobung haben die Kinder ihre Päckchen selbst weitergeführt. Es wäre aber auch möglich, dass sie ähnlich den bereits bearbeiteten Päckchen Aufgabenstellungen entwickeln, die Partnerinnen und Partner weiterführen. Wenn ich die linke Spalte im Satzspiegel laufen lasse, ist die rechte Spalte ausgesprochen kurz. Sieht optisch nicht so gut aus. Wenn ich jedoch die Spalten auf gleiche Höhe ziehe, bleibt unten viel Platz Der Platz reicht jedoch nicht aus, um bereits Dokumente aus der Erprobung hier zu platzieren. 56

20 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) (Die Kopiervorlagen wurden aufgrund der Erfahrungen aus der Erprobung neu gestaltet und unterscheiden sich deshalb von den abgebildeten Dokumenten.) Fabian meistert dieses Päckchen ohne Probleme. Anfänglich irritiert ihn der Sprung von Addition sieben zu Addition zehn. Er behilft sich mit der Notation der achten und neunten Addition. Den Sprung von der zehnten Rechnung zur zwanzigsten Rechnung schafft er dann bereits im Kopf. Ihm fällt auf, dass die Summanden jeweils um eins größer werden. Luca bereitet das Addieren noch große Schwierigkeiten. Bereits die ersten vier Rechnungen waren für ihn eine große Hürde, die er jedoch gemeistert hat. Als er merkt, dass die Summen immer um zwei größer werden, sucht er Additionen, die die gewünschte Summe ergeben. Der Einfachheit halber hält er den ersten Summanden konstant auf 10. Damit bricht er aber die Struktur des Päckchens. Die Summen jedoch werden regelmäßig größer. Den Sprung von der zehnten zur zwanzigsten Addition übersieht er. Sarah erfindet ein Päckchen, bei dem die Summe jeweils der Rechungsnummer entspricht. Dazu vergrößert sie abwechselnd den zweiten, dann den ersten Summanden um eins. Die geraden Summen entstehen aus Verdoppelungen. 57

21 Strukturierte Päckchen Dokumente aus der Erprobung (1. Klasse) Eigene Päckchen erfinden Leonie verrechnet sich bei ihrem Päckchen einige Male. Sie bemüht sich aber sichtlich, dem Päckchen eine klare Struktur zu geben. Der erste Summand vergrößert sich vorerst regelmäßig um vier. Die fünfte Addition würde jedoch den ihr vertrauten Zahlenraum bis 20 sprengen. Um sich die Sache zu vereinfachen, entscheidet sie sich in der zweiten Spalte für die Folge der geraden Zahlen. Zwischen 24 und 38 erhöht Leonie den ersten Summanden regelmäßig um zwei. Den zweiten Summanden vermindert sie um eins, was ihr aber nicht bis zur Null gelingt. Die Rechenfehler könnten dadurch zustande kommen, dass sie sich in einem noch nicht gefestigten Zahlenraum bewegt. Marco ist wie viele Kinder in diesem Alter fasziniert vom Verdoppeln. Er beginnt noch mit 1 + 1, rechnet aber schon bald mit zwei- und dreistelligen Zahlen. Die guten Kenntnisse über die Schreibweise großer Zahlen zeigen sich an der kontinuierlichen und nachvollziehbaren Vergrößerung der Zahlen. Alle Berechnungen von Marco sind korrekt. Flavia erfindet ein einfaches Päckchen mit Summanden, die jeweils um eins größer werden. Offenbar bemerkt sie, dass die Summen sich dabei um zwei vergrößern. Vermutlich notiert sie die Summen im unteren Bereich ohne zu addieren. Dies würde erklären, weshalb die Summen gegenüber den Additionen verschoben sind. Marco Flavia 58

22 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (2. Klasse) René und Andrin haben vorerst gemeinsam gearbeitet. Sie haben das Päckchen richtig weiter geführt. Sie entdecken, dass die Summen immer ungerade sind. Ebenso formulieren sie das Bildungsgesetz, wonach der zweite Summand einer Addition in der folgenden Addition nach vorne gestellt wird. Vanessa bearbeitet gleich alle drei zur Verfügung stehenden Päckchen. Sie führt die Strukturen konsequent weiter, beachtet aber die beiden Sprünge zur zehnten bzw. zwanzigsten Rechnung nicht. Im mittleren Päckchen ändert sie beim zweiten Summanden nur den Einer, der Zehner bleibt immer 40. Die Summen vergrößern sich dadurch von Rechnung zu Rechnung um 12 (anstatt 22). Sie überschreitet in diesem Päckchen erfolgreich den ihr bekannten Zahlenraum bis 100. Fabian untersucht jeweils die Struktur, bevor er rechnet. Dass er dies erfolgreich tut, belegt er in beiden Päckchen. Im zweiten Päckchen führt er die Reihe nicht weiter, da die Summen den gewohnten Zahlenraum bis 100 überschreiten würden. Im ersten Päckchen schafft er erfolgreich den Sprung von der siebten zur zehnten Rechnung. Der Sprung von der zehnten zur zwanzigsten Rechnung gelingt ihm nicht. 59

23 Strukturierte Päckchen Dokumente aus der Erprobung (2. Klasse) Dylan (oben links) führt die Additionsfolge korrekt weiter. Die Strichliste (unten links) hilft ihm, die zehnte und die zwanzigste Rechnung zu finden.das eigene Päckchen (unten links) nutzt er zu einer Expedition in den Zahlenraum bis Tausend. Er schreibt die ersten zwanzig Rechnungen auf, möglicherweise inspiriert durch die Leerzeilen auf dem Arbeitsblatt. Endrita (oben rechts) entdeckt die Dreierschritte bei den Summanden sowie die Sechserschritte bei den Summen. In der sechsten Rechnung notiert sie die richtige Summe. Sie verrechnet sich aber bei den Summanden. Davon ausgehend führt sie in der siebten Rechnung die Summanden folgerichtig weiter und berechnet die Summe korrekt. Die entdeckte Struktur führt sie dann konsequent weiter. Die zehnte und zwanzigste Rechnung lassen sich auf die siebte zurückführen. Sie entwickelt ein Päckchen, indem die Resultate immer 3 betragen (unten rechts). Dabei schafft sie problemlos den Übergang von der Addition zur Subtraktion. Nach der elften Rechnung bricht sie ihr Päckchen ab. 60

24 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (2. Klasse) Michelle behauptet, nicht gerne zu rechnen. Das erste Päckchen bereitet ihr etliche Schwierigkeiten. Sie erkennt aber die Struktur und führt sie weiter. Dass sie sich noch stark auf das eigentliche Rechnen konzentriert, zeigt der Übergang von der fünften zur sechsten Rechnung. Ausgehend von der Summe 31 lässt sie eine Zahl (die 32) aus und addiert dann Die siebte Addition leitet sie korrekt von der sechsten Addition ab. Im eigenen Päckchen untersucht sie Verdoppelungen. Dabei macht sie es sich einfach. Dass die Operationen noch nicht vollständig gefestigt sind, zeigen die Additionen 17 bis 19. Ihre Summen sind jeweils ungerade. In der zwanzigsten Rechnung vertauscht sie bei der Summe Zehner und Einer. Schließlich versucht sie den Hunderterraum zu sprengen, indem sie addiert. Vermutlich würde sie das von ihr notierte Resultat 102 als Zweihundert aussprechen. 61

25 Strukturierte Päckchen Dokumente aus der Erprobung (3. Klasse) Mario erkennt die Struktur beider Päckchen und führt diese weiter. Beim ersten Päckchen bestimmt er bei der zehnten und zwanzigsten Rechnung die Summen. Die Schwierigkeiten bei der Bildung des ersten Summanden in der zehnten Rechnung meistert er im zweiten Anlauf, notiert jedoch 110 statt 210. Die Summe 530 bei der zwanzigsten Rechnung zerlegt er in einfache Summanden, die er von der zehnten Rechnung ableitet. Das zweite Päckchen löst er vollständig richtig. Auch der durchgestrichene Minuend der zehnten Rechnung 310 ist korrekt. Noemie erfindet ein Päckchen, bei dem die Summen um acht größer werden. Ab der zweiten Rechnung vereinfacht sie, indem sie zwei gleiche Summanden wählt. Wahrscheinlich bestimmt sie bei der zehnten Rechnung zuerst die Summe 390 statt 320. Obwohl auch die zwanzigste Rechnung einen Fehler enthält 460 statt 400, hat sie die zugrunde liegende Struktur erkannt. Nick notiert ein einfaches Päckchen, bei dem bis tausend überschreitet. Inwiefern er das Päckchen hätte weiter führen können, bleibt ungeklärt. 62

26 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (3. Klasse) Melanie entwickelt strukturierte Päckchen für ihre Lernpartnerin. Sie hat den Auftrag mit der Bildung von zwei einfachen Päckchen erfüllt. Vesa arbeitet mit großem Engagement und bearbeitet alle Aufgaben. Beim Beschreiben ihrer Denkweise ist sie noch nicht so sicher. Dennoch wird klar, dass sie Strukturen erkennt und weiterführt. Sie hat ihre Lernpartnerin bei Aufgabe 2, Addition 6 bis 10 offenbar überfordert. Mit dem falschen Ergebnis bei der Rechnung = 233 zeigt sie allerdings, dass sie die Strukturen noch nicht konsequent nutzt. Die dritte Aufgabe löst sie wiederum brillant. Zur Heterogenität Kinder mit einfachen Lösungen vertiefen Addition und Subtraktion. lösen vorgegebene Rechnungen. führen die Päckchen um einige Rechnungen weiter. entdecken einfache Gesetzmäßigkeiten. Kinder mit anspruchsvollen Lösungen entdecken und nutzen Strukturen. bestimmen die 10./20. Rechnung im Kopf. erfinden anspruchsvolle eigene Päckchen. beschreiben und entdecken Strukturen. beantworten gezielte Fragestellungen 63

27 KOPIERVORLAGE Klasse 3 Name: Klasse: Datum: Strukturierte Päckchen 1. Berechne die Ergebnisse und führe die Päckchen weiter = = = = = = = = = = Notiere die 10. und die 20. Rechnung. Wie hast du sie gefunden? 2. Erfinde ein eigenes Päckchen und lasse es von jemandem lösen = 1. + = 2. + = 3. + = 4. + = 5. + = 6. + = 7. + = 8. + = 9. + = = 3. Finde ein Päckchen zu diesen Resultaten = = = = = = 6. + = 7. + = 8. + = 9. + = = Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

28 KOPIERVORLAGE Klasse 4 Name: Klasse: Datum: Strukturierte Päckchen = = = = = = = = = = = = 4. + = 4. = 4. + = 5. + = 5. = 5. + = 6. + = 6. = 6. + = = 10. = = = 20. = = = 100. = = 1. Notiere die 10., 20. und 100. Rechnung? Wie hast du sie gefunden? 2. Erfinde ein solches Päckchen und tausche es mit einer Partnerin oder einem Partner aus. 3. Erfinde ein Päckchen, bei dem die Resultate von Rechnung zu Rechnung um 8 größer werden. 4. Erfinde ein Päckchen mit den Resultaten 70, 160, 250, 340, Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

29 Rechenterme 2.4 Rechenterme Thema: Grundoperationen, propädeutische Algebra Stufe: 2. bis 6. Schuljahr Dauer: 2 bis 3 Unterrichtsstunden Material: Zahlenkarten 1 bis 10 (evtl. bis 12), magnetische Zahlenkarten, Kopiervorlagen 1. Zieht in einer Gruppe von drei bis vier Kindern vier verschiedene Zahlenkarten. Arbeite zunächst alleine. Setze die Zahlen in je ein Feld und berechne das Ergebnis = 2. Setze die vier Zahlen so in die Felder, dass das größte Ergebnis/das kleinste Ergebnis entsteht. 3. Vergleicht eure Ergebnisse.Wer hat das größte/das kleinste Ergebnis erreicht? 4. Wähle vier Zahlenkarten. Setze deine vier Zahlen so in die Felder, dass das Ergebnis des Terms möglichst nahe an 50 (oder eine andere von dir gewählte Zahl) kommt. 5. Wähle fünf Zahlenkarten und bearbeite die 1. und 2. Aufgabe zu folgendem Term: 6 : + 2 = 6. Gruppenspiel für drei bis vier Kinder: Erfindet je einen Term mit vier leeren Kästchen (wie oben) und schreibt ihn auf eine Karte. Zieht je vier Zahlenkarten und schreibt diese zu eurem Term dazu. Berechnet nun jeder auf einem Blatt das größtmögliche Ergebnis, das ihr mit eurem Term erzielen könnt. Nach ca. drei Minuten gebt ihr die Karte mit dem Term und den gezogenen Zahlen der nächsten Spielerin bzw. dem nächsten Spieler weiter. Wieder berechnen alle das größtmögliche Ergebnis. Danach reicht ihr die Karten ein drittes Mal weiter. Wer erzielt das größte Ergebnis? Spielt das Spiel nochmals und versucht das kleinstmögliche Ergebnis zu erzielen. 66

30 Arithmetik Worum geht es? Die Lernumgebung ist ein Übungsanlass zur Wiederholung der vier Grundoperationen. Die Schülerinnen und Schüler berechnen durch gezieltes Einsetzen von Zahlen in Felder Ergebnisse. Durch Probieren, Überlegen oder Vergleichen versuchen sie ein möglichst großes bzw. ein möglichst kleines Ergebnis zu erreichen. In der Regel haben verschiedene Anordnungen der Zahlen in den Feldern auch verschiedene Ergebnisse zur Folge. Die Arbeit in Kleingruppen ermöglicht den hier besonders wichtigen Austausch von Gedanken und Strategien. Wesentlich ist etwa die Entdeckung, dass die Summe von Produkten größer wird, wenn große Zahlen multipliziert werden = Im Term zu Aufgabe 1 wird das Ergebnis maximal, wenn die größte Zahl ins Dreieck, die zweitgrößte Zahl in den Kreis, die drittgrößte Zahl in das Quadrat und die kleinste Zahl in die Raute geschrieben wird. Alle Permutationen mit den Zahlen 12, 7, 4 und 2 sind abgebildet. Links wurde die Anordnung der Zahlen systematisch verändert. Rechts sind die Ergebnisse nach der Größe geordnet. Es fällt auf, dass die größten fünf Ergebnisse zustande kommen, wenn die 12 in das Dreieck geschrieben wird. Je nach Wahl der vier Zahlen, treten einige Ergebnisse mehrfach auf, wie hier die 61 und die 31. Bei der Arbeit mit Rechentermen betreiben die Schülerinnen und Schüler propädentische Algebra, die sie jedoch selbstverständlich nicht abstrakt bearbeiten. In erster Linie geht es um das Üben der Grundoperationen und um das Aufspüren von Beziehungen zwischen Operationszahlen und Ergebnissen sowie um die Forderung allgemeiner Lernziele. Die Aufgaben 3 und 4 regen dazu an, weitere Terme zu untersuchen. Je nach Klassenstufe können die Terme erschwert oder vereinfacht werden. Wie kann man vorgehen? Zuerst werden die Regeln geklärt, nach denen wir die Terme berechnen. Dafür schreiben wir den Term von Aufgabe 1 oder einen andern stufengerechten Term drei Mal an die Tafel. Ein Kind zieht aus den Zahlenkarten 1 bis 10 (oder einem andern stufengerechten Angebot aus Zahlenkarten) vier Zahlen und notiert sie an der Tafel. Zusammen mit der Klasse werden zwei bis drei Beispiele berechnet, indem die Schülerinnen und Schüler aufgefordert werden, die vier Zahlen in die Felder einzusetzen. Das dabei entstehende Tafelbild könnte etwa so aussehen: 67

31 Rechenterme Jetzt wird den Schülerinnen und Schülern die eigentliche Aufgabe gestellt: Setzt die Zahlen so in die Felder ein, dass das größtmögliche Ergebnis entsteht. Dann legt ihr die Zahlenkarten so hin, dass ihr das kleinstmögliche Ergebnis erreicht. Bei der selbstständigen Arbeit ziehen die Schülerinnen und Schüler in Gruppen von zwei bis vier jeweils vier Zahlenkarten und bearbeiten damit Aufgabe 1. Dabei werden die Schülerinnen und Schüler von einem Arbeitsblatt geleitet (s. Kopiervorlagen). Der gleiche Term ist auf dem Arbeitsblatt mehrere Male dargestellt und soll auf der Suche nach den besten Ergebnissen variiert werden. Die Linien für die Zwischenresultate unterhalb der Leerfelder vereinfachen den Rechenweg. Außerdem hat sich gezeigt, dass die Einhaltung der Regel Punkt vor Strich dank der Darstellungshilfe selbstverständlich wird. Nach einer längeren Phase der Eigenaktivität tauschen die Kinder ihre Ergebnisse aus. Wer hat das größte/das kleinste Resultat erhalten? Weshalb ist das so? Gibt es noch größere bzw. noch kleinere Resultate? Die Schülerinnen und Schüler werden aufgefordert, ihre Überlegungen und Erkenntnisse zu formulieren. Wer Terme berechnet und den Austausch in Partnerarbeit abgeschlossen hat, kann die dritte oder die vierte Aufgabe mit einem anspruchsvolleren Term bearbeiten. Schnell rechnende Schülerinnen und Schüler überlegen sich, wie viele und welche Ergebnisse entstehen können. In einer folgenden Unterrichtsstunde kann das Gruppenspiel (s. Aufgabe 6) in möglichst Leistungshomogenen Gruppen gespielt werden. Dokumente aus der Erprobung (3. Klasse) Alle Kinder setzten ihre selbst gewählten Zahlen in die Leerstellen des Terms und berechnen ihn. Céline (3. Klasse) berechnet den Term mit den Ziffern 6, 7, 8 und 9. Danach bestimmt sie die größte Zahl. Schließlich probiert sie ein noch größeres Ergebnis zu berechnen. 68

32 Arithmetik Dokumente aus der Erprobung (2. Klasse) Begründungen Auch Larissa erkennt die Bedeutung der großen Zahlen bei der Multiplikation. Ihr scheinen die Zusammenhänge aber noch nicht so einsichtig. Barbara erkennt, dass sie bei der Multiplikation die größte Zahl als Faktor einsetzen muss, um das größte Ergebnis zu erreichen. Hava hat ihre Ergebnisse verglichen und in diesem Beispiel ihren Fehler erkannt: Die kleinste Zahl muss sie subtrahieren, um das größte Ergebnis zu erhalten. Die Faktoren setzt sie so in die Leerstellen, dass das größte Ergebnis erzielt werden kann. Irina erläutert ihre Einsicht an einem Beispiel. Sie fokussiert die Faktoren und erkennt, dass die größte Zahl mit dem größeren der beiden Faktoren und die zweitgrößte Zahl mit dem anderen Faktor multipliziert werden muss. Dass sie dabei das Ergebnis falsch berechnet, vermindert die Qualität ihrer guten Arbeit nicht. Mirja erkennt die Bedeutung aller Leerstellen im Term. Ihre Einsicht formuliert sie erstaunlicherweise abstrakt und völlig korrekt. 69

33 Rechenterme Dokumente aus der Erprobung (2./3. Klasse) Auch Rachel (2. Klasse) bemerkt zuerst, dass der kleinere Faktor (die kleinere Malzahl) mit der zweigrößten Zahl multipliziert werden muss. Ihre Argumentation ist danach etwas sprunghaft. Dass sie die kleinste Zahl (3) zuhinterst schreiben muss, ist korrekt. Vermutlich meint sie mit bei der größte Malzahl, dass der Faktor 5 mit der größten Zahl multipliziert werden soll. Livia (3. Klasse) erklärt differenziert, welche Zahlen an welcher Stelle im Term einzusetzen sind, damit das größte bzw. das kleinste Ergebnis entsteht. Zur Heterogenität Kinder mit einfachen Lösungen werten die Terme aus. entwickeln selbst einen Term und werten diesen aus. vergleichen verschiedene Ergebnisse und stellen Vermutungen auf. entdecken einfache Gesetzmäßigkeiten. Kinder mit anspruchsvollen Lösungen entdecken und nutzen Strukturen. finden das größtmögliche und das kleinstmögliche Resultat. erfinden anspruchsvolle eigene Terme und werten diese aus. entdecken und formulieren Gesetzmäßigkeiten. lösen weitere anspruchsvolle Aufgabenstellungen wie etwa das Annähern des Werts eines Terms an

34 KOPIERVORLAGE Rechenterm mit drei Leerstellen Meine 3 Zahlen Name: Klasse: Datum: + 4 = + = + 4 = + = + 4 = + = + 4 = + = + 4 = + = + 4 = + = Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

35 KOPIERVORLAGE Rechenterm mit vier Leerstellen Meine 4 Zahlen Name: Klasse: Datum: = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.

36 KOPIERVORLAGE Rechenterm mit fünf Leerstellen Meine 5 Zahlen Name: Klasse: Datum: 6 : + 2 = : + = + = 6 : + 2 = : + = + = 6 : + 2 = : + = + = 6 : + 2 = : + = + = Kallmeyer in Verbindung mit Klett Erhard Friedrich Verlag GmbH Alle Rechte vorbehalten.